2025年中考第一次模擬考試（遼寧卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.若零上UTC記作+10。（2,則零下5。（2可記作（）

A.5℃B.10℃C.-5℃D.-10℃

【答案】C

【分析】本題考查了相反意義的量，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵.在一對(duì)具有相反意義的量

中，規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.

【詳解】解：：零上10℃記作+10。（2,

零下5七可記作-5。。.

故選C.

2.已知一個(gè)幾何體如圖所示，則該幾何體的主視圖是（）

【答案】B

【分析】此題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，根據(jù)主視圖的概念即從正面看物體得到的圖形求解可得.

【詳解】解：該幾何體的主視圖是

3.中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被聯(lián)合國(guó)教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表

其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意;

B.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意;

C.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意;

D.是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，符合題意.

故選D.

4.根據(jù)北京青年報(bào)2024年11月14日發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示：2023年北京人工智能產(chǎn)業(yè)核心產(chǎn)值突破2686億元,

人工智能作為第四次工業(yè)革命的核心技術(shù)，正在釋放科技革命和產(chǎn)業(yè)變革積蓄的巨大能量，對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、

社會(huì)治理、國(guó)家安全將產(chǎn)生重大而深遠(yuǎn)的影響.數(shù)據(jù)“2686億元”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.268.6x109元B.2.686x10"元

C.0.2686x10"元D.2.686xl(y°元

【答案】B

【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axl(T的形式，其中1<|a|<10,n

為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及"的值.確定w的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多

少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】解：2686億元=268600000000元=2.686*10"元，

故選：B.

5.若關(guān)于x的方程Y-X+相有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的值可以是()

A.0.25B.0.5C.1D.2

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握△>(),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；A=0,方程有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；A<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根的判別式列不等式求解即可.

【詳解】解：.?關(guān)于x的方程Y-x+根=0有實(shí)數(shù)根，

.-.A=(-l)2-4m>0,

解得：m<0.25,

故選：A.

6.解分式方程三+勺=3時(shí)，去分母后變形正確的是()

x-1x-1

A.2+(x+2)=3(x—1)B.2-x+2=3(x—1)

C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-l)

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，等式兩邊同時(shí)乘以(x-l)去分母即可，注意不能漏乘項(xiàng).

【詳解】解：分式方程，7+%=3去分母后變形2+(x+2)=3(x-l),

x—\x—1

故選：A.

7.已知一次函數(shù)>=丘+人(左。0,k、b是常數(shù))的自變量％與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如表：

X-2-1012

y86420

則下列結(jié)論正確的是（）

A.y的值隨x值的增大而增大B.圖像不經(jīng)過(guò)第一象限

C.當(dāng)x<2時(shí)，y<0D.不等式依+bVO的解集是xN2

【答案】D

【分析】本題主要考查運(yùn)用待定系數(shù)法示一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出一次函數(shù)的解

析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.

10=4

【詳解】解：把（0,4）,（2,0）代入y=依+、得,

所以，一次函數(shù)解析式為y=-2x+4,

'：k=-2<0,

的值隨X值的增大而減小，故選項(xiàng)A不正確；

k--2<Q,b=4>0,

???一次函數(shù)，=-2尤+4的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故選項(xiàng)B不正確；

由表格中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)尤<2時(shí)，y>0,故選項(xiàng)C不正確；

不等式履+/?〈0的解集是尤22,故選項(xiàng)D正確，

故選：D.

8.有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有五人共車，一車空；四人共車，七人步.問(wèn)人與車各幾何？”意思是：有若干人

坐車，每車坐5人，則空1輛車；每車坐4人，則7人無(wú)車坐.問(wèn)人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)有x輛車，根據(jù)題

意，可列出方程（）

A.5x-l=4x+7B.5（x-l）=4（x+7）

C.5（x—l）=4x+7D.5x—l=4x—7

【答案】C

【分析】本題兩種乘車方式中，車的數(shù)量與人的數(shù)量都是相等的，可以將車的數(shù)量設(shè)為x輛，根據(jù)人數(shù)相等

列出方程即可.

