專題35圓的方程快速基礎能力提升

【考點預測】

一、基本概念

平面內到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓.

二、基本性質、定理與公式

1、圓的四種方程

(1)圓的標準方程：(x+S-6)2=/，圓心坐標為(a,6),半徑為r(r>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標為(一段■，4)，半徑

yjD2+E2-4F

r=--------------

2

(3)圓的直徑式方程：若43*),83,為)，則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x_/)(x_4)+G-yJCv-y2)=o

(4)圓的參數(shù)方程：

X—rCC1Sf)

①尤2+y2=廠20>0)的參數(shù)方程為1(。為參數(shù))；

y=rsin，

Y——zy_i_yCCS(/

②(x-a)2+(j-b)2=/(廠>0)的參數(shù)方程為1.(。為參數(shù)).

注：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設為(a+rcos，,Z?+rsin0(0為參

數(shù)，(。,力為圓心，r為半徑)，以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉化為三角問題，然后

利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.

2、點與圓的位置關系判斷

(1)點尸(%,〉0)與圓(x-fl)2+(J=r-的位置關系：

①(x-a)2+(y-b)2>r-o點尸在圓外；

②(x-a)2+(y-b)2=r2o點尸在圓上；

③(x-a)2+(y-6)2<r2O點尸在圓內.

(2)點尸@。,幾)與圓/+y2+Dx+Ey+F=0的位置關系：

①尤：+y：+Dx0+孫)+尸>0O點尸在圓外；

②尤:+y；+Dx0+Ey0+尸=0=點尸在圓上；

③溫+貨+5+5+/<。=點尸在圓內.

三、直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系有3種，相離，相切和相交

四、直線與圓的位置關系判斷

1、幾何法(圓心到直線的距離和半徑關系)

圓心3,份到直線Ax+3y+C=0的距離，則.JA二絲0：

>JA2+B~

則d<ro直線與圓相交，交于兩點尸,Q,|PQ|=2slr2-d2；

d=rO直線與圓相切；

d>rO直線與圓相離

2、代數(shù)方法(幾何問題轉化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉化為方程根個數(shù))

Ax+By+C=0一一

由1221,消元得到一元二次方程。X。+qx+1=0,p/+qx+r=0判別式為A,貝U：

(x-a)"+(y-b)=r

則A>0o直線與圓相交；

A=0o直線與圓相切；

A<0o直線與圓相離.

五、兩圓位置關系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：

設兩圓億,。2的半徑分別是R/，(不妨設R>r),且兩圓的圓心距為d,貝U：

則d<R+ro兩圓相交；

d=R+ro兩圓外切；

兩圓相離

d=R—r<=>兩圓內切；

兩圓內含(d=0時兩圓為同心圓)

【典型例題】

例L(2024?高二?安徽六安?期末)圓心在,軸上，半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是()

A.x2+(y-2)2=lB.x2+(y+2)2=l

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.X2+(J-3)2=1

【答案】A

【解析】因為圓心在y軸上，所以可設所求圓的圓心坐標為(0/),

則圓的方程為/+(廣6)2=1,又點(1,2)在圓上，

所以1+(2-32=1,解得力=2,

所以所求圓的方程為尤2+(y-2)2=1.

故選：A

例2.(2024?高三?全國?專題練習)在平面直角坐標系xOy中，以。為圓心的圓與直線x-百y-4=0相

切，則圓。的方程為()

A.x2+y2=4B.x2+y2=3

C.x2+y2=2D.x2+y2=l

【答案】A

【解析】依題意，圓。的半徑r等于原點。到直線x-gy-4=0的距離,

所以圓。的方程為一+丁=4.

故選：A.

例3.(2024?高三?全國?專題練習)己知圓C:(x-6『+(y+8)2=4,。為坐標原點，則以0C為直徑的圓的

方程為()

A.(X-3)2+(^+4)2=100B.(尤+3『+(>-4)2=100

C.(x-3)2+(y+4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=25

【答案】C

【解析】由圓C:(無一6『+(y+8)2=4,可得圓心C(6,—8),

又由0(0,0),在以0c為直徑的圓的圓心為(3,T),半徑為r=J|0C|=5,

則所求圓的方程為(x-3)2+(y+4)2=25.

故選：C.

