專題16極值與最值

【考點預測】

知識點一：極值與最值

1、函數(shù)的極值

函數(shù)/(X)在點七附近有定義，如果對X。附近的所有點都有/(x)</(x0),則稱/(x0)是函數(shù)的一個極大

值，記作為大值=/(%).如果對X。附近的所有點都有/(x)>/(x0),則稱“X。)是函數(shù)的一個極小值，記作

y極小值=/(x°).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱不為極值點.

求可導函數(shù)/(X)極值的一般步驟

(1)先確定函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求導數(shù)f\x)；

(3)求方程/'(x)=0的根；

(4)檢驗/(x)在方程(。)=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，

那么函數(shù)y=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/(x)

在這個根處取得極小值.

注①可導函數(shù)在點％處取得極值的充要條件是：/是導函數(shù)的變號零點，即/(%)=0,且在％左

側(cè)與右側(cè)，/'(x)的符號導號.

②/'(x0)=0是％為極值點的既不充分也不必要條件，如〃x)=x3,/,(0)=0,但x0=0不是極值點.

另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)/(x)=|x|,在極小值點x0=0是不可導的，于是有如下結(jié)論：/為

可導函數(shù)/(X)的極值點=>尸(%)=0；但/'(Xo)=ogro為/(X)的極值點.

2、函數(shù)的最值

函數(shù)>=/(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)/(x)最小值為極小值與靠近極

大值的端點之間的最小者.

1

導函數(shù)為/(x)=ax+bx+c=a(x-X1)(x-x2){m<xi<x2<n)

(1)當。>0時，最大值是〃再)與了伽)中的最大者；最小值是與/(M中的最小者.

(2)當a<0時，最大值是"馬)與人間中的最大者；最小值是〃網(wǎng))與/(”)中的最小者.

一般地，設(shè)y=/(x)是定義在0,n］上的函數(shù)，y=f(x)在(根,n)內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)y=/(x)在pw,n］

上的最大值與最小值可分為兩步進行：

(1)求y=/(x)在(〃［，")內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將y=/(x)的各極值與/(⑼和/(〃)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值

是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值;

②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；

③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值/(x)1nhi和最大值”冷皿，則

不等式/(x)>a在區(qū)間D上恒成立o/(x)*〉。；

不等式/(x)Na在區(qū)間D上恒成立o/(x)m,n>?;

不等式“X)<6在區(qū)間D上恒成立o/(%)_<b；

不等式〃x)<6在區(qū)間D上恒成立=/(x)max<b；

(2)若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大(小)值，且值域為(加，n),則

不等式/(x)>“(或/1(X)2a)在區(qū)間D上恒成立<=>m>a.

不等式/(，〈/或/⑺4^在區(qū)間D上恒成立=加W6.

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在最小值血n和最大值/(X)—,即〃x)e[加,〃],則對不等式有解

問題有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間D上有解oa<〃x)1rax；

不等式aW/(x)在區(qū)間D上有解oaW/(x)1mx;

不等式a>/(x)在區(qū)間D上有解=a>f(x)m，n;

不等式aN/(x)在區(qū)間D上有解oa>f(x)mjn;

(4)若函數(shù)〃x)在區(qū)間D上不存在最大(小)值，如值域為(加，冷，則對不等式有解問題有以下結(jié)

論：

不等式a</(%)(或.4/(X》在區(qū)間D上有解

不等式6>/(x)(或2/(X))在區(qū)間D上有解

(5)對于任意的再e[a,可，總存在馬€向,n],使得/(再抬名6)。〃士)111ax4g仁)111ax;

(6)對于任意的”[a,6],總存在々Wm,句,使得了(再)2g(%)=/(再置2；

⑺若存在再式2b],對于任意的％e[m,n],使得/(再)4g(x?)O〃再「4g(%)1nto；

(8)若存在b],對于任意的％e[m,n],使得/(xjNg(z)o/(再)111axN8㈤111ax；

(9)對于任意的”[a,b],x2e[m,"]使得/(xjvg(x2)o/(xj1rax4g優(yōu)號；

(10)對于任意的西?,,b],々e[m,可使得/(xjNgdo/a)111faNg(A：2)111ax；

(11)若存在苔e[a,可，總存在々am,n],使得g(%)o〃占)向“4g(xj1mx

(12)若存在再小,可，總存在X2e[m,n],使得/(xj2g(%)O/(占)1mxN.

