PAGEPAGE1培優(yōu)點十四外接球一、墻角模型一、墻角模型例1：已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，．二、對棱相等模型二、對棱相等模型例2：如下圖所示三棱錐，其中，，，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】對棱相等，補形為長方體，如圖，設(shè)長寬高分別為，，，，．三、漢堡模型三、漢堡模型例3：一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為．【答案】【解析】設(shè)正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的半徑為，則，正六棱柱的底面積為，則，∴，，也可，，設(shè)球的體積為，則．四、切瓜模型四、切瓜模型例4：正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，各頂點都在同一球面上，則此球體積為．【答案】【解析】方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心處，，．方法二：大圓是軸截面所截的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特別，的斜邊是球半徑，，，．五、垂面模型五、垂面模型例5：一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A． B． C． D．以上都不對【答案】C【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上，，，．法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形的外接圓是大圓，于是，下略．六、折疊模型六、折疊模型例6：三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為．【答案】【解析】如圖，，，，，．法二：，，，，．七、兩直角三角形拼接在一起七、兩直角三角形拼接在一起例7：在矩形中，，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，故選C．對點對點增分集訓一、選擇題1．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故，即得，所以該球的體積．2．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，，則該三棱錐的外接球的半徑為（）A．3 B．6 C． D．9【答案】A【解析】因為三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以該三棱錐的外接球就是以三棱錐的三條側(cè)棱為棱的長方體的外接球，長方體的外接球的直徑等于長方體對角線；所以外接球的半徑為．3．在半徑為1的球面上有不共面的四個點，，，且，，，則等于（）A．2 B．4 C．8 D．【答案】C【解析】如圖，構(gòu)造長方體，設(shè)長方體的長，寬，高分別為，，，則，依據(jù)題意，，，則．4．正四面體的棱長為，頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正四面體底面三角形的外接圓的半徑，正四棱錐頂點究竟面的距離為，設(shè)正四棱錐的外接球的半徑為，則有，即，解得．則所求球的表面積為．5．始終三棱柱的每條棱長都是3，且每個頂點都在球的表面上，則球的半徑為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】球的半徑滿意直三棱柱底面三角形外接圓半徑．．6．已知直三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，，，，則球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】可推斷球心應(yīng)在連接上下直角三角形斜邊中點的線段的中點，那么半徑，就是．7．已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，由已知，，，∴面，∴，∴，∴，∴，取的中點，由直角三角形的性質(zhì)，到，，，的距離均為，其即為三棱錐的外接球球心，故三棱錐的外接球的表面積為．8．在三棱錐中，與都是邊長為的正三角形，平面平面，則該三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點為，，分別是正三角形和正三角形的中心，是該三棱錐外接球的球心，連接，，，，，，則，分別在，上，平面，平面，，，，所以為二面角的平面角，因為平面平面，所以，又，所以，所以四邊形為正方形，所以，在直角三角形中，球半徑，所以外接球的體積為．9．在矩形中，，現(xiàn)將沿對角線折起，使點到達點的位置，得到三棱錐，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．C． D．大小與點的位置有關(guān)【答案】C【解析】由題意，的中點為三棱錐的外接球的球心，∵，∴球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為．二、填空題10．已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的體積為．【答案】【解析】如圖所示，正四棱錐的外接球的球心在它的高上，設(shè)球的半徑為，底面邊長為，所以，在中，，即，所以，所以球的體積．11．假如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，它們的面積分別為、、，那么它的外接球的表面積是．【答案】【解析】由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為（），則，∴，∴，，，，．12．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為，則，，，∴，，，．13．在直三棱柱中，，，，，則直三棱柱的外接球的表面積為．【答案】【解析】，，，，，．14．已知三棱錐的全部頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為．【答案】【解析】，，．15．在直角梯形中，，，，，沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為．