專題22平面向量

【考點預測】

一、向量的基本概念

1、向量概念

既有大小又有方向的量叫向量，一般用4,b,C來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，

如AB（其中A為起點，B為終點）.

注：談到向量必須說明其方向與大小.

向量的大小，有就是向量的長度（或稱模），記作W或加、減、數乘.

2、零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量

零向量：長度為零的向量，記為0,其方向是不確定的.

單位向量：模為1個單位長度的向量.當|。|力0時，向量是與向量a共線（平行）的單位向量.

11同

相等向量：長度相等且方向相同的向量.相等向量經過平移后總可以重合，記為。=人

平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因為任何平行向量經過平移后，總可以移到

同一條直線上.

規定零向量與任何向量。平行（共線），即0//a.

注：①數學中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共線，可以重合，而幾何

中平行不可以重合；③”//6,bile,不一定有a//C,因為6可能為0.

二、向量的線性運算

1、向量的加法

求兩個向量和的運算叫做向量的加法，已知向量。，b,在平面內任取一點A,作=BC=b,

則向量AC叫做向量d與6的和（或和向量），^a+b=AB+BC=AC.

向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則,如圖所示，向量AC=a+6.

2、向量的減法

（1）相反向量.

與。長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a.

(2)向量的減法.

向量。與6的相反向量的和叫做向量。與b的差或差向量，即&-匕=°+(-6).

向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形法則.如圖所示，OA=a,035則向量54=4-8.

B

3、向量的數乘

(1)實數入與向量。的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：Aa,它的長度和方向規定

如下：

①國=1用4

②當Z>0時，急?的方向與。的方向相同；當入<0時，2。的方向與。的方向相反；當；1=0時，2a=0

方向不確定；。=0時，2。=0方向不確定.

(2)向量數乘運算的運算律.

設a、b為任意向量，2、〃為任意實數，貝！JX(〃a)=(%〃)</；(2+〃)a=2。+〃a；A(a+b)=Aa+Ab.

三、平面向量基本定理和性質

1、共線向量基本定理

如果a=X0(2eR),則a//6；反之，如果a//6且6彳0,則一定存在唯一的實數九，使a=奶.

2、平面向量基本定理

如果q和e2是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量a,都存在唯一的一對

實數兒小，使得。=4《+%與，我們把不共線向量q,e；叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為

{q,6}.入6+44叫做向量d關于基底{q?}的分解式.

3、三點共線定理

平面內三點A,B,C共線的充要條件是：存在實數2,〃，使0c=2OA+〃OB,其中彳+〃=1,。為平

面內一點.

四、平面向量的坐標表示及坐標運算

(1)平面向量的坐標表示.

在平面直角坐標中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對于平面內的一個向量a,有且只有一對實數使a=xi+力，我們把有序實數對()

叫做向量。的坐標，記作d=(x,y).

(2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有

向量(x,y).——向量。4.一理?點A(x,y).

(3)設4=(占,%),6=(%,%),則<2+6=(%+尤2，%+%)，。-6=(%-%，%-%)，即兩個向量的和

與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

若a=(x,y),人為實數，則2a=(尢v,Xy),即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相

應坐標.

(4)設A(&%),B(x2,y2),則AB=O3-OA=(X[-%，乂-%)，即一個向量的坐標等于該向量的

有向線段的終點的坐標減去始點坐標.

五、向量的平行

設a=(再,％),b=(x2,y2).allb的充要條件是為%-9%=。?除了坐標表示芯％-%凹=。外，下面兩種

表達也經常使用：當6x0時，可表示為。=26；

當玉%時，可表示為±=2，即對應坐標成比例.

%%

六、平面向量的數量積

(1)已知兩個非零向量〃和b,作\s\up6(()OA?=〃，\s\up6(()OB?=b,/405=仇0<8<?)叫作向量a

與人的夾角.記作并規定<a,b>$[0,句.如果〃與匕的夾角是T，就稱〃與/?垂直，記為a_Lb.

(2)同Wcos〈a,力叫作〃與人的數量積，記作a-b,即1必=|可"k05〈〃力〉.

規定：零向量與任一向量的數量積為0.兩個非零向量a與b垂直的充要條件是a-b=0.

