專題16全等三角形模型之婆羅摩笈多模型

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀時的印度數學家，在世時間約是公元598年?660年。

他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達克迪迦》。《婆羅摩修正體系》中有關數學的部分涉及到有關三角

形、四邊形、零、負數、一階和二階方程的研究，《肯達克迪迦》則是天文方面的著作，研究了關于

月食、日食、行星的合等問題。他提出的一些概念在世界數學史上也有很高的地位，比如負數。以

他命名的婆羅摩笈多定理又稱“布拉美古塔“定理。本專題我們講的就是由婆羅摩笈多定理演化而來的“婆羅

摩笈多，，模型。

目錄導航

例題講模型

2

模型L"婆羅摩笈多”模型2

習題練模型

8

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型］

模型1.“婆羅摩笈多”模型

模型解讀

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形（即對角互補的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從

交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經過這條邊對邊的中點（反之亦能成立）。

模型特征：（1）ABCP和是兩個等腰直角三角形，且直角頂點重合.

模型1）知中點證垂直

條件：分別以三角形/8C的邊/8、4c為邊,向三角形外側外做正方形和正方形/C歹G,N

為EG的中點，M、4、N三點共線。結論：AM±BC；BC=2AN；S“BC=S“EG。

證明：（倍長中線法）延長NN到憶梗NW=NA,連接￡外

在△用ER和A/GN中，NW=NA（已作），ZWNE=ZANG（對頂角），EN=GN（已知）

:.AWEN咨AAGN(SAS),：.EW=GA,ZEWN=ZGAN?

'：ZEWN=ZGAN：.EWHGA,/用E/+NE/G=180。(平行線同旁內角)。

VZGAC=90°,ZEAB=90°,：.ZEAG+ZCAB=18O°,：.ZWEA=ZCABo

\'EW=GA,又：G/=/C,：.EW=AC.

在AE松和A/CB中：EA=AB,ZWEA=ZCAB,EW=AC,：.l\EWAAACB(SAS)o

：.WA=CB,/EAW=/ABC,"：\ABC\EAW,：.SAEWA=SAACB0

\WEN=\AGN,:,S、WEN=S&AGN，--S\ACB=S\EWA=S\AEN+S\EWN—S\AEN+S\AGN=SAAEG'>

"：WN=AN,：.BC=2AN,"：ZWAB=ZEAB+ZEAWo

又：/段(三角形外角性質)，：.ZEAB+ZEAW=ZABM+ZAMB0

*.*AEAW=ZABC(/ABC即AABM},；.AEAB+Z.ABM=ZABM+ZAMB?

:./EAB=NAMB,：.ZAMB=90°,即/M_L5C。

模型2)知垂直證中點

條件：分別以A/BC的邊48、AC為邊,向三角形外側外做正方形48DB和正方形/CbG,AMLBC.

結論：N為EG的中點；BC=2AN；SAABC=SAAEG。

證明：(法1:平行線法)作EM//G,交/N的延長線于憶:EW//AG,：.ZWEA+ZEAG=ISO°,

：和NG/C為正方形的角，所以兩個角均為90。，?.ZEAG+ZBAC=l80°,

：.ZWEA=ZBAC,'JEWHAG,：.ZEWN=ZGAN,

VZGAN+ZMAC=90°,"：AMLBC,：.ZMAC+ZMCA=90°,：.ZMCA=ZGAN,：.ZMCA=ZEWN,

在AA8C和少中，ZBCA=ZAWE,ZCAB=ZWEA,AB=EA,：.KABC\EAW(AAS),

：.AW=BC,：.WE=CA,'：CA=AG,：.WE=AG,,:EW//AG,：.ZWEN=ZAGN,

在△腔N和zUGN中，ZWEN=ZAGN,WE=AG,ZENW=GNA,：.AWEN^AAGN(ASA),

EN=GN,即N為EG的中點，WN=AN,：.BC=AW=2AN,

AABC以AEAW,：.SAEWA=SAACB，:AWEN出NAGN,：.S^WEN=SXAGN,

S\ACB=S\EWA=S\AEN+SAEWN=S^AEN+S\AGN=SAAEG?

