重難點15函數綜合難題(復合函數、零點、高斯函數等)十二大題型匯總

題型解讀

題型5已知定義域值域問題題型11新定義函數

題型6定義域與值域相同問題題型12高斯函數

滿分技巧!

技巧一.函數零點的方向有：直接法、零點存在性定理法、圖象法.

L直接法即由f(久)=0求得函數的零點.

2.零點存在性定理法即利用;l(a)"(b)<0來判斷零點所在區間.

3.圖象法即利用圖象來判斷函數的零點

技巧二.關于復合函數的零點的判斷問題，

1.先將零點問題轉化為方程的解的問題；

2.解答時要采用換元的方法，利用數形結合法，先判斷外層函數對應方程的解的個數問題，繼而求解內層函

數對應方程的解.

技巧三.復合方程解的個數問題的解題策略為：

1.要能觀察出復合的形式，分清內外層；

2.要能根據復合的特點進行分析，將方程問題轉化為函數的交點問題；

3.通過數形結合的方式解決問題.

技巧四.求解復合函數零點問題的技巧：

1.數形結合法.分別作出的圖象；

2.若已知零點個數求參數的范圍，則先分析關于的方程的解的個數，再根據個數與的圖象特點，分配每個函

數值被幾個對應，從而確定每個函數值的取值范圍，即方程的根的情況，進而求解參數的范圍.

技巧五.利用二次函數的零點分布求參數，一般要分析以下幾個要素：

1.二次項系數的符號；

2.判別式；

3.對稱軸的位置；

4.區間端點函數值的符號.

5.結合圖象得出關于參數的不等式組求解.

技巧六.復合函數y=/(g(x))單調性滿足同增異減，

1.即若外層函數門。與內層函數g(x)均單調遞增,則y=f(g(x))單調遞增，

2.若外層函數/(t)與內層函數g(x)均單調遞減，貝Uy=/(g(x))單調遞增，

3.若外層函數f(t)單調遞增，內層函數g(x)單調遞減，貝3=f(g(x))單調遞減，

4.若外層函數/⑴單調遞減，內層函數g(x)單調遞增，貝3=/(g(x))單調遞減，

注意內層函數和外層函數的定義域的對應.

卻*題型提分練

題型1抽象復合型零點個數問題

?類型1中檔難度

—%2+2%比>0

一一二二n，

{111(Jx/JIfyCU

則函數y=/(/(%)-1)的零點個數是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先求/Xx)的零點，結合圖象判斷出函數y=/(/0)-1)的零點個數.

【詳解】由尸2+孑=0解得X=0或X=2,

構造函數9(%)=ln(-x)+1(%<0),

。(%)在(一8,0)上單調遞減，。(-3)=ln3-|>1-|=|>0,

g(-2)=ln2-1<0,所以g(%)存在唯一零點%oe(-3,-2),

所以對于［m(r)+i=0,有唯一解與e(-3,-2).

Ix<0

令y=mx)-1)=0,

得fO)-1=。或/'(久)-1=2或f(x)-l=x0,

得/'(x)=1或/(X)=3或/(x)=x0+1G(-2,-1),

x>0時，f(x)——x2+2x=—(x—l)2+1<1,

畫出f(x)的大致圖象如下圖所示,

由圖可知，函數y=-1)的零點個數是5.

故選：C

【點睛】求和函數的零點，可以考慮的方向有：直接法、零點存在性定理法、圖象法.直接法即由/Xx)=0求

得函數的零點.零點存在性定理法即利用f(a)?f(m<0來判斷零點所在區間.圖象法即利用圖象來判斷函

數的零點.

【變式(2022上?陜西寶雞?高一校考期末錯函數/⑺=f2匕嗎'：>n則函蜘⑺=f(f⑺)

IX十4%十三U,

的零點的個數為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】應用換元法，令f(X)=t,將復合函數f(f(X))拆為f(x)與f(t),利用解方程和函數圖像即可求解.

【詳解】當x>0時，由1+Inx=0,得x=-,

e

當％<0時,由％2+4%+3=0,得％=—1或%=—3

/0)的零點為-3,-1,1,

令/(%)=t,則/X。=0的根分別為“=一3,4=一1,J=]

結合/")的圖象可知，方程/(%)=h,/(%)=t2,/(%)=t3的根的個數分別為1,2,3,故g(x)=/(/(%))

的零點個數為6.

故選：C

【變式1-1】2.(2023上?全國?高一專題練習圮知定義在(0,+8)上的/(久)是單調函數目對任意久e(0,+8)

恒有f(/(%)+logix)=3,則函數/■(>)的零點為()

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】A

【分析】利用換元法，根據函數的單調性列方程，求得f0)的表達式，進而求得八支)的零點.

