圓的相關性質及計算證明（34題）

一、單選題

1.（2024?江蘇無錫?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側面積為（）

A.6兀B.12兀C.15%D.24兀

【答案】B

【分析】本題考查了圓錐的側面積展開圖公式，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積的計算公式：圓錐的側面

積萬x底面半徑x母線長.

【詳解】解：S刑j=萬〃=萬x3x4=12%，

故選：B.

2.（2024?甘肅?中考真題）如圖，點/,B,C在。。上，ACLOB,垂足為。，若乙4=35。，則/C的度

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】A

【分析】根據乙4=35°得到ZO=70°,根據AC1OB得到ZCDO=90°,根據直角三角形的兩個銳角互余,

計算即可.

本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質是解題的關鍵.

【詳解】???//=35。，

.-.ZO=70°,

■.■AC1OB,

20）0=90。，

ZC=90°-ZO=20°.

故選A.

3.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在0。中，弦的長為8,圓心。到45的距離OE=4,則。。的

半徑長為（）

C.5D.5亞

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據垂徑定理得到NE,再根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：,?,在。。中，弦42的長為8,圓心。到42的距離OE=4,

OEVAB,AE=-AB=A,

2

在RtZX/OE中，OA=sjOE2+AE1=742+42=472，

故選：B.

4.（2024?山東泰安?中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓。'的一個直徑端點與半圓。的

圓心重合，若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

4/-42/-

A.一兀73B.-71C.一兀一73

333

【答案】A

【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面

積公式是關鍵.

如圖：連接。4,A0',作48，。。于點2,得三角形是等邊三角形，求出

AB=43,S弓形/O，=S扇形No。一SJOO,=與一6,再根據S陰影=S弓初+S扇形a。，即可解答.

【詳解】解：如圖：連接。4,AO,作于點8,

???OA=OO'=AO'=2,

2

???三角形400'是等邊三角形,

ZAOOf=60°,OB=-OOf=l

2f

???AB=V22-l2=V3

2

60^x22X>/3x—

=V3,

,,S弓形4。S扇形40。—SAAOO,

36023

2%2TT4?

S陰影二S弓形40,+S扇形40。二H-----二—

333

故選：A.

5.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，在扇形ZQ8中，4408=80。，半徑04=3,。是々上一點，連

接0C,。是。。上一點，且。。=。。，連接即.若則就的長為（）

D.兀

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質；連接3C,根據0D=DC,

BD10C,易證△08C是等腰三角形，再根據08=0C,推出△08C是等邊三角形，得到4BOC=60。,

即可求出乙4。。=20。，再根據弧長公式計算即可.

【詳解】解：連接3C,

0D=DC,BD10C,

OB=BC,

/XOBC是等腰三角形,

OB=OC,

：.OB=OC=BC,

△08C是等邊三角形,

NBOC=60°,

???NA0B=8。。,

ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

???04=3,

.7一20~x3兀兀

??71C/---------=—,

1803

故選：B.

6.(2024?山東濟寧?中考真題)如圖，邊長為2的正六邊形48cAM內接于。。，則它的內切圓半徑為

()

A.1B.2C.V2D.73

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質，勾股定理；

連接04,。尸，作0GL4尸于G,證明A/O尸是等邊三角形，可得尸G=；/斤=1,然后利用勾股定理求

出0G即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,OF,作。G_L/尸于G,

???OF=0A,ZAOF=36Q°x-=60°,

6

??.△AO廠是等邊三角形，

：.OF=OA=AF=2,

-OG1AF,

：.FG=-AF=\,

4

OG=y2~—l2=A/3，

即它的內切圓半徑為有，

故選：D.

7.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，。。的周長為8萬，正六邊形48cM戶內接于。O.貝心。48的面積

為（）

A.4B.4GC.6D.6也

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質，解直角三角形是正確解答的關鍵.

根據正六邊形的性質以及解直角三角形進行計算即可.