兩個非零向量a與b平行的充要條件是a-b=±同忖.

七、平面向量數量積的幾何意義

數量積等于a的長度|〃|與Z?在〃方向上的射影|Z?|cos9的乘積.即。?b=|a||b|cos0.(Z?在〃方

向上的射影|/?|cos在》方向上的射影I41cos。=4電).

HW

八、平面向量數量積滿足的運算律

(1)a-b=b-a(交換律)；

(2)(Aa)?b=/lab=a-(Ab)(A為實數)；

(3)(a+b)-c-a-c+b-c(分配律)。

數量積運算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結合律(〃?份不可約分a/=a-cnb=c.

九、平面向量數量積有關性質的坐標表示

設向量a=(七,%)力=(%,%)=〃,〃=%%2+由此得到

(1)若a=(x,y)M=!〃『=?+'2或|々|二J4+,2；

（2）設4區,％）,8（尤2，%），則43兩點間距離IAB|="芻一花）2+（%—%）2

【典型例題】

例1.（2024?廣東深圳?模擬預測）已知點4（2,6）,B（-2,-3）,C（0,l）,則與向量A2+2C。同

方向的單位向量為（）

’3回710710

10107o-

2小_#43

555

【答案】A

【解析】由題意48=（-4,-9）,CD=1,5）所以AB+2CD=（3,1）,

AB+2CD1“八（3M癡）

從而與向量AB+2C。同方向的單位向量為夏—7點=飛1。1）=.

故選：A.

例2.（2024?高三?江蘇揚州?階段練習）下列命題中，正確的是（）

A.若W=W，則a=6B.若W>W，貝0>b

C.若a=b,則a//bD.若a//b///c,則al/c

【答案】C

【解析】對于A：若|,=W，則“2只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；

對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；

對于C：若a=b,貝la/方向相同，C正確；

對于D：若a〃b,bl%,如果%為零向量，則不能推出a,c平行，D錯誤.

故選：C.

例3.（2024廣西南寧?一模）己知ABC的外接圓圓心為O,5.2AO=AB+AC,\O^\=\AC\,則向量cZ在向

量CB上的投影向量為（）

A.-CBB.昱CBC.--CBD.-CA

【答案】A

【解析】由2AO=AB+AC，可得(A3-AO)+(AC—AO)=O8+OC=0,

所以02=-0C，即點O為線段3c的中點,

又因為,AfiC的外接圓圓心為O,所以aAfiC為直角三角形，所以但=3BC|

因為|OA|=|AC|,可得|。4卜,4=口4,所以4OC為等邊三角形，

...1,CD1

故點A作AD1BC,可得|cq=|AC|cosZACB=MAC|,所以商=］，

因為向量CA在向量C2同向，所以向量CA在向量CB上的投影向量為;C8.

故選；A.

例4.（2024?高一?四川資陽?期中）已知公。是兩個不共線的向量，且

AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,則（）

A.人民。三點共線B.AB,C三點共線

C.反CO三點共線D.三點共線

【答案】A

【解析】BC+CD=-2a+Sb+3a-3b=a+5b，故AB=8￡＞，則AB//￡D，

又因為兩向量有公共點8,

故A,3,D三點共線.

故選：A.

例5.（2024?四川?模擬預測）如圖，平行四邊形ABCD中，DE=EC,BF=2FC,設AB=a,AO=6,則

B.—a——b

2

C.—a——bD.—a——b

2332

【答案】B

【解析】EF=AF-AE=^AB+^BC^~yAD+^DC^

(2,W,1y11,

=Ia+—3b)-Ib+—2a)=—2a——3b.

故選:B.

例6.（2024?江西贛州?一模）在平行四邊形ABCD中，AB=3,AD=4,AB-AD=-6,DC=3DM,則

MA-MB=()

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】因為AB=3,A￡>=4,AB-AD=-6,OC=3DM,

)=(-AD-g+1

所以=（DA-DM^CB-CMDC^-^-ADDC^

21-2-2212-2

=AD——ADDC——DC=AD——ADAB——AB=16+2—2=16.

