隱圓與蒙日圓同題

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1隱圓類型一:到定點的距離等于定長】......................................................2

【題型2隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值】...............................................4

【題型3隱圓類型三:到兩定點的夾角為直角】......................................................5

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數量積定值】.......................................................7

【題型5阿波羅尼斯圓】............................................................................9

【題型6蒙日圓］..................................................................................11

?命題規律

1.隱圓與蒙日圓問題

從近幾年的高考情況來看，在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發現許多試題涉及隱圓、蒙日圓,這些問

題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔，需要靈活求解.

?方法技巧總結

【知識點1隱圓與阿波羅尼斯國】

1.除圓問題

在題設中沒有明確給出圓的相關信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉化、發現圓(或圓的方程)，從而最終

利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

2.除圓問題的幾大類型

(1)隱圓類型一:到定點的距離等于定長；

(2)隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值；

(3)隱圓類型三:到兩定點的夾角為直角；

(4)隱圓類型四：對角互補、數量積定值；

(5)隱圓類型五:阿波羅尼斯圓.

3.阿波羅尼斯圓

"阿波羅尼斯圓”的定義:平面內到兩個定點4-a,0),B(a,0)(a>0)的距離之比為正數股片1)的點的軌跡

是以c(滬10)為圓心，?產［|為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓.

【知銅點2蒙日圓】

1.蒙日圓

在橢圓二十三~\(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓心是橢圓的中

a*b~

心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術平方根，這個圓叫蒙日圓.

設P為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點A,為原點，如圖.

A舉一反三

【題型1除圓類型一:到定點的距離等于定長】

1.(2024?全國?二模)已知直線h：y=tx+5(t&R)與直線l2-x+%—4+4=0(t€B)相交于點P,且點P到

點Q(a,3)的距離等于1,則實數a的取值范圍是()

A.[—2V2^—3,—2ypi—1]B.[—2A/2—3,2\/2^—1]

C.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2+l,2V2+3]D.[-272-3,-272-1]U[272-3,272-1]

【解題思路】根據給定條件，求出點P的方程，再利用兩圓有公共點列出不等式求解即得.

【解答過程】直線li.y=tx+5過定點4（0,5）,直線l2:x+切-1+4=0過定點B（—4,1）,又直線。_L

因此點P?y）的軌跡是以線段AB為直徑的圓（除點（0,1）外），圓心。（一2,3）,半徑r=272,

圓。的方程為（x+2>+（沙-3）2=8（2片0且y/1）,又Q（a,3）,|PQ|=1,顯然點（0,1）與Q的距離大于1,

則點P在圓Q:（x—a）2+（y—3）2—1上,依題意，圓。與圓Q有公共點，

于是22一14|CQ|<2V2+1,即22一14|a+21&272+1,

解得一—3<a<-2\/2—1或2A/^"—34aW2A/2—1,

所以實數a的取值范圍是[一2?一3,—2，^一1]“22一3,22一1].

故選：D.

2社2

2.（24-25高三上?江西南昌?開學考試）已知橢圓E:~+y=1的右焦點為F,則E上滿足\PF\="的

P點有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】求出點F的坐標，由|PF|=出求出P點的軌跡方程，與橢圓方程聯立求解判斷即可.

【解答過程】橢圓后:亨+弓=1的右焦點為F（l,0）,設P（x,y），由|PF|=通,得（C—I）?+才=3,

22

f（^-l）+y=3.,「

由（3/,2°消去?/得，—8c+4=0,而一24cW2,解得c=4—

+y=3"

當①=4-2四時，對應的V值有2個，所以E上滿足|PF|=《的P點有2個.

故選：B.

_____________眇

3.（2024.陜西咸陽.模擬預測）已知落日是兩個單位向量，且B+間=歸一露若向量3滿足歸一a=2,則

|c|的最大值為（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.272

【解題思路】根據模長公式可得根據向量的坐標運算不一4=（t—1,9一1）,利用尼一4一百=

V（^-l）2+（y-l）2=2,可得點。的軌跡是以（1,1）為圓心，2為半徑的圓，求得圓心到原點的距離為

\OM\=Vl2+12=血，從而可得答案.