【詳解】解：設半徑為「，由題意得，24=8%，

解得r=4,

■:六邊形ABCDEF是OO的內接正六邊形，

360°

ZAOB=^-=60°,

6

OA=OB,

是正三角形，

OAB=60°,

弦AB所對應的弦心距為04sin600=—OA=2y/3,

2

=gx4x26=45

故選：B.

8.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，4B是。O的直徑，C,。是0。上兩點，8/平分/C3D,若N/。。=50。,

則NN的度數為（）

cB

D

A.65°B.55°C.50°D.75°

【答案】A

【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內角和定理，先根據角平分線的定義得到根據

圓周角定理得到=再根據圓周角定理得到//C8=90。，/ABC=NABD=；/AOD=25。,

然后利用三角形的內角和定理求解即可.

【詳解】解：???BA平分ZCBD,

."ABC=ZABD,

???48是。。的直徑，ZAOD=50°,

ZACB=90°,/ABD=；/AOD=25。,則NN2C=25。，

ZA=180°-ZC-ZABC=180°-90°-25°=65°,

故選：A.

9.（2024?重慶?中考真題）如圖，是。。的弦，交。。于點C,點。是。。上一點，連接2D,

CD.若NO=28。，則/048的度數為（）

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質等知識，利用圓周角定理求出NCO5,根據等腰三角

形的三線合一性質求出,等邊對等角然后結合三角形內角和定理求解即可.

【詳解】解:?.?/￡>=28。,

ABOC=2ND=56°,

OC1AB,OA=OB,

.-.ZAOB=2ZBOC=n2°,NOAB=NOBA,

6

NOAB=1(180°-zL4<95)=34°

故選：B.

10.（2024?內蒙古通遼?中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，。為48的中點，C為拱門最高

點，線段CQ經過拱門所在圓的圓心，若/8=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本題考查的是垂徑定理的實際應用。勾股定理的應用，如圖，連接先證明CD148,

=50=0.5,再進一步的利用勾股定理計算即可；

【詳解】解：如圖，連接CM,

為48的中點，。為拱門最高點，線段CQ經過拱門所在圓的圓心，AB=lm,

:.CDLAB,AD=BD=0.5,

設拱門所在圓的半徑為廠，

OA=OC=r,而CD=2.5m,

OD=2.5-r,

1?,r2=0.52+（2.5-r）2,

解得：r=1.3,

???拱門所在圓的半徑為L3m；

故選B

11.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，A48c內接于OO,3C為。。的直徑，4D平分/R4c交于

A.V2B.V3C.2V2D.2A/3

【答案】A

【分析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數，圓周角定理，圖形的旋轉等知識點，合理作輔

助線為解題的關鍵.

作輔助線如圖，先證明=//CD+448。=180。，從而可以得到旋轉后的圖形，再證明力/是

等腰直角三角形，利用三角函數即可求得結果.

【詳解】解:如圖，連接8。、CD,

???BC是。。的直徑，

ABAC=NBDC=90°,

???40平分/R4C,

ZBAD=NCAD,

■■BD=DC>

；.BD=CD,

在四邊形/HOC中，ABAC=ZBDC=90°,

.-.ZACD+ZABD=180°,

???△/DC繞。點逆時針旋轉90。，則48,4三點共線，如圖所示

,??由旋轉可知ZA'DB=ZADC,A'D=AD

ZA'DA=ZA'DB+ABDA=/ADC+ABDA=ZBDC=90°,

8

??.在等腰直角三角形4"中，sinaT=sin45。=四亞

AAf2

AAfAB+AC

ADAD

故選：A

二、多選題

12.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，0。是“3C的外接圓，AO//BC,連接C。并延長交。。于點

D.分別以點4c為圓心，以大于的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點直線交3c于

點、E,連接/E,下列結論一定正確的是（）

C.ZAOD=ABACD.四邊形/OCE為菱形

【答案】ABD

【分析】本題主要考查圓的性質、圓周角定理、平行線的性質以及菱形的判定，熟練掌握性質定理是解題

的關鍵.根據全等三角形的判定定理證明NOC4=N/CE,證明OC=CE=O/即可證明四邊形NOCE為菱

形，再根據圓周角定理進行判定即可.

