專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型

維維亞尼定理(Viviani'stheorem)：在等邊三角形內任意一點P到三邊的垂直距離之和，等于該等邊

三角形的高。這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點尸跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點

的位置無關。它以溫琴佐?維維亞尼命名。

而今天我們要學習的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去

相等底邊后得到高之間的關系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動點只能在底邊所在直線上運動，此時連

接點和底邊所對頂點，能江原圖分割成兩個底相等的三角形。

目錄導航

例題講模型

.................................2

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型......................................................2

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型......................................................4

習題練模型

8

例題講模型］

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：在等邊VA3C中，P是平面上一動點，過點尸作PELAC,PFLBC,PDLAB,過點A作AATLBC。

結論：①如圖1,若動點尸在三角形ABC內時，貝UP￡）+PE+PF=AM；

②如圖2,若動點尸在三角形ABC外時，貝ijP〃+PE-PF=AM。

（當點P在三角形ABC外時，受P的位置影響，不同的位置結論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

模型證明

證明：①如圖1,連結AP,BP,CP。：VABC是等邊三角形，...ABuBCuAC,

貝

”sABC=SABP+SBCP+SACP=^ABPD+^BCPF+^ACPE=^BC(PD+PF+PEY

S^=8^p+SBCP+SACP=-BC-AM；?e-PD+PE+PF=AMo

②如圖3,連結AP,BP,CPo：VABC是等邊三角形，.,.AB=8C=CA,

則S,ABC二S+s.ACP-SBCP——AB.PD^ACPE-^BC.PF^BCiPD.PE-PFY

??；：

?SABC-SABP+SBCP-SACP=^BC-AM.PD+PE-PF=AM.

模型運用

例1.（2024?河北?二模）如圖，尸為邊長為2的等邊三角形ABC內任意一點，連接B4、PB、PC,過尸點

分別作BC、AC、AB邊的垂線，垂足分別為。、E、F,則PD+PE+P尸等于（）

A.乎B.V3C.2D.2石

例2.（2024八年級?廣東?培優）如圖，點尸為等邊..ABC外一點，設點尸到三邊的距離PD=\,PE=h2,PF=h3,

且九一色+"=6,貝UASC的面積等于（）

C.12月D.2473

例3.（23-24八年級上?浙江寧波?期中）如圖，尸是等邊三角形ABC內一點，且B4=4,PB=2布,PC=2,

以下3個結論：①N3PC=120。；②AB=2出；③S△叱=4有；④若點P到VABC三邊的距離分別為PE,

PF,PG,貝IJ有尸E+aF+PG=^AB,其中正確的有（）

2

A.4個B.3個C.2個D.1個

例4.(23-24八年級上?云南昆明?期末)如圖(1),已知在VABC中，AB=AC,且/3=60。,過A作AP±BC

于點P,點M是直線BC上一動點，設點M到VA8C兩邊AB、AC的距離分別為“z,n,VABC的高為

⑵如圖(2),試判斷相、〃、〃之間的關系，并證明你的結論.

(3)如圖(3),當點M運動到8C的延長線上時，求證：^-^=—+—

202220221011

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：如圖，等腰VA3C(AB=AC)中，點尸在2C上運動，過點尸作PZ)_L4B,PH±AC,CE±AB,