【典例例題】

例1.（2024?江蘇南通?二模）若函數(shù)/（x）=e"+2x有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（）

1

A.a>—2B.a>—C.ci<-2D.a<——

22

【答案】c

【解析】函數(shù)/(x)=ea+2x,

可得r(x)=ae"+2,

若aN0J'(x)>0,此時/'(x)單調(diào)遞增,無極值點，

17

故。<0,令/'(x)=ae"+2=0,解得x=—皿——),

aa

當x，ln(-2)時，/0(x)>0,當x<』ln(-2)時，f'(x}<0,

aaaa

i?

故x=-ln(——)是/(x)=e?+2x的極值點

aa

由于函數(shù)/(x)=鏟+2x有大于零的極值點，

i?22

-ln(--)>0nln(--)<0n0<--<1,解得a<-2.

aaaa

故選：C.

例2.（2024?高三?陜西?階段練習）已知函數(shù)/■（%）,其導函數(shù)/'（x）的圖象如圖所示，則（）

B.f（x）在尤=1處取得極小值

C.1（x）有極大值，沒有極小值D./卜）在（-叫1）上單調(diào)遞減

【答案】c

【解析】由題意及圖得，當x<3時,r（x"0；當x>3時，/，（%）<0；

所以/'（可在（-叫3）上單調(diào)遞增，在（3,+s）上單調(diào)遞減，

則/（X）有一個極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確，

故選：C.

例3.（2024?高三?江西?開學考試）已知函數(shù)/（x）=^-a*+x+l沒有極值點，貝ija的取值范圍是（

A.(-V3,V3)B.［-V3,V3］C.(-a),-V3)D.［百,+可

【答案】B

【解析】f'(x)=3x2-2辦+1,是開口向上的二次函數(shù)，

因為函數(shù)/(力=、-加+x+l沒有極值點,則九(x)NO,

所以八=4/一12<0，解得一

所以。的取值范圍是『百，百］

故選：B.

例4.(2024?高二?湖北黃岡?期末)已知函數(shù)/(x)=x(x-c)2在>2處有極小值，則常數(shù)c的值為()

A.1B.2或6C.2D.6

【答案】C

［解析］/f(x)=(x-c)2+2x(x-c)-(x-c)(3x-c),

由題意得尸(2)=0,gp(2-c)(6-c)=0,解得c=2或6,

當c=2時，/'(無)=(無一2)(3尤—2),

當或x>2時，r(x)>0,〃尤)單調(diào)遞增，

當：<x<2時，/'(%)<0,y(x)單調(diào)遞減，

故函數(shù)/"(X)=X(尤-C)2在X=2處有極小值，滿足要求，

當C=6時，f'(x)=(x-6)(3x-6),

當x<2或x>6時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當2<x<6時，Ax)<0,/(x)單調(diào)遞減,

故函數(shù)/"(X)=X(尤-C)2在X=2處有極大值，不合要求，

故常數(shù)C的值為2.

故選：C

例5.(2024?陜西渭南?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=xe'+a在區(qū)間［0,1］上的最小值為1,則實數(shù)。的值為()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【解析】由題意可知：r(x)=(x+l)e\

所以當尤e［0』時/(x)>0,則/⑴在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以/(x)mM=〃°)=a=L

故選：D.