本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，準(zhǔn)確抓住數(shù)量關(guān)系列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)車有X輛，

若每車坐五人，則人數(shù)為5（尤-1）人

若每車坐四人，則人數(shù)為（4元+7））人

故5(x—l)=4x+7

故選C.

9.如圖，在VABC中，ZCAB=20°,ZABC=30°,將VABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)50。得到△AB'C'.有

以下結(jié)論：?BC=B'C；②AC〃C'g〃；③CB'IBB；@ZABB'=ZACC.其中正確的有（)

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)只改變

圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：3c=?C、/。奶'=/?！?20。,加'仁=加。=30。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50。,

然后通過(guò)推理證明對(duì)①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①：將VABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)50。得到△AB'C',

ABC=B'C,故①正確；

②將VABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)50°得到△AB'C',

ZBABr^50°.

,?ZCAB=20°,

ZB'AC=ZBAB'-Z.CAB=30°,

"/ZAB'C'=ZABC=30°,

ZAB'C'=ZB'AC=30°.

：.AC//CB',故②正確;

③在..BAB'中，AB=AB',ZBAB'^50°,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-50°)=65°.

ZBB'C=ZAB'B+ZAB'C'=65O+30°=95°.

C'B'lBB'不成立，故③不正確；

④在AACC中，AC=AC',ACAC=50°,

.'.ZACC^1(180°-50°)=65°

ZABB'^ZACC,故④正確.

二①②④這三個(gè)結(jié)論正確.

故選B.

10.如圖，P為。外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作。。的割線和切線PC（割線R45和切線PC不重合），C為

A.NPBC=NPCA

B.當(dāng)弦A3最長(zhǎng)時(shí)，NPCB-NPBC=90。

C.ZPCB-ZOBC=90°

cwAC1-PA2

D.當(dāng)一=一時(shí)，——=-

BC2AB3

【答案】D

【分析】結(jié)合圖形，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的說(shuō)法依次進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.；PC為：。的切線，是1。的割線,

ZPCA+ZACO=ZPCO=90°,

,/2OC和NABC所對(duì)的弧是AC，

NAOC=2NABC,

OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=1(180°-ZAOC)=(180°-2ZABC)=90°-ZABC,

：.ZPCA+90°-ZABC=90°,

ZABC=ZPCA,

即NP5C=NPC4,原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意;

B.當(dāng)弦最長(zhǎng)時(shí)，即A3為:。的直徑，如圖，

，ZACB=90°,

：.ZPCB-ZPCA=90°

由A知：ZPBC=ZPCAf

：.ZPCB-ZPBC=90°,原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.??,PC為〔。的切線，是「。的割線，

：.ZPCO=9Q°f

：.ZPCB-ZOCB=ZPCO=90°,

?：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

:./PCB—/OBC=/PCB—NOCB=9伊,原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意;

D.延長(zhǎng)AO交。于點(diǎn)。，連接C。，如圖，

*/AD是:。的直徑，

???/ACD=90。，

???ZOAC-^-ZODC=90°,

〈PC是。的切線，

：.ZPCO=9Q°,

：.ZPC4+ZACO=90°,

*：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：./PCA=/ODC,

又,AC=AC，

:.ZABC=ZADC,

：./PCA=/PBC,

又「ZP=NP,

???，PAC^PCB,

.Ph_?CAC

,EPC-PF-cF?

又?就-5，

PA=-PC,PC=-PB,

22

pApA17

:“In」占，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意?

ABPB-PA33

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等邊對(duì)等角，相似三角形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).能根據(jù)選項(xiàng)中的描述，畫出相應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分)

11.當(dāng)彳=褥-1時(shí)，代數(shù)式尤?+2x+2020的值是.

【答案】2024

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用配方法是解題

的關(guān)鍵.本題也可以直接代入，但使用配方法更為簡(jiǎn)便.

先將尤2+2元+2020變形為(x+丁+2019,然后將x=6-1代入求值即可.