結論：①如圖1,若動點尸在邊BC上時，則PE+P￡)=CT。

②如圖2,若動點P在BC延長線上時，貝i」|PFPE|=C￡)。

圖1圖2

模型證明

證明：①如圖1,連結AP；：VABC是等邊三角形，.,.AB=AC,

則SABruSABp+SACpuLAB-PD+LAC-PEMJABlPD+PEV=SAHruJARCF；：.PE+PD=CF。

ADCAi5rACr222\A6C2

①如圖2,連結AP；：VABC是等邊三角形，.??A2=AC,

則SABCUS^P-S40>=工42尸尸一LACPE=』A2（PB—PE），SABC=-ABCD-，，PF-PE=CD。

Ani\.t5rACK222、，An2

模型運用

例1.（23-24八年級上?廣西百色?期末）如圖，已知AABC是等腰三角形，A8=AC,點。是8c上任意一點,

OELAB,OF±AC,等腰三角形的腰長為4,面積為4出，貝|。￡+。尸的值為（）

B.2月C.2.5D.3

例2.（23-24九年級下?四川成都?階段練習）如圖，將矩形ABCD沿折疊，使點。落在點8處，P為折

痕所上的任意一點，過點P作尸GL3E,垂足分別為G,H,若AD=16,CF=6,則尸G+PH=

例3.（23-24八年級下.江西吉安?階段練習）數學課上，老師畫出一等腰VABC并標注：AB=AC=10,

ZA=30°,然后讓同學們提出有效問題并解決請你結合同學們提出的問題給予解答.

圖1圖2圖3

（1）甲同學提出：NB=NC=度；（2）乙同學提出：VABC的面積為:

（3）丙同學提出：點。為邊BC的中點，DE.LAB,DFJ.AC,垂足為E、F,請求出DE+D廠的值；

（4）丁同學說受丙同學啟發，點。為邊BC上任一點，DEJ.AB,DF1AC,CHX.AB,垂足為E、F、H,

則有。E+D/=CH.請你為丁同學說明理由.

例4.（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,點尸是底邊8C上

的一點，PDYAB,垂足為點。，PE1AC,垂足為點E.求證：PD+PE為定長.

（2）如圖（2）,已知在等腰三角形ABC中，Afi=AC,點尸是底邊BC的延長線上的一點，PDYAB,垂

足為點D,PELAC,垂足為點E.求證：PD—PE為定長.（3）如圖（3）,己知：點尸為等邊三角形A3C

內任意一點，過尸分別作三邊的垂線，分別交三邊與。、E、F.求證：PD+PE+PF為定長.

例5.（2024?江西?一模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1,NB

=ZC,則四邊形A8CD為等鄰角四邊形.

（1）定義理解：己知四邊形ABC。為等鄰角四邊形，且NA=130。，NB=120。，則/。=度.

（2）變式應用：如圖2,在五邊形A2CDE中，ED//BC,對角線2。平分乙42c.

①求證：四邊形為等鄰角四邊形；②若NA+NC+/E=300。，ZBDC=ZC,請判斷小臺。。的形狀,

并明理由.（3）深入探究：如圖3,在等鄰角四邊形ABC。中，NB=/BCD,CELAB,垂足為E,點尸為

邊BC上的一動點，過點尸作尸ALAB,PNLCD,垂足分別為M,N.在點P的運動過程中，判斷PM+PN

與CE的數量關系？請說明理由.（4）遷移拓展：如圖4,是一個航模的截面示意圖.四邊形A8C。是等鄰角

四邊形，ZA=ZABC,E為A8邊上的一點，ED1AD,ECVCB,垂足分別為。、C,AB=2舊dm,AD

=3dm,BD=737dm.M、N分別為AE、BE的中點，連接。M、CN,求ADEM與ACEN的周長之和.

習題練模型

1.（23-24八年級上.浙江寧波?期末）如圖，在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,。是AA3c外一點,

。到三邊的垂線段分別為OD,OE,OF,且OD:OE:OF=1:4:4,則4。的長度為（）

2.（23-24九年級上?重慶?期中）如圖，在等腰AABC中，AB=AC,tanC=2,BD_LAC于點D,點G是底

邊BC上一點，過點G向兩腰作垂線段，垂足分別為E、F,若BD=4,GE=1.5,則BF的長度為（）

3.（23-24八年級下?福建泉州?期中）如圖，P是三角形內一點，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若

PD+PE+PF=6,且VABC是等邊三角形，則VABC的周長為（）

A.12B.18C.24D.30

4.（23-24八年級上.江蘇常州.階段練習）如圖，VABC為等邊三角形，點。是2C邊上異于3,C的任意一

點，DEJ.AB于點、E.。尸于點?若BC邊上的高線411=6,則￡/+。尸=.