(法2:三垂直模型法)作EX_L/N,交/N的延長線于X,作Gy_L/N,將/N于九

,：AMYBC,：.ZABM+ZBAM=9Q°,VZEAB=90°,：,ZEAN+ZBAM=9Q°,：.ZABM=ZEAN

在Rt\ABM和RtAEAX中，'ZZABM=ZEAN,：.ZAEX=ZBAM；

在Rt\ABM和RtNEAX中，NBAM=/AEX,AB=EA,/ABM=NEAX；

:.RtAABM冬RtAEAX(ASA),：.AM=EX,同理可證：：.Rt\AYG^Rt\CMA(ASA),AGY=AM；

"：AM=EX,：.GY=EX,在MAEJW和MAGKV中，ZENX=ZGNY,ZEXN=ZGYN,EX=GY-,

：.RtAEXNgRt\GYN(AAS),?.EN=GN,即N為EG的中點；

*.*Rt\ABMgRtAEAX,；.SAABM=S、EAX,BM=AX,"：RtAAYGgRt\CMA,S^AYG=SACMA,CM=AY；

:RtAEXNgRt\GYN,：.SXEXN=S^GYN,XN=YN；

SAABC=SAABM+S/^CMA=S\EAX+S\AYG=S\EAN+SXENX+SAANG-SKGNY=SAAEG;

：.BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。

其實該模型也可以模仿模型1)中的倍長中線法，有興趣的同學們可以自己去嘗試以下哦！

模型運用

例1.（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，點A的坐標為（6,0）,點8為V軸的負半軸上的一個動點,

分別以08,4B為直角邊在第三、第四象限作等腰RtZ\O5尸、等腰連接跖交V軸于尸點，當

點8在歹軸上移動時，則的長度為（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024?重慶渝中?二模）如圖，以VN8C的邊NC、3c為邊向外作正方形/CDE和正方形8CGF,連

接/G、8。相交于點O,連接CO、DG,取中點“，連接MC并延長交。G于點N.下列結論：①

AG=BD；②MN1DG；③CO平分/DCG；-SACDC；⑤40c=45。.其中正確的結論有

（填寫編號）.

例3.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt4/BC中，ZABC=90°,AB=CB,點、D,￡分別在

CB上,DB=EB,連接4E,CD,取/E中點尸，連接叱.

（1）求證：CD=2BF,CDVBF■,（2）將AOBE繞點B順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出3尸與的位置關系：；②求證：CD=2BF.

圖1

例4.（23-24八年級上?陜西西安?階段練習）（1）如圖1,MNLPQ于N,AABC是等腰直角三角形，乙4c3=90。，

等腰直角A/BC的頂點C、3分別在射線射線NQ上滑動（頂點C、3與點N不重合）在滑動過程中，

點/到直線AW的距離N&CN（填或

（2）如圖2,在（1）的條件下，等腰直角AECF中，ZECF=90°,且△￡（7尸的頂點C、歹也分別在射線

NM、射線NP上滑動（頂點C、尸與點N不重合），連接NE交血W于點。，試探究4D與即的數量關系,

并證明你的結論.

（3）如圖2,AB=4cm,EF=6cm,在AET廠和A/BC保持原來滑動狀態的過程中，的面積是否有

例5.（2024?湖北?二模）【特例發現】如圖1,在小/臺。中，/GL2C于點G,以/為直角頂點，分別以AB,

NC為直角邊，向A/BC外作等腰而A/BE和等腰MA/CF,過點￡、/作射線G/的垂線，垂足分別為P、

Q.求證：EP=FQ.

【延伸拓展】如圖2,在△ABC中，于點G,以/為直角頂點，分別以48,4C為直角邊，向AABC

外作口A/BE和火以/CF,射線G/交昉于點”.若AB=kAE,AC=kAF,請思考HE與"F之間的數量關

系，并直接寫出你的結論.

【深入探究】如圖3,在A/BC中，G是3c邊上任意一點，以N為頂點，向A/BC外作任意A/BE和ZUCF,

射線G/交M于點〃.若NEAB=N4GB,ZFAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問的結論還成立嗎？

并證明你的結論.

【應用推廣】在上一間的條件下，設大小恒定的角分別與△/￡尸的兩邊/￡、/尸分別交于點M、N,

若Zk/BC為腰長等于4的等腰三角形，其中/8/C=120。，且/IHJ=/AGB=3=60。,k=2；

求證：當/出/在旋轉過程中，AEMH、AaAW和AFW均相似，并直接寫出線段的最小值(請在答題

卡的備用圖中補全作圖).