3939

故選：A

例7.(2024.全國.模擬預測)在等腰梯形ABC。中，AB//CD,CD=2AB,點E是線段3c上靠近C的三等

分點，則￡>￡1=()

7271

A.-AB+-DAB.-AB+-DA

3333

52

C.-AB+-DAD.-AB+-DA

3333

..,.r?UULULW

如圖等腰梯形ABCD中，取。。中點方，連接即，則尸2=D4，CP=R4,

于是，DE=DC+CE^2AB+-CB

3

=2AB+-(CF+FB}=2AB+-(BA+DA\=-AB+-DA.

3、)3、'33

故選:D.

例8.(2024?高三.全國?專題練習)如圖，在平行四邊形ABCZ)中，AB=4FC^BE=2EC，AE=aAB+bAF,

貝|〃一人=.

【答案】

6

222，3112

【解析】由題意可得，AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AD=AB+-\AF+-BA\=-AB+-AF,

33314J23

121

所以〃=不/?=彳，所以〃一0=—.

236

故答案為：

O

例9.(2024?高三?全國?專題練習)己知點A(2,3),8(1,4),且釬=_2尸8,則點P的坐標是

【答案】(。,5)

【解析】如圖，連接小,。4,2尸，

設。為坐標原點，建立平面直角坐標系，OP=OA+AP=OA-7.PB=OA-2,(OB-OP),

整理得OP=2OB-OA=(2,8)-(2,3)=(0,5).

故答案為：(0,5)

例10.(2024?河南?模擬預測)在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=2,BDLOC,點M為線段C。的中

點，則MAMB^.

【答案吟

【解析】BDLDC,以。為原點，OC為x軸，D3為V軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,

AD=2AB=2,則3D=JAE），-AB?="^T=君,

有B（0,V3）,A（-1,V3）,MAJ-!，石｝=

315

MAMB=-+3=—.

44

故答案為：—

4

例11.（2024?高三?湖南長沙?階段練習）在.ABC中，AC=5,BC=12,ZC=90°,P為ABC所在平面

內的動點，且尸C=2,則P4P8的取值范圍是.

【答案】[-22,30]

【解析】以C為坐標原點，分別以CB、CA所在直線為x、y軸建立平面直角坐標系，

設尸(2cos9,2sin。)，。目0,2兀)，貝ijR4=(-2cos&5-2sine),PB=(12-2cos6>,-2sin6?)

PA-PB=(12—2cos6)(—2cos0)+(—2sin6)(5—2sin8)

=-24cos0+4cos20-lOsin0+4sin20=4-26sin(6+。),

甘上12

具中tan(p--,

由sin(8+夕)e[-1,1],所以PA.PS的取值范圍是[-22,30].

故答案為：[-22,30].

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）在.ASC中，NA+NC=0,BM=2MC,貝！I（）

A.NM=--AB--ACB.NM=-AB--AC

3636

C.NM=--AB+-ACD.NM=-AB+-AC

3636

【答案】D

【解析】在ABC中，因為N4+NC=0，所以N為AC的中點，

又因為BM=2MC，所以/為線段8C的靠近C的三等分點，

所以MW=CM_CN」C3」CA=UA3_AC）+LAC」AB+LAC.

故選：D.

2.（2024.內蒙古包頭.二模）若非零向量0、b滿足|a|=g|=|a+6|,則向量。與向量a+6的夾角為（）

A.150B.120C.60D.30

【答案】C

【解析】如圖：若|4|=/|=|。+6|,則.ABC為等邊三角形

則向量4與向量a+。的夾角為60.

故選：C.

3.（2024.高三.全國?專題練習）如圖所示，在正方形A3CZ）中，E為A8的中點，P為CE的中點，則

13

B.-AB+-AD

4244

31

C.-AB+ADD.-AB+-AD

244

【答案】A

【解析】AF=AE+EF=-AB+-EC=-AB+^EB+BC^=-AB+-[-AB+AD\=-AB+-AD.

22222212J4"2

故選：A

4.（2024?高三?江蘇揚州?階段練習）設6,s是兩個不共線的向量，若向量m=-9+3（AcR）與向量

〃=左,一4e2（左￡R）共線，貝U（）

A.k=0B.左=±2

C.k=2D.k=-2

【答案】B

【解析】因為,，4是兩個不共線的向量，由加二-6+44，n-kex-4^2共線,

'k=2pt=—2

—1=kA,

則存在實數XER，使得加=力/,則解得，,1或＜,1則左=±2.

k=—4A

I212

故選：B.