A

5.（2024.四川成者B?模擬預測）如圖，在中，ZC=90°,CA=6,CB=8,點尸為此三角形內部（包

含三角形的邊）的一點且尸到三角形三邊的距離和為7,則CP的最小值為

6.（2024八年級?廣東?培優）如圖，中，AC=BC,點尸是邊48上任意一點，點。是AB延長線上

任意一點，過點P分別作PD，AC于點。，PELBC于點、E,過點。分別作QF，AC于點F,QG,8c于

點G,貝IJPO+PE+QGFQ.（填或“="）

7.（23-24九年級上?山東青島?期末）如圖，將矩形ABCD沿E尸折疊，使點。落在點2上，點C落在點C'處,

點P為折痕跖上的任一點，過點尸作PGLBE、PHLBC,垂足分別為G、H,若AO=24cm,CF=9cm,

PG=2cm則下列結論正確的有（填正確結論的序號）①止=15cm②△3EF的面積是90cm之③

3

sinZDFC=—（4）PH=10cm.

8.（2024八年級.廣東.培優）如圖，在ABC中，線段AO為中線，點O為線段的中點，直線/經過點。，

且8,C兩點在/的同側，過點8,C,D,A作直線/的垂線，垂足分別為點E,F,H,G.則下列說法一

定正確的有.

①△AZG^AB/E;②AG=DH；③2AG=BE+CF；④若點8,C位于/異側，看2AG=BE—CF.

9.（2023?四川內江?中考真題）出入相補原理是我國古代數學的重要成就之一，最早是由三國時期數學家劉

徽創建.“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的

面積之和”是該原理的重要內容之一、如圖，在矩形ABC。中，AB=5,A￡>=12,對角線AC與3。交于點

EFJ.AC,EG1BD,垂足分別為點RG,貝ijEF+EG=

10.（23-24九年級上?江蘇無錫?期末）如圖，已知等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,P為三角形內（含

邊）一點，過點P分別作A3、BC、AC的垂線，垂足分別為。、E、F.若PD=PE=PF,則CE長為

若PD=PE+PF,則點P運動的路徑長為.

11.（23-24八年級下?河南南陽?期中）在AABC中，AB=AC,點P為AABC所在平面內一點過點P分別作PE

〃AC交A8于點E,尸尸〃交8C于點。，交AC于點足

（1）觀察猜想:如圖1,當點尸在8C邊上時，此時點P、D重合,試猜想PD,PE,PF與AB的數量關系:

（2）類比探究:如圖2,當點尸在AABC內時，過點P作MN〃BC交于點交AC于點N,試寫出PD,

PE,P尸與AB的數量關系，并加以證明.

（3）解決問題:如圖3,當點P在AABC外時，若6,PD=1,請直接寫出平行四邊形PEAF的周長

AAA

圖1

12.（23-24泰州八年級上期中）從特殊出發：如圖1,在一ABC中，AB=AC,點尸為邊8c上的任意一點,

過點尸作尸PELAC,垂足分別為。、E,過點C作CELA8,垂足為尸，求證：PD+PE=CF.小明

的證明思路：如圖2,連接AP,由A2P與"CP面積之和等于，ABC的面積可以證得PZ）+PE=CB（不需

寫出證明過程）.

變化一下：（1）如圖3,當點尸在2C的延長線上時，其余條件不變，請運用上述解答中所積累的經驗和方

像，11、/2與x軸的交點分別為A、B.

（2）兩條直線恰好相交于y軸上的點C,點C的坐標是；（3）說明ABC是等腰三角形;

（4）若〃上的一點M到//的距離是1,運用上面的結論，求點M的坐標.

圖4

13.（23-24九年級上?四川成都?期中）教材再現：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰一ABC中，

SABC=S,APB+SAPC-HP|AB-DC=1ABMP+1ACPN,VAB=AC,DC=MP+PN,MP+PN是個固

定值.

圖1圖2圖3

（D如圖1,在矩形A8CD中，AC與D3交于。，AB=3,AD^4,尸是AO上不與A和。重合的一個動點,

過點P分別作AC和3。的垂線，垂足分別為E,F,則PE+P尸的值為.