【解答過程】已知落，是兩個單位向量，且\a+b\^\a-b\,

則a2+2a-b+^=a2-2a-b+i?,

則4?b=0,則4_Lb,

設分別是/軸與g軸正方向上的單位向量，

則a—（1,0）,b—（0,1）,a-\-b—（1,1）,

設3=（劣,g）,則c—a—b=—,

因為\c-a—b\=V（^—1）2+（?/—l）2=2,

所以（/-iy+（g—l）2=4,

故才=。苕中，點。的軌跡是以（1,1）為圓心，『=2為半徑的圓,

圓心河（1,1）到原點的距離為|oM=々十仔二伍

忖max=QM+r=2+2.

故選：B.

4.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）已知河（如仇），N（g,必）是圓C：Q+2）2+（y-4）2=1上的兩個不

同的點，若|AW|=則|3一%|+山一列的取值范圍為（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,7V2]D.[472,872]

【解題思路】先確定中點的軌跡為圓，再利用圓上的點到直線的最值求解.

【解答過程】由題設知，圓。的圓心坐標。（一2,4）,半徑為1,

因為|九亞|=，5,所以皈_1前.

設P為AW的中點，所以|CP|=?.

所以點P的軌跡方程為（c+2y+（0-4）2=1.

2

其軌跡是以。（一2,4）為圓心，半徑為彳的圓.

設點M,N,p到直線立一9=0的距離分別為4,必，d,

能?/E一如,\x-y\,4+弓2

所以必=一^一,為=2一2,d=^,

所以同一如+也一統I=2（4+&2）=2V2d.

因為點。到直線力一y=0的距離為--2廠圖=3V2,

V2

所以3四一字Wd432+字，即考與2,

所以以所以同一如+1的一改|的取值范圍為[10,14].

故選：A.

【題型2隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值】

5.（24-25高二上?全國?課后作業）平面上一動點尸滿足：|尸M『十|pN]2=6且M（-1,O）,7V（1,O），貝慟點P

的軌跡方程為（）

A.（x+I）2+j/2=3B.（X—I）2+y2=3C.x2+y2=2D.x2+y2=3

【解題思路】設P（c,沙），借助兩點間距離公式代入計算后化簡即可得.

【解答過程】設P（x,y）,由\PM[+|PN『=6,所以（2+I）?+娟+Q—I）?+婿=6,

整理得/+才=2,即動點P的軌跡方程為x2+y2=2.

故選：C.

6.（2024.河南.三模）在平面a內，已知線段的長為4,點P為平面a內一點，且=10,則

2PAB的最大值為（）

A2LTD兀Cc?百兀D

6B-7-1

【解題思路】建立直角坐標系，求出點P的軌跡時一個圓，再根據_R4與圓。相切時角最大求得結果.

【解答過程】如圖，以線段所在的直線為立軸，線段AB的中垂線為沙軸，建立平面直角坐標系xOy,

設P（c，9）,因為|AB|=4,不妨設A（—2,0）,B（2,0）,

由IBA?+任引2=J。,得Q+2）2+4+（①一2）2+4=I。,

化簡得/+#=1,即點p的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

當24與圓。相切時，取得最大值，此時OP_LQ4.

因為QP|=1,|。川=2,所以sin/R4B=],且/E4B為銳角，

故的最大值為4.

故選:A.

7.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點4（2,0），若點河滿足AM2+

MO2=10,則點M的軌跡方程是x2+y2-2x-3=0.

【解題思路】設點M3y）,借助兩點間距離公式代入計算即可得.

【解答過程】設Af（①U）,則有（X—2）2+（y—0）2+x2+y2=10,

化簡得/+才一2c-3=0,即點M'的軌跡方程是0^+才—2a;—3=0.

故答案為:x2+y2—2x—3=0.

8.（23-24高二上?福建廈門?期末）已知圓O-.x2+，=1和圓O^x—2丫+才=i,過動點p分別作圓O,圓

2

Oi的切線PA,PB（A,B為切點），且IBA/+|PjB|=18，則\PA\的最大值為V15.

【解題思路】根據題意得出P的軌跡方程，結合圖像即可求解.

【解答過程】

如圖，連接PO,POr,OA,OxB,因為R4,PB與圓相切，

所以|PO|2+IPO/=\PAf+\OA\2+\PB\2+|。畫2=18+1+1=20,

設P(x,y)，所以叱+才+3—2)2+y2=2a?+2婿-4又+4=20,

整理得Q—以+d=9,所以P在以(1,0)為圓心，3為半徑的圓上運動，

\PA\=V|PO|2-1WV42-l=,當且僅當P在(4,0)時等號成立，

故答案為：，訪.