【詳解】解:當(dāng)片石-1時(shí)，

尤2+2x+2020=Y+2X+1+2019=(x+lp+2019=(拓-1+1J+2019=(⑹2+2019=5+2019=2024,

故答案為：2024.

12.如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,1),若將線段平移至44的位置，則6的值是.

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一平移，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)可知平移方式為向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再由“上加下

減，左減右加”的平移規(guī)律求解即可.

【詳解】解：：點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（2,0）,（0,1）,A（0⑼,4（。,2）

...將線段A8平移至A片時(shí)的平移方式為向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，

:?々=0+1=1,人=0+1=1,

a+b=1+1=2,

故答案為：2.

13.一個(gè)不透明布箱子里只裝有機(jī)個(gè)紅球和3個(gè)白球（除顏色外其余都相同），從中任意摸出一個(gè)球是紅球

的概率為3:，則根的值為_____.

4

【答案】9

【分析】本題考查了概率的計(jì)算，分式方程的運(yùn)用，掌握隨機(jī)事件概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.確定紅

球的數(shù)量，總的數(shù)量，根據(jù)任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為3:，列式求解即可.

4

3

【詳解】解：有機(jī)個(gè)紅球和3個(gè)白球（除顏色外其余都相同），任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為

4

.m3

.?----二—，

m+34

解得，m=9,

經(jīng)檢驗(yàn)，根=9是原方程的解，且原分式方程有意義，

???加的值為9,

故答案為：9.

14.如圖，點(diǎn)A（a,3）,B（b,l）在反比例函數(shù)＞=［的圖像上，點(diǎn)C,。分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)（C,。不同

時(shí)與原點(diǎn)重合），則四邊形ABC。的周長(zhǎng)的最小值為.

【分析】首先求出A。,3),3(3,1),再作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)0,根據(jù)對(duì)稱的性

質(zhì)得到尸(T,3),2(3,-1),尸。分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、。點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)四邊形AB8

的周長(zhǎng)最小，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解可得.

【詳解】???點(diǎn)4。,3)產(chǎn)(81)在反比例函數(shù)尸］的圖像上，

33

/.a=—=l,Z?=—=3,

31

/.A(1,3),B(3,1)

如圖，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,B點(diǎn)關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)。

AP(-l,3),2(3-1),

連接PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、。點(diǎn)，

四邊形ABC。的周長(zhǎng)=A3+AD+a>+BC=A8+Pr>+r>C+CQ2A5+PQ

當(dāng)點(diǎn)P,D,C,。四點(diǎn)共線時(shí)，四邊形ABC。的周長(zhǎng)最小，即4B+PQ的長(zhǎng)度

AB+PQ=7(-1-3)2+(3+1)2+7(1-3)2+(3-1)2=6后.

四邊形ABC。的周長(zhǎng)的最小值為6行.

故答案為：6夜.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，軸對(duì)稱性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、熟練運(yùn)用

兩點(diǎn)之間線段最短解決有關(guān)幾何圖形周長(zhǎng)最短的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

7

15.如圖，在平行四邊形ABCD中,E為43延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/為AO上一點(diǎn)，NDEF=NC,若DE=4,AF,

則4）的長(zhǎng)是.

【答案】y

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得出

AD=BC,ZA=ZC,結(jié)合已知得出ADFE^ADE4,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合題意求出AD的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD=BC,ZA=NC,

?：/DEF=/C,

ZDEF=ZA,

?:/EDF=AADE,

：.ZxDFEs^DEA,

.DEAD

…而一5P

7

?：DE=4,AF=-,

3

7

.?.DF=AD-AF=AD一一,

3

4AD

*,?AD--4'

3

J42=|^AD-1^AD,

???AO*或AD=—3（舍去），

「?的長(zhǎng)是了，

故答案為：—.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

-2

16.（10分）（1）計(jì)算：-p?4+（5-萬(wàn)）°一［!

+2d!+16Z+1

【答案】（1）-9（2）-

a

【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和分式的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

（1）原式分別進(jìn)行乘方、零指數(shù)塞和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案;

（2）原式分子與分母先進(jìn)行因式分解，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后即可得到結(jié)果.

