空間向量與立體幾何

（八大題型+方法歸納+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01空間向量的線性運算

?題型02空間向量的數(shù)量積

?題型03空間向量的基本定理

?題型04空間向量的坐標表示

?題型05利用空間向量判斷位置關(guān)系

?題型06利用空間向量求角度

?題型07利用空間向量求距離

?題型08空間向量與立體幾何解答題

?題型01空間向量的線性運算

1.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在空間四邊形/8CD中，E,尸分別是3C,8的中點，則

-BC+-BD+FA=（）

22

A.BAB.看C.ABD.EF

【答案】A

【分析】借助向量線性運算法則計算即可得.

【解析】-BC+-BI5+FA=BE+EF+FA=BA.

22

故選：A.

2.（23-24高二下?江蘇常州?期中）如圖，在正三棱柱為G中,48=44=1,2為8G的中點,則

AC?BP=()

531

A.—B.1C.-D.—

422

【答案】A

【分析】以就，加，布為基底表示布，而后可求相?麗的值.

【解析】由正三棱柱ABC-48G可得AA,1AB,AAX1AC,NB4c=60。,

^AC=AC+AA,BP=BR+RP^BB.+-BC^AA+-AC--AB,

222

故鶯.而=（就+2^）［麴+；%_3萬）

1---?21----?——?----?2115

=-AC——ACAB+AA=------+1=-.

22?244

故選：A.

3.（23-24高二下?江蘇宿遷?期中）下列命題正確的是（）

A.若4瓦C,。是空間任意四點，則有在+而+反?+方2

B.若表示向量扇B的有向線段所在的直線為異面直線，則向量扇B一定不共面

c.若7,B共線，則表示向量方與5的有向線段所在直線平行

D.對空間任意一點。與不共線的三點A、B、C,若厲=xE+y礪+z反（其中X、八zeR）,

則P、A、B、C四點共面

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由已知條件結(jié)合空間向量共面定理，以及向量共線的性質(zhì)，對選項逐一判斷，即可得

到結(jié)果.

【解析】由空間向量的加法運算可知善+函+就+方=6,故A正確；

空間中任意兩個向量都共面，故B錯誤；

若扇B共線，則表示向量3與B的有向線段所在直線平行或重合，故C錯誤；

^OP=xOA+ydB+zOC,且x+y+z=l,則尸、A、B、C四點共面，故D錯誤；

故選:A

4.（23-24高一下?安徽合肥?期末）如圖，三棱柱/8C-44。中，￡尸分別為中點，過4瓦尸作三

棱柱的截面交用￡于且耐=幾兩，則4的值為（）

4、,51-/7|IG

【答案】B

【分析】延長"Rcq交于點尸，連接尸E交耳G于/,連接PM,取eq的中點。，連接E。，得到四邊

形AEMF所求裁面，再利用平行的相似比得到M為2cl上靠近4的三等分點即可.

【解析】

VB

如圖，延長4F，CG交于點尸，連接移交與G于河，

連接月W,則四邊形/瓦5所求截面.

取cq的中點。，連接E0.

???Fq=^AC,FCAIIAC,

一G是A4PC的中位線，

??.G為PC的中點.

又0，E分別為CG，54的中點，

.■.MCJ/EQ,則爵啕總即MG=|E0=，C，

為名G上靠近用的三等分點，故x=g.

故選：B.

?題型02空間向量的數(shù)量積

5.（23-24高二下?湖北?期末）空間向量Z=（l,0,1）在5=（0,1,1）上的投影向量為（）

八（In1）n血[「陞11]nCV2

（2'52jI22J（212；122）

【答案】C

【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.

【解析】a-b=l,片=1+1=2,

由投影向量的定義和公式可知己在B的投影向量為粵5=1（o,i,i）=（o,1,J],

故選：c.

6.（23-24高二下?福建龍巖?期中）如圖，在斜三棱柱A8C-4與G中，AC=BC=CCl=4,

ZBCQ=ZACQ=j,NACB=；,則直.（而+叫=（）

A.48B.32C.32+8&D.32-872

【答案】C

【分析】把函■變成％+而，然后再根據(jù)空間向量的數(shù)量積公式及運算律直接計算即可.

【解析】C4-(CS+S)=(CC;+C3).(CB+C2)=CG-C3+CG-C3+C2-CB+C32

=4x4xcos—+4x4xcos—+4x4xcos—+42=8+8+8在+16=32+8^2.

334

故選：C

7.(23-24高二下?福建漳州?期末)正方體48CD-4，CQ|的棱長為1,是正方體外接球的直徑，P為

正方體表面上的動點，則由.麗的取值范圍是()

A.-?0B._°4_C.D.M]

【答案】A

【分析】利用向量數(shù)量積的運算律可知，PM-PN=PO~,進一步只需求出而,即可得解.