【題型3障圓類型三:到兩定點的夾角為直角】

9.(2024?浙江嘉興?二模)已知圓C-.(x-5)2+(夕+2)2=O),A(—6,0),8(0,8),若圓。上存在點P使

得四，。6,則「的取值范圍為()

A.(0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+<?)

【解題思路】由PAd.得到點P的軌跡是以AB為直徑的圓，依題意，問題轉化為兩個圓有公共點的問題，

解不等式組即得.

如圖，由K4_LPB可知點P的軌跡是以48為直徑的圓，設為圓M,

因A(-6,0),B(0,8),故圓M：(x+3)2+(y-4)2=25.

依題意知圓M與圓。必至少有一個公共點.

因。(5,-2),河(一3,4),則|CM|=J(5+3)2+(_2—4)2=10,

由|r—5|W|CM|W5+r,解得：5W/W15.

故選：B.

10.(2024.北京平谷.模擬預測)設點4(1,0),動直線Z：c+ay+2a—1=0,作AM±I于點河，則點“到坐

標原點。距離的最小值為()

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

【解題思路】根據直線的垂直關系可得點河的軌跡是以C(l,—1)為圓心，半徑r=1的圓，即可得1Moim=

—i.

【解答過程】由AM-LI以及aj+ag+2a—1=0可得直線411的方程為y—a(a;—1),

聯立［二:器;)T=°,消去a整理可得(IT+("+1)2=1；

所以可知點河的軌跡是以(7(1,—1)為圓心，半徑r=l的圓；

因此|_WO|min=\CO\—r=(1—0)2+(—1—O)2—1=V2—1.

故選:C.

11.(23-24高三下?江蘇揚州?開學考試)在平面直角坐標系xOy中，已知為圓x2+y2=9上兩點，點

入(1,2),且411，4",則線段郎的長的取值范圍是()

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4—V5,4+V5^]D.[V13-V5,V13+V5]

【解題思路】易知以AM,AN為鄰邊作平行四邊形AMPN為矩形，由平面向量可證|dl|2+|OP|2=|(w|2+

|而「，再由|AW|=|AP|可得其取值范圍.

(解答過程】以AM,AN為鄰邊作平行四邊形AMPN,

由AMI.4V可得四邊形4MpN為矩形，如下圖所示：

\OA^+\OP^\ON+^+\OM+^^ON2+N^+2ON-NA+OM2+MP2+2OM-MP

^ON2+OM2+2N^+2NA-MN

=ON2+OM2+2e_2\NA\\MN\cosAMNA

=ON2+OM2,

可得歷蘇HI而『=9+9,

解得I討『=9+9—|刀F=13,即|OF|=V13,

即P點軌跡是以(0,0)為圓心，半徑為，叵的圓，

易知\MN\=\AP\<\OP\+|OA|=V13+V5,\AP\>\OP\+|OA|=V13-V5,

所以線段AW的長的取值范圍是通,

故選：D.

12.(2024?廣西南寧?二模)已知直線y=kx+m(km^0)與c軸和"軸分別交于A,B兩點，且\AB\=2V2,

動點。滿足C4_LCB,則當k,小變化時，點。到點0(1,1)的距離的最大值為()

A.4V2B.3V2C.2A/2D.V2

【解題思路】先求得力，B兩點坐標，根據\AB\=2V2得到(一支+加=8,再結合CA±CB可得到。軌跡

為動圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.

【解答過程】由y—kx+7n(km/0),得A(-半,O),B(O,?TZ),由\AB\—22,得(—華)+m2=8,

由CA_LCB,得通工反5=0,設C(c,g)，則(2+與?(①“一^)=0,

\k7

___________F

即缶+翳華f=圾+年=2,因此點。的軌跡為一動圓，

\2K7'274k4

設該動圓圓心為@',y），即有a/=—答",式=與，則~——2x',m—2式代入（一半）+加=8,

2k2k

整理得：x'2+y'2=2，即。軌跡的圓心在圓"2+y2=2上（除此圓與坐標軸的交點外），

點0（1,1）與圓/+/=2上點（—1,—1）連線的距離加上圓。的半徑即為點。到點。（1,1）的距離的最大

值，

所以最大值為<\/[1—（―1）]2+[1—（―I）]2+V2=3A/2^.

故選：B.