知識應用：（2）如圖2,在矩形ABCD中，點M,N分別在邊AD,BC上,將矩形ABCD沿直線MN折疊，

使點D恰好與點8重合，點C落在點G處.點尸為線段跖V上一動點（不與點M,N重合），過點尸分別

作直線而，BC的垂線，垂足分別為E和R以PE,2/為鄰邊作平行四邊形PEQF,若

DM=13,CN=5,oPEQF的周長是否為定值？若是，請求出“EQ尸的周長；若不是，請說明理由.

（3）如圖3,當點P是等邊.一ABC外一點時，過點尸分別作直線AB、AC,BC的垂線、垂足分別為點￡、

D、F.若PE+PF-PD=3,請直接寫出一ABC的面積.

14.（23-24八年級下?四川宜賓.階段練習）閱讀材料：如圖，一ABC中，AB=AC,尸為底邊BC上任意一

點，點尸到兩腰的距離分別為4,2,腰上的高為3連接AP,則SABP+SAW=SABC，即：

ABTx+ACT2=AB'h,.,.4+馬=〃（定值）.

⑴理解與應用：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E為對角線3。上的一點，且跖=3C,F為CEk

一點，于M,FN1BD于N,試利用上述結論求出FM+印的長.

(2)類比與推理：如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形"，那么尸的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在

三角形內任一點“，即：已知等邊ABC內任意一點P到各邊的距離分別為704,等邊的高為/?,

試證明4+馬+4=〃(定值).

(3)拓展與延伸：若正〃邊形A4…A〃，內部任意一點尸到各邊的距離為時…今，請問"+馬+…+/是否為

定值？如果是，請合理猜測出這個定值.

15.(2022?黑龍江綏化?中考真題)我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩

腰的距離之和與一腰上的高之間的數量關系，并利用這個關系解決相關問題.

A

圖一圖二圖三

(1)如圖一，在等腰，ABC中，AB^AC,8C邊上有一點。，過點。作DEI于E,DR1AC于尸，過

點C作CG_LAB于G.利用面積證明：DE+DF=CG.

(2)如圖二，將矩形ABCD沿著所折疊，使點A與點C重合，點B落在&處，點G為折痕上一點，過

點G作GA1_LFC于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的長.

AfiAp

(3)如圖三，在四邊形A3CD中，E為線段8C上的一點，EA±AB,EDLCD,連接8。，且左=丁，

CDDE

BC=y/51,C￡)=3,BD=6,求￡D+K4的長.

16.（2023?陜西渭南?二模）（1）【問題提出】

如圖1,在等腰ABC中，AB=AC,P是底邊3c上的任一點（不與8、C重合），PELAC于E,PFLAB

于FBDLAC于。.求證：BD=PF+PE；

（2）【問題探究】如圖2,ABC和_CDE是兩個含30。的直角三角形，其中NACB=NDCE=90。,

ZABC=ZCED=30°,連接A。、BE,BE=10,求AO的長;

（3）【問題解決】如圖3,四邊形ABC。是某農業觀光園的部分平面示意圖，應>是一條灌溉水渠，E為入

口，E在線段5c上，管理人員計劃從入口E處沿出、ED分別修兩條筆直的小路，將園區分割為_梃、

,CDE和△血（三個區域，用來種植不同的農作物.根據設計要求，EA±AB,EDYCD,且黑=蕓,

CDDE

8c=100回米，CD=300米，5￡>=600米，已知修建小路加D、E4每米的造價為50元，求所修小路ED+E4

的總費用.

17.（23-24八年級下?貴州遵義?期末）學完三角形的高后，小明對三角形與高線做了如下研究：如圖，D是

V45C中8c邊上的一點，過點。、A分別作DE1AB、DFJ.AC,AGLBC,,垂足分別為點E、F、G,

由△ABZ）與△ADC的面積之和等于VABC的面積，有等量關系式：^AB-DE+^AC-DF=BC.AG.像

這種利用同一平面圖形的兩種面積計算途徑可以得出相關線段的數量關系式，從而用于解決數學問題的方

法稱為“等積法”，下面請嘗試用這種方法解決下列問題.

⑴如圖（1）,矩形ABC。中，AB=2,3C=4,點P是AD上一點，過點尸作尸ELAO,PFLOD,垂足

分別為點從F,求PE+P尸的值;

(2)如圖(2),在Rt^ABC中，角平分線8E,8相交于點O,過點。分別作。0J_AC,ONLAB,垂足

分別為點M,N,若AB=3,AC=4,求四邊形AMON的周長.

