2025年中考數學二輪復習：二次函數的特殊三角形存在性問題壓軸練習題

一'二次函數的特殊三角形存在性問題

1.如圖，已知拋物線Li：y=-/與直線y=-1相交于/、B.

(1)AB=；

(2)拋物線燈隨其頂點沿直線y=向上平移，得到拋物線人，拋物線⑦與直線y=-1相交于C，D

(點。在點。左邊)，已知拋物線左頂點/的橫坐標為加?

①當機=6時，求拋物線人的解析式及的值；

②連接MC,MD,當△MCD為等邊三角形時，求點M的坐標.

2.已知拋物線與x軸交于點4(一2,0)、5(3,0),與y軸交于點C(0,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點P是拋物線上位于第一象限內的一點，請連接BC,求出ABPC的面積最大值及此時

(3)如圖2,將拋物線向右平移4個單位，再向下平移2個單位.記平移后的拋物線為y‘，若拋物線y'

與原拋物線對稱軸交于點Q.點E是新拋物線y'對稱軸上一動點，在(2)的條件下，當APQE是等腰三

角形時，求點E的坐標.

圖2

3.如圖、已知直線、=玄久+4與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=a/+bx+c經過A,C兩

點，且與x軸的另一個交點為B,對稱軸為直線x=-1.

(1)求拋物線的表達式;

(2)拋物線對稱軸上的點P,使得以點B,C,P為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的點P稱為“圣

和點”、此題中，是否存在“圣和點”、若存在，請求出“圣和點”P的坐標：若不存在，請說明理由.

4.如圖，拋物線y=a/+汝+。的圖象與x軸交于A(-1.0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,

-3),頂點為D.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸.

(3)探究對稱軸上是否存在一點P,使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請

求出所有符合條件的P點的坐標，若不存在，請說明理由.

（1）若該二次函數的圖象與久軸僅有一個公共點4求實數zn的值.

（2）在（1）的條件下，若直線y=kx-1的圖象與二次函數的圖象交于兩點以乙,月）（（久2，為），且的＜

利?請直接寫出當k的值為多少時，AABC為直角三角形.

6.如圖，已知二次函數y=aN+2x+c的圖象與x軸交于4,B兩點、,/點坐標為（-1,0）,與〉軸交于

點C（0,3）,點M為拋物線頂點，點E為N3中點.

（1）求二次函數的表達式；

（2）在直線8C上方的拋物線上存在點0.使得口。。8=2口/3。，求點。的坐標；

（3）已知。，尸為拋物線上不與8重合的相異兩點.

①若點尸與點C重合，D（%，-12）,且相＞1,求證：D,E,尸三點共線；

②若直線/D,BF交于點、P,則無論D,尸在拋物線上如何運動，只要D,E,尸三點共線，口/兒0,

DMEP,口/8尸中必存在面積為定值的三角形，請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明

理由.

7.已知四個不同的點4（久1，丫1）,8（久2，丫2）（（久3，丫3），。（久4,3/4）都在關于久的函數丫=a/+bx+c（a,b,c是常

數，aH0）的圖象上.

（1）當A,B兩點的坐標分別為（-1,一4）,（3,4）時，求代數式2024a+1012b+&的值；

（2）當A,B兩點的坐標滿足。2+2（為+%）。+4%%=°時，請你判斷此函數圖象與久軸的公共點

的個數，并說明理由；

（3）當a>0時，該函數圖象與％軸交于E,F兩點，且A,B,C,D四點的坐標滿足：2a2+2（先+

2a22

y2）a+y/+y22=o,2a-2（y3+y^+73+74=0.請問是否存在實數血（血>1）,使得ZB,CD,m-

EF這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內角的大小之比為1：2：3?若存在，求出m的值和

此時函數的最小值；若不存在，請說明理由（注：表示一條長度等于EF的小倍的線段）.