【詳解】解：令/GOE交于點尸，

由題意得：。￡是/C的垂直平分線，

EA=EC

:AO=OC

:./\AOE^/\COE

ZAOE=ZCOE

\-OF=OF,AO=AO

.△AOF知COF

...ZOAF=ZOCF

???AO//BC,

NOAF=NACE

/OCA=NACE

2S=2D＞選項A正確；

ZOCF=NECF,ZOFC=NEFC=90°,CF=CF

:MEFC'OFC

OC=CE=OA

■：AO//EC

故四邊形/OCE為菱形，選項D正確；

:前=筋，

AB=AD

■：四邊形AOCE為菱形，AE=OC=OD

，四邊形ZE。。為平行四邊形，

AD=OE

AB=OE,選項B正確；

ZAOD=ZOAE,故選項C錯誤；

故選ABD.

三、填空題

13.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，48是。。的直徑，C。是。。的弦，連接/D、BD.若

/BCD=20°,則a4AD=°.

【答案】70

【分析】本題考查圓周角定理，根據同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角,結合三角形的內

角和定理，進行求解即可.

【詳解】解：:/B是0。的直徑，BD=BD，/BCD=20。,

NADB=90°,NN=NBCD=20°,

10

.?.//3D=90°-20°=70°；

故答案為：70.

14.（2024?內蒙古通遼?中考真題）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關系，小方同學利用扇形紙片恰好圍成

一個底面半徑為5cm,母線長為12cm的圓雉的側面，那么這個扇形紙片的面積是cn?（結果用含兀

的式子表示）.

【答案】60%

【分析】本題考查了圓錐側面積的計算，圓錐的底面圓的周長等于側面展開扇形的弧長，再利用扇形的面

積公式計算即可.

【詳解】解：?.?底面半徑為5cm,

二圓錐底面圓的周長為2萬x5=107r（cm）,

即扇形紙片的弧長為10%cm,

?.?母線長為12cm,

圓錐的側面積gxl2xl0萬=60）（cm?）.

故答案為：60萬

15.（2024?湖南長沙?中考真題）半徑為4,圓心角為90。的扇形的面積為（結果保留兀）.

【答案】4兀

【分析】本題考查扇形的面積公式，根據扇形的面積公式S=%匚（"為圓心角的度數，/為半徑）求解即

360

可.

【詳解】解：由題意，半徑為4,圓心角為90。的扇形的面積為止始=4兀，

360

故答案為：4無.

16.（2024?甘肅蘭州?中考真題）“輪動發石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰國時期被廣泛應用,

圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中（W,ON的半徑分別是1cm和

10cm,當。河順時針轉動3周時，ON上的點尸隨之旋轉"。，則〃=.

p

M

N

圖1圖2

【答案】108

【分析】本題主要考查了求弧長.先求出點P移動的距離，再根據弧長公式計算，即可求解.

【詳解】解：根據題意得：點尸移動的距離為3x2乃xl=61cm,

n°x7rxl0,

---------------二6萬,

180

解得：n=108.

故答案為：108

17.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，“3C是。。的內接三角形，ZC=40°,連接04OB,則

【分析】本題考查主要考查圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，先根據圓周角定理計算

出乙4O8=2/C=80。，再根據等邊對等角得出=員4,最后利用三角形內角和定理即可求出

ZOAB.

【詳解】解：：NC=40。,

ZAOB=2ZC=80°,

???OA=OB,

ZOAB=NOBA,

ZOAB+NOBA+ZAOB=180°,

ZOAB=；(180。-NN08)=gx(180。-80。)=50°,

故答案為：50.

