專題18三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式

【考點預(yù)測】

知識點一：三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形;

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S={尸忸=h360。+a,此Z}.

(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

象

限第二象限角：{aM+3<a<2"+TT#eZ}

-角

的

m集第三象限角：{al2房+b<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角

的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°=^rad,1°=—rad,lrad=—.

1807t

(3)扇形的弧長公式：/=,“，扇形的面積公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點尸(x,y)時，貝！Jsine=y,cosa=x,tana=—(x^O).

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點尸P(x,y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點尸到原

點。的距離為r,貝!Jsine=2,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號符號限符號限符號

sinaR++一一

cosaR+一—+

71

tana{aaw左〃+萬,女￡Z}+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4、三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角a的終邊與單位圓交于點尸，過尸作軸，垂足為過/（1,0）作單位圓的切線

與a的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.

孫（1,0）

*1,6)\oUx

三角函數(shù)線

(I)(D)(ID)(IV)

有向線段九。為正弦線；有向線段為余弦線；有向線段NT為正切線

知識點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

（2）商數(shù)關(guān)系：S^na=tana（a^—+kn）；

cosa2

知識點三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式--二三四五六

7171

角2k1+a(keZ)7ia-an-a-----a—Fa

22

正弦sina一sina-sinasin。cosacosa

余弦COS6Z-COS6ZCOS6Z-COS6Zsina-sina

正切tanatana-tana一tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作〃?工土e；（2）

2

無論有多大，一律視為銳角，判斷"?王土a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)〃為

2

奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)”為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

【典型例題】

例1.（2024?山東青島?一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館

舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案.出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就

是這樣一件珍寶.玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S，型雙龍，造型精美.現(xiàn)要

3

計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：4528cm,AD?2cm,5cm,若511137°穴丁

兀。3.14,則璜身（即曲邊四邊形45C。）面積近似為（）

水、、

O

圖2

A.6.8cmB.9.8cmC.14.8cm,D.22.4cm'

【答案】C

—AR3

【解析】顯然小05為等腰三角形，OA=OB=5,AB=8,則…_4,sinZ^=1,

COSZ_(_7/L￡>=------------=—5

OA5

即NCM5P370,于是405=106°==

所以璜身的面積近似為|ZAOB（OA2-OZ）2）=1xx（52-32）?14.8（cn?）.

故選：C

例2.（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建

筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為16兀，屋頂?shù)捏w積為現(xiàn)I兀，

算得側(cè)面展開圖的圓心角約為（）

【答案】C

【解析】底面圓的面積為16兀，得底面圓的半徑為廠=4,

所以底面圓周長為8兀，即圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長為/=8兀，

屋頂?shù)捏w積為必好無，由』xl6諦=2兀得圓錐的高〃=26，

所以圓錐母線長，即側(cè)面展開圖扇形半徑R=病”^=6，

兀

得側(cè)面展開圖扇形的圓心角約為a=￡7=￥8=：47r.

A63

故選：C.

（y

例3.（2024?高一?四川內(nèi)江,期末）已知sina>0,cosa<0,則§的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因為sina>0,cosa<0,

TT

所以。為第二象限角，即一+2也<1<兀+2析，左EZ,

2

兀2klia兀2kli"

所以7+一7-<工<；+二_次7￡2，

63333

nIa,./t,\Ir-r->/m、r/兀兀）/571||3715兀Arrrt

則可的終邊所在象限為［k，,兀LJ所在象限，

即］的終邊在第一、二、四象限.

故選：D.

例4.（2024?高三?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）若。是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（）

A.90°-aB.90°+?C.360°-aD.3600+a

【答案】C

【解析】因為。是第一象限角，所以-e是第四象限角，

則90°-a是第一象限角，故A錯誤；90°+a是第二象限角，故B錯誤；

360。-a是第四象限角，故C正確；360。+a是第一象限角，故D錯誤.

故選：C.