【題型4陋圓類型四:定弦定角、數■積定值】

13.（2024?北京?三模）已知圓。：3-叱y+（y—園=1和兩點0）出（力,0）（±>0）,若圓。上存在點P,

使得屈?屈=0,則t的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【解題思路】由方?屈=0知點P的軌跡方程是以AB位直徑的圓，可得怙一l|<|OC|Wt+l,即可求出t的

取值范圍.

【解答過程】向?4=0說明P在以AB為直徑的圓22+才=F上，

而P又在圓。上，因此兩圓有公共點，

則圓心距位于半徑差的絕對值與半徑和的閉區間中，

所以H&QC&+1,即|t—l|W2Wt+l,又t>0,解得

14.（2024.全國.模擬預測）M?點是圓。：3+2）2+才=1上任意一點，點二為圓G：Q—23+才=3的弦，且

[48|=20，"為48的中點,則匹亞|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.47

【解題思路】根據弦長公式先求出|GN|=1,然后可知點N在以G（2,0）為圓

心，1為半徑的圓上，結合圓的性質可求|A〃V|的最小值.

【解答過程】圓C:（2+2y+d=1的圓心為。（一2,0）,半徑為r=1,

圓G：Q—2）2+才=3的圓心為。1（2,0）,半徑為n=、/W.

如圖所示,由弦長公式知|GN|2=2A/2,

解得

所以點N在以G⑵0）為圓心、1為半徑的圓上，

由圖可知，|AW|的最小值為|CCj-r—l=4—l—l=2.

故選：B.

15.（2024?江西贛州?一模）在邊長為4的正方體ABCD-A.B.C.D,中，點E是8c的中點，點P是側面

內的動點（含四條邊），且1211/1。。=牡211/皮汨,則。的軌跡長度為（）

兀4兀

A匹R2cnD.普

9-V

【解題思路】根據tan/APO=4tan/EPB,求出24=即可利用坐標法求解軌跡方程，即可由弧長公式

求解.

在長方體ABCD-4瓦。12中，由于DA_L平面A.ABB,,CB_L平面A^BB,,

在Rt^PAD和Rt/^PBC中,tanAAPD=鎧，tan/EPB=等,

???tan/APD=4tan/EPB,BE=-j-BC=^AD,：.PA=^PB,

在平面ABBA,以/.為坐標原點，以AB,44i為⑨夕軸的正方向，建立平面直角坐標系,

設_?（，,“），則4（0,0）,3（4,0）,

則由R4=~PB可得V^+7=yV（^-4）2+y2,

化簡可得（力+3+/=半，

由于6>0,g>0,

故P的軌跡表示圓心在（一日,0）,半徑為r=~|■的圓在第一象限的弧長，

由于Q（0,怦），

故/QAM=J,因此軌跡為/QAM=q所對的弧長，故長度為母義春=等

33339

故選：D.

16.（2024?河南鄭州,二模）在平面直角坐標系xOy中，設4（2,4）,8（—2,—4）,動點P滿足PO-PA=—1,則

tanZPBO的最大值為（）

A2歷口4何c2函cV2

A--2Tb-ig-c-irD-F

【解題思路】設出點P（x,y）,利用數量積的坐標表示得到點P的軌跡，結合直線與圓的關系進行求解即可.

______G

【解答過程】設P(力,g),則PO—PA-(2—6,4—g),

則PO-PA=—x(2—x)—y(4—y)=—1,即a?2—2a?+?/2—4?/+1=0,

化為(力一1了+e—2)2=4,則點P的軌跡為以。(1,2)為圓心，半徑為2的圓，

又k(jB=―*=2=%￡)=5，所以_B,O,°三點共線，

顯然當直線PB與此圓相切時，tanZFBO的值最大.

又BD=V32+62=3V5,PD=2,

則PB=y/BD2-PD2=74^4=V41,

ml+/DncPD22質

PBV41V41

故選：C.

【題型5阿波羅尼斯圓】

17.(23-24高二上?遼寧沈陽?期中)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,

指的是：已知動點M與兩定點Q,P的距離之比濯~=4(zl>0,ziWl),那么點M的軌跡就是阿波羅尼

斯圓.已知動點河的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+才=1,Q為力軸上一定點，p(—十,0),且久=

2,則點Q的坐標為()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.⑵0)

【解題思路】由題可設Q(a,0),按照阿波羅尼斯圓定義得軌跡方程，根據已知軌跡方程列式即可得a得值，從

而可得點Q的坐標.