【詳解】解：（1）-l2004+（5-^）°-I

=-1+1-9

=-9；

/八、〃2-1〃2_&

(2)-----------4---------

a+2〃+1Q+1

(Q+1)(Q—1)—

(a+1)2a+1

(a+l)(a-1)a+1

(a+1)-a(a—l)

1

=a-

17.（8分）某教育科技公司銷售A,8兩種多媒體，這兩種多媒體的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示:

AB

進(jìn)價(jià)（萬(wàn)元/套）32.4

售價(jià)（萬(wàn)元/套）3.32.8

（1）若該教育科技公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種多媒體共50套，共需資金132萬(wàn)元，該教育科技公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種

多媒體各多少套？

（2）若該教育科技公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種多媒體共50套，其中購(gòu)進(jìn)A種多媒體加套（10〈加420）,當(dāng)把購(gòu)進(jìn)的

兩種多媒體全部售出，求總利潤(rùn)w（元）與根之間的函數(shù)關(guān)系，并說(shuō)明當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種多媒體多少套時(shí)，能獲

得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

【答案】⑴購(gòu)進(jìn)A種多媒體20套，8種多媒體30套

（2）購(gòu)進(jìn)A種多媒體10套時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19萬(wàn)元

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方

程組，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；

（2）根據(jù)題意可以寫出利潤(rùn)與加的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)機(jī)的取值范圍和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得利潤(rùn)

的最大值.

【詳解】（1）設(shè)A種多媒體。套，8種多媒體6套，

[a+b=50[a=20

由題意可得：.「47解得,/

[3a+2.4。=132也=30

答：購(gòu)進(jìn)A種多媒體20套，8種多媒體30套；

（2）由題意可得：w=（3.3-3）m+（2.8-2.4）x（50-/n）=-0.1m+20,

，w隨/的增大而減小，

Q10<m<20,

.,.當(dāng)加=10時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=19,

答：購(gòu)進(jìn)A種多媒體10套時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19萬(wàn)元.

18.（8分）某校七年級(jí)計(jì)劃組織一次一分鐘跳繩比賽.為了解學(xué)生一分鐘跳繩個(gè)數(shù)的情況，抽取部分學(xué)生

進(jìn)行了一次一分鐘跳繩測(cè)試，并將測(cè)試的成績(jī)繪制成了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表:

成績(jī)X個(gè)/分頻數(shù)

60<x<1006

100<x<140m

140d8018

180<x<2204

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)統(tǒng)計(jì)表中的根=，頻數(shù)直方圖中的組距是;

(2)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中180Wx<220部分對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是。；

(3)若每分鐘跳繩140個(gè)以上(包括140個(gè))的為“優(yōu)秀”，七年級(jí)共有1350名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該年級(jí)有多少名

學(xué)生可以獲得“優(yōu)秀”.

【答案】(1)17,40

(2)32

(3)660名

【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表，從統(tǒng)計(jì)圖表中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵：

(1)用140Wx<180的人數(shù)除以所占的比例求出樣本容量，用樣本容量減去其他組的頻數(shù)，求出加的值，

用一個(gè)范圍的端點(diǎn)值之差求出組距即可；

(2)根據(jù)機(jī)的值，補(bǔ)全直方圖即可，用360度乘以180<x<220的人數(shù)所占的比例求出圓心角的度數(shù)即可；

(3)利用樣本估計(jì)總體的思想，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：18—40%=45；

加=45—6-18—4=17：

組足巨為：100-60=40；

故答案為：17,40.

(2)補(bǔ)全直方圖如圖:

（3）1350義更以=660（名）；

45

答：估計(jì)該年級(jí)有660名學(xué)生可以獲得“優(yōu)秀”.