Of

例5.⑵24?高三上海靜安?期末）設(shè)。是第一象限的角，則”在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D(zhuǎn).第二象限或第四象限

【答案】c

【解析】因為a是第一象限的角,

兀

所以2左兀<a<2ku+—,k￡Z,

2

ait

所以一<kn+—,kGZ,

24

OfTTCH

當(dāng)左=2%〃EZ時，2〃兀<一<2〃兀+—,〃EZ,—為第一象限角；

242

（yyrci

當(dāng)無=2〃+L〃eZ時，2/77t+it<—<2nn+Tt+—,neZ,——為第三象限角.

242

故選：C

例6.（2024?高一?全國?課后作業(yè)）下列與角9?7的T終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）

4

97r

A.2ht+45°（^eZ）B.人360。+彳（左eZ）

57r

C.^-360°-315°（^eZ）D.kn+~（keZ）

【答案】C

9元

【解析】對于A,B,2阮+45。（左eZ）,h360。+彳（左eZ）中角度和弧度混用，不正確；

對于C,因為?97r=2兀+7；T與-315。是終邊相同的角，

44

Qjr

故與角子的終邊相同的角可表示為左BGO。-315。,eZ）,C正確；

對于D,br+y（^eZ）,不妨取4=0,則表示的角手與深終邊不相同，D錯誤，

故選：C

例7.（2024?高三?安徽?階段練習(xí)）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)

健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”,

擲鐵餅者的手臂長約為fm,肩寬約為gm,，，弓，，所在圓的半徑約為。m,則擲鐵餅者雙手之間的距離約為

484

(參考數(shù)據(jù)：VI=L414,V3-1.732)()

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

【答案】B

5萬

【解析】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧初的長/=￡+￡+￡=苧，其所對圓心角。=-|-=彳，

44oo^2

4

5TT

則兩手之間的距離\AB\=2|4必=2xjsinj?1.768（m）.

故選：B.

例8.（2024?高三?全國?階段練習(xí)）tan2400sin660°的值為（）

133

A?7B.—C.一D.——

222

【答案】D

3

【解析】tan240°sin660°=tan（180°+60°}in（720°-60°）=tan60°

2

故選：D.

例9.（2024?遼寧?一模）若tan2cz=3,則2+2cos2a：sin2a=（）

3l—cos2a

A.—或2B.-2或;C.2D.—

222

【答案】C

42tana41-

【解析】tan2a二§n=—=>tana=一或一2,

l-tan2a32

2+2cos2a-3sin2a

l-cos2a

2+2(2COS2a-l)-6sinacosa

l-(l-2sin*2a]

4.cos2a—6/s?lnacosa

2sin2a

2-Stance

tan2a

代入tana求得值均為：2.

故選：C.

什-m?.2sin2a/

例10.（2024?全國,一模）右tana=2,則sina+--------=()

tana

136

AB.C.D.

-t355

【答案】A

。2

sin2.22sinacosa.232sina+2cos2a

【解析】5由2a+---si-n-aH------------：---------------=sina+2cosrv=---------------------

tanasmaJsi?n2a+cos2a-

cosa

esina貝?sin2a+2cos2a_tan2a+2_6

因tana二----

cosasin2a+cos2atan2a+15

故選：A

例11.⑵24?全國?模擬預(yù)測）已知sin嗯，則sin26

tan。

715715

A.-B.—C.D.——

81648

【答案】D

sin26_2sin6cos。15

【解析】因為皿。j=2cos之。=2(1-sin?。)=2x

所以tan。sin。~8?

cos。

故選：D.

例12.（2024?海南省直轄縣級單位?一模）已知直線/：2x+3廠1=0的傾斜角為則cos（0+7i）-sin3一e

()

9976

A.—B.——D.——

131313

【答案】B

【解析】由題意可知，tan8=-g,

?A2V13…2Vl3

sin。_2sine=-------

1313

則,cos。3解得或,(舍),

A35，A3V13

sin2^+cos20=1cose=---------cos8=-------

1313

所以cos(0+7i)*sin1--0j=-cos20=-----.