18.(23-24九年級上?江西鷹潭?期中)如圖，點E是矩形A3CZ)的對角線8D上的一點，S.BE=BC,AB=3,

3C=4,點尸為直線EC上的一點，且尸于點。，PRLBD于點R.

(1)如圖1,當點P為線段EC中點時，易證：PR+PQ=

(2)如圖2,當點尸為線段EC上的任意一點(不與點E、點C重合)時，其它條件不變，貝1(1)中的結論是否仍

然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

(3)如圖3,當點P為線段EC延長線上的任意一點時，其它條件不變，則PR與尸。之間又具有怎樣的數量關

系？請證明你的猜想.

專題13等腰(等邊)三角形中的重要模型之維維尼亞模型

維維亞尼定理(Viviani'stheorem)：在等邊三角形內任意一點P到三邊的垂直距離之和，等于該等邊

三角形的高。這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點尸跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點

的位置無關。它以溫琴佐?維維亞尼命名。

而今天我們要學習的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去

相等底邊后得到高之間的關系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動點只能在底邊所在直線上運動，此時連

接點和底邊所對頂點，能江原圖分割成兩個底相等的三角形。

目錄導航

例題講模型

.................................2

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型......................................................2

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型......................................................4

習題練模型

8

例題講模型I]

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：在等邊VA3C中，尸是平面上一動點，過點尸作PE_LAC,PF±BC,PD±AB,過點A作AM_L8C。

結論：①如圖1,若動點尸在三角形ABC內時，貝ij尸￡>+尸E+Pb=AM；

②如圖2,若動點尸在三角形ABC外時，貝UP￡）+PE-PF=AM。

（當點尸在三角形ABC外時，受尸的位置影響，不同的位置結論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

模型證明

證明：①如圖1,連結AP,BP,CP。是等邊三角形，，AB=BC=AC,

則SjcMSABp+SBCp+SACpngAHPO+gBC-PF+gAC-PEngBClPD+H+PE)，

sHAOBLC=SnDrABP+DSLrBCP+nSv^rACP=-BC-AMPD+PE+PF=AM.

②如圖3,連結AP,BP,CP。:VABC是等邊三角形，.,.AB=BC=C4,

則SABC-S+sACP-SBCp——AB-PD+；AC-PE」BC-PF=；BC-(PD+PE-PF)，

7

SABC=SABp+SBCP-SACP=^BC-AM；：.PD+PE-PF=AM.

模型運用

例1.（2024?河北?二模）如圖，尸為邊長為2的等邊三角形A2C內任意一點，連接E4、PB、PC,過尸點

分別作8C、AC、48邊的垂線，垂足分別為。、E、F,則PD+PE+PF等于（）

BD

A.當B.石C.2D.273

【答案】B

【分析】求出等邊三角形的高，再根據AABC的面積等于APAB、APBC,APAC三個三角形面積的和，列

式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高.

【詳解】解：；正三角形的邊長為2,...高為2xsin6（T=6，，SAABC=；X2X后=百，

VPD,PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高，...SAPBC=』BC>PD,SAPAC=-AC-PE,SAPAB=-AB-PF,

222

,/AB=BC=AC,SAPBC+SAPAC+SAPAB=-BC?PD+-AC?PE+-AB?PF=-x2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF,

2222

；SAABC=SAPBC+SAPAC+SAPAB,PD+PE+PF=^/3.故選B.

【點睛】本題利用等邊三角形三邊相等的性質和三角形的面積等于被分成的三個三角形的面積的和求解.

例2.（2024八年級.廣東?培優）如圖，點尸為等邊,ABC外一點，設點尸到三邊的距離PD=\,PE=h1,PF=^,

且%-色+4=6,貝UABC的面積等于（）

A.4月B.66C.126D.24石

【答案】C

【分析】本題考查等邊三角形的性質，連接出、PB、PC,過8作8GLAC于點G,根據面積相等得出

3AC,BG+58c?飽=/AB.4+$AC,/4,求出BG=%―也+%=6,得出AC=2AG=2x^^x6=,即

可求出面積.

