專題2-1含參不等式的十大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1含參一元二次不等式已解集問題.............................................5

題型2含參分式不等式已知解集問題................................................6

題型3含參絕對(duì)值不等式已知解集問題.............................................7

題型4一元二次方程根的分布......................................................8

題型5含參不等式取值范圍問題....................................................9

題型6整數(shù)解問題...............................................................10

題型7恒成立問題...............................................................10

題型8有解問題.................................................................11

題型9與充分，必要條件結(jié)合的問題...............................................12

題型10高次不等式..............................................................13

Q知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一.一元二次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不

定義

等式

a/+bx+o0,a"+bx+c<0,a)^+bx+c>0+bx+c<0，其中a/0,

一般形式

a.b,c均為常數(shù)

知識(shí)點(diǎn)二.一元二次函數(shù)的零點(diǎn)

一般地，對(duì)于二次函數(shù)片aa+bx+c,我們把使a兄+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y

=a/+bx+c的零點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)三.二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系

判別式/>0/=0/<0

二次函數(shù)y=8解+1LP

即\12/"2XV

bx+4a>0）的圖象X

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

一元二次方程8解十有兩個(gè)不相等的實(shí)

b沒有實(shí)數(shù)根

bx+c=0（3>0）的本艮數(shù)根Xl,X2（X1<X2）根Ai二至二-

2a

+bx+o0(a>0)Ta

,或心及｝R

的解集

a/+bx+c<0(a>0)

及｝00

的解集

知識(shí)點(diǎn)四.一元二次不等式的解法

(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或

ax2+bx+c<0(a>0).

(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根.

(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

方程的根一函數(shù)草圖-觀察得解，對(duì)于a<0的情況可以化為a>0的情況解決

注：對(duì)于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)的情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，按

照一次不等式來解決，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況一般將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。

注：對(duì)于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進(jìn)行分類討

論，同時(shí)注意判別式韋達(dá)定理的應(yīng)用。

注：三個(gè)"二次"之間的關(guān)系

(1).三個(gè)"二次"間的關(guān)系

判別式△=b2-4ac△>0△=0△<0

二次函數(shù)y=ax2+bx

+c(a>0)的圖象A

有兩相等實(shí)根X1=X

一元二次方程ax2+有兩相異實(shí)根Xi,2

沒有實(shí)數(shù)根

b

的根()

bx+c=0(a>0)X2X1<X2=-2a

ax2+bx+c>0(a>

伙僅>X2

R

或X<Xi}

0)的解集14:

ax2+bx+c<0(a>

{X[X1<X<X2}00

0)的解集

(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)

的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：

|.vO)(a-O)的解集端點(diǎn)|

|方程底+樂+。=03*0)的根H函數(shù)yn2+bx+HaWO)的零點(diǎn)|

特別提醒：由于忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和不等號(hào)的開口易寫錯(cuò)不等式的解集形式.

知識(shí)點(diǎn)五.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

知識(shí)點(diǎn)六.分式不等式的解法

解分式不等式的實(shí)質(zhì)是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式。設(shè)A、B均為含x的多項(xiàng)式

(1)>0>2B>0.(2)|<0Q<0.

⑶公。。方M明w。。窗制

【注意】當(dāng)分式右側(cè)不為0時(shí)，可過移項(xiàng)、通分合并的手段將右側(cè)變?yōu)?;當(dāng)分母符號(hào)確定

時(shí)，可利用不等式的形式直接去分母。

知識(shí)點(diǎn)七.絕對(duì)值不等式

1.絕對(duì)值不等式的解法

(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集

不等式a>0a=0a<0

岡<a(-a,a)00

岡“(-8,-a)U(a,+oo)(-8,0)U(0,+8)R

(2)|ax+b|<c(c>0)^|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法

①|(zhì)ax+b|<c<^>-c<ax+b<c;

@|ax+b|2c=ax+b"或ax+bw-c.

(3)|x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|<c(c>0)型不等式的解法

①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

②利用"零點(diǎn)分段法"求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

2.含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)

(1)如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|<|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab20時(shí),等號(hào)成立；

(2)|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|;

⑶如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么|a-c|<|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)>0時(shí)，等號(hào)

成立.

注意：

1.絕對(duì)值不等式的三種常用解法：零點(diǎn)分段法，數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)造函數(shù)法.