故選：B

例13.(2024?廣東江門?一模)已知角a的終邊上有一點尸(-則cos[5+a)=(

【答案】A

【解析】由題意知角a的終邊上有一點尸1,

4[71?4

故sina二—,貝Ucos—+a\=-sma=一一,

故選：A

例14.(2024?河北?一模)已知x是第二象限角，若cos(x-7()o)=：,貝ijsin(x+l10。)=

【答案】-孚

【解析】sin(x+l10°)=sin[(x-70°)+180°]二—sin(x-70°),

因為X是第二象限角，若cos(x-70°)=g,所以X-70。是第一象限角，

所以sin(x_70。)=Jl-cos2(x-70)=~~，

所以sin(x+110。)=-2個.

故答案為：-半

例15.(2024?高三廣東云浮?開學(xué)考試)已知sin(cz+m]=-g,貝I]cos,-1]=

3

【答案】一0-6

3

故答案為：

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧

音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇

的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE,ZC所在圓的半徑分別

是6和12,且N48c=120。，則該圓臺的體積為（）

圖1圖2

A.H2V2nB.也c.基D.金

333

【答案】D

【解析】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為0由題意可知兀x6=2跖，解得。=2,

；X2TTX12=2M，解得4=4,作出圓臺的軸截面，如圖所示：

過點。向/尸作垂線，垂足為7,貝一八=2,

所以圓臺的高〃=一=&2_2?=472>

則圓臺上下底面面積為H=71x2?=4兀,邑=71x4?=16兀,

由圓臺的體積計算公式可得：廠=g（S]+心.邑+邑）X〃=gX28兀X472="2產(chǎn).

故選：D.

2.（2024?高三?山東青島?開學(xué)考試）中國傳統(tǒng)折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個圓環(huán)

被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：cm）如圖所示，則該

扇面的面積為（）

--120

3500cm2C.4300cm2D.4800cm2

【答案】A

【解析】設(shè)福字下面的小扇形所在圓的半徑為R,

則￡；=手，解得：R=3Q,

30+RR

所以扇形環(huán)的面積為工xl20x60-，x60x30=2700cm2.

22

故選：A

3.（2024?高一?山東棗莊?期末）已知集合/=｛鈍角｝,3=｛第二象限角｝,。=｛小于180。的角｝,則（）

A.A=BB.B=C

C.ABD.B）^C

【答案】C

【解析】因為鈍角大于90。，且小于180。的角，一定是第二象限角，所以4=故選項C正確,

又第二象限角的范圍為｛￡[90。+八360。<夕<180。+上360。,標(biāo)2｝,

不妨取￡=480。，此時夕是第二象限角，但480。>180。，所以選項ABD均錯誤，

故選：C.

aaci

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知角a第二象限角，且cos,=COS],則角^是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

【解析】因為角夕第二象限角，所以]+2E<a<ji+2E（左eZ）,

所以:+阮<?<]+阮（左eZ）,所以角晟是第一象限角或第三象限角.

又因為COSa^=COCSL7,即co（s11>0,所以角（三7是第一象限角，

2222

故選：A.

5.（2024?高三?貴州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足a〃=sinm（〃￡N*）,則。7+/-（）

A.0B.1C.V3D.2

【答案】A

【解析】因為%=sin『"eN"）,

.7兀.8兀.兀.2兀

以％+/—%—〃2=sin-----l-sin-----sin-----sin——

3333

.兀'2兀、.兀.2兀

=sin271+—+sm27rH------sin------sin——

I3jI3j33

.兀.2兀.7T.2兀_

=sin—+sm-----sin-----sm——=0.

3333

故選：A

6.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）若。是第二象限角，則（）

A.cos（-6r）>0B.tan—>0

C.sin（兀+a）>0D.cos（兀-a）<0

【答案】B

【解析】若a是第二象限角，則cos（-a）=cosc<0,故A錯誤；

?為第一、三象限角，則tan1X）,故B正確；

22

sin（兀+a）=—sina<0,故C錯誤；

cos（兀—a）=—cosa〉0,故D錯誤.