18.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，是圓的直徑，Nl、N2、/3、N4的頂點均在42上方的圓

12

弧上，Nl、N4的一邊分別經過點/、B,貝!]/1+/2+/3+/4=

【分析】本題考查圓周角定理，根據半圓的度數為180。，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即

可.

【詳解】:/B是圓的直徑，

.?.48所對的弧是半圓，所對圓心角的度數為180。，

??■ZKN2、N3、N4所對的弧的和為半圓，

.-.Zl+Z2+Z3+Z4=-xl80°=90°,

2

故答案為：90.

19.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，在矩形/3CD中，48=4,40=2.以點A為圓心，4D長為半

徑作弧交48于點￡,再以N8為直徑作半圓，與靛交于點尸，則圖中陰影部分的面積為.

【分析】本題考查了切線的性質，等邊三角形的性質和判定，扇形的面積，解題的關鍵是學會利用分割法

求陰影部分的面積.

設弓形/mF,連接4月，FE,由題意知/石二/斤二房二？，即△/FE為等邊三角形，

AFAE=AFEA=60°,即可得出陰影部分面積為%=s半圓一s扇形。莊—S弓形4機尸,代入數值即可求出結果.

【詳解】解：???以點A為圓心，4D長為半徑作弧交AB于點￡,48=4,AD=2,

*'-AE=AD=BE=2,

.??以42為直徑作半圓時，圓心為點E,

設弓形/mF,連接4月，FE,^AE=AF=FE=2,如圖：

AAFE為等邊三角形,

NFAE=ZFEA=60°,

故陰影部分面積為“=S半圓一S扇形OFE—S弓形4機尸，

八、、皿c1cc60Kx22(60Kx22VJ一、仄2

代入數值可得S陰=]x2x2兀————x2=y/3+—7i,

故答案為百十§兀.

20.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出:

作等邊三角形/BC；分別以點A,B,。為圓心，以45的長為半徑作前，就，AB.三段弧所圍成的

圖形就是一個曲邊三角形.若該“萊洛三角形”的周長為3兀，則它的面積是,

2

【分析】本題考查了弧長的計算，扇形面積的計算，三角函數的應用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果

周長為3兀，則其中的一段弧長就是兀，所以根據弧長公式可得/5=ZC=3C=3,即正三角形的邊長為

3.那么曲邊三角形的面積=三角形的面積十三個弓形的面積，從而可得答案.

【詳解】解：:曲邊三角形的周長為3兀，為等邊三角形，

???AB=BC=AC,AB=BC=AC,ZABC=60°,

60K-AB3兀

-------=—=兀,

180----3

/.AB=BC=AC=3,

,^-ABBC-sinZABC=7,

HAUsrL24

__60TTX32_3^9G

..D弓形_D扇形CZB-、"BC2，

日士一行皿鉆的加.973(3719Gl971-973

「?曲邊二角形的面積為：——+3x—------—=——-——.

4242

7

14

9萬+9如

故答案為:

2

21.（2024?重慶?中考真題）如圖，48是。。的直徑，8C是。。的切線，點5為切點.連接NC交0。于

點。，點E是。。上一點，連接BE,DE,過點A作4F〃8E交AD的延長線于點F.若BC=5,

CD=3,NF=NADE,則的長度是；。尸的長度是.

……20“28,

【答案】—/6-

【分析】由直徑所對的圓周角是直角得到/">3=/瓦3=90。，根據勾股定理求出2。=4,則

CD3

cosC=——=-,由切線的性質得到/A8C=90。，則可證明/C=448D,解直角三角形即可求出

BC5

DTJ20

AB=——-—=—；連接ZE,由平行線的性質得到N24F=N4BE,再由/尸=乙4。￡,

cosZABD3

on208

ZADE=ZABE,推出N尸=/胡尸，得到=一，貝I」。尸=-8。=——4=-.