例6.(23-24九年級上?福建廈門?期中)定義:如圖13,在AABC中，把AB繞點A順時針旋轉?(0°<?<180°)

得到/Q，把/C繞點/逆時針旋轉"得到/C',連接8'C'.當o+夕=180。時，我們稱△/9。是“3C的

“旋補三角形"，△48'。邊2'C'上的中線叫做“3C的“旋補中線''，點/叫做“旋補中心

(1)在圖1中，△4B'C'是AA8C的“旋補三角形"，ND是的“旋補中線”，若為等邊三角形，貝1J4D

與8C的數量關系為：AD=BC.

(2)在圖2中，當“3C為任意三角形時，猜想/。與BC的數量關系，并給予證明.

(3)如圖3,在四邊形48CD中，D5=90°,乙4=150。，BC=\2,/8=2百，40=6.若四邊形內部恰好

存在一點P使AP/B是△尸DC的“旋補三角形”，請直接寫出△尸DC的“旋補中線”長是

習題練模型

1.（23-24九年級上?浙江溫州?期中）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他研究過對角線互相

垂直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆氏四邊形如圖，在O。中，四邊形/BCD是“婆氏四邊

EF

形”，對角線/C,8。相交于點￡,過點E作即，DC于點“，延長HE交于點R則二的值為（）

n

2.（23-24九年級下?江西南昌?期末）婆羅摩笈多是公元7世紀的古印度偉大數學家，曾研究對角線互相垂

直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆羅摩笈多四邊形”.如圖，四邊形/BCD是。。的內接四邊形,

且是“婆羅摩笈多四邊形，，、若/32+火2+。2+0/2=8,則。。的半徑為.

3.（23-24八年級?江蘇?假期作業）如圖，以"BC的邊48,/C為腰分別向外作等腰直角、AACD,

連接ED,BD,EC,過點/的直線/分別交線段DE,BC于點、M,N,以下說法：①當48=NC=8c時,

ZAED=3Q°i②EC=BD；③當直線口夙7時，點M為線段DE的中點.正確的有—.（填序號）

4.（2024?湖北黃石?模擬預測）如圖，以△/2C的邊NC、為邊向外作正方形/CDE和正方形3CGF,連

接/G、3。相交于點。，連接C。、DG,取中點M,連接MC并延長交DG于點N.下列結論：①/G

=BD；?MN±DG；③C。平分NDCG；④SAABC=S/DG；⑤//OC=45。.其中正確的結論有

（填寫編號）.

（2）根據材料，應用婆羅摩笈多定理解決下面試題：

如圖，已知中，ABAC=90°,AB=AC=2,BC,/C分別交G＞。于點。，E,連接Z。，BE交于

點尸.過點尸作址N〃BC,分別交于點M,N.若AD工BE,求/N的長.

6.（2024?湖北?一模）問題背景：數學興趣小組活動時，王老師提出了如下問題：如圖（1）,在V/8C中,

AB=8,AC=6,求5c邊上的中線4D的取值范圍.

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法，作A/CD關于點。中心對稱的圖形，其中點A的對應

嘗試運用：如圖（2）,是V/BC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,試判斷線段

與跖的關系，并加以證明.

ArA

遷移拓展：如圖（3）,4。是V/BC的中線，嚶=喂=左，NBAE=NCAF=90。，直接用含左的代數式寫

ABAC

出AAEF與A/CD之間的面積關系.

7.（2023福建?模擬預測）求證：對角線互相垂直圓內接四邊形，自對角線的交點向一邊作垂線，其延長線

必平分對邊.要求：（1）在給出的圓內接四邊形作出PELBC于點E,并延長EP與AD交于點F,不寫作

法，保留作圖痕跡（2）利用（1）中所作的圖形寫出已知、求證和證明過程.

BC

8.(23-24九年級上?山西臨汾?期末)閱讀下列材料，完成相應的任務.

婆羅摩笈多(Brahmagupla)是古印度著名數學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數的算術運算

規則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻.他曾經提出了“婆

羅摩笈多定理”，該定理也稱為“布拉美古塔定理”，該定理的內容及部分證明過程如下：

布拉美古塔定理：已知：如圖1,四邊形48CD內接于OO,對角線NC工3D,垂足為點/為的

中點，連結尸M■并延長，交BC于點、E,則MEL3C.