故選：B.

7.（2024?高三?四川?階段練習(xí)）若角々的終邊位于第二象限，且sina=g,則sin[]+c]=（）

A.yB.--C.—

2222

【答案】D

【解析】由誘導(dǎo)公式有：sin[]+ej=cosa,

因為角?的終邊位于第二象限，貝hosa=-Vl-sin2a=-業(yè)，

2

所以sin]/+a]=cosa=.

故選：D.

8.（2024?高三?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試）sin165°cos5250=（）

D.--

【答案】C

【解析】sin165°cos525°=sin(180°-15°)cos(540°-15°)=sin15°(-cosl5")=-；sin30°=-：.

故選：C.

9.(2024?高三?河南?專題練習(xí))若sin("2)=g,則5皿</+當(dāng)=()

636

A.；B.-C.--D.--

2333

【答案】C

【解析】因為sin(a-=)=《，sin(a+^)=sin[7t+(a-^)]=-sin(a--

636663

故選:C.

二、填空題

10.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知a是第二象限角，且其終邊經(jīng)過點(-3,4),貝ljtan?=.

【答案】2

【解析】因為々是第二象限角，可得a€[5+2所，兀+2版，左eZ,

則言祈,]+標(biāo);左eZ,所以tan]>0,

42ta吟

又因為。的終邊經(jīng)過點(-3,4),可得tanc=-2,可得tana=------二=：,

31-tan2-3

2

ry(y

解得ta吟=2或tan^=V1(舍去).

222

故答案為：2.

11.(2024?高三?浙江金華?期末)已知一圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為2q兀且半徑為1的扇形，則該圓錐的側(cè)

面積為.

【答案】

33

【解析】圓錐的側(cè)面積即是側(cè)面展開圖對應(yīng)的扇形的面積，

11177r7T

所以側(cè)面積S=—lr=—r2a=—xl2x—=—.

22233

故答案為：y.

12.(2024?高三?全國?專題練習(xí))已知扇形的周長為7cm,則這個扇形的面積為3cm?,則該扇形圓心角的弧

度數(shù)為

oq

【答案】I或1

【解析】設(shè)扇形半徑為，?＞（）,

由題意可知：扇形的弧長為7-2廠＞0,

13

則扇形的面積為S=-xrx（7-2r）=3cm2,解得或2,

48。

可得扇形的弧長為4或3,所以該扇形圓心角的弧度數(shù)為3-3或a=/

22

Qq

故答案為：;或:

13.（2024?云南昆明?一模）已知cosa=等，則tan2a=

【答案】-2V2

sina/T-

/.tana=-------=72

cosa

2tana上烏=一2行

tan2a=

1-tan2a「（何

故答案為：-2A/2.

14.（2024?高三?江蘇連云港?階段練習(xí)）已知tanc=e,則sin2a

2

【答案】浮千

【解析】因為tana=Y2

2

23

2sinacosa2tana2/2

所以sin2a=2sinacosa=2

cos2a+sin2a1+tan2a(42\23.

1+

2J

故答案為：平

sina

15.（2024?陜西渭南?模擬預(yù)測）已知tana=4,則1

sma+cosa

4

【答案】1/0.8

smatana_4_4

【解析】由tana=4,所以

sina+cosatana+14+15

_,4

故答案為：—.

3

16.（2024?高三?上海?專題練習(xí)）角a的終邊在直線上，貝"osa的值是

【答案】土嚕

3

【解析】???角。的終邊在直線

.3

..tana=—

29

si?n7a+cos2a=1I

根據(jù)<sina3，解得cosa=±J^,

、cosa2

當(dāng)角a的終邊在第一象限時，cosa=￡2,

13

當(dāng)角。的終邊在第三象限時，cosa=-2姮，