19.（8分）為了扶持大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供80萬(wàn)元無(wú)息貸款用于某大學(xué)生開辦公司，生產(chǎn)并銷售自

主研發(fā)的一款電子產(chǎn)品，并約定用該公司經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還無(wú)息貸款.已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件40

元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其他費(fèi)用15萬(wàn)元.該產(chǎn)品每月銷量了（萬(wàn)件）與銷售

單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求月銷量丫（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為50元時(shí)，為保證公司每月利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元（利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其他

費(fèi)用），該公司可安排員工多少人？

（3）若該公司有80名員工，銷售單價(jià)定為70元時(shí)，則該公司可在幾個(gè)月后償還無(wú)息貸款？

【答案】（l）j=-^x+8（40<x<60）,j=-^x+5（60<x<100）；

⑵40人

（3）該公司可在8個(gè)月后償還無(wú)息貸款.

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；

(1)分兩種情況：當(dāng)40VxV60時(shí)，令>=履+6,當(dāng)60Vx時(shí)，設(shè)>=爾+〃，再利用待定系數(shù)法求解解析

式即可；

(2)設(shè)公司可安排員工。人，定價(jià)50元時(shí)，利用利潤(rùn)=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其他費(fèi)用再建立方

程求解即可；

(3)先求解當(dāng)銷售單價(jià)為x=70時(shí)，該公司有80名員工時(shí)每月的利潤(rùn)，再建立不等式求解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)404XW60時(shí)，^y=kx+b,

60%+6=2

40左+6=4

解得

??y=----x+8；

10

當(dāng)60Kx<100時(shí),

設(shè)y=mx+n,

60m+〃=2

80m+n=l

解得：,

(2)解：設(shè)公司可安排員工。人，定價(jià)50元時(shí),

由5=(--)-x50+8]x(50-40)-15-0.25°,

解得：a=40(人)；

(3)解：當(dāng)銷售單價(jià)為x=70時(shí)，該公司有80名員工,

,此時(shí)利潤(rùn)為：

|^-^x70+5^x(70-40)-15-80x0.25

=1.5x30-15-20

=10；

設(shè)該公司，個(gè)月后還清貸款，則10”280,

n>8,

，該公司可在8個(gè)月后償還無(wú)息貸款.

20.（8分）為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，某校組織學(xué)生前往渡江戰(zhàn)役紀(jì)念館緬懷革命先烈.初到紀(jì)念館，數(shù)學(xué)興

趣小組的同學(xué)們就發(fā)現(xiàn)廣場(chǎng)上有一座雄偉壯觀的勝利塔（如圖1）,想知道勝利塔的高度（塔頂?shù)剿降?/p>

面的距離），于是他們進(jìn)行了測(cè)量.如圖2,他們?cè)诘孛嫔系狞c(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂。的仰角為30。，在

點(diǎn)B處測(cè)得塔頂。的仰角為60°.已知AB=112m,測(cè)角儀的高度是L6m（點(diǎn)A,民C在同一條直線上）.根

據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)求勝利塔的高度CD.（結(jié)果保留整數(shù)，1,732）

圖1圖2

【答案】99m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用用仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意可得AM=NB=CE=1.6m,MN=AB=H2m,ZDEM=9Q°,ZDNE=60°,ZDME=30°,先利用三角

形的外角性質(zhì)可得NZMW=NMDN=3O。，從而可得￡>N=MN=112m,然后在中，利用銳角三角

函數(shù)的定義求出OE的長(zhǎng)，然后再加上CE即可解答.

【詳解】解：由題意得：AM=NB=CE=1.6m,MN=AB=112m,ZDEM=90°,ZDNE=60°,ZDME=30°,

NDNE是,.DAW的外角，

ZMDN=ZDNE-ZDMN=30°,

：.ZDMN=ZMDN=30°,

：.DN=AdN=U2m,

在RtAOVE中，DE=DN-sm600=112xJ^=56y/3（m）,

2

DC=DE+CE=56^+1.6?56xl.732+1.6?99m.

答：勝利塔的高CO約為99m.

21.（8分）如圖，AB為:，。的直徑，。為圓心，ME切，。于點(diǎn)C,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)MDLEO

交石。延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡）,ZDMA=ZAED.