5.（2024.浙江.模擬預測）已知向量入,62是平面上兩個不共線的單位向量，且

AB=ei+2e2,BC=-3ei+2e2,ZM=3ei-6e?,貝！J（）

A.A、B、C三點共線B.A3、。三點共線

C.Aa。三點共線D.B、C,。三點共線

【答案】c

【解析】對于A,因為AB=G+24，BC=—3q+24，若A、B、C三點共線,

fl=—3彳

設A3=ZBC，貝兒無解，所以A、B、C三點不共線，故A錯誤；

對于B,若A、B、。三點共線，

設AB=〃D4,貝，無解，所以A、B、。三點不共線，故B錯誤；

[2=一6〃

2

對于C,因為AC*=A,B+BC=（4+2七）+（―3&+2d2）——2,+44——AD,

因為ACAD有公共點A,所以4。、。三點共線，故C正確.

對*于D,因DB=DA.+AB=（3,—64）+（,+2^2）=46—46，

BC=-3e^2e29設DB=kBC，

[4=—3k

則）C7,無解，所以&C、。三點不共線，故D錯誤；

一4二2左

故選：C.

6.（2024?高一?廣東云浮?階段練習）如圖，已知AM是的邊3c上的中線，若AB=a,AC=b，則

AM等于（）

c

B.--(a-bC.—(ci+bD.--(a+b

2、2、2、

【答案】C

【解析】因為AM是一ABC的邊3c上的中線,

所以CM=^CB,所以AM=AC+CM=AC+LCB

22

=AC+；（AB—AC）=；（AB+AC）=g（a+6）.

故選：C

7.（2024?陜西咸陽?二模）已知在邊長為1的菱形ABCD中，角A為60°,若點E為線段。的中點，則AE.班=

()

A.—B.-C.--D.-

244

【答案】C

【解析】AE-EB=(AD+^AB\(^AB-AD\=^\AB[-\AD^=^-I=-^.

故選：C.

8.（2024.浙江金華.模擬預測）在邊長為1的正方形A3CD中，E為線段8C的中點，廠為線段8上的一

點，若。尸=2C/，則AE.RF=（）

A.—B.—C.—D.—

3456

【答案】D

【解析】如圖，AE=AB+BE=AB+-AD,BF=BC+CF=--AB+AD,

23

所以尸=148+；4可.（一；48+4可=一；48。+|48.^￡）+；4￡>2,

11

-+-

326

9.（2024?陜西安康?模擬預測）在jABC中，以是A5的中點，AN=3NC,CM與5N相交于點尸，則AP=

（）

3113

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1331

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

【答案】B

【解析】設=+由以是AB的中點，得AB=2AM，

4

由AN=3NC，得AC=]AN,

--4

所以AP=2/1AM+//AC,^AP=^AB+-JLLAN,

由CM與5N相交于點尸可知，點尸在線段CM上，也在線段3N上，

「f1

2A+//=1A=—

由三點共線的條件可得[士，解得；，所以A13

P=-AB+-AC.

55

故選：B

A

5C

10.（2024?山西運城.一模）已知,A5c所在平面內一點尸,滿足24+尸3+尸。=0，則AP=（）

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2233

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2332

【答案】B

【解析】因為尸A+PB+PC=O，BP-AP+AB-AP+AC-AP=6>即3Ap=AB+AC，

解得AP=gA3+gAC,

故選：B.

11.（2024.廣東佛山.模擬預測）在一ABC中，AB=a,AC=b,若AC=2EC,BC=2DC,線段AD與班交

于點尸，貝Ue/二（）

12]

A.-a+—bB.

3333

一12,

C.—aT—bD.--a--b

3333

【答案】B

【解析】如下圖所示：

由AC=2EC,3c=23C可得2E分別為BCAC的中點，

num21MH

由中線性質可得A尸=：AD,

XAD=1（AB+AC）=1（a+&）,所以A尸=：xg（a+Z?）=；（a+b）,

11Q

因止匕CT=CA+Af=-8+3（a+8）=§a-§6.