【詳解】根據題意，對任意xe(0,+00),者隋/，(x)+log”)=3,

即/'(f(X)-log2x)=3.

因為/(x)是定義在(0,+8)上的單調函數，所以7?(%)-10g2%為定值，

令t=/(%)-log2x,t>0,則/(x)=log2x+t,

由/(t)=3，得log2t+t=3,t=2,

y=log2t+t在(0,+8)上單調遞增，所以"2是唯一解，

則/(x)=log2x+2.

由/'(x)=log2x+2=。得x=i,即函數f(%)的零點為;.

故選：A

【變式1-1】3.(多選)(2023上?河北石家莊?高一石家莊二中校考階段練習)已知函數人久)=

"廣5°，下列關于函數V=/[/(x)]+1的零點個數的說法中，正確的是()

A.當k>1,有1個零點B.當k>1時，有3個零點

C.當k<0時，有9個零點D.當k=—4時，有7個零點

【答案】AD

【分析】設"%)=t,即有/Xt)=-1,再按k>1和k=-4討論并作出函物(x)圖象，數形結合即可判斷得

解.

【詳解】由y=0,得=-1,則函數y=/[/(x)]+1的零點個數即為/[/(%)]=—1解的個數,

設f(x)=t,則/(t)=-1,二次函數y=x2-kx+l,其圖象開口向上，過點(0,1),對稱軸為X=，

當k>1時，y=%2-kx+1在(-8,0]上單調遞減，且y>1,如圖，

由/(t)=-1，得10g2t=-1,解得t=|,由/'。)=t,得01g2%=|,解得X=V2,

因此函數y=/[/(%)]+1的零點個數是1,A正確，B錯誤;

當k=一4時，/(x)=/0,作出函數/(久)的圖象如圖，

由圖象知/⑹=-1有3個根，當t>0時，log2t=-1,解得t=|;

當tW0時，/+g+1=-1,解得t=一2±&,

當t=5時,/(%)=；,^log%=，，則％,若/+軌+1=},貝卜=一2±孚，此時共有3個解;

當t=-2+/時，/'(X)=-2+V2,止匕時log2%=-2+四有1個解,

x2+4x+1=-2+V2,即(％+27=1+/有2個解，

當t=一2—&時，/'(%)=-2-V2,止匕時log?%=-2—迎有1個解,

%2+4%+1=-2—應即(x+2產=1-V2<0無解，

因此當k=—4時，函數y=/[/(%)]+1的零點個數是7,D正確，C錯誤.

故選：AD

【點睛】方法點睛：關于復合函數的零點的判斷問題，首先將零點問題轉化為方程的解的問題；解答時要

采用換元的方法，利用數形結合法，先判斷外層函數對應方程的解的個數問題，繼而求解內層函數對應方

程的解.

【變式1-1J4.(多選)(2023上?全國?高一專題練習)已知函數y=f(x)和y=g(x)在[-2,刀上的圖象如

圖所示，則下列結論正確的是()

A.方程/'(儀功)=0有且只有6個不同的解B.方程(切)=。有且只有3個不同的解

C.方程/(/(為)=。有且只有5個不同的解D.方程g(g(x))=。有且只有4個不同的解

【答案】ACD

【分析】令1=gO),結合圖象可得/⑴=0有3個不同的解。,，打，不妨設G<t2<t3l則可知-2<

2

ti<-1,t2=0,1<ts<令巾=f(x)結合圖象可得g(m)=0有2個不同的解小1不妨設<rn2,

貝U可知-2<m1<-l,0<m2<l,再數形結合求出復合函數的解的個數.

【詳解】A選項，令”5(x),結合圖象可得f(t)=0有3個不同的解打,t2lt3,

不妨設。<12ct3,貝呵知—2<ti<-1,t2=0,1<t3<2,

由圖可知gO)=匕有2個不同的解，g(x)=《2有2個不同的解，g(x)=G有2個不同的解，

即/(9(為)=0有6個不同的解，A正確；

B選項，令m=f(x),結合圖象可得g(>n)=0有2個不同的解m1，m2,

不妨設7nl<m2,貝!I可知一2<<-1,0<m2<1,

由圖可知f(%)=Mi有1個解,f(x)=巾2有3個不同的解，

即鼠打%))=0有4個不同的解，B錯誤；

C選項，令m=/(x),結合圖象可得/(m)=0有3個不同的解?n1，，皿3

且一2<mi<-1,m2=0,1<m3<2,

由圖可知/'(%)=隊有1個解,f(x)=g有3個不同的解，/(%)=g有1個解，

即/(/(X))=o有5個不同的解，C正確；

D選項，令匕=g(x),結合圖象可得g(t)=。有兩個不同的解匕,t2

不妨設ti<t2,則可知-2<ti<-1,0<t2<1,

由圖可知g(x)=。有2個不同的解，g(x)=4有2個不同的解，

即g(g(x))=0有4個不同的解，D正確.