【解析】由題意等于正方體的體對角線長，設(shè)點。為的中點，

所以(W=ON=-MN=-Vl2+l2+l2=—，

222

貝|J西.麗=(而+而).(而+研

=P02+PO-(OM+ON^+OM-ON=P02+0-\?

當點P與某個側(cè)面的中心重合時，麗,最小，且回］=@=；，

當點尸與正方體的頂點重合時，所2最大，且(而］=|1|+

\/max'Z)

,13

由于點尸是在正方體表面連續(xù)運動，所以麗之的取值范圍是

兩■?麗的取值范圍是-g,0.

故選：A.

-------23

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用球心。，將用乙兩轉(zhuǎn)化為尸。一然后分析點P位置即可.

4

8.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知圓錐的底面半徑為百，高為1,其中O為底面圓心，48是底面圓的一

條直徑，若點P在圓錐的側(cè)面上運動，則萬.麗的最小值為（）

.93

A.B.C.-2D.—1

42

【答案】A

【分析】由方.麗=@-西?（而-9）=麗2-（石）2,|由最小時，刀.而有最小值，求同的最小值

即可.

【解析】圓錐的底面半徑為6，高為L其中。為底面圓心，48是底面圓的一條直徑，

點尸在圓錐的側(cè)面上運動，

貝!）尸”.尸3=（。/一0尸卜（06-0尸）=0TT03—（ft4+O3）-OP+OP=OA-（V3），

|西最小時，刀.麗有最小值，圖的最小值為。點到圓錐母線的距離，

RtZkMO/中，0/=6，OM=\,則/M=2,。點到M4的距離空處￡=@,

AM2

則|西的最小值為等,PA-PB的最小值為

故選：A

?題型03空間向量的基本定理

9.（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）如圖，在四面體O4BC中，BM=-BC,MN=-NO,AP=^-AN,若

224

OQ=MB,且「。||平面/5C,則實數(shù)幾=（

o

【答案】D

【分析】由條件可知，延長O尸與交于。，連接AD,則由題意可得PQIIAD,令歷=〃而，

AD=mAM,則利用不同的方法將通用麗礪表示，可求出九〃，然后利用三角形相似可求得結(jié)果.

【解析】由條件可知，延長。尸與交于D,連接AD,

因為尸。11平面23C,

P0u平面05D,平面08。c平面48c=80,

所以P。WBD,

0

B

令歷=〃而，AD=mAM,

則有AD=OD-OA^juOP-OA=\—〃一l\0A+—〃0B+—〃OC,

(4J44

AD=mAM=；加(/5+/0)=m(0B-0A+OC-OAj=-mOA+—

mOB+—mOC

2

根據(jù)向量基底表示法的唯一性，

U=1A-1L=2

得i:4解得；3

〔24產(chǎn)13

PQIIBD,

OBOD4

4

故選：D.

10.（22-23高二上,江西南昌,期末）已知點。在。3C確定的平面內(nèi)，O是平面N8C外任意一點，實數(shù)xj

滿足麗=xE+2y礪一3瓦，則￡+/的最小值為（）

42-75

A.-B.—C.1D.2

55

【答案】A

【分析】借助空間向量的線性運算與基本定理可得x+2y=2,結(jié)合消元法與二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.

【角軍析】^DO=xdA+2ydB-3OC,

^\^OD=-xOA-2yOB+3OC,又點。在“8C確定的平面內(nèi)，O是平面48c外任意一點，

所以-x-2y+3=l,,gpx=2-2y,

貝If+y2=（2-2好+y2=5y2-8j+4=

故選：A.

11.（23-24高二下?江蘇淮安?階段練習）以等腰直角三角形斜邊3c上高/。為折痕，把和ANCZ）折

成120。的二面角.若/5=2,DP=xDA+yDB+（\-x-y）DC,則|麗|最小值為（）

△^2RV6門底

A.D.L.-----------U.

2356

【答案】C

【分析】根據(jù)二面角的平面角的定義得NADC是44切和A/CD折成120。的二面角的平面角，解三角形求

得4B=AC=2,AD=BD=CD=e,BC=R,由已知得點尸在平面4BC內(nèi)，則毋|的最小值為點。到

平面N5C的距離，設(shè)點。到平面N8C的距離為/?,運用等體積法可求得答案.