證明：VAF=FD,ACVBD,AAMD=90°,AF=MF=FD,ZFMD=ZADM(依據)，

ZDAM+ZADM=90°,...

D

(1)上述證明過程中的依據是指.(2)請補全上述證明過程.

(3)請利用布拉美古塔定理完成如下問題：如圖2,三角形內接于。。，AC=BC=IO,AB=12,點、H是

弧48的中點，AD1BC,請直接寫出線段CE的長度.

9.(23-24九年級上?山西長治?期末)閱讀與思考

閱讀下列材料，完成相應的任務.

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是古印度著名的數學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數的算數運

算法則、二次方程等方面均有建樹，特別在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻，他曾提出了“婆

羅摩笈多定理”，該定理也稱為“布拉美古塔定理”，該定理的內容及部分證明過程如下.

婆羅摩笈多定理：如圖，已知四邊形4BCD內接于。。，對角線NC13。，AC,5。相交于點如果直

線MELBC,垂足為￡,并且交邊4D于點F,那么/尸=即.

10.(2024?江西?模擬預測)婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他在三角形、四邊形、零和負

數的運算規則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把對角線互

相垂直的圓內接四邊形稱為“婆氏四邊形

圖1圖2

(1)若平行四邊形是“婆氏四邊形"，則四邊形N3CD是.(填序號)①矩形；②菱形;③正方形.(2)

如圖1,四邊形4BCD為。。的內接四邊形，連接OA,OB,OC,OD,已知/5OC+N/OD=180。.求

證：四邊形/BCD是“婆氏四邊形”.

(3)如圖2,在RtA/BC中，ZBAC=90°,以N3為弦的O。交NC于點。，交5c于點￡,連接。￡,AE,

3

BD,AB=3,sinC=-,若四邊形45EQ是“婆氏四邊形”，求。E的長.

11.（23-24九年級上?河南新鄉?期中）某學習小組在探究三角形相似時，發現了下面這種典型的基本圖形.

DAE

圖1圖2圖3

AT）

（1）如圖1,在中，ZBAC=90°,~^k,直線/經過點/,直線/,CE上直線/,垂足分別

AC

為D、E.求證：=k.

AE

（2）組員小劉想，如果三個角都不是直角，那么結論是否仍然成立呢？如圖2,將（1）中的條件做以下修

改：在中，——=k,D、4、E三點都在直線/上，并且有N5D4=N/EC=NB/C=a,其中a為任

AC

意銳角或鈍角.請問（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,在A/BC中，沿"C

的邊AB、/C向外作矩形ABDE和矩形/CFG,H=H是3c邊上的高，延長期交EG于點

I.①求證：/是EG的中點.②直接寫出線段3C與//之間的數量關系：

12.（23-24八年級下?江蘇鎮江?期中）【方法回顧】如圖1,在V/2C中，D,￡分別是邊/8,/C的中點，

小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長。E到點F，使跖=。石,

連接CF,證明AADE絲AC五E,再證四邊形。3c尸是平行四邊形即得證.

（1）上述證明過程中：

①證明“DE咨&CFE的依據是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

②證明四邊形D8CF是平行四邊形的依據是；

【類比遷移】（2）如圖2,是V4BC的中線，BE交AC于點E,交4D于點尸，且4E=EF,求證：

AC=BF.小明發現可以類比材料中的思路進行證明.

證明：如圖2,延長AD至點G,使GD=FD,連接GC,…請根據小明的思路完成證明過程；

【理解運用】（3）如圖3,四邊形N3C。與四邊形CE戶G均為正方形，連接。￡、3G,點P是2G的中點,

連接3.請判斷線段C尸與。E的數量關系及位置關系，并說明理由：

（4）如圖4,四邊形8CED是一片草坪，NABC、V4DE是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,NBAD

為銳角，已知CE=80m,的面積為IZOOn?.計劃修建一條經過點/的筆直小路/G,其中點G在CE

邊上，G4的延長線經過8。中點?若小路每米造價500元，則修建小路的總造價為元.