故選:ACD.

「3久—1支v1

【變式1-1]5.(2023上?遼寧鞍山?高一鞍山一中校考期中)已知函數,則函數FQ)=

(?X)X

Ix-1

/[/(%)]+1/(%)-2的零點個數是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據函數解析式，結合其單調性求其值域，利用分類討論思想，結合零點存在性定理，可得答案.

【詳解】當X<1時,易知f(X)=3>1單調遞增,則/⑺<1；

當x>1時，/(x)=二=-1+工，貝此-1>00—>0今一1+->—1,

7x-1x-1x-1x-1

令三>1,解得1<|,令三W1,解得％,

x—12X—12

當*<1時，F(x)=331-1+13X-1-2,令[=3、Te(0,1],

令h(t)=+|-t-2,由函數y=與函數y=|t-2在(0,1]上單調遞增，

則函數九。)在(0,1]上單調遞增，所以似。Wh(l)=-|<0,

故函數F(x)在(-8,1]上無零點；

2—X

當1<%〈三時，F(x)=+1,^-2=—+--2,

2'—--13x-13-2x3X-3'

x-1

令F(x)=0,則當+蕓—2=0,化簡可得23/-58x+36=0,

3—ZXJX—J

△=(—58)2-4x23x36=52>0,由對稱軸*=||e(1,|),

當x=1時，23—58+36=1>0,當x=|時，23X(|?-58xj+36=^>0,

所以方程23/一58%+36=。在(1,|)有兩個不相等的實數根，

故函數尸0)在(1,|)上有兩個零點；

當x>|時,F(x)=3二J-+1.三-2,令m=三,

ZoX—1X—1

整理可得爪=_i+￡,易知該函數在[|,+8)上單調遞減，則巾e(-1,1],

可得h(ni)=37nt+1m-2,由函數y=3久-】與函數y=|x-2在(一1,1]上單調遞增，

則田山)在上單調遞增，所以Mm)</i(l)=-|,

故F(x)在停,+8)上無零點.

綜上所述，函數FQ)在其定義域內有兩個零點.

故選：C.

?類型2高檔難度

【例題1-2](多選X2023上?山東煙臺?高一校考期末)已知函數f⑺=右°，若。(久)=fV(無))+

1,則()

A.當a>0時，g(x)有4個零點B.當a>0時，g(x)有5個零點

C.當a<0時，gO)有1個零點D.當a<0時，gO)有2個零點

【答案】AC

【分析】先求得a>。時g(%)零點個數判斷選項AB,再求得a<0時g(x)零點個數判斷選項CD.

【詳解】當a>0時,令/㈤=t,由f(t)+1=0,即/(t)=-1

解得t=L或t=e或t=-2,

ea

作出函數了㈤的圖象，如圖1所示，貝!It=海一解，t=e無解，t=-蕾三解，

故/。)=t有4個不同的實數解，

即當a>0時，g(久)有4個零點，故A正確，B錯誤；

當a<0時,令f(x)=t,所以/'(t)+1=0,即/'(t)=-1

解得t=(或t=e或t=-，由t=-1>0,故舍去,

作出函蜘⑺的圖象，如圖2所示，貝肚=十無解，t=e有一解,

故/(x)=t有1個實數解，

即當a<0時,g(x)有1個零點，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

【變式1-2】1.(多選)(2023上?四川綿陽?高一綿陽中學校考期末)已知函數/(%)=產：函

IC"T"乙,JCU

數9(久)=m,則下列結論正確的是()

A.若x=0,貝(]f(f(x))=0B.若f(/(%))=0,貝女=0

C.若m=4，則gQr)有3個零點D.若3<機<4,則g(久)有5個零點

【答案】ACD

【分析】對A：直接計算即可；對B：先求得f⑺=0或f(x)=4,再求無值；對CD：先由/(/(%))=m求

得/O)=G,i=1,2,3,-,再依次求/O)=匕的解.