故選：B

12.（2024.高三.山東德州?開學考試）在A3C中，點力在直線A8上，且滿足2AZ）=32￡＞，則CB=

（）

A.-CA+-CDB.--CA+-CD

3333

C.-CA--CDD.-CA+-CD

3333

【答案】A

【解析】因為2Ao=38。，

所以CB=a+AB=CA+§Ar>=C4+](Cr>-G4)=]CA+§C。

c

故選：A.

13.（2024?高三?江蘇常州?期末）已知扇形A08的半徑為5,以。為原點建立如圖所示的平面直角坐標系,

則OC=（）

C.(4,2)D.（2后國

【答案】B

【解析】令=則NAO3=2a,

c32tan<7…，口1

tan2a=—=--------,角星得tana=-,

41-tan?3

即----=—,又sin2a+cos2a=1,

cosa3

又解得sina=—coscr=—

I2)10

C產f’5喟,即“嚶陰

所以心|嚶叫

故選：B.

,一―1(\?,uuuUUUI

14.（2024?北京延慶?一模）已知正方形A3CD的邊長為2,點P滿足AP=](AC+AO),則APAC=

()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【解析】建立坐標系如圖，正方形ABCD的邊長為2,

則4（0,0）,C（2,2）,￡＞（0,2）,可得AC=（2,2）,AD=（0,2）,

點P滿足AP=g（AC+A。）=（1,2）,所以APAC=lx2+2x2=6.

故選：C.

15.（2024?全國?模擬預測）已知平面向量。=（2,1）,人=（-1,孫且（a+b）。，則4=（）

A.—1B.—C.—D.1

22

【答案】B

【解析】因為a=（2』）,b=（-M）,所以a+「=（l,X+l）.

因為（a+b）a,所以1=24+2,解彳導2=-g.

故選：B.

16.（2024?高三?全國?專題練習）已知向量￡=（1,-1）,b=（2,k）,alb，c=a-tb.若(a,c)=k，c),貝ijr

的值為（）

A.—2B.2C.—D.—

32

【答案】D

【解析】因為。b=（2,k）,aLb，

所以2—左=0,解得左=2,

所以》二（2,2）.

因為c=a—g，所以c=（1—2，,—1—2。.

（a,c）=G，c）,卜卜0,

cos（Q,c）=cos（b,c）,

a-c_b'Ca-cb-c

,挪圓中則同問'

2—8/一1

即&二南‘解傳"一相

故選：D.

17.(2024?貴州畢節?模擬預測)已知向量〃=(1,3),6=(私2),c=(5,2),若+則加二()

23「21

A.—B.—

22

【答案】A

【解析】因為2=(1,3),6=(租,2),

所以。+6=(1+;45),

因為(a+b)〃c,c=(5,2),

所以(1+"2)X2-5X5=0,

所以，”=g23,

2

故選：A.

18.(2024?云南昆明?一模)已知下圖網格中面積最小的正方形邊長為1,平面向量°,人如圖所示，則

\a-b\=()

A.2B.6C.及D.1

【答案】C

【解析】根據題意，如圖建立坐標系，

則。=(3,0),6=(2,1),

則”—)，故|"0|=0.

19.(2024.高三.山東苗澤?階段練習)若4=(1,若)，忖=有，卜-2,=2,則向量a與6的夾角為

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析］由Q=(l,百)，忖=6,卜—2。/2,

則,_2可=同2_4〃力+4忖=4,

而問=J『+(A/5)=2,即得a.8=3,

所以cosa,b=RM=《-,又0(?,6)4元，

所以a,b=30。.

故選：A.

20.(2024?重慶?模擬預測)已知向量〃=(85仇5也。)出=(一3,4),若〃_L/?,則tan8=()

4343

A.-B.-C.——D.——

3434

【答案】B

【解析】因為〃，小

所以a?。二一3cose+4sin。=0，

3

整理得tane=：.

4

故選：B.