例6.(2024?江西上饒?一模)已知函數(shù)/'(x)=xe，，則下列說法正確的是()

A.f(x)的導函數(shù)為/'(x)=(x-l)exB.Hx)在(-1,+8)上單調(diào)遞減

C./(尤)的最小值為—D.7(無)的圖象在x=0處的切線方程為>=2x

【答案】C

【解析】A：/(x)=xeX=/'(x)=e，+xeX=6+1產(chǎn)，因此本選項不正確;

B：由上可知：/(x)=eA+xer=(x+l)eA,

當x>-l時，/%x)>0,函數(shù)/(尤)單調(diào)遞增，因此本選項不正確；

C：由上可知：/,(x)=(x+l)ev,

當x>-l時，*(x)>0,函數(shù)/(無)單調(diào)遞增，

當x<-l時，/，(%)<0,函數(shù)[卜)單調(diào)遞減，

所以當x=-l時，函數(shù)/(X)的最小值為因此本選項正確；

D：由上可知/'(尤)=(尤+1戶,因為廣(0)=1,/(0)=0,

所以/'(X)的圖象在x=0處的切線方程為了=》，因此本選項不正確，

故選：C

例7.(2024?全國?模擬預測)設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)〃x)=4-山"4在x=2處取得極值，則實

e

數(shù)a的值為.

【答案】e2

【解析】因為f(x)=ei-lna-qx,所以/心)=產(chǎn)二色.所以/<2)=e-3=0.所以a=e?.

eee

又當a=e?時，/'(x)=e、T-e,

令/'(無)<0,得x<2,令/'(x)>0,得x>2,符合函數(shù)〃x)=ei-lna-卜在x=2處取得極值

故答案為：e2.

例8.(2024?高三?河北?期末)已知函數(shù)/'(x)=辦-lnx的最小值為0,則。=.

【答案】-

e

【解析】因為〃力=6-Inx,所以/，(x)=a—=—.

若。40,則/(無)在(0,+e)上單調(diào)遞減，無最小值.

若a>0,則/(X)在長：上單調(diào)遞減，在\，+“上單調(diào)遞增，所以〃).=/[]=1+3=0，解得°=1

故答案為：-

e

例9.(2024?陜西西安?模擬預測)已知奇函數(shù)/'(x)=ox3+bx2+cx在x=l處取得極大值2.

⑴求/'3的解析式；

⑵求〃x)在14,3］上的最值.

【解析】(1)易知函數(shù)的定義域為xeR,

因為/(x)是奇函數(shù),所以〃r)=-/(x),則6=0.

Efef(x)=ox3+cx,得/'(x)=3辦2+c.

因為1(尤)在X=1上取得極大值2,

⑴=3a+c=0,Q=-1,

所以<解得

/(1)=a+c=2,c=3,

a=—1,/、

經(jīng)經(jīng)檢驗當'=3時’/(X)在》=1處取得極大值2，

故/(x)=f3+3x.

(2)由(1)可知，=—3廣+3=—3(x—1)(x+1),

當時,/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增;

當和(1,3］時,/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減;

即函數(shù)/(X)在X=-1處取得極小值/(-1)=-2,在X=1處取得極大值/⑴=2；

又因為〃-4)=52,/(3)=-18,

所以/'(x)在［-4,3］上的最大值為52,最小值為-18.

例10.(2024?高三?山東德州?期中)記函數(shù)/⑴的導函數(shù)為/'(x),已知〃可=；/一(+2

+4kx—6,

A5)=3.

⑴求實數(shù)后的值；

(2)求函數(shù)/(x)在［0,5］上的值域.

【解析】(1)

/'(X)=x2一(左+4)x+4左

因為/'(5)=3,所以25—5(左+4)+4左=3,解得左=2

(2)由(1)可矢口/'(x)=x2—6x+8=(x—2)(x—4)

由"(x)〉0,解得x>4或x<2；由，(x)<0,解得2<x<4

所以函數(shù)〃x)在［0,2］,［4,5］單調(diào)遞增；在［2,4］單調(diào)遞減

又/(。)=一6,42)=j/(4)=-|,/(5)=|.