（1）求拋物線Ci的表達式;

（2）將拋物線的向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2,求拋物線C2的表達式，并

判斷點。是否在拋物線C2上；

（3）在％軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使是等腰直角三角形.若存在，請求出點P的坐

標；若不存在，請說明理由.

（2）當點。在第二象限內，且△4CD的面積為3時，求點。的坐標;

(3)在直線BC上是否存在點P,使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

10.如圖，二次函數y=ax2+bx+c交x軸于點A(1,0)和點B(3,0),交y軸于點C,拋物線上一點

D的坐標為(4,3)

(1)求該二次函數所對應的函數解析式；

(2)如圖1,點P是直線BC下方拋物線上的一個動點，PE//X軸，PF//y軸，求線段EF的最大值；

(3)如圖2,點M是線段CD上的一個動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線于點N,當DCBN是

直角三角形時，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標.

答案解析部分

L【答案】(1)2

(2)解：①對于y=聶,

當％=6時,y=5x6=3,

??.拋物線必的頂點坐標為(6,3),

二拋物線乙2的解析式為y=-(X-6)2+3,

當y=-1時,-1=—(x—6)2+3,

解得：%=8或4,

：.CD=4；

故答案為：y=—(x—6)2+3；4

②解：：點M在直線y=上，

?1

?'?拋物線乙2的解析式為y=—(%—m)2+

1

當y=-1時，_]=_Q—m)2+^租，

解得：％=駕女+7n或％=—立駛+小，

+皿T),+7nL1),

**?CD-72m+4,

如圖，過點M作MD_LCE于點E,則ME=/m+l,CE=勺+%

/z

,??△”CD是等邊三角形,

:.(MCE=60°,

ME_翅+1

/.tanzMCE

CEJ27H+4-V3,

-2-

解得：m=4或—2(不合題意，舍去),

.?.點M的坐標為(4,2)

2.【答案】(1)解：???拋物線與％軸交于點力(—2,0)、5(3,0),

二設拋物線的解析式為：y=a(x+2)(%-3)(a豐0),

把C(0,4)代入y=。(％+2)(%-3)(0。0)中，得

4=—6a,

2

.??"二一9

二拋物線的解析式為：y=-1(%+2)(%-3),

即y=久2+-%+4；

⑵解：設P點的坐標為(t,—|七2+|t+4),過點P作PN1久軸于點N,與BC交于點M,如圖1,

圖1

設直線BC的解析式為y=+H0),則

(3k+b=0

tb=4'

解得卜=_g,

(b=4

??.直線BC的解析式為：y=—紅+4,

4

:.M(t,—W1+4)，

2

PM——+2t,

Ill

?S^BPC=S"Me+S>PMB=2PM-ON+2PM-BN=2PM-OB,

[2/3、29

:.S.pc=2(-W’2+2t)X3=_《2+3t=_(t_2J+不

Va=-1<0,

當"綱，S"pc的最大值為攝，

Z4

???此時P點的坐標為(|,今；

(3)解：r拋物線y=—梟2+聶+4=—宗久—》2+磊

.?.將拋物線向右平移/個單位，再向下平移2個單位.記平移后的拋物線為y',

y'的解析式為y'=_■!(%_；_}+^—2=—|(%—I)2+卷，

???拋物線y'的對稱軸為直線％=1,

；拋物線y=—|x2+|x+4=—|(x—扔+字

二拋物線y=—|x2+|x+4的對稱軸為直線無=

把久=義代入y'=一,久2+g%+4中，得y'=2,

Q點的坐標為8,2),

設E的坐標為(1,冗)；

①當PE=QE時，貝UPE2=QE2,

Q2212?