【詳解】解：如圖，連接E4、PB、PC,過2作3GLAC于點G,

ABCPBC=SJABPAC>

S+S+S—AC-BG+—BC-1^=—AB-\+-AC-h3,

AB=AC=BC,BG=h}—h2+h}=6,AC=2AG=2x^^x6=，

3

??.SMC=：X4島6=12瓦故選：C

例3.（23-24八年級上?浙江寧波?期中）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，且B4=4,PB=2布,PC=2,

以下3個結論：①N3PC=120。；②AB=2幣;③S4ABp=46；④若點P到VABC三邊的距離分別為PE,

PF,PG,則有尸石+尸尸+尸3=立42,其中正確的有（）

2

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】將△APC繞點A順時針旋轉60。，得到連接HP,由全等三角形的性質可得AH=AP=4,

BH=PC=2,ZAHB^ZAPC,可證△AHP是等邊三角形，由勾股定理的逆定理可求ZHB尸=90。，取HP中

點。，連接BQ,根據直角三角形斜邊中線性質可求2Q=g?P=PQ=HQ=2=HB,進判斷△5H。為等邊

三角形，/HPB=30。,可得NAHB=120。=NAPC,ZBPC=150°,可判斷①，由勾股定理可求A3的長，

可判斷②，由三角形的面積公式可求“WP的面積，可判斷③，由三角形的面積公式可求PE+PF+PG的

值，即可判斷④.

【詳解】解：如圖，將△"(?繞點A順時針旋轉60。，得到一A/JB,連接打，

；APC^AHB,44尸=60°,/.AH=AP=4,BH=PC=2,ZAHB=ZAPC,

AA/TP是等邊三角形，AHP=4,ZAHP=ZAPH=60°,

；HP?=16,BH2+BP2=16,HP2=BH2+BP2-ZHBP=90°,

取HP中點。，連接8。，3。=:m>=尸。=功2=2=/?,是等邊三角形，

AZBHQ=ZBQH=60°,VQP=QB,:.NQBP=NQPB,

又NBQH=ZQBP+NQPB：.ZBPH=30°,ZAPB=ZHPB+ZAPH=90°,

ZAHB=ZAHP+NBHP=120°=ZAPC,：.ZBPC=360°-ZAPB-ZAPC=150°,故①錯誤；

VZAPS=90°,AB=y/AP2+BP2=2^>故②正確;

:.5ABp=；BP-AP=；X4X26=46,故③正確，如圖，

r.-xAB-(PG+PF+PE}=—AB2,：.PG+PF+PE=—AB,故④正確，故選：B.

2''42

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，勾股定理的逆定理，旋轉的性質，全等三角形

的性質，三角形的面積公式，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

例4.(23-24八年級上?云南昆明?期末)如圖(1),已知在VABC中，AB=AC,且/3=60。,過A作APLBC

于點尸，點M是直線BC上一動點，設點M到VABC兩邊48、AC的距離分別為n,VABC的高為瓦

(1)當點M運動到什么位置時，m=n,并說明理由.

(2)如圖(2),試判斷機、〃、力之間的關系，并證明你的結論.

m2+n2h2mn

(3)如圖(3),當點M運動到BC的延長線上時，求證:+-----

202220221011

【答案】（1）證明見解析（2）〃2+〃=/7,證明見解析（3）證明見解析

【分析】（1）當點P與點M重合時，過點M作于點。，MELAC于點E,由等邊三角形的性質

=

得出BM=CM,則S^ABM=S.ACM，根據二角形面積公式可得出結論；（2）連接AM，根據ABCSABP+SAPC

可得出結論；（3）連接根據SAMC+SABC=SAB”可得出〃+〃=加，進行變形后可得出結論.

【詳解】（1）解：當點尸與點M重合時，機=〃，

理由：過點M作MDLAB于點。，腔_147于點￡,如圖，則=ME=n,

'：AB=AGM/B=60。,...VABC是等邊三角形,

：AP_L3C即AM_L8C,BM=CM,：.S^ABM=S^ACM,

：.-ABMD^-ACME,:.MD=ME,：.m=n.