例4.(2024?高二?四川成都?期末)圓。:(》-1)2+(丁-1)2=2關于直線/：尸尤-1對稱后的方程為()

A.(x-2)2+y2=2B.(x+2)2+y2=2C.x2+(y-2)2=2

D.x2+(y+l)2=2

【答案】A

【解析】因為圓C：(x-l)2+(y-l)2=2,所以圓C的圓心為(1,1),半徑為一板，

設點(U)關于直線l：y=x-l對稱的點為(為,%),

l+y0_l+x01

2一2=2

所以1，解得：°八，

比二義1=-1〔為=°

所以所求圓的圓心為(2,0),半徑為廠=0,

故所求圓的方程為：(X-2)2+/=2.

故選：A.

例5.(2024?廣東?一模)過A(—1,O),8(0,3),C(9,0)三點的圓與y軸交于M,N兩點，則|MN|=(

A.3B.4C.8D.6

【答案】D

【解析】設圓的方程為“2+y2+nx+磔+尸=0,代入點A(-l,0),B(0,3),C(9,0),

l-D+F=0

貝U9+3E+B=0,解得O=—8,E=0,尸=一9,

81+9。+尸=0

可得f+丁-8x-9=0,整理得(x-4)2+9=25符合題意，

所以圓的方程為/+)/一8尤-9=。，

令x=0,可得丁_9=0,解得y=±3,所以河=6.

故選：D.

例6.(2024?陜西西安?二模)設直線尤+廣2=0與圓Y+y2=4交于A,B兩點，則|即|=()

A.垃B.272C.4D.4夜

【答案】B

【解析】圓尤?+)?=4的圓心為0(0,0),半徑為r=2,

|-2|L

?.?圓心O到直線X+>-2=0的距離d=1=V2,

V1+1

:.\AB\=24一/=2.一(何1=20.

故選：B.

例7.(2024?河南?一模)已知圓M:(x-2y+y2=i,則下列說法錯誤的是()

A.點(3,2)在圓外B.直線2x+y-4=0平分圓M

C.圓的周長為2兀D.直線x+Wy=0與圓相離

【答案】D

【解析】由甕-2)2+9=1可知圓心坐標為“(2,0),圓的半徑為1.

對于選項A：由點(3,2)到圓心的距離d='(3-2)2+2?=舊>1

所以點(3,2)在圓外，故A正確；

對于選項B：因為圓心加(2,0)在直線2x+y-4=0上，

所以圓“關于直線2x+y-4=0對稱，故B正確；

對于選項C,圓/的周長為2兀廠=2兀，故C正確；

對于選項D,因為圓心“（2,0）到直線x+Gy=0的距離為d="島=1，

所以直線x+由y=0與圓M相切，故D錯誤.

故選：D.

例8.（2024?高三?云南昆明?階段練習）若點A（0,l）在圓。V+y2一2x+4的+2川-1=0外，則實數(shù)機的

取值范圍為（）

A.B,（-2,0）

C.（-00,-1）u^-p+oo^D.（-co,-2）u（0,+co）

【答案】D

【解析】圓。化成標準方程為（x-療+（y+27療=2m2+2,

點A（0,l）在圓。外，則有（0-1）2+0+2相了>2歷+2,

即2/+49>0,解得相<-2或機>0.

故選：D.

例9.（2024局二?陜西西安?階段練習）已知G：*++2x+8y-8=0,〔）。2:Y+,2+4x—4y-1=0,則

兩圓的位置關系為（）

A.相切B.外離C.內含D.相交

【答案】D

【解析】因為CG：Y+y2+2x+8y-8=0可化為（x+iy+（y+4）2=25

則6（-l,T）,半徑4=5,

因為CC：尤2+>2+4x-4y-l=0可化為（x+2/+（y-2『=9,

則G（—2,2）,半徑4=3,

則|C?=,1+36,因為？;一弓=2<\/§7<4+々=8,

所以兩圓相交.

故選：D.