333

【詳解】解：是0。的直徑,

ZADB=ZBDC=90°,

在RMBDC中，由勾股定理得8￡)=，國產一。2=4,

cCD3

**?cosC——,

BC5

???8C是。。的切線，

???/ABC=90°,

??.ZC+ZCBD=ZCBD+ZABD=90°,

/C=/ABD,

,BD420

在中，cosZABD33；

5

如圖所示，連接4E,

FC

,?AF〃BE，

???ZBAF=ZABE，

???ZF=ZADE,ZADE=AABE,

???ZF=/BAF，

onQ

故答案為：—;—.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，解

直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明=尸是解題的關鍵.

22.（2024?山東?中考真題）如圖,“BC是。。的內接三角形，若。/〃C3,//C3=25°,則ZCAB=.

【答案】40。/40度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識，利用圓周角定理求出

2）。8的度數，利用等邊對等角、三角形內角和定理求出N048的度數，利用平行線的性質求出/CMC

的度數，即可求解.

【詳解】解:連接

16

???NACB=25。,

??.AAOB=2NACB=50°,

,/OA=OB,

AOAB=AOBA=1(180°-ZAOB)=65°,

???OA//CB,

ZOAC=ZACB=25°,

"CAB=ZOAB-AOAC=40°,

故答案為：40°.

23.(2024?山東泰安?中考真題)如圖，48是。。的直徑，4H是0。的切線，點。為。。上任意一點，

點。為灰的中點，連接2。交NC于點E,延長3。與2H相交于點尸，若。尸=1,tan2=g,則NE的長

【答案】V5

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質、切線的性質、圓周角定理等知識，熟練掌握相關知識是

解題關鍵.

先證NDN尸=N/AD可得“14尸SA/%/從而得到空=5|=tan8=!,求得40=2,再運用勾股定理可

ADBD2

得”=布,再根據圓周角定理以及角的和差可得N4￡D=N4TO,最后根據等角對等邊即可解答.

【詳解】解：???45是。。的直徑，

???/ADB=90。,

???/〃是。。的切線，

ZBAF=90°f

ZDAF=ZABD=90°-/DAB,

???ADAFs^DBA，

DF型=ta"

~ADBD2

?：DF=\,

***AD=2,

AF=也,

,點。為左的中點，

；?石=五,

ZABD=ADAC=ZDAF,

???ZADE=NADF=90°,

,-,90°-NDAE=90°-ZDAF,即ZAED=ZAFD,

AE=AF=y[5■

故答案為：V5.

24.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，四邊形/BCD是。。的內接四邊形，若四邊形。N2C為菱形，則//DC

的度數是.

【答案】60°

【分析】根據菱形的性質得到乙42C,根據圓周角定理得到〃LDC=；4OC,根據圓內接四邊形

的性質得到乙4DC+乙48c=180。，計算即可.

【詳解】解：???四邊形。N2C為菱形，

；.UOC=UBC,

由圓周角定理得：^ADC=^^AOC,

,?,四邊形ABCD為OO的內接四邊形，

.■■/-ADC+/-ABC^1SO0,

：.AADC+2^ADC=1SQ°,解得：AADC=60°,

故答案為：60°.

【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理、菱形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是

解題的關鍵.

18

25.（2024?重慶?中考真題）如圖，以N8為直徑的0。與/C相切于點A,以/C為邊作平行四邊形

ACDE,點。、￡均在。。上，DE與4B交于點F,連接CE,與。。交于點G,連接。G.若

AB=10,DE=8,則/尸=______DG=.

【答案】8竺叵/型年

1313

【分析】連接。。并延長，交。。于點〃，連接而，設CE、4B交于點M,根據四邊形/CDE為平行四

邊形，得出生〃ZC,/C=DE=8,證明月3LOE,根據垂徑定理得出。尸=跖=1。￡=4,根據勾股

2

）---------EFFM

定理得出。尸=:。。2_。尸2=3,求出/尸=。4+。9=5+3=8；證明AER0sAe得出——=——,

ACAM

求出可w=|,根據勾股定理得出EM=JEF?+FM2=12+1|J證明A瓦7MSAHGD,得出

【詳解】解：連接。。并延長，交。。于點8,連接曲，設CE、交于點M,如圖所示:

???以AB為直徑的OO與AC相切于點/,

：.AB1AC,

：.ZCAB=90°,

,??四邊形/CQE為平行四邊形，

:.CE〃AC、AC=DE=8,

；./BFD=/CAB=9。。,

???ABLDE,

：.DF=EF=LDE=4,

2

???AB=\Q,

：.DO=BO=AO=-AB=5,

2

-0F=yj0D2-DF2=3^

??.AF=OA+OF=5+3=8；

?:CE"AC,

???八EFMs^CAM，

EF_FM

~AC~^M

.4FM

"8-AF-FM

即丁FM

8—FM

Q

解得：FM=—,

3

■■EM=ylEF2+FM2=FI#

???OH為直徑，

；./DGH=90。,

/DGH=/EFM,

,-DG=DG,

:?/DEG=/DHG,

AEFMS^HGD,

FMEM

DGDH

84后

即J_=H，

DG10

解得：DG=3巫.

13

故答案為：8；型姮.

13

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，勾股定理，三角形相

似的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法.

四、解答題

20

26.(2024?四川南充?中考真題)如圖，在。。中，AB是直徑，NE是弦，點尸是標上一點，AF=BE,

廠交于點C,點。為時延長線上一點，且NC4O=/C1.

⑵若BE=4,AD=2下,求。。的半徑長.

【答案】(1)見解析

(2)275

【分析】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵：

(1)圓周角定理推出=mZCAD=ZCDA,結合三角形的內角和定理，推出

ZBAE+ZCAD=90°,即/84D=90。,即可得證；

(2)連接4F,易得AF=BE=4,直徑得到//3=90。,在RM4D尸中，勾股定理求出。尸的長，三角函

數求出N8的長即可.

【詳解】(1)證明：?.?//=2E

AF=BE,

ZABF=ZBAE.

ZCAD=ZCDA,ZADC+NABF+ZBAE+ACAD=180°,

ZBAE+ZCAD=90°.

即/5/。=90。，

/.ADLAB.

又???CM為半徑，

二力。是。。的切線.

(2)解：連接，尸.

???BE=4

???AF=BE=4.

???45是直徑,

:.ZAFB=90°,

:./AFD=90°.

在RM4D/中，DF=yjAD2-AF2=2-

「ABAF

?：tanD=-----=-----,

ADDF

AB_A

,',2V5=25

AB=4卮

又N8是直徑

二。。的半徑長為2VL

27.(2024?遼寧?中考真題)如圖，。。是的外接圓，48是。。的直徑，點。在前上，AC^BD，

E在A4的延長線上，ACEA=ACAD.

(1)如圖1,求證：CE是0。的切線；

(2)如圖2,若NCEA=2NDAB,OA=8,求麗的長.

【答案】(1)見詳解

(2)2萬

【分析】（1）連接CO,則/1=/2,故/3=/1+/2=2/2,由就=筋，得到N4=N2,而

N4CB=90°,則/C/D+2/2=90°,由NC￡/=Na。，得/CE/+2/2=90°,因此/C￡/+/3=90°,

故NECO=90。，則CE是。。的切線；

22

90°

(2)連接C。,。。，可得23=2/2=2/4=/舊，貝|/3=/g=可=45。，故/4=22.5。，由

45x77xR

BD=BD，得4>03=2/4=45。，那么防長為、。八=2萬.

lo(J

【詳解】(1)證明：連接co,

vOC=OB,

???/1=/2,

.?./3=/1+/2=2/2,

AC=BD，

???N4=N2,

45為直徑，

：.ZACB=90°,

.-.ZC4D+24+22=90°,即+2/2=90。,

???ACEA=/CAD,

???/CE4+2/2=90。，

.*.ZCEz4+23=90°,

???/ECO=90°,

???OCLCE,

???C￡是。。的切線；

(2)解：連接C。,。。，

由(1)得/3=2/2=2/4,

???ACEA=2/DAB,

???/CEA=/3,

???NECO=90。,

90°

,-.Z3=ZCEA=——=45。

2

.??/4=22.5°,

BD=BD，

??.ZDOB=2/4=45。，

...防長為：竺q=2萬.