22

s

(2)M：m+n=h.理由如下：如圖②，連接AM,貝UABC=SABM+SAMC>

：.-ABMD+-MEAC=-BCAP,即?m+^AC/=工2。/，

222222

又：VABC是等邊三角形，ABC=AB=AC,：.m+n=h；

(3)解：如圖，連接AM,則SAMC+SABC=SABM，

J.-ACME+-BC-AP=-AB-MD,即-ACn+-BCh^-ABm,

222222

又；VABC是等邊三角形，AAC=BC=AB,：.n+h=m,

22兩邊同時除以得，生二止_空2

(m—n)2=h2,/n+n-2/m=/r,20222h

202220222022

222222

.m+nmnh日口m+nhmn

202210112022202220221011

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質，三角形的面積，完全平方公式的應用,

運用等積法建立關系式是解題的關鍵.

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：如圖，等腰VABC（AB=AC）中，點P在8C上運動，過點尸作PH±AC,CE1AB,

結論：①如圖1,若動點尸在邊BC上時，則尸￡+尸。=。凡

②如圖2,若動點P在BC延長線上時，則|尸尸尸E|=C。。

BPCE

圖1圖2

模型證明

證明：①如圖1,連結AP；：VABC是等邊三角形，.??A8=AC,

則++S；.PE+PD=CF。

AoCAtirAl^r2221A6RCC=2-ABCF

①如圖2,連結AP；是等邊三角形，...AAAC,

則S=S,解_5VS=-ABCD^:.PF-PE=CD。

ADCABTA(^r222\ABC2

模型運用

例1.（23-24八年級上?廣西百色?期末）如圖，已知AA8C是等腰三角形，A8=AC,點。是8c上任意一點,

OE±AB,OF±AC,等腰三角形的腰長為4,面積為4名，貝|。￡+。/的值為（）

【答案】B

【分析】連接A。,根據三角形的面積公式即可得到lB?0E+；AC,0F=12,根據等腰三角形的性質進而

求得OE+OF的值.

【詳解】連接AO,如圖，

AB=AC=4,SAABC=SAABO+SOC=-AB-OE+-AC?OF=12,

AA22

?；AB=AC,A|AB(OE+OF)=45.*.OE+OF=2^.故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的面積，熟記等腰三角形的性質是解題的關鍵.

例2.（23-24九年級下?四川成都?階段練習）如圖，將矩形ABCD沿折疊，使點。落在點8處，P為折

痕印上的任意一點，過點P作尸GL3E,垂足分別為G,H,若AZ）=16,CF=6,則尸G+PH=.

【分析】本題考查的是矩形與折疊問題，掌握矩形的性質、折疊的性質、勾股定理和等角對等邊是解決此

題的關鍵.連接過點E作E。，3c于。，根據SBE「+SBQ=SBEF可得出PG+PH=EQ,根據折疊的

性質可得CF=CN=6,BC'=CD,ZC=ZC=90°,利用勾股定理求出3C',繼而求出EQ,然后即可求

出結論.

【詳解】解：如圖，過點E作于。，連接3尸，

:四邊形ABCD是矩形，AAD//BC,：.ZDEF=ZBFE,

由折疊可得，ZDEF=ZBEF,：.ZBFE=ZBEF,：.BE=BF,

:PGLBE、PHIBC,：.SBEF=SBEP+SBFP=^BE-PG+^BF-PH=^BF（PG+PH）,

vSBEF=^BFEQ,；.PG+PH=EQ，；四邊形是長方形，：.AD=3C,ZC=ZADC=90°.

'：AD=16,CF=6,：.BF=BC-CF=AD-CF=10.

由折疊易知，CF=C'F=6,BC=CD,ZC（=ZC=90°,

?*.BC=-JBF2-C'F2=8'1?C'B=CD=EQ=S.：.PG+PH=EQ=8.故答案為：8.

例3.（23-24八年級下.江西吉安?階段練習）數學課上，老師畫出一等腰VABC并標注：AB=AC=10,

4=30。，然后讓同學們提出有效問題并解決請你結合同學們提出的問題給予解答.