例10.（2024?高三?全國?專題練習）若方程N+y2—2Q+3）尤+2（1—4f2）y+16/+9=0?GR）表示圓，則實數(shù)t

的取值范圍是（）

A.{4-

B.{t\~^<t<\]

C.{t\~l<t<^}

D.W<t<2]

【答案】B

【解析】由。2+￥—4/>0,得7f2—6f—1<0,解得一

例11.(2024?遼寧?二模)已知圓尤2+^=4與圓x2+y2-8x+4y+16=0關于直線/對稱，則直線/的方程為

()

A.2x+y—3=0B.x—2y—8=0

C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【答案】C

【解析】圓G：尤?+y2=4,圓心￡(0,0),半徑12,

22

C2:x+y-8,r+4y+16=0,圓心C?(4,-2),半徑弓=2,

由題意知，/是圓C1和圓Cc圓心連線的垂直平分線，

C,(0,0),C2(4,-2),CC2的中點(2,-1),

圓心C?連線的斜率為七q=-1，則直線I的斜率為2,

故/的方程：y+l=2(x-2),即y=2尤-5,故C正確.

故選：C.

例12.(2024?北京朝陽?一模)已知直線x-J^y+6=0和圓元2+/=，什>0)相交于A,8兩點.若

|AB|=6,貝什=()

A.2B.26C.4D.372

【答案】D

【解析】圓d+y2=，(r>0)的圓心為：(0,0),半徑為小

則圓心到直線x-6y+6=0的距離為〃=曹==3,

-J1+3

由垂徑定理可得r=卜+1用=732+32=3夜.

故選：D.

例13.(2024?四川?模擬預測)若兩條直線4：y=x+a，：y=x+6與圓龍?+y2-4x-2y+〃z=0(m<5)的四個

交點能構成矩形，則。+6=()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】D

【解析】由題意，直線4,平行，且與圓的四個交點構成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等且Jb,

由圓J+J-4%-2y=0的圓心為（2,1）,

|2-l+tz||1+?|

圓心到4：y=x+〃的距離為4=&-夜

|2-1+向_|1+〃

圓心到4:y=x+Z?的距離為人

0一點

11+al

所以一Mn|l+H=|l+H，整理得到(a-A)(a+6+2)=0,

V2

由a1b?,用f以a+Z?=—2.

故選：D.

例14.（2024.全國.模擬預測）若直線/和圓C的方程分別為＞=尤+犯（無-1）2+（,-2）2=5-m，則

“3＜相＜5”是“直線/和圓C沒有公共點”的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

【答案】C

【解析】因為（x-l）2+（y-2）2=5-m表示圓，所以5-機＞0,即機＜5.

若圓C與直線、=尤+a沒有公共點，則圓心C（L2）到直線y=x+7〃的距離大于半徑,

11—2+777|G

BR---7=一->yj5-m,解得m<-3^3<m<5.

J2

所以“3〈加＜5”是“直線/和圓C沒有公共點”的充分不必要條件.

故選：C

例15.（2024?廣東韶關.二模）過點尸（-2,3）作斜率為—2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)x軸反射后與圓

（7:。-3）2+（＞-2）2=/（廠＞0）相切，貝|]/=（）

A.5/2B.y/3C.2D.5/5

【答案】D

【解析】如圖，設經(jīng)過點尸的直線交x軸于點A,反射直線與圓C相切于點8,

直線PA:y_3==2(x+2),即y—,

11

令y=0,解得％=-不即A（-不0）,

22

又即4+以=。，所以&4=2,

所以直線BA:y-0=2（x+f,即2尤->+1=0,

|6-2+1|

則點（）到直線直線的距離為〃=

C3,2BA:2x-y+l=0~1T

即r=yfi.

故選：D

例16.（2024?新疆?二模）從直線尤->+2=0上的點向圓f+y2-4x-4y+7=0引切線，則切線長的最小

值為（）

A.立B.1C.變D.叵-1

242

【答案】B

【解析】圓f—4x—4y+7=。化為（x—2）-+（y—2）~=1,圓心為C（2,2）,半徑為1,

直線%-丁+2=0上的點尸向圓/+,2-4工-4〉+7=0引切線，設切點為A,

要使切線長的最小，則|PC|最小，即直線上的點與圓心的距離最小,

由點到直線的距離公式可得，|PCL.=

所以切線長的最小值為/點y-1=1.

故選：B.

例17.（2024?高三?河南?階段練習）已知直線y="+l與圓尤2+y=4相交于M,N兩點，若削削=舊,

則網(wǎng)=（）

A.—B.1C.72D.2

【答案】B

【解析】如圖所示：

|0-^-0+1|1

設坐標原點。到直線區(qū)-y+1=0的距離為d,則1=

J/+1

設線段禰V的中點為P,則腦VLOP,根據(jù)勾股定理，有4=|OM「=。尸「+忙閭2=1+：睦叱

由|腦V|=E,得4=屋+：|必寸=必匕+?，故產(chǎn)9=：，解得公=1，故陽=L

故選：B.