21.(9-10高三?河北唐山?階段練習)若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，且自卜|q=1,卜|=3,則

|<7+Z?+c|=()

A.2B.5C.2或5D.血或5

【答案】C

2九

【解析】由向量a,b,c兩兩的夾角相等，得〈。,8〉=由,?！?〈。,?！?0或〈。,力=〈〃,?！?〈。,?！?可,

當〈〃,力=〈瓦。〉=〈〃,<?〉=0時，|a+Z?+c|=5,

2兀_________

當〈a,力=〈〃,。〉=〈。,?！?—時，|a+b+c|=J(4+〃+

=Jl2+l2+32+2xlxlx(-1)+2xlx3x(-1)+2x3xlx(-1)=2.

故選：C

二、多選題

22.(2024?高三?江蘇揚州?階段練習)下列說法錯誤的是()

A.在正三角形ABC中，AB,BC的夾角為60。

b

B.若忖=1,力力且a//6,貝V'=土M

C.若a/=%.c且bwO，則〃=。

D.對于非零向量a,6,“a0>0”是“一與b的夾角為銳角”的充分不必要條件

【答案】ACD

【解析】對于A,在正三角形ABC中，AB,BC的夾角為120,故A錯誤；

b

對于B,若卜|=1,j力且a//6，貝1J"±W，故B正確；

對于C,若總%=，；，則（a-c）-6=0,當（a-c）_L6時，可以有awe，故C錯誤;

對于D,當分6>0時，〃與方的夾角為銳角或零角，故充分性不成立，

當a與匕的夾角為銳角時，ab>0,故必要性成立，

所以“夕6>0”是“￡與B的夾角為銳角”的必要不充分條件，故D錯誤.

故選：ACD.

23.（2024?高三.全國?專題練習）給出下列命題，其中假命題為（）

A.向量AB的長度與向量8A的長度相等

B.向量0與b平行，則a與6的方向相同或相反

C.同+忸卜卜與另方向相反

D.若非零向量a與非零向量8的方向相同或相反，貝與a，b之一的方向相同

【答案】BCD

【解析】對于A,向量AB與向量BA，長度相等，方向相反，命題成立；

對于B,當.=0時，命題不成立；

對于C,當q,人之一為零向量時，命題不成立；

對于D,當a+6=0時，a+B的方向是任意的，它可以與a，。的方向都不相同，命題不成立；

故選：BCD.

24.（2024?高三?全國?專題練習）在平行四邊形ABC。中，。是對角線AC,8。的交點，N是線段。。的中

點，AN的延長線與CD交于點E,則下列說法正確的是（）

1313

A.AN=-AB+-ADB.AN=-AB——AD

4444

C.AO=-AB+-ADD.AE=-AB+AD

223

【答案】AC

由。E〃AB,可得,￡＞硒BAN,又OB=OD,N是線段。。的中點,

DE=-AB,：.AE^AD+DE=AD+-AB,：.D錯誤；

33

VAO=-AC=-AB+-AD,，C正確；

222

?/AN=AO+ON=^AB+AD^+^AD-AB^=^AB+^AD,

.?.A正確，B錯誤.

故選：AC.

25.（2024.高三.山東濟寧?開學考試）已知O為坐標原點，向量。A=（2,3）,02=（6,-3）,P是線段A3的三等

分點，則尸的坐標可能為（）

【答案】AC

【解析】因為。4=（2,3）,OB=（6,-3）,可得=4=（4,-6）,

又因為點P是線段A3的三等分點，則AP="B=（|,T^AP=；AB=t，-2}

所以0尸=04+"=］與,一1］或0「=04+”=11,1）,

即P點的坐標為［曰，-1］或［學。

故選：AC.

26.（2024?高三?浙江?開學考試）已知向量力=（-2,0）,則下列結論正確的是（）

3

A.\a\=\b\B.&與b的夾角為:兀

4

C.（a+b）±aD.石在白上的投影向量是（-LT）

【答案】BCD

【解析】對于A：|a|=Vl2+l2=A/2,|&|=7（-2）2+02=2,故A錯誤.

對于B：cos（a,6）=加=羌=一孝，因為,6”［0,兀］,所以,力）=5，故B正確；

對于C：［^a+bya=a2+a-b=2-2=0,則（a+b）_La,故C正確；

(0a

對于D：b在不上的投影向量是%cos2x=(-1,-1),故D正確.