即(2-1)+(2-n)=(1-2)+5—2產

解得，n=孚，

②當PQ=QE時，則PQ2=Q￡"2,

q127212

即(2-2)+([-2)=(1-2)+(=-2)2,

解得，n—2+V3>

E點的坐標為(1,2+遍)或(1,2-V3);

③當PQ=PE時，貝I」PQ2=PE2,

n-12r-j2Q272

即6+)+(介2)=(|-1)+(￡—")，

解得，n=-|+V3,

???點E的坐標為(1，+g)或(1；-V3).

綜上，當APQE是等腰三角形時，點E的坐標為(1寫)或(1,2+圾或(1,2-何或(1；+圾或(1；一V3).

3.【答案】(1)解：?.?一次函數的表達式為：y=g%+4,

...當y=0時，0=*x+4,解得：x--3,當久=0時，y-4,

；.4(一3,0),C(0,4),

,二次函數稱軸為直線％=-1,

設二次函數表達式為：y=a(x+3)(%-1),

把C(0,4)代入得：4=晨0+3)(0-1),解得：a=

二次函數表達式為：y=-1(x+3)(x-l),

整理得：y=+4.

(2)解：存在，理由如下

VB(l,0),C(0,4),

***BC=BP=Vl2+42=yJ17,

令對稱軸與x軸交于點Q,

?對稱軸為直線X=-1,

：.BQ=1-(-1)=2,

-'-PQ=717—22=V13，

,

..P2(-I,VT3),P3(-I--VT3);

③當BP=CP時，過點C作CM垂直于對稱軸，垂足為點M,

:對稱軸為直線％=-1,

.?.點P橫坐標為—1,CM=1,BQ=2,

設點P(—l,a),

/.PM=4—a,PQ=a,

：.CP2=CM2+PM2=1+(4-a)2,BP2=BQ2+PQ2=4+a2,

;BP=CP,

**-1+(4—a)2=4+a2,解得：a=呈，

，P4(-4)?

綜上存在“圣和點”，點p坐標為：(-1,0)或(-1,履)或(-1,-履)或(-1,豹

4.【答案】解：(1)因為拋物線y=a/+bx+c的圖象與x軸交于A(-1.0),B(3,0)兩點，與y軸

a—b+c=0(a=1

交于點C(0,-3),所以9a+3b+c=0,解得：b=—2,

、c=—31c=—3

即此拋物線的解析式是y=/_2%-3；

(2)因為一次函數可化為y=/-2久一3=(久-I)2-4,

所以此拋物線頂點D的坐標是(1,-4),對稱軸是直線x=l；

(3)存在一點P,使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，

設點P的坐標為(1,y),分三種情況討論：

①當PA=PDHtJ(-l-l)2+(0-y)2=J(l-l)2+(-4-y)2-

解得，y=-|，即點P的坐標為(1,-f)；

②當DA=DP時,J(-l-I)2+[0-(-4)]2=J(1-l)2+(-4-y)2-

解得，y=—4±即點P的坐標為(1,—4—2A/5)或(1,—4+2V^);

③當AD=AP時,J(-l-I)2+[0-(-4)]2=J(-l-l)2+(0-y)2-

解得，y=±4,即點P的坐標是(1,4)或(1,-4),

當點P為(1,-4)時與點D重合，故不符合題意.

由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為(1,—|)或(1,-4-

2V5)或(1,-4+2V5)或(1,4).

5.【答案】(1)解：二?二次函數的圖象與久軸僅有一個公共點4

.\n=22-4-m'(-l)=0,

m=-l.

(2)解：由⑴知：y=-x2+2x-l=-(x-l)2,

AA(1,0),

,/直線y=kx-1的圖象與二次函數的圖象交于兩點BQi，%),。(久2，刈)，且、=kx-i過定點(0,-

1),x1<x2,

AB(0,-1),

；.yAB=x-l,

???□ABC為直角三角形，

□BAC=90°^□ABC=90°,

當□ABCn%。時，即直線AB□直線y=上久一1,則KABK=-1,

k=-l,

當□BAC=90。時，即直線AB□直線AC,

/.yAC=-x+l,

聯立F；二意「解得｛『1或口，

AC(2,-1)

.".yBc=-l,

k=0,

綜上可知：當k=0或k=-l時，△ABC為直角三角形.