例18.（2024?廣東廣州.二模）若直線5+勿=i與圓O:/+y2=i相切，則圓。-。＞+⑶-6產(chǎn)二；與圓o

（）

A.外切B.相交C.內切D.沒有公共點

【答案】B

【解析】直線口+卯=1與圓。：d+y2=1相切，

則圓心0（0,0）到直線方+吁1的距離等于圓O的半徑1,

即'=-——7=1,得/+〃=1.

，a~+b-

圓（x-a）2+（y-6）2=：的圓心坐標為（a,6）,半徑為：,

其圓心在圓。上，所以兩圓相交.

故選：B

例19.（2024?高三?山東青島?期末）圓O:f+y2-4=0與圓C:x2+y2-4x+4y-12=0相交于A、B兩點,

則&ACB=（）

A.2B.2夜C.372D.6

【答案】D

［解析］兩圓方程相減得直線AB的方程為x-y+2=0,

圓C:x2+y2-4x+4y-12=0化為標準方程(x-2)2+(y+2)2=20,

所以圓C的圓心為C（2,-2）,半徑r=2百，

|2—（―2）+2］

圓心C到直線AB的距離為d="（］）2=3.2,

弦長|=2〃一屋=2,20-18=2A/2,

所以四|以=：又3應X2應=6.

故選：D

例20.（2024?高三?全國?專題練習）過點”3,1）作曲線C：尤2+/一2尤=0的兩條切線，切點分別為則

直線AB的方程為()

A.2x+y-3=0B,2x—y-3=0C.4%—y—3=0D.4%+y—3=0

【答案】A

【解析】由曲線C:元2+/一2x=0,可化為(尤-l)2+y2=i,可得圓心C(l,0),半徑為廠=1,

因為PA、9分別切圓C于A、3,所以P,AB,C四點在以尸C為直徑的圓半徑為廠=四=更，

I2；22

故圓的方程為：C':(x-2)2+[y-g]=撩，即/+/_敘7+3=0上，

兩圓的方程相減，可得兩圓公共弦所在直線的方程為2x+y-3=0,

即直線AB的方程為2x+y-3=0.

故選：A.

例21.(2024?山西?模擬預測)寫出一個過點(3,4)且與圓C:x2+y2-4x+3=0相切的直線方程.

【答案】x=3或15元-8y-13=0(答案不唯一，寫出一個即可)

【解析】依題意，將圓C化為標準方程可得(x-2)?+y2=i,則圓C表示以C(2,0)為圓心，半徑廠=1的

圓，

當切線的斜率不存在時，過(3,4)的直線x=3正好與圓C相切；

,\2k+4-3k\,15

當切線的斜率存在時，設切線方程為丫-4=左原-3),則仁病丁=1，解得左=]，此時切線方程

為15x—8y—13=0.

由于只需寫出一個過點(3,4)且與圓C:d+y2-4x+3=0相切的直線方程，

故答案為：》=3或15尤-8>-13=0(答案不唯一，寫出一個即可)

例22.(2024?高三?北京順義?階段練習)已知直線產(chǎn)質+，〃(機為常數(shù))與圓尤?+>2=2交于點M,N,當

上變化時，若的最小值為2,則加=.

【答案】±1

【解析】"+尸=2可知圓心為(0,0),半徑

圓心到直線的距離：d=-r=T.

yjl+k

由垂徑定理可知：|MN|=2j戶-/=2.2--4，

V1+k

當左=0時，|MN|取得最小值，并且|MN1mm=2,2-加=2nm=±l,

故答案為：±1.

例23.（2024?天津?一模）已知圓G：V+y2=4與圓G：元2+,2一8工+6>+機=。外切，此時直線

/:x+y+l=0被圓。2所截的弦長為.

【答案】2a

【解析】由G：f+y2=4得G（0,0）,石=2,

將G：f+y2—8x+6y+根=0化為標準方程，得G：（%-4）?+（丁+3）2=25-機（m<25）,

。2（4,-3）,弓=^/25-m,

因為兩圓外切，所以|CJG|=4+2，即小（0-4）2+（0+3）2=2+，25-相,解得，”=16,弓=3.