【詳解】對A:/(0)=0,/(/(0))=/(0)=0,故A正確；

圖1

對B：若/■(/■(?)=0,貝Uf(x)=。或f(x)=4,

當/(x)=0時,%i=。或%2=4,

當/(%)=4時,由圖1可知X3=匕或%4=2,故B錯誤；

對C：若/?(/(￡))=4,由圖1可知則/0)=h或/Q)=2,

當/(x)=七時,由々<0知只有一解,

當;"(X)=2時，由圖可知有兩解，

故9(%)有3個零點，故C正確；

對D：若3<m<4,/'(/'(%))=m,由圖2知/'CO=t2<0或/(%)=t3&(1,2)或/(刀)=t4E(2,3),

當f(X)=[2<0時,只有一根,

當/(x)=t36(1,2)時,只有兩根,

當/(X)=t4e(2,3)時,只有兩根，

所以(為)=小共有5根，故D正確.

故選：ACD

【點睛】方法點睛:求/(gO))=m解個數方法:先/'(gO))=加得g(x)==1,2,3,…，再進一步由g(x)=

碼分別求出x的個數，所有x的個數總和為方程f(g(x))=加解個數.

【變式1-2】2.(多選)(2023上?河北石家莊?高一石家莊二中校考階段練習)已知函數/Xx)=

/0-下列關于函數V=/[/(x)]+1的零點個數的說法中，正確的是()

10g2%,%>U

A.當k>1,有1個零點B.當k>1時，有3個零點

C.當k<0時，有9個零點D.當k=—4時，有7個零點

【答案】AD

【分析】設/(%)=t,即有｛)=-1,再按k>1和k=-4討論并作出函數/Xx)圖象，數形結合即可判斷得

【詳解】由y=0,得/W)]=-1,則函數y=/[/(%)]+1的零點個數即為用(明=—1解的個數，

設f(X)=t,則/'(t)=-1,二次函數y=x2-kx+l,其圖象開口向上，過點(0,1),對稱軸為久=1,

當k>1時，y=/-fee+1在(-8,0]上單調遞減，且y21,如圖，

由/(t)=-1，得10g21=-1,解得t=|,由/'0)=t，得log?%=|,解得久=V2,

因此函數y=/[/(%)]+1的零點個數是1,A正確，B錯誤;

當k=-4時，/(%)=1。，作出函數f(x)的圖象如圖，

由圖象知/⑹=一1有3個根，當t>0時,log2t=-1,解得t=|；

當t<0時，/+g+1=-1,解得t=-2±V2,

當"泄，/(%)=1/若log2%=J貝卜=魚，若%2+4%+1=(，貝！]%=-2土，，此時共有3個解;

當t=一2+魚時，/(%)=-2+&,止匕時log2%=-2+魚有1個解，

x2+4x+1=—2+V2,即(x+2)2=1+或有2個角軍,

當t=-2-應時，/(%)=-2-V2,止匕時log2%=-2-也有1個解,

x2+4x+1=-2—&即(x+2)2=1—V2<0無解，

因此當k=-4時，函數y=/[/(%)]+1的零點個數是7,D正確，C錯誤.

故選：AD

【點睛】方法點睛：關于復合函數的零點的判斷問題，首先將零點問題轉化為方程的解的問題；解答時要

采用換元的方法，利用數形結合法，先判斷外層函數對應方程的解的個數問題，繼而求解內層函數對應方

程的解.

【變式1-2]3.(多選)(2023上?江蘇鎮江?高一江蘇省鎮江第一中學校考階段練習)已知函數/(%)=

：I,,”q,則方程/&⑺)_m=0(meR)實數根的個數可以為()

A.4B.6C.7D.9

【答案】ACD

【分析】設/'(x)=t,分別討論m<0,m=0,0<m<l,m=1或m=1,方程/'(t)=m的實數根個數，

從而可得答案.

【詳解】設/'0)=t,則/(t)=m(meR),則=m(meR),

畫出函數f(%)的圖象,

①若山<0時，方程f(t)=血沒有實數根，

②若m=0時,方程/(t)=m有2個實數根％不，匕=一1或。=1,

當。=-1時，函數y=f0)的圖象與直線y=。沒有交點，

當t2=1時，函數y=/(x)的圖象與直線y=12有4個交點,

所以m=0時，方程/(/(%))-m=0(mGR)實數根的個數為4.

③若0<zn<1時，方程/■⑴=巾有4個實數根t3,Q，砥％，

令|lnx|=1,解得：x=:或x=e,

由圖象觀察可知，t3e(-2,-1),t4G(-1,0),t5eQ,l),t6e(l,e),

函數y=/O)的圖象分別與直線y=ti(i=3,4,5,6)有0,0,4,3個交點,

所以若0<小<1時，方程/■(/■(?)-m=0(meR)實數根的個數為7.

④若m=1時，函數/Q)=瓶有4個實數木艮辦生，?ho，

則b=-2或%=。或%=g或Go-e,

函數y=/O)的圖象分別與直線y=t；(i=7,8,9,10)有0,2,4,3個交點，

所以若巾=1時,方程/'(f0))-m=0(meR)實數根的個數為9.