(1)求證：E4是的切線；

(2)若E4=6,M4=8,求一。的半徑.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵3

【分析】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

(1)由得到？D90?,再由已知角相等及對(duì)頂角相等，得到/Q4E=/D=90。，利用切線的判定

方法判斷即可得證；

(2)在中，利用勾股定理求出R0的長(zhǎng)，利用切線長(zhǎng)定理得到EC=E4=6,由EM-EC即可求

出MC的長(zhǎng)，在Rt^CMO中，設(shè)OC=r,則有MO=8-r,利用勾股定理列出關(guān)于r的方程求解即可.

【詳解】(1)解：,/MDYED,

?D90?,

VZDMA=ZDEA,ZMOD=ZEOA,

：.ZDMA+ZMOD=NDEA+ZEOA,

ZOAE=ZD=90°,

為圓的半徑，

為圓。的切線；

(2)解：連接OC,

B

D

在RtE4M中，EA=6,MA=8,

根據(jù)勾股定理得：ME=A/62+82=10>

EM與E4都為圓的切線，

，EC=EA=6,

：.MC=EM—EC=10—6=4.

E4為圓。的切線，

ZOCAf=90°,

在Rt/XCMO中，設(shè)OC=r,則有MO=8—r,

根據(jù)勾股定理得:(8-廳=/+42,

解得：r-3,

則圓的半徑為3.

22.(12分)【概念感知】

在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于點(diǎn)尸和函數(shù)圖象L,給出如下定義：過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交函數(shù)圖象工于點(diǎn)Q,

點(diǎn)尸與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)之差力-y。稱為點(diǎn)尸到函數(shù)圖象L的有畫掌.

【概念理解】

(1)如圖1,點(diǎn)尸在直線y=-x+3上，函數(shù)圖像L對(duì)應(yīng)的解析式為y=-2.

X

①若點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是2,則點(diǎn)尸到函數(shù)圖像￡的有向量等于；

②若點(diǎn)P到函數(shù)圖像L的有向量等于1,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【概念應(yīng)用】

(2)如圖2,函數(shù)圖像七對(duì)應(yīng)的解析式為y=x2-3x+3；函數(shù)圖像4對(duì)應(yīng)的解析式為y=f+3，點(diǎn)尸的坐標(biāo)

為(，”,〃)，其中+若點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4的有向量與點(diǎn)尸到函數(shù)圖像右有向量之和等于0，且〃的

最大值為9,求。的值.

（2）a=—2或a=4

【分析】（1）①根據(jù)“有向量”的定義計(jì)算即可求解；

②設(shè)尸&T+3）,過(guò)點(diǎn)P作無(wú)軸的垂線交函數(shù)圖像L于點(diǎn)Q,則。，然后根據(jù)“有向量''的定義計(jì)算即

可求解；

（2）由題意得：點(diǎn)尸到函數(shù)圖像七的有向量為加+3）,點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4的有向量為〃-（力+3）,

因?yàn)辄c(diǎn)P到函數(shù)圖像乙的有向量與點(diǎn)尸到函數(shù)圖像乙有向量之和等于0,所以得到

〃一（加一3根+3）+〃一（一相+3）=0,化簡(jiǎn)得根一2）?+1,分兩種情況討論：①當(dāng)a+2<2時(shí)，即a<0時(shí),

〃隨機(jī)的增大而減小；②當(dāng)aN2時(shí)，〃隨加的增大而增大；即可解答.

【詳解】（1）解：①將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)2代入y=-x+3,得%=1,

33

將點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)2代入>=-1,得"=-；，

x2

點(diǎn)尸到函數(shù)圖像L的有向量等于%72=1]-|）=，

故答案為：—；

②；點(diǎn)尸在直線y=-尤+3上，

可設(shè)P&T+3）,過(guò)點(diǎn)P作X軸的垂線交函數(shù)圖像工于點(diǎn)Q,貝

「點(diǎn)尸到函數(shù)圖象L的有向量等于1,

.1+3一卜，=1,

解得方=-1或，=3,

.?.尸（—1,4）或尸（3,0）；

(2)解：由題意得：點(diǎn)P到函數(shù)圖像L的有向量為〃-(療-3根+3)，點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4的有向量為