G（4,-3）到直線/:x+y+l=0的距離d=修駕=應，如下圖：

VI2+12

？

則直線/：x+y+l=0被圓C2所截的弦長|A同=2瘧工=2^/^^=2甘.

故答案為：2幣.

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?云南昆明?模擬預測）已知24是圓C:x2+（y-l）2=l的切線，點A為切點，若|網(wǎng)=2,則點P的

軌跡方程是（）

A.（x-l）2+y2=5B.x2+（y-l）2=5C.;/=2尤D.無2=2y

【答案】B

【解析】因為|胡卜2,所以P點到圓心的距離恒為廳方=若，

所以點尸的軌跡方程是以（0,1）為圓心，君為半徑的圓，即V+（y_l）2=5,

故選：B

2.（2024?遼寧大連.一模）過點和（L3）,且圓心在x軸上的圓的方程為（）

A.x2+y2=4B.(x-2)2+y2=8

C.(x-l)2+y2=5D.(x-2)2+y2=10

【答案】D

【解析】令該圓圓心為（a,0），半徑為則該圓方程為（x-a『+y2=

22

(-l-a)+l=r，解得|a=2

則有/

r=屈'

故該圓方程為（x-2『+y2=10.

故選：D.

3.（2024?浙江.一模）圓C:/+y2一2尤+4>=。的圓心C坐標和半徑『分別為（）

A.C（l,-2）,r=V5B.C（l,-2）,r=5

C.C（-l,2）,r=V5D.C（-1,2）/=5

【答案】A

【解析】圓C:x2+y2_2x+4y=0,BPC:（x-1）2+（y+2）2=5,

它的圓心C坐標和半徑r分別為C（l,-2）,r=6.

故選：A.

4.（2024.高二.河北滄州.期末）已知點A為直線2x+y-10=0上任意一點，。為坐標原點.則以Q4為直

徑的圓除過定點（0,0）外還過定點（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】D

【解析】設垂直于直線2x+y-10=0,垂足為3,則直線方程為：V=gx，

由圓的性質可知：以Q4為直徑的圓恒過點8,

'2%+y-10=0r=4

由y=\得：9=2，二以04為直徑的圓恒過定點（42）?

、2

故選：D.

5.（2024?高二?全國?課時練習）點P（5,〃z）與圓x?+y2=24的位置關系是（）

A.點在圓上B.點在圓內C.點在圓外D.不確定

【答案】C

【解析】因為52+m2=25+7/>24,所以點在圓外,

故選：C

6.（2024.高三.北京西城.開學考試）已知圓Y+產(chǎn)=/+4經(jīng)過點（。一2,“，且點尸（。㈤到點。（1,0）的距離

為3,則（）

A.a=-4B.a=2C.6=20D.6=4

【答案】B

【解析】由題意知：（。-2）2+〃=/+4,整理得：〃=4a①

又由點尸（。力）到點。（L0）的距離為3可得：（.-1）2+廿=9②

a=2a=2

聯(lián)立①②，解得：或?

b—2\/2b=-2A/2

故a=2.

故選：B.

7.（2024?四川南充?二模）已知圓C:Y+2x+y2-l=0,直線/：尤+”（y—1）=0與圓C（）

A.相離B.相切C.相交D.相交或相切

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，直線/的方程為/：x+〃（y-l）=0,恒過定點（0,1）,

設P為(0,1),又由圓C:x?+2x+y2—1=0,即(x+1)~+=2,

其圓心為（T0）,半徑-0,

由|PC|2=『+『=2=r2,則尸在圓C上,

則直線/與圓C相交或相切.

故選：D.

8.（2024?高三?重慶九龍坡?階段練習）若直線尤->+加=0（耀>0）與圓（x-1）?+（y-1）?=3相交所得的弦長

為優(yōu)，則機=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】圓（x-iy+（y-l）2=3的圓心坐標為（1,1）,半徑為后,

|l-l+m|_m

圓心到直線x-y+機=0（機>0）的距離為二/^二正'

2

由勾股定理得=3,m>0,解得m=2.

故選：B.

9.（2024?遼寧?模擬預測）已知圓G：X2+>2=]6與圓C?：/+"+>+加_16=0交于A,B兩點，當

上變化時，|鋤|的最小值為4TL則加=（）

A.0B.±1C.±2D.±V3

【答案】C

【解析】兩圓的公共弦所在線的方程為：kx+y+m=O,圓心G到直線的距離為d=,

gk2

\AB\—2^16—>因為1+4221,所以J16—J]22416-m。，

所以2d16-病=4百，解得m=±2.