⑤若m>1時，方程/'(I)=??1有3個實數根tn，2，a3，

由圖象觀察可知，tnC(—oo,—2),t12E((J,：)it136(e,+oo),

函數y=/'(X)的圖象分別與直線y=t；(i=11,12,13)有0,4,3個交點，

所以若小>1時，方程/'(/■(?)-巾=0(meR)實數根的個數為7.

故選:ACD.

【點睛】關鍵點晴：本題的關鍵在于令f(%)=t，將題意轉化為方程7?0)=爪的實數根個數，分類討論小的

范圍，畫出函數f(%)的圖象，結合圖象求解.

【變式1-2]4.(多選)(2023上?廣東茂名?高一校聯考階段練習)已知函數f⑺=x2-ax,則下列判斷

正確的是()

A.若f(x+2)為偶函數，貝［］a=4

B.若％e［0,m］,f(x)的值域為［0,河，貝U0<m<1

C.若關于x的方程|/(x)|=%+1有4個不同的實數根，貝！|a<-1或a>3

3

D.WaeR,關于X的方程/(f(x))=ax-a?/不可能有3個不同的實數根

【答案】ABD

【分析】對于A,由題意可得f(x)的對稱軸，從而可得a的值即可驗證；對于B,對于對稱軸位置分類討論

即可；對于C,畫出圖形，通過數形結合對a分類討論即可；對于D,將函數方程的根轉換為新的函數的根

來研究即可.

【詳解】若/。+2)為偶函數，則/(x)關于直線％=2對稱，:|=2,a=4.故A正確.

a>0時］>0,而當xe卜，外時，

所以我06［0,M,使/'(與)<0,不符合題意；

aW0時，/(x)=(x-1)-《■在［0即］單調遞增，二/(0)=0,/(m)=m,

即血2—am=m,

解得TH=0(舍去)或TH=。+141,??.0VTH41.故B正確.

對C,a=0時，|/(嗎|=%2=%+1只有兩個不同的解，顯然不符合題意，

a>0時，函數y=1/(%)|與直線y=%+1有4個交點，由圖可知，

只需方程一/+ax=x+1有兩個不同解，.?.A=(1-a>-4>0,解得a>3或a<-1(舍去)；

當aV0時，由圖可知，a>-1且-％2+a%=%+1有兩個不同解，顯然a不存在.

綜上，當a>3時，方程|/(久)|=x+1有4個不同實數根.故C錯誤.

對D,方程=ax3—a?/可化為了(%3_3ax2+2a2%—ax+a2)-0

x=OgJix3—3ax2+2a2x—ax+a2=0

令g(x)=x3—3ax2+2a2x—ax+a2,g[x+a)=%3—(a2+a)x為奇函數，

???g(%)的圖象關于(a,0)對稱，g(a)=0,g(x)=。的實數解為1個或3個,

當a=0時，。(久)="只有唯一實數根％=0,則原方程只有一個實數根；

當a豐。時,g(0)=a20,g(x)=0有異于0的1個或3個實數根，

此時，原方程有2個實數根或4個實數根，故D正確.

故選:ABD.

【點睛】關鍵點睛：本題的綜合性比較強，關鍵是充分理解函數的一些基本性質概念，適當的時候還要去

數學結合、抽象出一些規律才可順利求解.

【變式1-2]5(多選I2023上遼寧?高一沈陽市第五十六中學校聯考期中)已知函數/⑺=

則下列說法正確的是()

A.函數f。)在(-2,0)U(3,+8)上單調遞增

B.若方程/'(X)=(2有3個不等的實根勺,久2，久3，貝11a的取值范圍是(0,3)

C.若方程/(%)=。有3個不等的實根%1，%2，%3，則久1+%2+%3的取值范圍是(4,6)

D.方程f(f(x))=有4個不等的實根

【答案】BD

【分析】畫出函數/(%)的大致圖象，結合圖象可判斷AB;設X]<%2<%3，結合圖象可得-2<%!<-1,

且&+巧=6,進而判斷C；令f(久)=t(t<4),則/'(t)=￡，分0<tW4和t<0兩種情況結合圖象討論求

解即可判斷D.