13.(2024?重慶?校考一模)我們定義：如圖1,在A/BC中，把繞點/順時針旋轉a(0°<a<180o)得

到/⑶，把/C繞點/逆時針旋轉￡得到/。，連接8。，當.+￡=180。時，我們稱△/⑶。是A/BC的“旋補三

角形"，AAB'C邊B'Cl.的中線4D叫做△4BC的“旋補中線”.

圖4

⑴［特例感知］在圖2,圖3中，是△4BC的“旋補三角形"，4D是A/BC的“旋補中線”.

①如圖2,當△48C為等邊三角形，且3c=6時，則/。長為

②如圖3,當/B/C=90。，且8C=7時，則/。長為.

(2)［猜想論證］在圖1中，當為任意三角形時，猜想/。與8。的數量關系，并給予證明.(如果你沒有

找到證明思路，可以考慮延長/￡(或延長8%,…)

(3)［拓展應用］如圖4,在四邊形/BCD中，ZBCD=150°,AB=\2,CD=6,以CO為邊在四邊形/BCD內

部作等邊MCD,連接4P,BP.若△BID是M3C的“旋補三角形”，請直接寫出△依C的“旋補中線”長及四

邊形ABCD的邊/。長.

14.(2024?廣東?校考一模)情境觀察：將矩形A8CD紙片沿對角線/C剪開，得到A/BC和△/OD,如圖1

所示.將△4CD的頂點〃與點/重合，并繞點/按逆時針方向旋轉，使點。、/(/)、8在同一條直線上，如

圖2所示.觀察圖2可知：與5C相等的線段是▲,NCAC'=▲

圖1圖2

問題探究：如圖3,△48C中，NG,3c于點G,以/為直角頂點，分別以48、/C為直角邊，向△4BC外

作等腰MA48E和等腰尺以/。凡過點￡、尸作射線GN的垂線，垂足分別為P、。.試探究￡尸與尸。之間

的數量關系，并證明你的結論.

拓展延伸：如圖4,MBC中,NG_L8C于點G,分別以N3、NC為一邊向A/BC外作矩形/AWE和矩形/CNF,

射線G/交所于點〃若AB=kAE,AC=kAF,試探究與HF之間的數量關系，并說明理由.

圖3圖4

15.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)綜合與實踐：數學實踐課堂上，張老師從一道基礎題入手，通過不斷變

化題目，引導學生們發現解決此類問題的圖形中的基本圖形，進而通過構造基本圖形，解決問題.

(1)基礎題：如圖1,4B1BD于點、B,CD_L3。于點D,P是上一點，AP1PC.

(2)構造應用①如圖2,點￡是正方形A8CD邊8c上一點，//跖=90。，AE=EF,4F與CD交于點G,連

接CF,請直接寫出DGCF=°.

4RAr?

②如圖3,沿V/BC的邊4C向外作矩形和矩形4WG,—=—=連接EG4H是BC邊

AEAG3

上的高，延長網交EG于點K,求證：K是EG中點，并直接寫出5c與ZK的數量關系：BC=_AK.

(3)綜合應用：如圖4,在矩形中，AB=4,3c=6,點￡是邊上的動點(點E不與點。重合),

連接CE,過點E作砂，CE,交48于點凡連接CF,過點3作3GLCF,垂足為G,點M是BC邊的

中點.請直接寫出當ZG+GM值最小時。E的值為:

16.（24-25九年級上?廣東深圳?階段練習）綜合與實踐

【問題情境】我們定義：如圖（。），在V/8C中，把繞點A順時針旋轉c（0°<a<180。）得到/"，把/C

繞點A逆時針旋轉戶得到連接夕C.當a+￡=180。時，我們稱是V/8C的“旋補三角形”，

△48'C'的邊9C'上的中線AD叫做V48C的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”.

【特例感知】（1）在圖⑹和圖（c）中，△NB'C'是V/BC的“旋補三角形”，40是V4BC的“旋補中線”.

①如圖（b）,當VA8C為等邊三角形時，40與2C的數量關系為BC-,

②如圖（c）,當NB/C=90。，BC=16時，則/。長為.

【猜想論證】（2）如圖（a）,當V/8C為任意三角形時，猜想4。與8c的數量關系，并給予證明.

【拓展應用】（3）如圖（d）,在四邊形4BC。中，ZC=90°,ZZ