所以篇k)=〃0)=-6,加(力=〃2)=〃5)="

「?-

所以函數(shù)/(X)在［0,5］上的值域為-6,1.

例11.(2024?高三,全國,專題練習)已知函數(shù)/(%)=alnx+w%-a,aeR.討論函數(shù)/(%)的最值；

【解析】由函數(shù)/(x)=alnx+；x--可得其定義域為(0,+。)，且/(%)=區(qū)+；=,

當a"時，可得"(x)〉0,f(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，無最值；

當a<0時，令/'(x)<0,可得0(尤<-2a,所以/(x)在(0,-2。)上單調(diào)遞減；

令/(x)》0,可得x>-2a,所以/(x)在(-2a,4w)單調(diào)遞增,

所以/'(x)的最小值為/(-2a)=aln(-2.)-2a,無最大值.

綜上可得：

當心0時,/(x)無最值;當a<0時，/(無)的最小值為aln(-2a)-2a,無最大值.

例12.(2024?高三?天津?期中)已知函數(shù)〃司=4{-3f-18尤+27,xeR.

⑴求/'(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

⑵求;'(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值與最小值.

【解析】(1)由題設(shè)/'0)=12/一6%-18=12(>+1)0-5),令/'(%)=0,得工=一1或Xu,,

當/'(x)>0時，即12(x+l)(x-g)>0,解得x>g或x<-l,單調(diào)遞增區(qū)間為(一叫一1)和(1,+紇］

當/”(x)<0時，即12(x+l)(x-|)<0,解得-l<x<右單調(diào)遞減區(qū)間為卜,￡).

函數(shù)〃X)的極大值為〃-1六38,極小值為嗎4)=/?7.

33

(2)由5曰0,3］,/(0)=27,/⑶=54,則/弓)</(0)</⑶

且一(X)在區(qū)間［0,3］上連續(xù)，函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,3］內(nèi)的最大值為54,最小值為子.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2024?高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/'(x)=e*+ax,aeR有大于零的極值點，則〃的取值范圍為()

C.(-l,+8)D.(-℃,-l)

【答案】D

【解析】由題意/'(x)=e，+i=0有正根,即方程“=有正根，

而當x>0時，g(x)=-eAG(-co,-l),所以“的取值范圍為(-叫-1).

故選：D.

2.(2024?高三?河南焦作?期末)已知函數(shù)=+有兩個極值點0,q,若q=2p,則”0)=()

1ln2B-I

A.I-------C.l-ln2D.

2In2

【答案】D

ep-2Ap=0

【解析】依題意,八無)=e*-22x,則

eq-2Aq=0

ep=2九p

因為4=2。，所以

e2P=440

顯然X,兩式相除得e"=2,則。=ln2,

代入-2功中，解得人"則

故選：D

3.(2024?廣西?模擬預測)設(shè)仍20,若為函數(shù)〃無)=“('-“)2(》-方)的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<b2D.ab>b2

【答案】C

當a<0時，函數(shù)/(x)大致圖象如圖(2)所示，貝！］6<。<0,此;時必</.

綜上：ab<b2.

故選：C.

4.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=4xex-e2-2ex,/(x)為了⑴的導函數(shù)，g(x)=￡^,則()

e

A.g(x)的極大值為4e?-2,無極小值

B.g(尤)的極小值為4e°-2,無極大值

C.g(尤)的極大值為41n2-2,無極小值

D.g(x)的極小值為41n2-2,無極大值

【答案】C

【解析】"X)的定義域為R,「(x)=4(e，+xe4-2e2*_2e，=e、(4x_2e，+2),

所以g(x)='')=4x-2ex+2(xeR),

求導得g'(x)=4-2e1令g[x)=0,得x=ln2,

當x<ln2時，g'(x)>0；當x>In2時，g[x)<0,

所以函數(shù)g(無)在(F,ln2)上單調(diào)遞增，在(ln2,+8)上單調(diào)遞減，且當x=ln2時，g(x)取得極大值

g(ln2)=41n2-2,無極小值.