2.不等式恒成立問題、存在性問題都可以轉(zhuǎn)化為最值問題解決.

3.可以利用絕對(duì)值三角不等式定理|a|-|b141a土b|4|a|+|b|求函數(shù)最值，要注意其中等號(hào)成

立的條件.

但題型分類

題型1含參一元二次不等式已解集問題

【例題1】（多選）（2022秋?江蘇常州?高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于%的

不等式。<ax2+bx+c<l（a>0,b,ceR）的解集為[一1,2],則4a+5b+c的值可以是（）

A.-iB.-iC.-D.1

242

【變式1-1]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知一元二次不等式a/+bx+c>

0（a,b,ceR）的解集為{"一1<久<3},貝必一c+美勺最大值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【變式1-1]2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若不等式/—（a+i）x+a§。的解集是一娟]

的子集，則a的范圍是（）

A.[-4,3]B.[-4,2]

C.[-1,3]D.[-2,2]

【變式1-1]3.（2022秋?上海普陀?高一曹楊二中校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式/—

2ax-8a2<。的解集為（/，上），若孫-=12,則實(shí)數(shù)a的值是（）

A.-2B.2C.±1D.一2或2

【變式1-U4.（2022秋?海南?高一校考期中）已知不等式a/+bx+c<。的解集為

{x\x<-3或無>4],求不等式b/+2ax-c-3b<0的解集.

【變式1-1】5.（2022秋?四川瀘州?高一瀘縣五中?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式

ax2+4x—3>0的解集為{久Il<x<b}.

（1）求a力的值；

（2）解關(guān)于x的不等式注<0.

X—D

【變式1-1]6.（2021?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式。＜x2+ax+b＜6-x的解

集為[2,3]U{6},求實(shí)數(shù)a、b的值.

【變式1-1]7.（2020秋?安徽合肥?高一合肥一中校考階段練習(xí)）關(guān)于%的不等式*++

c＜。的解集為（1,4）,則關(guān)于x的不等式c/+版+。＞o解集為.

【變式1-1]8.（2021?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式＞%+6的解集為（6,9）,則

a+b的值為.

題型2含參分式不等式已知解集問題

【例題2】2020秋?浙江寧波?高一寧波市北侖中學(xué)?？计谥信f知關(guān)于%的不等式1＞0

的解集為（-2,0）,則a的值為（）

A.m=—1B.m=-2C.m=2D.m=—4

【變式2-1]1.（2020秋?寧夏銀川?高二銀川唐彳來回民中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于%的不

等式蜉＜。的解集是（-1,》，則a的值為（）

A.2B.-2C.-D.—工

22

【變式2-1】2.（多選）（2023秋?江蘇常州?高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考期末）已知關(guān)于

x的不等式竺"＞。的解集為（-8,—2]u（1,+8）,則（）

x~c

A.c=1

B.點(diǎn)（a,6）在第二象限

C.2a+袍勺最小值為2

D.關(guān)于x的不等式a/+ax-b2。的解集為（一8,一2]U[1,+co）

【變式2-1]3.（2021秋?上海寶山?高一上海交大附中?？奸_學(xué)考試）若集合4=

[x＞0}=（-00,-1）U（4,+oo）,則實(shí)數(shù)a=.

【變式2-1]4.（2021?上海?高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式三＜1的解集為{x|x＜l

或x>3},則a的值是一.

【變式2-1]5.(2023秋?寧夏吳忠?高三鹽池高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))(1)已知關(guān)于久的不

等式胃<-1的解集是[2,3),求a的值；

(2)若正數(shù)a,b滿足a+2b=1,求2a+(+46+g的最小值.

題型3含參絕對(duì)值不等式已知解集問題

【例題3](2020春?浙江金華?高一?？茧A段練習(xí))若不等式|尤-2|<1的解集恰為不等式

ax2+bx+3<0的解集，貝！|a-b=()

A.3B.-3C.5D.-5

【變式3-1】1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知關(guān)于x的不等式m-|%|>。的解集是[-1,1],

則實(shí)數(shù)m的取值集合為()

A.{1}B.(1,+8)C.[1,+oo)D.(0,1)

【變式3-1]2.(2021秋?上海嘉定?高三校考期中)已知關(guān)于x的不等式柔<。的解集為

M,不等式|2x-1|<1的解集為N.