6.【答案】(1)解：將A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,

彳日(CL—2+c=0,

1c=3

解得：尸;1,

拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)解：對于y=-x2+2x+3,令y=0,

-x2+2x+3=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

AB(3,0),

；.OB=OC=3,

AOOBC是等腰直角三角形，

.?.□ABC=45。，

,.,□QCB=2DABC,

.?.□QCB=90。，

如圖所示，過點C作CQDBC交拋物線于點Q,過點Q作QGDy軸于點G,

aGCQ是等腰直角三角形，

VCG=QG,

設Q(q,-q2+2q+3),則G(0,-q2+2q+3),

CG=-q2+2q,GQ=q,

-q2+2q=q,

解得：q=0(舍去)或q=l,

；.Q(1,4)；

(3)解：①證明：點F與點C重合，則F(0,3),

?.?點E為AB中點，A(-1,0),B(3,0),

：.E(1,0),

設直線EF的解析式為y=kx+b(k網)，代入E(1,0),F(0,3),

(k+b=0

"Ib=3J

解得:仁3

???y=-3x+3,

聯W二二%3,

解得:以網yX

；.D(5,-12),在直線EF上，即D,E,F三點共線；

②解：DABP的面積為16是定值.

7.【答案】(1)解：將4(—1,—4),B(3,4)代入y=a/+b；c+c得

(a—b+c=—4,①

19a+3b+c=4.②

②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.

所以2024a+1012b=1012(2a+b)+,=2024H.

(2)解：此函數圖象與％軸的公共點個數為兩個.

由+2(y1+y2)a+4yly?=°>得(a+2%)(a+2y2)=0.

可得當=一號或丫2=

當a>0時，-號<0,此拋物線開口向上，而A,B兩點之中至少有一個點在％軸的下方，此時該函數圖

象與久軸有兩個公共點；

當a<0時，-1>0,此拋物線開口向下，而A,B兩點之中至少有一個點在x軸的上方，此時該函數圖

象與久軸也有兩個公共點.

綜上所述，此函數圖象與久軸必有兩個公共點.

(3)解：因為a>0,所以該函數圖象開口向上.

222—a

由2a?+2(%+為)。+yi+V2=。，得(a+yj2+(a+y2)=0,可得以=%=-

222

由2a2—2(y3+、4)a+y3+=。，得(a—y3)+(a—y4)=0,可得當=

所以直線AB,CD均與久軸平行.

2

由(2)可知該函數圖象與x軸必有兩個公共點，設E(%,O),F(久6,0).由圖象可知.a>4a。一.，即產一4ac>

4a

4a2.

所以a/+必+。=一a的兩根為％i，%2，可得48<|X1-%2|=-4a(c+a)

I可

同理a%2+ftx+c=。的兩根為％3，冗4，可得CD-|x3_%4|-Jba).

同理a/+bx+c=°的兩根為期,％6,可得租-EF=m-\xs-x6\=m-舊-產.

1b|a|

由于zn>1,結合圖象與計算可得AB<EF<m-EF,AB<CD.

若存在實數7n(m>1),使得AB,CD,這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內角的大小之

比為1：2：3,則此三角形必定為兩銳角分別為30°,60°的直角三角形，所以線段AB不可能是該直角三

角形的斜邊.

①當以線段CD為斜邊，且兩銳角分別為30°,60°時，因為所以必須同時滿足：AB2+(m.

EF)2=CD2,m-EF=P>AB.

將上述各式代入化簡可得62=粵上〈譬=2,且笳=3(吃4al吟,聯立解之得必―4ac=

b-4ac4ab2-4ac

孚，/=要—=髀2,解得7n=粵>1符合要求.