(lx-31%>0(-%2+4,x<0

1

【詳解】函數/⑴=2=r+3,0<x<3,

(-%2+4,%<0(-3

由圖可知，函數f(x)在(-2,0)和(3,+8)上分別單調遞增，故A錯誤；

要使方程=。有3個不等的實根，

則函數y="X)和y=。有3個交點，則0<a<3,

由—/+4=3(無<0),得x=-1,

不^方I殳巧<g<%3'由圖可"知，—2<X]<—1,且_刀2+%3=2x3=6,

所以4<%1+x2+x3<5,即+*2+%3的取值范圍是(4,5),故C錯誤；

由圖可知，函數/(%)的值域為(-8,4],

由/("X))=/(X),令/(x)=t(t<4),則(⑴=t,

當。<t<4時,|t-3|=t,解得t=|,

由圖可知，方程f(%)=|的有個3不等的實根；

當TO時，-產+4=~解得”普1,

由圖可知，方程/(%)=3歲的有個1不等的實根，

綜上所述，方程/(/(乃)=/(%)有4個不等的實根，故D正確.

故選：BD.

【點睛】方法點睛：方程的根相關問題，常常轉化為函數與函數的交點問題，結合圖象進行求解.

【變式1-216.(多選)(2023上?吉林長春?高一吉林省實驗校考期中)已知函數/(%)=

因裔則下列說法正確的是()

A.當巾<—2,n<—2時，f(m+n)=/(m)+f(n)+8

B.對于V%ie(0,+oo),v%2e(-oo,0),|/(xi)-/(x2)l<3

C.函數y=/(/(%))+a(aeR)可能有6個不同的零點

D.若滿足不等式比(/(x)-a)20成立的整數比恰有兩個，則整數a的取值有9個

【答案】ACD

【分析】化簡/(功的解析式，然后根據最值、零點、不等式等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

—3x2+6x,x>0

—3x2+6x,x>0

【詳解】/(%)=2%+4,-24%V0

|3x+6|—%—2,x<0z

.-4x—8,%V—2

A選項，當％<-2時,/(x)=-4%-8,

f(m+ri)=-4(m+n)—8=—4m—8+(—4n—8)+8=f(m)+f(n)+8,

所以A選項正確.

B選項，當％>0時，/(x)=-3x2+6%=—3(%—l)2+3,

/(1)=3/(2)=0/(3)=-9,|/(1)-/(3)|=10>3,所以B選項錯誤.

C選項，令+a=0,得y(/(x))=-a,

畫出f(x)的圖象如下圖所示，

由「咒受=3解得一，由警妻藍解得%=-i-

由「4；1葭3解得“=

當a=-3時，由/■(;■(>))=3可得/(x)=1或/"(X)=-|或/0)=-y,

由圖可知/(%)=1有4個解；/(%)=-弟1個解；/(%)=-個解.

Z4

貝好(/(%))+。=。有6個不同的零點，所以C選項正確.

當%>0時,由％(/(%)-a)20,得/(%)>a,

即U/；6,a①，

當—2<x<0時，x(/(x)—a)=x(2x+4—a)>0z2x+4—a<0,

—2<x<0

x<-2+^?'

當％<—2時,%(/(%)—a)=x(—4x—8—a)>0,—4x—8—a<0,

x<-2

%>上=一2,③，

-44

下面分類討論a的取值：

當a<-9時，由圖可知，不等式組①至少有3個整數解，不符合題意.

當-9<a<0時，不等式組①的整數解是1,2,

此時-1<^<0,0<^<|,

不等式組②三_2+±無解，不等式組③[%2—2-±無解，

所以a=—8,—7,—6,—5,—4,—3,—2,—1時，符合題意.

當a=0時，不等式組①的整數解是1,2.

不等式組②{二芝;°的整數解是-2；不等式組③{:<[:無解，

所以a=0時，不符合題意.

當a=1時，不等式組①的整數解是1,

—2<%V01%V—2

<_3的整數解是-2,不等式組③/>_9無整數解，

{x

所以a=1時，符合題意.

當a=2時，不等式組①的整數解是1,

不等式組②{：式:°的整數解是-2,-],不等式組③，;二:無整數解，

所以a=2時，不符合題意.

當a=3時，不等式組①的整數解是1,

X<_1的整數解是—2,-1,不等式組③1>_ii無整數解,

所以a=3時，不符合題意.

當a=4時，不等式組①無解，

不等式組②{-20的整數解是-2,-1,不等式組③{;<]:的整數解是-3,

所以a=4時，不符合題意.

當a>5時，不等式組①無解，

a5a5

2—2，4-4，

(—2<x<0

不等式組②[x<_2+巴的整數解是一2，-1，

不等式組③W>一2-巴至少有1個整數解一3，

所以a>5時，不符合題意.

綜上所述，a的取值可以為-8,-7,-6,-5,-4,-,共9個，所以D選項正確.