(1)若M=(-8,-2)U(-1,+8),求實(shí)數(shù)a的值和解集N.

(2)若"xeN"是"X6M"的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式3-1]3.(2022秋?遼寧?高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí))已知不等式|2x-3|<x

與不等式—mx+n<。的解集相同.若a,b,cG(0,1),且ab+be+ac=m—n,則a+

b+c的最小值為

【變式3-1]4..(2023春?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)已知不等式|x-3|<4的解集為

{x\a<x<b},則不等式(x-2)(x2-ax-b+1)<。的解集為___.

【變式3-1]5.(2020春?江西上饒?高二統(tǒng)考期末)若關(guān)于久的不等式|ax-2|<3的解集

為｛%|—5V2<%<何，貝!]a=

題型4一元二次方程根的分布

【例題4】(2022秋?河南鄭州?高一?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于x的方程32+2+1=0有兩個(gè)不

同實(shí)根巧盟，若⑶-冷區(qū)4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【變式4-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知方程2(k+l)x2+4日+3k-2=。有兩

個(gè)負(fù)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.(-2,-1)U(|/1)B.2,-1)

0?(〉1)口.卜2,—1)U(|,1]

【變式4-1]2.(2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試)已知關(guān)于久的

方程3產(chǎn)—2(3k+l)x+31—1=o,根據(jù)下列條件,分別求出k的值.

Q)有一根為0；

(2)有兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)根；

(3)兩根互為倒數(shù).

【變式4-1]3.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知二次函數(shù)y=x2-2tx+t2-l(tGR).

(1)若該二次函數(shù)有兩個(gè)互為相反數(shù)的零點(diǎn)，解不等式/—2S+/—120；

(2)若關(guān)于x的方程/-2墳+/—1=0的兩個(gè)實(shí)根均大于-2且小于4,求實(shí)數(shù)t的取值范

圍.

【變式4-1】4.(2022秋?全國?高一專題練習(xí)圮知關(guān)于久的方程/—(2爪+l)x+爪+7=。

有兩個(gè)不等的實(shí)根久1,%2?

(1)兩根一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1,求參數(shù)小的取值范圍；

求參數(shù)的取值范圍.

(2)1<<3,x2>4,zn

【變式4-1]5.(2020秋?四川遂寧?高一統(tǒng)考期中)已知二次函數(shù)f0)=ax2+x+l(a>0).

(1)求函數(shù)久)在區(qū)間[-4,-2]的最大值M(a)；

(2)若關(guān)于x的方程"")=。有兩個(gè)實(shí)根叼、叼，且遼6[-i-,10],求實(shí)數(shù)a的最大值.

%2LIUJ

【變式4-1]6.(2020?高一課時(shí)練習(xí))已知拋物線y=(m-l)x2+(m-2)x-l(x6R).

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

(2)若關(guān)于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)根的倒數(shù)平方和不大于2,

求m的取值范圍.

題型5含參不等式取值范圍問題

【例題5](2023秋?福建寧德?高三福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知全集U=R,

非空集合

(1)當(dāng)a=0寸,求(QB)nA；

(2)命題p:xGA,命題q:久eB,若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式5-1]1.(2022秋河南信陽?高一信陽高中校考階段練習(xí))已知全集U=R,非空集

合力==舍<0}

⑴當(dāng)a=次寸，求(CuBCA)；

⑵命題p:久64,命題q:,若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式5-1]2.(2022秋廣東佛山?高一校聯(lián)考期中)關(guān)于x的不等式/—3-12a2<o的

任意兩個(gè)解的差不超過14,貝必的最大值與最小值的差是.

【變式5-1】3..(2023?全國?高三專題練習(xí))——

口2—1)<0},若Ac8=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；

【變式5-1]4.(2023?全國?高一專題練習(xí))若不等式/—①+1次+aw。的解集是[—4,3]

的子集，則a的范圍是()

A.[-4,3]B.[-4,2]

C.[-1,3]D.[-2,2]

題型6整數(shù)解問題

【例題6】（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式（2久-I）2<a/的解集中的整數(shù)恰

有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【變式6-1]1.（2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）關(guān)于x的不等

式爪/+（2一m）x-2>。恰有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

【變式6-1]2.（2022秋?高一?？紗卧獪y試）已知關(guān)于x的不等式3/+（10-2a）x-6a+

3<0的解集中恰有5個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的范圍是:

【變式6-1]3.（2022秋?湖北武漢?高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式（依-fc2-1）（%-

1）<0有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.{fc|3-V5<fc<1或4<fc<3+V5}B.{fc|0<fc<1}

C.{/c|2-V3</c<1或4</c<4+V3]D.[kI<k<等且k豐1}

【變式6-1】4.（2023-江蘇?高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組

L27的整數(shù)解的集合為{—2},則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

I乙IzS/vID）XIO/v<U

【變式6-1]5.（2022秋?陜西西安?高一長安一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)關(guān)于x的不等式a7+

8（a+l）x+7a+1620,（aeZ）,只有有限個(gè)整數(shù)解，且0是其中一個(gè)解，則全部不等式

的非負(fù)整數(shù)解的和為.

【變式6-1]6.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中?？奸_學(xué)考試）關(guān)于久的不等式

（2x+I）2<a/的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

題型7恒成立問題

【例題7]（2022秋?浙江臺(tái)州?高一校聯(lián)考期中）若不等式2k/+2依-3<。對(duì)一切實(shí)數(shù)x

都成立，則k的范圍是（）

A.(0,6)B.(-6,0)C.(-6,0]D.[0,6)

【變式7-1]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若不等式mx2-2mx+l>。的解集為R,則

實(shí)數(shù)小的范圍為（）

A.0<m<1B.m<0或HT>1

C.m<。或m>1D.0<m<1

【變式7-1]2.（2022秋?北京豐臺(tái)?高一北京市第十二中學(xué)校考期中）若〃-2<x<m"

是〃/—%—6<0〃的一個(gè)必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的范圍是（）

A.m>3B.m>3C.-2<m<3D.—2<m<3

【變式7-1]3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）對(duì)VxeR,（a2-4）x2+（a+2）x-l<。恒成

立，則實(shí)數(shù)a的范圍為

【變式7-1J4.（2023?全國模擬預(yù)測）已知a>0力>0卷+：=1寫出滿足加<a+2b"

恒成立的正實(shí)數(shù)血的一個(gè)范圍是C用區(qū)間表示）.

題型8有解問題

【例題81（2022秋?江蘇南通?高一江蘇省南通中學(xué)校考階段練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足

+|=|且存在這樣的x,y使不等式生+^</c2+2k有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.（—2,4）B.（—4,2）

C.（―8,—4）U（2,+8）D.（―8,—3）U（0,+8）

【變式8-1]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式%2-6%+ll-a<。在區(qū)

間（2,5）內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（—2,+oo）B.（3,4-00）c.（6,+oo）D.（2,+8）

【變式8-1】2.（多選）（2023秋?高一單元測試）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足]+；=1,且不

等式x+J<m2-3爪有解，則實(shí)數(shù)小的值可以是（）

A.-2B.-1

C.3D.5

【變式8-1]3.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)f(%)=/+(3—a)x+2+2a+6,

a,bER.

(1)若關(guān)于x的不等式/O)>。的解集為<-4或x〉2},求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)若關(guān)于久的不等式/(X)Wb在xe[1,3]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若關(guān)于光的不等式/'(>)<12+b的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式8-1]4.(2023?全國?高一專題練習(xí))已知不等式/+px>4x+p-4.

(1)若不等式在2<%<4時(shí)有解,求實(shí)數(shù)p的取值范圍；

(2)若不等式在0<p<6時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【變式8-1]5.(2021秋?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)y=2x2+bx+c,若不等式y(tǒng)<0的解集

是{x[l<x<5},則y=；若對(duì)于任意1<x<3,不等式y(tǒng)<2+t有解，則實(shí)數(shù)珀勺

取值范圍為.

題型9與充分，必要條件結(jié)合的問題

【例題9](2023秋?福建廈門?高三廈門市松柏中學(xué)?？茧A段練習(xí))若x>2m2—3是-1<

x<3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的范圍是()

A.[-1,1]B.[-V3,V3]

C.(-CO,-1]u[1,+8)D.(—CO,—V3]U[V3,+8)

【變式9-1]1.(2023春?江蘇無錫?高二江蘇省江陰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))不等式

2kx2+kx~l<。對(duì)一切實(shí)數(shù)X恒成立的k的取值集合為A集合B-ix\x2-mx-3<0}