故選：C.

5.(2024?高三?黑龍江齊齊哈爾?期末)若x=3為函數(shù)〃x)=；x2-ax-31nx的極值點，則函數(shù)〃無)的最小值

為()

133一

A.—B.—C.------31n3D.3—3In3

222

【答案】C

【解析】rw

因為尤=3是函數(shù)/(X)的極值點，

所以/'(3)=3-°-1=0,貝1]。=2,

(x-3)(x+l)

所以f'^x)-x-2——

當xe(0,3)時，//(x)<0,當xe(3,+oo)時,#(x)>0,

所以函數(shù)/(x)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+s)上單調(diào)遞增,

3

所以〃xL=〃3)=-萬一31n3.

故選：C

二、多選題

6.(2024?高二?江蘇連云港?期末)已知函數(shù)AM的定義域為R且導函數(shù)為/(無)，如圖是函數(shù)y=#'(x)的圖

象，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)的減區(qū)間是(-2,0),(2,+8)

B.函數(shù)/(x)的減區(qū)間是(-8,-2),(2,+oo)

C.尤=-2是函數(shù)/*)的極小值點

D.x=2是函數(shù)/(x)的極小值點

【答案】BC

【解析】觀察圖象，由得尤<-2或0<x<2,顯然當x<-2時，f\x)<0,當0cx<2,f\x)>0,

由V'(x)<0,得-2<x<0或x>2,顯然當-2<x<0時，f'(x)>0,當x>2時，/'(無)<0,

因此函數(shù)/(X)在(-8,-2),(2,+◎上單調(diào)遞減，在(-2,2)上單調(diào)遞增，A錯誤，B正確；

函數(shù)/(x)在x=-2處取得極小值，在x=2處取得極大值，C正確，D錯誤.

故選：BC

7.(2024?高三?云南楚雄?階段練習)已知定義域為［-3,5］的函數(shù)"X)的導函數(shù)為/(x),且/(x)的圖象如圖

所示，則()

A.Ax)在(-2,2)上單調(diào)遞減B.〃x)有極小值/(2)

C./(x)有2個極值點D./(x)在x=-3處取得最大值

【答案】AB

【解析】由/(X)的圖象可知xe(-2,2)或xe(4,5)時，/'(x)<0,則/⑴單調(diào)遞減，故A正確;

又xe(-3,-2)或xe(2,4)時，(尤)>0,則/⑴單調(diào)遞增，

所以當x=2時，/(X)有極小值/\2),故B正確；

由/(無)的圖象結(jié)合單調(diào)性可知》=-2,2,4時，有極值，所以AM有3個極值點，故C錯誤;

當xe(T-2)時，f'(x)>0,則”x)單調(diào)遞增,

所以〃-3)</(-2),/⑴在x=-3處不能取得最大值，故D錯誤.

故選：AB.

8.(2024?高二?江蘇常州?期末)函數(shù)/(x)的導函數(shù)/'(X)的圖象如圖所示，則()

B.3是函數(shù)［(X)的極大值點

C./(X)在區(qū)間(-1,4)上單調(diào)遞減D.1是函數(shù)/(x)的極小值點

【答案】AC

【解析】對于A項，由圖象可知，

當x<-l時，*(x)〉0,所以/'(x)在上單調(diào)遞增；

當-l<x<3時，r(x)<0,所以/(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減.

所以，/卜)在h-1處取得極大值.故A正確；

對于B項，由圖象可知，

當時，/'(x)WO恒成立，且不恒為0,所以/⑺在(-1,+8)上單調(diào)遞減.

所以，3不是函數(shù)/(x)的極大值點.故B錯誤；

對于C項，由B可知，/(無)在區(qū)間(T4)上單調(diào)遞減.故C正確;

對于D項，由B可知，/'(x)在(-1,+s)上單調(diào)遞減.