【解答過程】解:設Q(a,0),,所以=衣二^^

由P(一/0),得\MP\=J(z+￡f+才.

粵^=白=所以整理得：谷+婚+且守力=咚;

師VFW33

(4+2a_Q

因為動點河的軌跡方程是"+才=1,所以足：1_解得a=—2,所以Q(—2,0).

[3=1

故選：C.

18.(23-24高二上?江西南昌?階段練習)阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞

歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲

線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q,P的距離之比粵■=4

\MP\

僅>0"#1),那么點河的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知動點的河與定點Q(m,0)和定點F(-y,0)的

距離之比為2,其方程為/+必=1,若點口(1J),則21Mpi+|MB|的最小值為()

A.V6B.V7C.V10D.V11

【解題思路】令必，應用兩點距離公式列方程求河軌跡，結合已知圓的方程求參數進而得Q(-2,0),

再由2\MP\+\MB\=\MQ\+|皿引，數形結合求目標式最小值.

【解答過程】由題設平g=2,令M(x,y),則+<=4,

\MP\(x+^f+y1

所以/+旦芋砂土+#=21尹，則Lgm,—1OM=-2,即Q(—2,0),

IO-0

又12+儼>1,即B（L1）在圓外，（-2）2+12>1,即。（-2,0）在圓夕卜,

由2\MP\+\MB\=\MQ\+\MB\>\BQ\=VW,當且僅當共線上等號成立,

所以2|W|+\MB\的最小值為VW.

故選：C.

19.（23-24高二上?陜西咸陽?階段練習）古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262-公元前190年）的著作

《圓錐曲線論》是古代數學的重要成果.其中有這樣一個結論:平面內與兩點距離的比為常數;10力1）的

點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點。（0,0）,4（3,0）,動點「出少）滿足篇^=方,

則點P的軌跡與圓C：Q—2）2+婚=1的公切線的條數為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】先求得P點的軌跡方程，然后根據圓與圓的位置關系確定公切線的條數.

【解答過程】依題意動點P（c,夕）滿足=

所以41Poi2=|9|2,4/+旬2=（，―3）2+#，

整理得3+1）2+才=4,

所以P點的軌跡是以3（—1,0）為圓心，半徑n=2的圓.

圓。:（土一2）2+才=1的圓心為（7（2,0），半徑r2—l,

=3=+72,所以兩圓外切，則公切線有3條.

故選：C.

20.（23-24高二上?湖南益陽?期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山

大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一

書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點M與兩定點Q,P的距離之比照斗=4。

\MP\

>0J￥1）,那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2

=1，其中，定點Q為①軸上一點，定點P的坐標為（-y,0）,/l=3,若點3（1,1）,則3\MP\+\MB\的最小

___________________________________

值為()

A.VWB.VnC.V15D.V17

【解題思路】設Q(a,O),M(x,y),根據=4和/+才=1求出&的值，由3|A4P|+\MB\=\MQ\+\MB\,

兩點之間直線最短，可得31Mpi+|7WB|的最小值為|BQ|,根據坐標求出\BQ\即可.

【解答過程】設Q(a,O),M[x,y),所以\MQ\=V(x-a)2+y2，由P(—^o),

所以1PAi|=((2+():：+"，因為\MQ\=)且)=3,所以包工一療+才=3,

\MP\

X+籽+“

整理可得x2+y2+a產2=9m

中=0

又動點M的軌跡是"+#=],所以

三=1'

解得a=一3，所以Q(-3,0),又\MQ\^3\MP\,

所以3|MP|+\MB\^\MQ\+\MB\>\BQ\,

因為

所以31Mpi+的最小值\BQ\=V(l+3)2+(l-0)2=V17,

當Al在位置M或監時等號成立.

故選：D.

【題型6蒙日圓】

21.(23-24高三上?安徽六安?階段練習)橢圓軍+q=l(a>O,b>O,a￥b)任意兩條相互垂直的切線的交

a-b

點軌跡為圓：療+*=&2+*,這個圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓Q—4丫+(夕—3)2=/(「>0)上總存在

點P,使得過點P能作橢圓/+與=1的兩條相互垂直的切線，則度的取值范圍是()

O

A.[1,7]B.[1,9]C,[3,7]D.[3,9]

【解題思路】根據蒙日圓的定義結合兩圓的位置關系計算即可.