180

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，直角三角形的性質，三角形的外角性質，弧長公式等，正

確添加輔助線是解決本題的關鍵.

28.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，48是。。的直徑，A/CD內接于。。，CD=DB，AB,CD的延

長線相交于點E,且。回=功.

⑴求證：Z\CADs/\CEA；

⑵求//DC的度數.

【答案】(1)見詳解

(2)45°

【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質，圓內接四邊形的性質，等邊對等角等

知識，掌握這些性質是解題的關鍵.

(1)由等弧所對的圓周角相等可得出=再由等邊對等角得出=等量代換可得

出NCAD=NE,又/C=/C,即可得出AC40s△c￡4.

(2)連接8D,由直徑所對的圓周角等于90。得出=90。，設NC4D=ND4B=a,即/C/E=2a,

由相似三角形的性質可得出ZADC==2a,再根據圓內接四邊形的性質可得出2a+2a+90。=180°,

即可得出a的值，進一步即可得出答案.

【詳解】⑴證明：-：CD=DB

:"CAD=/DAB,

24

-■DE=AD,

■■■NDAB=NE,

"CAD=ZE,

又"

二△CADSMEA,

(2)連接8。，如下圖：

,??48為直徑，

：.ZADB=9Q°,

設NC4D=/DAB=a,

■■NCAE=2a,

由(1)知：^CAD^ACEA

；./ADC=ACAE=la,

?.,四邊形42OC是圓的內接四邊形,

；.NC4B+NCDB=180。,

即2?+2?+90°=180°,

解得：a=22.5°

/ADC=ZCAE=2x22.5°=45°

29.（2024?山東濰坊?中考真題）【問題提出】

在綠化公園時，需要安裝一定數量的自動噴灑裝置，定時噴水養護，某公司準備在一塊邊長為18m的正方

形草坪（如圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設計合適

的安裝方案.

說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為r（m）的圓面.噴灑覆蓋率Q=8,s為待噴灑區域面積，k

S

為待噴灑區域中的實際噴灑面積.

圖1

【數學建模】

這個問題可以轉化為用圓面覆蓋正方形面積的數學問題.

【探索發現】

(1)如圖2,在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為9m的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率。=

9

(2)如圖3,在該草坪內設計安裝4個噴灑半徑均為:m的自動噴灑裝置；如圖4,設計安裝9個噴灑半

2

9

徑均為3m的自動噴灑裝置；……，以此類推，如圖5,設計安裝二個噴灑半徑均為-m的自動噴灑裝

n

置.與(1)中的方案相比，采用這種增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判

斷并給出理由.

(3)如圖6所示，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率

0=1.已知/E=AF=CG=Z>77,設4E=x(m),的面積為了(0?),求了關于x的函數表達式，并求

當了取得最小值時『的值.

26

(4)該公司現有噴灑半徑為3亞m的自動噴灑裝置若干個，至少安裝幾個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴

灑覆蓋率夕=1?(直接寫出結果即可)

【答案】(1)0.785；(2)不能，理由見解析；(3)y=g(x-9y+塔；當>取得最小值時廠=%旦；(4)

222

9

【分析】(1)根據定義，分別計算圓的面積與正方形的面積，即可求解；

(2)根據(1)的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；

(3)根據勾股定理求得X，，?的關系，進而根據圓的面積公式得出函數關系式，根據二次函數的性質，即可

求解；

(4)根據(3)的結論可得當圓為正方形的外接圓時，面積最小，則求得半徑為3亞m的圓的內接正方形

的邊長為6,進而將草坪分為9個正方形，即可求解.

【詳解】(1)當噴灑半徑為9m時，噴灑的圓面積s=%/=?x92=8brm2.