所以，1不是函數(shù)/(x)的極小值點.故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

9.(2024?遼寧?一模)已知函數(shù)/(x)=x3+"2+6x+/在尤=-1處有極值8,則/'⑴等于

【答案】-4

【解析】r(x)=3jc2+2ax+b,

—1+。—6+。*=8

若函數(shù)〃力在產(chǎn)-1處有極值8,則/(-1)=8/(-1)=0,即

3—2a+6=0

解得：a=3,b=3或a=—2,b=—7,

當a=3,6=3時，/。)=3爐+6》+3=3(》+1)220,此時x=T不是極值點，故舍去;

當a=-2,b=-7時，/(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(r+l),

77

當或x<-l時，/'(x)>0,當一l<x<§,r(x)<0,故尸一1是極值點，

故。=-2/=-7符合題意,

故/(X)=X3-2%2-7X+4,

故/⑴=-4.

故答案為：-4.

10.(2024?高三?浙江紹興?期末)已知函數(shù)/(同=92-6+3.+3a111》+2在［4,6)上存在極值點，則正擎戮

4的值是___________

【答案】5

【解析】???/(x)=x_(a+3)+應=丫2—(a+3)x+3a=(x3)(x.,

XXX

.?.0=0時,x=3或x=a,

因為函數(shù)定義域為［4,6),在左端點%=4處無法取到極值，

'''ae(4,6),而aeZ*,所以，a=5,經(jīng)檢驗滿足題意，

故答案為：5.

11.(2024?高三?四川?期末)函數(shù)/(力=?的極大值為.

【答案】

e

【解析】/'(x)=『，當x<7時,f'(x)>Q,當x>7時,/'(x)<o.

所以/"3在(一甩7)上單調(diào)遞增，在(7,+向上單調(diào)遞減，

所以/(x)=—的極大值為〃7)=十=1.

e'ee

故答案為：

e

12.(2024?高三?陜西西安?期中)等差數(shù)列｛%｝中的％,%023是函數(shù)/(x)=/—6f+4x-1的極值點，則

1。88%012=__.

【答案】I

【解析】由函數(shù)/(尤)=丁_6尤2+4x-l,可得/'(無)=3/-12尤+4,

因為％,%)23是函數(shù)/(X)的極值點，即%,。2023是方程3/-12》+4=0的兩個根，

可得%+。2023=4,又由％012=q+；2必=2,所以logs%012=1隔2=；.

故答案為：

13.(2024?高三.四川南充?階段練習)已知函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2兀］上的最小值

為

【答案】

【解析】/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,xe[02n],

則/'(%)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx.

令/'(無)=0,解得Ll(舍去)，》=：或X=筌.

所以xe(0,3口軟，2TI]/(x)>0,xe卷/⑴<0,

故/(x)在W洋2兀]單調(diào)遞增，在與名單調(diào)遞減，

f[^=eos-4四+l〕sinj=2+匕f｛瑪=cos型+[型+l]sin型+1=-型,

1^2)2(2)22I2J2(2)22

又/(0)=cos0+(0+l)sinO+1=2/(2i)=cos2兀*2兀+l)sin2?i+l=2,

=2+

所以/(X)1mx=/^p-

故答案為：-萬

四、解答題

14.(2024?湖南衡陽二模)已知函數(shù)/(耳="3+6/+1,€1<),當x=2時，/(x)取得極值一3.

⑴求〃x)的解析式；

(2)求/(x)在區(qū)間[-1,3]上的最值.

【解析】(1)依題意可得/(無)=3辦2+2隊，

,、[/⑵=一3[8a+4Z>+l=-3

又當?時一⑴取得極值一3,所以[眉=0,叫⑵+46=0；

[a=\

解得人2；

[Z?=-3

所以〃x)=X3_3f+i；

(2)由(1)可知/'(%)=31—6%=3%。一2),

令/'(x)=0,可得x=0或％=2,

當％變化時，r(x)j(x)的變化情況如下表所示:

X-1(T0)0(0,2)2(2,3)3

/'(X)+0-0+

/(X)-3單調(diào)遞增1單調(diào)遞減-3單調(diào)遞增1

因此，在區(qū)間［T3］上，“X)的最小值為-3,最大值為1.