故選：ACD

【變式1-2]7.(2023上?重慶?高一四川外國語大學附屬外國語學校校考階段練習)已知定義在R上的函數

f(x)=x2\og+2xlog科+log>0t耐立,

(1)求a的取值范圍

(2)判斷關于%方程/(/(0)=9x在xe[1,+8)上是否有實根？并證明你的結論.

【答案】Q)0<a<l

(2)沒有，證明見解析

【分析】(1)根據對數的運算性質，結合對數函數的單調性進行求解即可；

(2)利用換元法，結合二次函數的單調，性進行求解即可.

2

【詳解】(1)/(%)=xlog2誓-2xlog2誓+210g2答>0,

化簡，得3/+(x2一2x+2)log2磬>0,

因為/—2x+2=(x-1)2+1>0,所以log?答>恒成立

顯然尸念<0，當》=0時等號成立?

所以只要啕2宇>0,即宇>1臺用<0,

/ZClzciza

解得*0<(Z<1；

2

(2)令t=log2誓>0,則/(%)=(3+t)x—2tx+2t,

令g(%)=/(%)—3%=(3+t)x2—(2t+3)x+2t,

又該二次函數的對稱軸為：X=言<1,得9(%)在口+8)上單調遞增，

g(x)>g(l)=t>0,故了(久)>3x>x>1

從而f(7(x))>3/(%)>9x,故/■(/■(?)=9萬在［1,+8)無實根.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法，結合對數函數的單調性進行求解.

題型2二次復合型零點個數問題

【例題2】(多選)(2023上?湖北荊州?高一洪湖市第一中學校聯考階段練習)已知函數f(x)=|(j)X-1|,

則下列關于X的方程［〃x)］2-(x)+k=0的命題正確的有()

A.存在實數k，使得方程恰有1個實根

B.不存在實數k，使得方程恰有2個不等的實根

C.存在實數k，使得方程恰有3個不等的實根

D.不存在實數k，使得方程恰有4個不等的實根

【答案】ACD

【分析】令U=f(X),y=g(u)=U2-2ku+fc,利用圖象分別研究ke(0,1),k=0,k=l,k<0,k>l

下的根的情況.

【詳解】令a=f(x),y=g(u)=u2-2ku+k,

作出函數u=/(x),y=gQ)的圖象如圖:

g(u)="2—2ku+k—(u-fc)2+k—k2,,

9min(x)=g(k)=k-k2,

當ke(0,1)時，gmin(x)>0,方程gQ)=。無解，即方程g(f(x))=。無解；

當k=0時,g(u)=0,解得a=0,此時/(x)=0恰有一個根，即方程g(/(%))=0恰有一^??根；

當k-1時,g(a)=0,解得a=1,此時/'(%)=1恰有一^根，即方程g(/(%))=0恰有一^?1根；

當k<0時，g(0)=fc<0,g(l)=l-k>0,g(u)=0有一個根在(0,1)內，另一根在(—8,0)內，此時方

程9(/0))=0恰有兩個不等實根；

當k>1時，g(0)=fc>0,g(l)=1-k<0,g(u)=0有一個根在(0,1)內，另一根在(L+8)內，此時方

程g(f(久))=0恰有三個不等實根；

故選:ACD.

【變式2-1]1.(2023上?山東青島?高一校考階段練習)已知函數/⑶是定義在(-8,0)u(0,+8)上的偶

—11,0VxW2

工"v_2、V、2,則函數g(久)=8(/(%))2-6/(%)+1的零點個數為.

3八%一乙)，X＞乙

【答案】16

【分析】由9(久)=0可得f(久)=；或/0)=；,由函數f0)是偶函數，結合函數y=f(久)的圖象求出x＞。時

Z4

的零點個數即得.

【詳解】由g(x)=0,即[2/(%)-1]附⑺-1]=0,得f(x)=?或/■")=2,

Z4

則函數y=g(x)的零點，即函數y=/(久)的圖象與直線y=，口y=為勺交點橫坐標，

而/'(X)是(-8,0)U(0,+8)上的偶函數，于是只需求出當尤＞。時y=f(x)的圖象與直線y=之和y=羊勺交點

個數，

當0<x<2時,/-(%)=\x-1|G[0,1],

當2<xW4,即0<x—2W2時，/(x)=|/(x—2)=如一3|6[0,勺，

當4<xW6,即2<x—2W4時，f(x)=泳x-2)=：比一5|6[0,曰，

當6<%S8,即4<x—2W6時，/(x)="(%-2)=||%-7|6[0,

ZoO

顯然當久>6時，0W/(%)<:,作出函數y=/(%)在(0,8]上的圖象及直線y=共口y=:,如圖，

觀察圖象知，函數y=/(%)的圖象與直線y=1有3個交點，與直線y=:有5個交點，

因此當%＞0時，y=/'(%)的圖象與直線y=昔口y=羊勺交點共有8個，

則偶函數y=f(%)在(-8,o)u(0,+8)的圖象與直線y=1和y=扣勺交點共有16個，

所以函數9(尤)=8(/(%))2-6/(%)+1的零點個數為16.