2

【解答過程】根據題意可知橢圓/+牛=1的蒙日圓方程為/+才=4,圓心為原點，半徑為2,

O

圓(c—4y(y_3)2=r2(r>0)的圓心為(4,3),半徑為r,

則圓(X—4)2+(y—3)2=r2(r>0)與—+才=4必有交點才符合題意，

即兩圓圓心距d=J(4—0y+(3-0)2=5,

則|r-2|WdW|r+2|=rC[3,7].

故選：C.

22.(2024?貴州銅仁?二模)法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”.他發現與橢

圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.

若橢圓「：4+當=l(a>b>0)的蒙日圓為C:/+才=白2,過。上的動點m作r的兩條切線,分別

ab3

與。交于P,Q兩點，直線PQ交「于A,B兩點，則橢圓r的離心率為()

AB四CD娓

A，2及2。3D3

【解題思路】選取兩條特殊的互相垂直的切線，得到其交點，代入圓方程得到a?=3肥，利用離心率公式即可得

到答案.

【解答過程】依題意，取特殊直線7=a和直線y=6,顯然這兩條直線與橢圓「都相切，且這兩條直線互相垂

直，

因其交點(a,b)在圓。上，a2+b2--^-a2，得a2=3b2,

橢圓「的離心率e=￡==萼，

故選：D.

23.(2024高三?山東?專題練習)“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理,該定理的內容為:橢圓上兩條互相

垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上,該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓。：-4-+g=1

(a>0)的離心率為則橢圓。的蒙日圓方程為()

A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+y2=5D.?2+y2=4

【解題思路】根據橢圓。的離心率可求出a=3,根據題意知橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢

圓同心的圓上，利用過上頂點和右頂點的切線可得蒙日圓上的一點，即可橢圓。的蒙日圓方程.

【解答過程】因為橢圓+幺=1(a>0)的離心率為!，

a+1a2

所以可^^=￡■，解得Q=3,所以橢圓。的方程為受+*=1,

所以橢圓的上頂點A(0,V3)，右頂點B⑵0),

所以經過A,_B兩點的切線方程分別為g=A/3,X=2,

所以兩條切線的交點坐標為(2,遍)，又過A,的切線互相垂直，

由題意知交點必在一個與橢圓。同心的圓上，可得圓的半徑/="而哥=，7,

所以橢圓。的蒙日圓方程為/+#=7.

故選：

___________F

24.(23-24高二上?江蘇徐州?期中)畫法幾何學的創始人--法國數學家加斯帕爾?蒙日發現:與橢圓相切

的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已

222

知橢圓學+4=l(a>b>0)的蒙日圓方程為川+才=口2+應若圓(/—3)2+(4一/=9與橢圓g

abJ

+才=1的蒙日圓有且僅有一個公共點，則4的值為()

A.±3B.±4C.±5D.2V5

【解題思路】根據題意先寫出橢圓的蒙日圓方程，然后根據條件判斷出兩圓內切或外切，由此列出方程求解出

結果.

【解答過程】由題意可知春+d=1的蒙日圓方程為"+/=全

O

因為圓(2—3)2+(y—4)2=9與圓/+婿=4僅有一個公共點，

所以兩圓內切或外切，故圓心距等于半徑之和或者圓心距等于半徑差的絕對值，

所以J(3―0)2+(4—0)2=3+2或J(3—Oy+(/l—0)2=|3—2|,

由此解得/l=±4,

故選：B.

?過關測試

一、單融

1.(24-25高二上?江蘇徐州?階段練習)已知動點河與兩個定點0(0,0),4(3,0)的距離之比為2,那么直線

0Al的斜率的取值范圍是()

A.[2V6,6V2]B.[—呼，年]C.[—乎，乎]D.

【解題思路】根據題意，求出點"的軌跡方程，數形結合求得直線CW的斜率范圍.

【解答過程】設動點M&y),則'X'.=2,

V(rc-3)2+y2

化簡得(/-4)2+才=4,

所以點7W的軌跡為圓E:(^―4)2+^/2=4,

如圖，過點。作圓E的切線，連接EA"則舊必=2,|O石|=4,

所以=￡，同理/兇。后=工，

66

則直線。河的斜率范圍為[-亨，得4

故選:C.