故選：C

10.(2024?高三?重慶?階段練習)已知圓C:(x-iy+(y-2)2=2,直線/：丫=履-1與圓C相離，點/是直

線/上的動點，過點”作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,若四邊形ACBM的面積最小值為26，則

()

A.k=-lB.k=-2

C.左=一1或左=工D.k=-l或k=-

72

【答案】C

【解析】圓C:(x-iy+(y-2)2=2的圓心為C(l,2),半徑r=0,

由題意可知：SCBM=2SA?=2X|X|AM|XV2=A/2|AM|>2A/3,

解得IAM2遙，即恒凹的最小值為指，可知|CM|的最小值為20,

11.(2024?高三.河南周口?開學考試)過圓O:/+y2=4外一點p(3,4)作圓。的切線，切點分別為A,B,

則陽=()

A4721口2V2Tr475n2V5

5555

【答案】A

如圖，由題意知|。4|=|。卻=2,PALOA,PB1OB,|OP|=V32+42=5,

所以|=1OP?-0解=0T,根據(jù)圓的對稱性易知0P1AB,

則;X|0P|X|AM=；X|0A|X|AP|X2,解得體同=生旦.

225

故選：A.

12.(2024?云南昆明?一模)過點尸(-2,0)作圓C：尤2+/-4尤-4=0的兩條切線，切點分別為A,B,則

四邊形B4cB的面積為()

A.4B.40C.8D.8近

【答案】C

【解析】由f+/一4彳一4=0,得解-2>+,2=8,則圓心(2,0)/=2痣,

貝”PC|=4,貝1]|尸<=J16-8=2及,

則四邊形R4CB的面積為2sPBC=2X；X20X2立=8.

故選：C

13.(2024?高二?全國?專題練習)已知圓C]：x2+y2+2x+8y-8=0和圓C2：(x-5y+(y-4)2=25,則圓G

與圓C2的公切線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，圓G：1+/+2x+8y-8=。，即(x+l)~+(y+4)?=25,

其圓心G半徑R=5,

22

|S|C2:(x-5)+(y-4)=25,其圓心G(5,4),半徑r=5,

兩圓的圓心距|C；C2|=J(5+1『+(4+W=I。=廠+尺，

因此兩圓外切；

則圓G與圓的公切線有3條.

故選：C.

2

14.(2024.高三.山東棗莊.期末)已知圓C：(x+l)2+(y+1>=1,0]C2:x+-4x-4y-1=0,則兩圓的

公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由題意圓G：（x+iy+（y+i）2=i是以（TT）為圓心1為半徑的圓；

22

C2:x+y-4x-4y—1=0即（x-2）-+（y-2y=9是以（2,2）為圓心3為半徑的圓；

圓心距滿足d=J9+9=3A/^>1+3=4,所以兩圓相離，

所以兩圓的公切線條數(shù)為4.

故選：D.

15.（2024?高三?河北衡水?階段練習）圓C|：（x-3）2+y2=9與圓C2：/+y2+8y=o的公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由6：5-3）2+丁=9可知圓心為（3,0）,半徑a=3,

6：/+/+22

由8>=0,BPC2:x+（y+4）=16,

則圓心為（0,-4）,半徑4=4,

則兩圓圓心距離為d=J32+42=5,6+4=7,r^-r2=-l,

故作-目+弓，即兩圓相交，故公切線條數(shù)為2條.

故選：B.

16.（2024?高三?江蘇蘇州?期中）圓尤2+V-6x+4y+12=0與圓/+y?一14了一2>+14=0的公切線的條數(shù)是

（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】圓/+y?-6x+4y+12=0化成標準方程為（%-3）2+（,+2）2=1,知Q（3,-2）,4=1

圓fV_14x-2y+14=0化成標準方程為（x-7）2+（y-l）2=36,知O2（7,1）,^=6

圓心距|O|Q|=J。-7『+（-2-=5=4_）,可知兩圓內切，則兩圓有1條公切線.