§b-4ac55

2

所以加=蟄，此時該函數的最小值為4ac-j——限—5a.

54a4a3

②當以線段m為斜邊時，必有力B?+CD2=(m?EF)2,同理代入化簡可得2(廬—4ac)=m2(b2—

4ac),解得m=V2.

因為以線段魚E尸為斜邊，且有一個內角為60°,而CD>48,所以CD=ZB?tan60°,即

Jb^—4a(c—a)=V3?—4a(c+a)，化簡得/-4ac=8a2>4a2符合要求.

所以租=魚，此時該函數的最小值為4ac->：=_2a.

4a4a

綜上所述，存在兩個小的值符合題意；

當加=等時，此時該函數的最小值為-苧；

當加=四時，此時該函數的最小值為-2a.

8.【答案】(1)解：：拋物線的:、=。%2+3%—4的圖象經過點。(1,—1)

/.a+^-4=-l

解得a=|

54

2

-X+-X-4

拋物線Ci的表達式為y33

(2)解：點D在拋物線C2上;

5452264

24

y--X+-X---+---

333515

將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，

拋物線的表達式為y=|r%-|;2-g

；?x=i,y=|2-1|=-1

.?.點D(l,-1)在拋物線C2上.

(3)解：存在點P,使APB。是等腰直角三角形

①當口PiBD=90。，PiB=BD,如圖所示，過點B作直線Ey軸，過點P1作1＞正口1于E,過點D作DFW

于F,貝IJ□EP1B+□EBP1=9O°

.□PiEB=OBFD=90°,□EBPi+DFDB=90°,

.□EPiB=DFDB

?△EP]BSRFBD(AAS)

.EPi=FB=l,EB=FD=3

.點Pi的橫坐標為-1,點Pi的縱坐標為3,

.把-1代入拋物線。2的表達式y=jr%-|；2-苣得y=3=EB,則Pl在拋物線C2上

.?.點Pi存在，坐標為(-1,3).

②當□P2DB=90。，P2D=BD,如圖所示，過點D作直線Ex軸，過點P2作PiFDl于F,過點B作BE?

于E,

(AAS)

FD=EB=1,P2F=DE=3

.?.點PI的橫坐標為2,點P2的縱坐標為P2F-BE=3-1=2

2

把2代入拋物線C2的表達式y=|Cx-l)-叫得y=2,則P2在拋物線C2上

...點P2存在，坐標為(2,2).

③當口：6「3口=90。，P3D=P3B,如圖所示，過點P3作直線Ex軸，過點B作BEE于E,過點D作DFE

(AAS)

BE=P3F=1,EP3=FD

設點P3(m,n)

m+2=n+l,l-m=l

解得：m=0,n=l

???P3(0,1)

則m=0時，y=jro-!?2

則P3不存在

綜上，在％軸上方的拋物線C2上，存在點P,使△PBD是等腰直角三角形，點P的坐標為Pi(-1,3)或

P2(2,2).

9.【答案】(1)解：把4(一3,0),。(0,3)代入丫=一/+/?%+。得：

—9—3b+c=0

c=3

解得F=?，

lc=3

???拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

(2)解：過。作DK||y軸交4c于K,如圖:

由4(—3,0),。(0,3)得直線力(7解析式為了=%+3,

設0。一”一2t+3),則K(t,t+3),

DK=—嚴—2t+3—(t+3)=-t?—3t>

???△ZCD的面積為3,

11

1DK,—%。1=3，即2(—t—3t)X3=3,

解得t=-1或七二—2,

???。的坐標為(一1,4)或(―2,3)；

(3)解：P的坐標為(0,3)或律-屈,-7+回、或(25+7T無-7-VI%或號廠務.

18'6186V3

10.【答案】(1)解：設二次函數的解析式為y=a(x-b)(x-c),

y=ax?+bx+與x軸r的兩個交點A、B的坐標分別為(1,0)和(3,0),