2.(23—24高三上?重慶?期中)已知Q為拋物線C:峭=4①上的動點，動點M滿足到點42,0)的距離與

到點尸(尸是。的焦點)的距離之比為彳,貝IJ\QM\+\QF\的最小值是()

A.3—A/2^B.4—\P1C.4+y/2,D.4

【解題思路】根據題意得到點河的軌跡，然后將|QM+IQ^I的最小值轉化為\QB\-V2+\QS\的最小值，根

據垂線段最短得到當S,Q,B三點共線時，|QA/|+\QF\最小，然后求最小值即可.

【解答過程】VvJ

?

由題意得F(1,O),\QF\等于點Q到準線的距離，

過點Q作QS垂直準線于點S,則|QF|=|QS|,

設動點M(x,y),則個-2)丁彳=卓，整理得(/-3)2+#=2,

V(rr-l)2+y22

所以點州的軌跡為以5(3,0)為圓心，半徑為四的圓，

\QM\+\QF\)\QB\-V2+|QS|,

所以當四點共線時，|QM|+|QF|最小，(|QM+|QF|)mM=l+3—2=4—

故選：B.

3.(23-24高二下?貴州六盤水?期末)已知線段AB的長度為4,動點河與點A的距離是它與點B的距離

的，^倍，則面積的最大值為()

A.8V2B.8C.4V2D.華O

【解題思路】以4B的中點為坐標原點,AB所在直線為力軸建立直角坐標系，可得州的軌跡方程為圓(2—6?)

+d=32,數形結合△AMB高的最大值為圓的半徑，可解問題.

【解答過程】以AB的中點為坐標原點，AB所在直線為立軸建立直角坐標系，

設MQ,2/),且4(—2,0),5(2,0),

由|M4|=，^|MB^^^(2：+2)2+92=2(C—2)2+2/

化簡得的軌跡方程為圓(2一6)2+才=32,半徑r=4\走"，

如下圖，有=

故選：A.

4.(23-24高二上?河北石家莊?期末)在平面直角坐標系內，曲線力2=夕+1與①軸相交于A,8兩點，P是

平面內一點,且滿足|融|=2區8，則△R4B面積的最大值是()

A.V3B.2V3C.V2D.272

_________F

【解題思路】根據題意不妨取4(1,0),B(—1,0),進而求點P的軌跡方程，結合方程分析求解.

【解答過程】對于曲線/=9+1,令9=0,即a?=1,

可得多=±1,不妨取4(1,0),8(—1,0),可知\AB\=2,

設P3妨，因為|R4|=,則11+靖=V2^(x+l)2+y2,

整理得(c+3y+*=8,

可知點P的軌跡是以(一3,0)為圓心，半徑為2方的圓，

所以面積的最大值是-j-x2x2V2=2V2.

故選：D

5.(23—24高二下?陜西寶雞?期中)已知點A為直線3力+40一5=0上一動點，點P(m+2,1—n),B(2,0),

且滿足病+/=2n—4nz—4,則21Api+|BF|的最小值為()

【解題思路】通過構造關系\PB\=21PM找至定點M,將最值轉化為求2(|P4|+\PM\)的最值，進而轉化為

\AM\最值，則點線距求解可得.

【解答過程】m2+n2=2n—4m—4,/.(m+2)2+(n—1)2=1.

設P點坐標為(a:,y),由題意x—m+2,y=1—九,則x2+y2—l,

.?.P點軌跡是以0(0,0)點為圓心，1為半徑的圓，記為圓O,

設在c軸上存在定點M(a,0)，使得圓上任意一點P(x,y)，滿足|PB|=2\PM\,

貝'I(a7—2)2+y2=2-y(x—a)2+y2,

化簡得3(1+y2)—4(2a—V)x+4(a?-1)=0,

又；a?+/=1,代入得4(1—2a)x+4a2—1=0,

要使等式恒成立，則1—2a=0,即a=-y.

.?.存在定點Al(],0),使圓上任意一點P滿足|PB|=2|PM|,

則2\AP\+\BP\=21Api+2|皿F|=2(|4P|+\MP\)>2\AM\,

當A,P,M三點共線(AM位于P兩側)時，等號成立.

又入點為直線3c+4g—5=0上一動點，則的最小值即為點M到直線的距離，

由河([,0)到直線距離d=星工=條，則

\2)V32+421。10

故21Api+\BP\>2\AM\>2d=《.

5

如圖，過7W作直線3力+4g—5=0的垂線段，垂線段與圓O的交點即為取最值時的點P,此時取到最小值二.