---2--J?—夜i=——Q

故選：BCD.

27.（2024?廣東?二模）若平面向量。=（",2）,人=（1,機-1）,其中，?，，”eR,則下列說法正確的是（）

A.若2。+5=（2,6）,則“〃b

B.若&=-26，則與心同向的單位向量為

I22

C.若〃=1,且a與。的夾角為銳角，則實數機的取值范圍為+8

D.若a上b，則z=2"+4m的最小值為4

【答案】BD

【解析】由。=（h,2）,6=（1,m一1）,

A選項：2a+6=（2九+1,3+〃2）=（2,6）,

f2n+l=2\m=3門）、

則。/，解得1,貝1]。=彳，2,/>=1,2,

[3+m=6"=5<2J

所以不存在X,使6=而，即a,6不共線，A選項錯誤；

n=—2fm=0

B選項：a=—2b，貝叫。解得《

2=-2（m-l1）V[n=-2

即Q=（—2,2）,0=（1,—1）,忖="+（_1）2=母,

__b_（亞

所以與石同向的單位向量為函=虧，--5-，B選項正確；

網122）

C選項：〃=1時，a=（1,2）,

又a與b的夾角為銳角，

則陰=lxl+2x（l）>。,解得且…

[m-1^22

即meg,（3,+00）,C選項錯誤；

D選項：由alb，^a-b=n+2（m-l）=2m+n-2=0,即2加+幾=2,

所以z=2〃+4機=2〃+22加2212n.i21n=2打…=?后=4，

當且僅當2〃=22",即〃=2加=1時，等號成立，D選項正確；

故選：BD.

28.(2024?高三?江蘇南京?期中)已知平面向量。=(-2,l),b=(x,y),c=(2,f),則下列說法不正確的是(

A.若，=3,則向量C在〃上的投影為一些

5

B.若a.c=b-c，貝!!》=-2,y=1

C.若a//6且6//c，，則二=一1

D.若/>4,則向量。與c的夾角為銳角

【答案】BC

【解析】平面向量。=(-2,1),6=。,了),。=(2,/),

對于A中，當f=3時，a=(―2,l),c=(2,3),可得卜卜班H.a.c=-1,

a-cyJ5

所以向量c在a上的投影為R=一丁所以A正確;

對于B中，由°.c=b-c，可得-2x2+lxt=2x+(y,即-4+f=2x+?y,

則方程有無數組解，所以B不正確；

f-2y—x=0

對于C中，由a/小且6〃c，可得\八，當了=y=0時，方程組有無數組解，所以C不正確;

[tx-2y=0

對于D中，設向量°與c的夾角為，(046W兀)，由。/=(-2/>(2,f)=-4+r,

當f>4時，可得°.工>0,貝心。$°=帶>0,

I叫

若a//c，可得-2r=2,解得/=一1,所以]>4時，向量a與c不共線,

所以向量a與c的夾角為銳角，所以D正確.

故選：BC.

29.(2024?高三?全國?專題練習)【多選題】已知a=(f,-2),力=(T,f),則()

A.若&〃6，貝!h=±2亞

B.若a人b，貝卜=0

C.卜-可的最小值為2

D.若向量。與向量石的夾角為鈍角，貝卜的取值范圍為(0,+8)

【答案】AB

【解析】已知a=(f,—2),Z?=(-4j),

若d//b，則產=—2X(T)=8,解得/=±2拒，A選項正確；

若則2f=0,解得/=0,B選項正確；

a-b=(/+4,-2-r),\a-司=^/(r+4)2+(-2-f)2=++2,

當/=-3時，卜-可有最小值0,C選項錯誤；

當r=20時，。=（2&,-2）,6=（-4,2&）,b=-&a，

向量。與向量小的夾角為180，D選項錯誤.

故選：AB.

30.（2024?高三?黑龍江大慶?期末）己知。=&-2）/=（-4,。，則（）

A.若a//6，貝！h=±2&

B.若，貝卜=0

C.卜一同的最小值為0

D.若向量a與向量b的夾角為鈍角，則/的取值范圍為（0,+8）

【答案】ABC

【解析】對于A,若d//b，貝02_8=0，解得f=±2四，故A正確