故選：A

二、多選題

17.（2024.廣東韶關?一模）已知圓加：％2+》2_6%一8'=0,點尸（2,2）,下列命題正確的是（）

A.圓M的圓心為（3,4）

B.過點P的直線可能與圓加相切

C.圓加上的點到點尸距離的最大值為5+逐

D.若以P為圓心的圓和圓加內切，則圓P的半徑為5-6

【答案】ACD

【解析】選項A：/+/-6%-8?=0變形為（x-3『+（y-4）匕25,

圓心為（3,4）,r=5,A正確；

選項B：22+22-6X2-8X2<0,故P點在圓內，

故過戶點的直線不可能與圓相切，B錯誤

選項C：圓加上的點到點尸距離的最大值為圓心（3,4）到P（2,2）的距離加上半徑，

即|PM|+r=J（3-2『+（4-2）+5=5+小,C正確；

選項D：兩圓的位置關系為內切，且點P在圓M的內部，則圓P的半徑為廠-|口⑷=5-岔，D正確.

故選：ACD

18.（2024?高三?湖南邵陽?階段練習）已知圓C:/+y2-2x=0,則下列命題正確的是（）

A.圓C的圓心是（0,1）B.點（1,0）在圓C內

C.圓C的最大弦長為2D.過原點可以作圓C的兩條切線

【答案】BC

【解析】將圓的方程化為標準方程可得（彳-1）2+丁=1,則圓C的圓心坐標為（LO）,半徑為1,

則圓C的最大弦長為2,

因為（0-1）2+。2=1,則原點在圓C上，則過原點可以作圓C的一條直線，

BC對，AD錯.

故選：BC.

19.（2024?遼寧葫蘆島.二模）過四點（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點的圓的方程為（）

A.（X-2）2+（J-1）2=5B.（X-2）2+（J-3）2=13

C.（尤一寺+（y_gy=22D.（工_1）2+（y-l）2=:

【答案】AB

【解析】對于A,點（0,0）,（4,0）,（4,2）在圓（尤-2）2+（）；-1）2=5上，故A正確；

對于B,點（0,0）,（4,0）,（-1,1）在圓。-2戶+（y-3）2=13上,故B正確；

對于C,點（0,0）,都不在圓（彳-寺+（y—）2=22上，故C錯誤；

對于D,點（4,0）,（-1,1）都不在圓。一『+"-1）2=：上，故D錯誤；

故選：AB.

20.（2024?云南紅河?二模）若圓Q:，+/+2x-3=0與圓。2：/+；/-2>-1=0交于A3兩點，則下列選

項中正確的是（）

A.點（1,-1）在圓。2內

B.直線A8的方程為x+y-l=O

C.圓。|上的點到直線A3距離的最大值為2+應

D.圓Q上存在兩點P,。，使得|尸。|>|/明

【答案】BC

【解析】對于A,因為f+（-1）2-2x（T）_l=3>0,所以點（1，-1）在圓外，故A錯誤；

對于B,因為圓J和圓。2相交，將兩圓方程作差可得：2x+2y-2=0,

即公共弦AB所在直線的方程為無+丫-1=0,故B正確；

對于C,圓J的圓心坐標為（T，0）,半徑為2,

圓心。?到直線AB：龍+>—1=0的距離為"=耳』=應，

所以圓。1上的點到直線A3距離的最大值為2+0,故C正確；

對于D,直線經(jīng)過圓。2的圓心（。，1），而0+1-1=0,

所以線段是圓5的直徑，故圓。2中不存在比長的弦，故D錯誤.

故選：BC.

21.（2024?河北滄州?模擬預測）已知圓和：/+》2—2x—2y—2=。，圓C?:廠+/—8尤—10y+32=。，則下

列選項正確的是（）

A.直線GQ的方程為4》一3y一1=。

B.圓G和圓C?共有4條公切線

C.若P,。分別是圓C1和圓C。上的動點，則|PQ|的最大值為10

25

D.經(jīng)過點C—C2的所有圓中面積最小的圓的面積為9兀

【答案】ACD

【解析】由題意得，圓C|：（x-l）2+（y-l）2=4的圓心半徑12,

圓C2：（x-4y+（y—5）2=9的圓心G（4,5）,半徑4=3,

對于A,直線Ge。的方程為p=gp4x-3y-l=0,所以A正確；

5-14-1

對于B,因為|C￡|=J（4T）2+（5-1）2=5且［+==2+3=5,可得|。￡|={+馬，

所以圓G與圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，所以B錯誤；

對于C,因為《。21=5,所以|P9的最大值為《。2|+4+4=1°，所以C正確；

對于D,當為圓的直徑時，該圓在經(jīng)過點C-C2的所有圓中面積最小，

此時圓的面積為7T0=%，所以D正確.