圖1圖2圖3

(1)甲同學提出：NB=NC=度；(2)乙同學提出：VABC的面積為：；

(3)丙同學提出：點。為邊BC的中點，DEJ.AB,DFJ.AC,垂足為￡、請求出DE+DF的值；

(4)丁同學說受丙同學啟發，點。為邊BC上任一點，DEJ.AB,DF1AC,CHLAB,垂足為E、F、H,

則有小+。/=。”.請你為丁同學說明理由.

【答案】(1)75。(2)25(3)5(4)見解析

【分析】(1)根據等腰三角形的性質求出結果即可；(2)過點8作AC,交AC于點H,根據30。角所

對的直角邊等于斜邊的一半求出8〃=：A8=5,根據三角形面積公式求出5ABe=gAC8H=gxl0x5=25

ABDACD

即可；(3)先證明。￡=。尸，根據S，S,=gAC-O尸得出5^=5^+5ACD=5(DE+DF),

即5(DE+Db)=25,即可求出結果；(4)連接AD,根據三角形的面積公式得出S的。,

ACDAMC

sACD=^ACDF,根據以他0+S4=S，得出:+,

即AB-(OE+OE)=AB?CH,即可求出結果.

【詳解】(1)解：AB=AC=W,ZA=30°,/.ZB=ZC=1(180°-ZA)=75°；

(2)解：過點8作BH_LAC,交AC于點”，則：ZBHA=9Q°,

AAA

AB=AC=10,ZA=30°,BH=—AB=5,/.=—AC-BH=—x10x5=25；

222

⑶解：連接AD,如圖所示：AB=AC,點。為邊5C的中點，「.AD平分NBA。,

'.'DELAB,DF1AC,:.DE=DF（角平分線的性質）；

VAB=AC=10,/.SArxBljLDJ=—AB-DE,SAziC.DU=—AC-DF,

s4ABe=S^D+S^ACD=^ABDE+^ACDF=^AC（DE+DF）=5（DE+DF）

由（2）知SABC=25,.?.5（￡>E+D戶）=25,.?.JDE+DE=5；

（4）證明：連接A￡>,如圖所示：

V

DE.LAB,DF1AC,CHAB,SABD=-AB-DE,SACD=-AC-DF,SABC=-ABCH,

SABD+SACD=S.c,AB=AC,—AB■DE+—AC-DF=—AB-CH,

即：AB\DE+DF）=ABCH,..DE+DF=CH.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形面積的計算，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練

掌握等腰三角形的性質，準確計算.

例4.（23-24山西八年級上期中）（1）如圖（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,點尸是底邊8C上

的一點，PDYAB,垂足為點O,PEYAC,垂足為點E.求證：PD+PE為定長.

（2）如圖（2）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,點尸是底邊3C的延長線上的一點，PD±AB,垂

足為點。，PELAC,垂足為點E.求證：PD—PE為定長.（3）如圖（3）,已知：點P為等邊三角形A3C

內任意一點，過P分別作三邊的垂線，分別交三邊與。、E、F.求證：PD+PE+PF為定長.

【答案】證明見解析

【分析】(1)首先過點C作CP1AB,垂足為點尸；連接AP,根據S=BC=SMBP+S”CP列出等式，

-ABCF=-ABPD+-ACPE,然后根據AB=AC,即可得證；

222

(2)首先過點C作垂足為點尸；連接AP,根據SMBC=SOBP-SOCP，得出

-ABCF=~ABPD-ACPE,然后根據鉆=AC,即可得證；

(3)根據S△枷=%^+%.+$4岫>，得出關系式=+然后

根據ABC為等邊三角形，得出AB=3C=C4,即可得證.

【詳解】(1)過點C作CV1AB,垂足為點F；連接AP.

；s△的c=S-BP+SAACP>：.-ABCF=~ABPD+-ACPE.

又：AB=AC,.?.尸D+PE=B,為定長.即等腰三角形底邊上的任意一點，到兩腰的距離之和等于定長.

(2)過點C作b工AB,垂足為點尸；連接AP.

^AABC=S&ABP—SAACP>??-''CF=—'AB-PD--■AC-PE.

XVAB=AC,：.