正方形草坪的面積S=/=18?=324m?.

故噴灑覆蓋率P6=誓=白0.785.

s3244

(2)對于任意的〃，噴灑面積左,="2萬(2)2=8反而草坪面積始終為324m2.

n

因此，無論“取何值，噴灑覆蓋率始終為0.785.

這說明增加裝置個數同時減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用.

(3)如圖所示，連接所，

1,其中s為草坪面積，上為噴灑面積.

s

OQ,QO2,O<?3,。。4都經過正方形的中心點o,

在Rt八AEF中，EF=2r,AE=x,

???AE=BF=CG=DH

/.AF=18—x,

在RS4E產中，AE2+AF2=EF2

A4r2=x2+(18-x)2

2%2+fl8—x)

???y=7ir=-------------------兀

4

???當x=9時，y取得最小值,此時4-2=92+92

解得：/=逑

2

(4)由(3)可得，當的面積最小時，此時圓為邊長為9m的正方形的外接圓，

則當r=3萬m時，圓的內接正方形的邊長為巫x2x3后=6m

2

1Q

而草坪的邊長為18m,—=3,即將草坪分為9個正方形，將半徑為3亞m的自動噴灑裝置放置于9個正方

6

形的中心，此時所用裝置個數最少，

二至少安裝9個這樣的噴灑裝置可使該草坪的噴灑覆蓋率夕=1

【點睛】本題考查了正方形與圓綜合問題，二次函數的應用；本題要求我們先理解和計算噴灑覆蓋率，然

后通過調整噴灑裝置的數量和噴灑半徑來分析噴灑覆蓋率的變化，最后在一個特定的條件下找出噴灑面積

和噴灑半徑之間的函數關系.解決此類問題的關鍵在于將實際問題轉化為數學問題，即如何將噴灑覆蓋率

28

的計算問題轉化為面積計算和函數求解問題.同時，在解決具體問題時，需要靈活運用已知的數學知識,

如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數解析式求解等.最后，還需要注意將數學計算結果還原為實

際問題的解決方案.

30.（2024?內蒙古通遼?中考真題）如圖，/3。中，/4CB=90°,點。為/C邊上一點，以點。為圓心,

0c為半徑作圓與相切于點。，連接CD.

⑴求證：AABC=2.ZACD；

（2）若ZC=8,BC=6,求。。的半徑.

【答案】（1）證明見解析

⑵3

【分析】（1）連接根據題意可得/。以=90。，根據余角的性質可得=根據圓周角定

理可得4=等量代換即可得證；

（2）在RtZUBC中，勾股定理求得45=10,證明RtAODBgRMOC/HL）,設。。的半徑為心貝U

OD=OC=r,CM=8f,在Rt“OD中，r2+42=（8-r）\解方程即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。，

???48為切線，

ODLAB,

.\ZODA=90°,

?.ZA+ZAOD=90°f

-ZACB=90°f

.-.ZABC+ZA=90°

??.ZAOD=/ABC,

-ZAOD=2ZACD,

NABC=2ZACD.

(2)解：在RtZk48C中，AB=~JBC2+AC2=A/62+82=10-

???AOCB=90°=NODB,

在RtZ\OD8和Rt^OCH中，OD=oc,OBOB,

：.RtziOOB也RtAOCB（HL）,

???BD=BC=6,

AD=AB—BD=4,

設OO的半徑為八則。。=OC=r,04=8-r,

在RM/OD中，r2+42=（8-r）\

解得r=3,

...O。半徑的長為3

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，掌握以上知

識是解題的關鍵.

31.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，AA8C是。。的內接三角形，N8是0。的直徑，過點3作。。的

切線與4c的延長線交于點。，點E在。。上，AC=CE,CE交AB于點、F.

⑴求證：NCAE=ND；

（2）過點C作CG_L48于點G,若。/=3,BD=3日求尸G的長.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由直徑所對的圓周角是直角得到/BCD=90。，則/D+