故選：ACD.

22.(2024?高二?湖南郴州?期末)已知圓C:x2+y2-4x-2y-13=0,則下列命題正確的是()

A.圓心坐標為(2,1)

B.直線-1=。與圓C相交所得的弦長為8

C.圓C與圓。:/+9=8有三條公切線.

D.圓C上恰有三個點到直線y=x+b的距離為血，貝|b=3或-5

【答案】ABD

【解析】對于A中，由圓C:x2+y2-4x-2y-I3=0,可化為(無一2丫+(y—l)2=18,

可得圓心C(2,l),半徑為「=3直，所以A正確；

對于B中，由圓心C(2,l)到直線/:x+y—l=。的距離為一=擊=應，

則相交弦長為2/2一筋=2后句口可=8,所以B正確；

對于C中，由圓0:/+y=8,可得圓心。(0,0),半徑弓=2亞，

可得|0。|=有，且廠_々=也升+4=5近，則—q<|OC|<r+/;,

所以圓。與圓C相交，可得兩圓有兩條公共切線，所以C錯誤；

對于D中，由圓C上恰有三個點到直線y=尤+6的距離為0,

―—l\2-l+b\I-

則滿足圓心C(2,1)到直線x-y+方=0的距離為20，即J~X=2垃,

解得人=3或6=-5,所以D正確.

故選：ABD.

23.(2024?黑龍江齊齊哈爾?一模)已知圓C|：(x-3)2+y2=i,C2：/+(y-a)2=16,則下列結論正確的有

()

A.若圓G和圓C?外離，則。>4

B.若圓C1和圓C?外切，則a=±4

c.當a=0時，圓G和圓C?有且僅有一條公切線

D.當。=-2時，圓G和圓C2相交

【答案】BCD

(解析1G(3,0),Q(0⑷,|CC|=y/9+a2,.=1,4=4.

若C1和C2外離，則|CC|=j9+q2>j+弓=5,解得。>4或。<-4,故A錯誤；

若C1和G外切，|C?=j9+a2=5,解得a=±4,故B正確；

當。=0時，]￡。2|=3=4一小G和內切，故C正確；

當a=-2時，3<|。02|=巫<5,￡和G相交，故D正確.

故選：BCD

三、填空題

24.（2024?高三?河北?階段練習）已知圓C滿足以下兩個條件：①圓C的半徑為若；②直線/:x-y+3=0

被圓C所截得的弦長為2.寫出一個符合以上條件的圓C的標準方程為.

【答案】（*+1）2+產(chǎn)=3（答案不唯一）

【解析】設圓C的圓心坐標為（。力），因為直線/：》->+3=0被圓C所截得的弦長為2,圓的半徑為

所以譚31]+『=（有了，整理得q—匕+3=2或°一人+3=—2,所以a—8=—1或=-5.

可取4=-1力=0,止匕時圓C:（x+l）2+y2=3.

故答案為：（x+iy+y2=3（答案不唯一）

25.（2024高三.浙江湖州?期末）已知圓C的圓心在直線y=x+l上且與y軸相切，請寫出一個同時滿足上

述條件的圓的標準方程：.

【答案】6+1）2+丁=1（答案不唯一，（x-a）2+（y-a-l）2=a2（aeR））

【解析】因為圓C的圓心在直線尸x+1上，不妨設其圓心C（a,a+l）（aeR）,

又因為圓C與V軸相切，則半徑為r=同，

所以圓C的標準方程為（尤―of+（y-a-l）2=a2（aeR）,

取。=—1,則一個同時滿足上述條件的圓的標準方程為（x+1）?+/=1.

故答案為：（x+l『+y2=l（答案不唯一，（x-a）2+（y-a-l）2=a2（aeR））

26.（2024?高三?全國?專題練習）圓心在直線2尸丁-7=0上的圓后與丁軸交于4（0,-4）,鞏0,-2）兩點，

則圓E的方程為.

【答案】（x-2）2+（y+3）2=5

【解析】由題意設圓心E（a,2a-7）,因為|網(wǎng)=|明=乙