15.(2024?重慶?模擬預測)已知函數(shù)/(耳=幺-5》+。111》在工=2時取得極值.

⑴求實數(shù)4；

⑵若xe,求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【解析】(1)因為/'(x)=f-5x+alnx,所以廠(x)=2x-5+@,

由題意得f(2)=0,

即4-5+￡=0,解得a=2,經(jīng)檢驗符合題意；

2

(2)由(1)得/(%)=工2一5x+21nx,

則/(X)=(2XT)(X-2),

X

由r(x)>0得:<x<；或2<X<4,/V)<ow1<x<2,

即/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,4),單調(diào)遞減區(qū)間為2；

所以/⑴的極大值為=-|-21n2,極小值為/(2)=-6+2In2

16.(2024?高三?江西?開學考試)已知函數(shù)/'(x)=2辦?lnx+3b(“、。為實數(shù))的圖象在點(1，/⑴)處的切

線方程為y=x+L

⑴求實數(shù)。、6的值；

(2)求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【解析】⑴因為/(x)=2mlnx+36,該函數(shù)的定義域為(0,+/),/,(x)=2a(l+lnx),

因為函數(shù)f(x)=2klnx+36(“、6為實數(shù))的圖象在點(1J0))處的切線方程為y=x+l,

常/'⑴=2―a=l解得

則

(2)由⑴可得/(x)=xlnx+2,該函數(shù)的定義域為(0,+8),/'(x)=l+lnx,

由廣(6=0可得x=：,列表如下:

￡

X

日e匕+』

rw-0+

f(x)減極小值增

增區(qū)間為g,+8),極小值為=+無極大值.

所以，函數(shù)/'(x)的減區(qū)間為

17.(2024?高三?河南?專題練習)已知函數(shù)/'(x)=xe*-加x?.

(1)求曲線V=/(x)在(0,/(0))處的切線方程；

⑵若函數(shù)g(無)=/(x)-e'在x=0處取到極小值，求實數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)由題意，r(x)=(x+l)e，2蛆,則解(0)=1,

又"0)=0,故所求的切線方程為>

(2)由題意，g(x)=xex-m>3-ex,故g'(x)=xe*-2m=x(e*-2m).

若m40,則e-2加>0,故當尤w(-oo,0)時,g'(x)<0,當xe(0,+a))時,g'(x)>0,

故當x=0時，函數(shù)g(x)取到極小值；

若機>0,則令g'(x)=0,解得x=0或x=ln2〃z,

要使函數(shù)g(x)在x=0處取到極小值，則需ln2"z<0,即加<；,

此時當xe(y,ln2m)時,g'(x)>0,當xe(ln2m,0)時,g'(x)<0,當xe(0,+(?)時，g'(x)>0,滿足條件.

綜上，實數(shù)機的取值范圍為(-00、).

18.(2024?高二?江蘇揚州?期末)已知函數(shù)〃x)=2/-冰在x=2處取得極小值5.

(1)求實數(shù)。，6的值；

⑵當x?0,3］時，求函數(shù)/(x)的最小值.

【解析】(1)/,(x)=6x2-2ax+12,

因為/'(x)在x=2處取極小值5,所以/'(2)=24-4。+12=0,得0=9,

止匕時/，(X)=6X2-18X+12X=6(X-1)^;-2)

所以/lx)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+W上單調(diào)遞增

所以/(無)在x=2時取極小值，符合題意

所以a=9,/(x)=2"-9/+12x+6.

又〃2)=4+6=5,所以6=1.