故答案為：16

]]g(_|+1%V0

【變式2-1]2.(2023?全國?高一專題練習)已知函數/(%)=nV',則函數y=尸⑺-

3+1，心0

3/(%)+2的零點個數是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】將函數y=f2M-3/(x)+2的零點個數轉化為方程f(%)=1和f(x)=2根的個數，然后再轉化為

函數f(x)與y=l,y=2圖象交點個數，最后結合圖象判斷即可.

【詳解】函數y=f2(x)-3f(x)+2=[/(x)-l][/(x)-2]的零點，

即方程fO)=1和/Xx)=2的根，函數.(%)="的圖象，如下圖所示：

-+1,X>0

由圖可得方程f(x)=1和f(無)=2的根，共有4個根，即函數y=2f2(久)—3/0)+1有4個零點.

故選：C.

【變式2-1]3.(2023下?云南紅河?高一開遠市第一中學校校考階段練習)已知/⑺=0,則

函數y=3f2(久)一2f(x)的零點個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由f(x)解析式及指對數的性質分析分段函數的性質，求函數y=0時對應Ax)值，應用數形結合法

判斷零點個數.

【詳解】由題設，當％<0時f(無)eR且遞減，當％>0時f(無)e(0,1)且遞減，

令t=/(x),則y=3t2-2t=0,可得"0或1=|,如下圖示：

由圖知：t=0時有一個零點，t=用寸有兩個零點，故共有3個零點.

故選：C

【變式2-1]4.(2023上?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊市第二十三中學校考階段練習)設定義域為R的函數

\x-1|,%>0

/W=13W。,則關于X的函數y=3產⑺-2/⑺的零點個數為

【答案】4

【分析】由y=3/2(x)-2/(%)=0可得出/(x)=|或/"(%)=0,數形結合確定方程f(x)=|、/(%)=。的根

的個數,即可得解.

【詳解】由y=3/2(x)-2/(%)=0可得/■(%)=|或f(x)=0,如下圖所示：

由圖可知，直線y=|與函數/(X)的圖象有三個交點，

函數〃X)的圖象與無軸只有一個公共點，

因此，關于X的函數y=3/2(x)-2f(%)的零點個數為4.

故答案為：4.

loga(x+1),-1<X<1

【變式2-1]5.(2023下?遼寧?高一校聯考階段練習)已知函數/(%)=Z1V、1,(a>0且

'x>1

a#1)的最小值為-1.

Q)求a的值；

(2)設函數g(x)=6[/(x)]2+m/(x)-m2(m>0),求g(x)零點個數.

【答案】(l)a=5

(2)答案見解析

【分析】(1次>1,/(x)=-在(1，+8)上單調遞增所以要使了0)取得最小值-1，則/(%)=loga(x+1)

在(-1,1]上單調遞減即loga2=-1,即可得出答案；

(2)由題意可得要求g(x)的零點個數，即求f(x)的圖象與兩直線y=-”=齊勺交點個數，作出f⑺在

(-1,+8)上的圖象，結合圖象即可得出答案.

【詳解】(1)當％>1時，/(%)=—住y在a,+8)上單調遞增，止匕時/?(>)>/(1)=—1無最小值.

要使/'(X)取得最小值-1,貝如0)=loga(x+1)

在(—1,1]上單調遞減，所以0<a<1,則】oga2=-1,所以a=1.

(2)令g(x)=0,則6[/(x)]2+mf(x)—m2=0,

解得“切:三或八乃二一三.

要求90)的零點個數，即求/(%)的圖象與兩直線y=-，y=/的交點個數.

由(1)可作出了(%)在(-1,+8)上的圖象，如圖所示，

當m=。時，所以/'(X)=0,解得x=0，/■(%)的圖象與直線y=0有1個交點；

當m>0時，若一羨〉,即0<小<1時，fO)的圖象與兩直線y=-y,y-軟3個交點；

若—1WW-，即1W皿W2時，/(x)的圖象與兩直線y=_”=簧2個交點；

若—￡<一1,即m>2時,f(x)的圖象與兩直線y=-y,y=yWl個交點.

綜上，當0<m<1時，g(x)有3個零點；當1WtnW2時，g(x)有2個零點；當m>2或m=0時，g(x)有

1個零