n-(-m+3),

.點(diǎn)尸到函數(shù)圖像乙的有向量與點(diǎn)尸到函數(shù)圖像4有向量之和等于0,

/.n—^m2—3m+3)+〃—(一機(jī)+3)=0,

/.2n=2一3機(jī)+3)+(—機(jī)+3)=m2—4m+6,

當(dāng)。+2v2時(shí)，即a<0時(shí)，〃隨加的增大而減小,

當(dāng)加二。時(shí)，〃的最大值等于9,

1

/.-(?-2)9+1=9,

解得a=6或Q=—2,

.a=6>0(舍去)，

當(dāng)m=。+2時(shí)，〃的最大值等于9,

1

.?.-(tz+2-2)9+1=9,

2

解得a=4或〃=T，

a=-4<2(舍去),

Q=4,

綜上所述a=-2或。=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、解一元一次方

程、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意理解“有向量”的定義以及掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

23.(13分)【背景提出】

(1)如圖1,等腰Rt^ABC中，ZACB=90°,CB=CA,直線EO經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AD,ED于點(diǎn)O,

過(guò)點(diǎn)B作BEJLED于點(diǎn)E,求證：BEC部*CDA.

【遷移應(yīng)用】

(2)如圖2,已知直線4：y=gx+5與x軸交于點(diǎn)A,與丁軸交于點(diǎn)3,將直線《繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°

至直線3求直線4的函數(shù)表達(dá)式.

(3)如圖3,將圖1四邊形放到平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E與。重合，邊ED放到x軸上，若03=2,OC=1,

過(guò)線段42的中點(diǎn)Q,作直線。以垂直線段BC交無(wú)軸于點(diǎn)直線Q尸垂直線段AC交x軸于點(diǎn)P,求線段

的長(zhǎng).

(4)如圖4,平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)3(3,T),過(guò)點(diǎn)5作瓦軸于點(diǎn)A,8cLy軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是線

段A5上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是直線、=-2尤+1上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限內(nèi).若△CPD是等腰直角三角形.請(qǐng)直接寫

【答案】(1)見(jiàn)解析；⑵y=-412；(3)FH=*(4)點(diǎn)。的坐標(biāo)為g,號(hào))或(4,-7)或||,-三

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等可證N3CE=NCAD,從而利用AAS可證BECyCDA；

(2)過(guò)點(diǎn)B作2尸，/1,交0于F,過(guò)尸作尸7/，y軸于則A/W尸是等腰直角三角形，由(1)同理可得

AOAB=AHBF,則尸(T5),利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；

(3)由(1)得ABOC咨ACDA,得A(3,l),再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出。［，|)待定系數(shù)法求出直線BC

的解析式為>=-2尤+2,直線AC的解析式為y=根據(jù)直線平移，求出直線Q"的解析式為

y=1x+|,直線Q尸的解析式為y=得出/g，o］，最后求出結(jié)果即可；

(4)分點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)或點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)或點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)三種情況，分別畫出圖形，利用(1)中型

全等可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題.

【詳解】證明：(1)ADLED,BE1ED,

ZBEC=ZADC=90°,

:.ZACD+ZDAC=90°,

ZACB=9Q°,

:.ZBCE+ZACD=90°,

,\ZBCE=ZCAD,

在VHEC和CO4中，

/BEC=/ADC

<ZBCE=ZDACf

BC=AC

.?二BEC-CDA(AAS)；

(2)過(guò)點(diǎn)3作3尸，4，交4于尸，過(guò)尸作軸于H,如圖所示：

圖2

則NFBA=90。，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：ZFAB=45°f

???△的是等腰直角三角形，

???AB=BF,

由（1）同理可證.。TffiF（AAS）,

:.OA=BH,OB=FH,

把x=0代入y="|工+5得：y=5,把y=0代入y=|^+5得：0=1x+5,

解得：x=—3,

/.A（-3,0）,3（0,5）,

OA=3,OB=5,

:.OH=S,FH=5,

.?.F（-5,8）,

設(shè)4的函數(shù)解析式為>=辰+匕，

f—3左+b=0

將點(diǎn)A