(2)f(x^—2x3-9x2+12x+l,所以廠(x)=6(x-l)(x-2)

列表如下:

X0(0,1)10,2)2(2尸)3

rw+0-0+

/(x)1/極大值6極小值5/10

由于1〈5,故@3]時，=

19.(2024?高二?山西大同?期末)已知函數(shù)/(x)=g/-+〃在x=l時取得極值.

(1)求實數(shù)機的值；

⑵若對于任意的xe[2,4],恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)易知/"'(X)=f-4X+7〃，

依題意/'(1)=12-4X1+加=0,解得加=3,

止匕時/'(無)=f-4x+3=(x-l)(x-3),

當x<l或x>3時，r(x)>0；當l<x<3時，r(x)<o,

即函數(shù)〃尤)在(-8,1),(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)“X)在尤=1時取得極值，

所以加=3.

(2)由(1)得函數(shù)“X)在(2,3)上單調(diào)遞減,在(3,4)上單調(diào)遞增；

所以一2x32+3x3+〃=",

由題意可得〃〉〃2,解得

所以〃的取值范圍為(0,1).

20.(2024?高二?安徽滁州?開學考試)已知函數(shù)/⑴=加+雨》在％=1處有極值，

⑴求。、b的值；

(2)求出/卜)的單調(diào)區(qū)間，并求極值.

【解析】(1)因為/'(x)=af+61nx,該函數(shù)的定義域為(0,+“)，f'(x)=2ax+^,

則I，2,解得2,止匕時，f(x)=^x2-lnx,

f'(l)=2a+b=0(Z>=-12

經(jīng)檢驗，?=1,6=T合乎題意.

因此，〃==，b=-1.

2

(2)因為/(無)=：/-111無，該函數(shù)的定義域為(O,+e),/a)=尤一工=士

2xx

令/'(x)=0,可得無=1,列表如下:

X(0」)1(1,+8)

/'(x)-0+

/(x)減極小值增

所以，函數(shù)/"(X)的遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為(1,+8),

函數(shù)/'(X)的極小值為/(1)=；-山1=1,無極大值.

21.(2024?高三.貴州安順?期末)已知函數(shù)f(x)=x3-f-x+2

⑴求/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)方程/(%)=加在xe-1,2有解，求實數(shù)加的范圍.

【解析】(1)/("=/一/一》+2的定義域為口，

/"(X)=3x2-2x-l=(x-l)(3x+1,

當x4-00,-；］口(1,+00)時，/C(x)〉o；時，/，(x)<0；

故〃X)單調(diào)增區(qū)間為(l,+s);

(2)由(1)知，函數(shù)/(X)在區(qū)間1-；,-力，(1,2)上單調(diào)遞增，

在區(qū)間?上單調(diào)遞減，

“T=m=ii，/⑴=】，力4,

故函數(shù)在區(qū)間-;,2上的最大值為4,最小值為1,

???/(%)6[1,4],

me[1,4].

22.(2024?高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=e=無(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=；/+l.

⑴求證：/W>1；

(2)當x20時，求證：/(x)>g(x).

【解析】(1)因為/(無)=e，-尤，所以廠(x)=e0l.

當x>0時，*(x)>0；

當x<0時，/'(x)<0,

所以/'(x)在區(qū)間(-叫0)上是減函數(shù)，在區(qū)間(0,+。)上是增函數(shù)，

所以==所以

(2)令〃(x)=/(x)-g(x)=e*7-1,則〃(x)=e'-x-l.

由(1)可得e*-x21,所以〃'(x)=e*-x-120,

所以函數(shù)，(x)在R上是增函數(shù).

因為x20,所以人(尤)2Mo)=0,所以/(x"g(x).

23.(2024?高二?河南?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+x2-foe在點(1J(l))處的切線方程為x+y+加=0.

(1)求實數(shù)上和加的值；

⑵求;'(x)在［l,e］上的最大值(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).

【解析】(1)

因為/(x)=lnx+x2-Ax

所以/'(x)=』+2x-左，

由題意可得，,

Ij(1)=1一左=-m-1

解得:左=4,m=2.

(2