【解析】由已知得3。,/。LCD,

所以ZBDC是△48。和“CD折成120°的二面角的平面角，所以ZBDC=120°,

又4B=2,所以4B=AC=2,AD=BD=CD=y/i,

BC2=AD2+CD2-2.-AD-CDcosl2Q0=3,所以BC=?,

因為D尸=xEM+yD5+(l—x—y)Z>C,其中￡R,

所以點P在平面ABC內(nèi)，則\D?\的最小值為點D到平面ABC的距離,

設(shè)點D到平面ABC的距離為h,

因為/。_18。,/。_18,BDcCD=D,3D,CDu平面BCD,

所以4D_L平面BCD,所以4。是點A到平面8OC的距離,

所以^A-BDC=LADxSABDC==xCx—xV2xV2xsinNBDC=—,

3A326

又“BC中，AB=AC=2,BC=2退,所以cos/&4c=/臺-3c=)

2-AB-AC4

而NA4C為三角形內(nèi)角，所以sin/"C=姮，

4

貝！ISAB-AC-sinZBAC^-x2x2x—=—,

we2242

所以%TBC=；乂屐5皿=gxk又考~=，,解得〃=

33265

所以同的最小值為粵，

故選：c.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：空間向量中的線段長度的最值問題，可根據(jù)向量代數(shù)式的幾何意義轉(zhuǎn)化為點面距的

問題來處理.

?題型04空間向量的坐標表示

12.(2023?河南?模擬預測)已知空間向量￡=(1,2,0)1=(0,-1,1)1=(2,3,加)，若共面，則實數(shù)加=

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知存在一對有序?qū)崝?shù)(x，y),使"=6+遠，然后列方程組可求得答案.

【解析】因為Z=(l,2,o),j=(o,-l,l)不共線,共面，

所以存在一對有序?qū)崝?shù)(x,y),使Z=Q+

所以(2,3,m)=x(l,2,0)+j?(0,-l,l)=(x,2x-y,y),

x=2x=2

所以＜2x-y=3,解得4y=1

y=mm=1

故選：A

13.（23-24高二下?福建莆田?期末）在三棱錐尸-42。中，PA,PB,尸。兩兩垂直，且P4=PB=PC=2.

若M為該三棱錐外接球上的一點，則標.砒的最大值為（）

A.2B.4C.2+2百D.4+26

【答案】C

【分析】首先將三棱錐放置在正方體中，并建立空間直角坐標系，利用轉(zhuǎn)化向量的方法求數(shù)量積，再代入

坐標運算，即可求解.

【解析】如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對角線的

尸(0,0,0),4(2,0,0),5(0,2,0),C(0,0,2),0(1,1,1),

設(shè)三棱錐外接球的半徑為&,27?=V22+22+22=2-73-則尺=百，

MB-MC={MO+OBy{MO+OcY

=MO2+[OB+OCyMO+OB-OC,

流2=爐=3,03=(-1,1-1),OC=H-1,1),

OS+OC=(-2,0,0),OSOC=1-1-1=-1,

+(^y^=^OB+OC^Md\cosOB+OC,MO=243cosOB+OC,MO,

所以赤?標=3+2月cos礪+元;荻一1=2+2#cos礪+詼,荻，

當cos礪+云,汨=1時，話.標取得最大值2+2月.

故選:c

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是三棱錐與外接球組合體的幾何關(guān)系，以正方體為橋梁，建立空間直角

坐標系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題.

14.(23-24高二下?福建?期中)在棱長為2的正方體NBC。-/4G。中，若點P是棱上一點(含頂點)，則滿

足方?西=-1的點尸的個數(shù)為()

A.8B.12C.18D.24

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標系，則點4(2,0,0),Q(0,2,2),考慮P在上底面的棱上，設(shè)點P的坐標為

(x,y,2),則由題意可得0W尤W2,0<y<2,if=%2-2x+/-2y=(x-1)2+(y-l)2-2=-1,即

可得出結(jié)論.

【解析】如圖所示：以點。為原點，以。N所在的直線為x軸，以。C所在的直線為y軸，

以。A所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系.

則點/(2,0,0),G(0,2,2),考慮尸在上底面的棱上，設(shè)點尸的坐標為(X/,2),

貝U由題意可得0WxW2,0<y<2,

所以方=(2-x,-y,-2),西=(一陽20),

=x2-2x+y2-2y=(x-l)2+(j-l)2-2=-l,§P(x-1)2+(y-l)2=1,

因為點P是棱上一點(含頂點)，所以(x-lf+Cy-以=1與正方形48。四切于4個點,

即上底面每條棱的中點即為所求點P;

同理尸在右側(cè)面的棱上，也有4個點，設(shè)點尸(x,2,y),

2

PA-PCX=(2—x,—2,—x,0,2—y)=x~-2x+y—2y=-1,

即(》-1)2+(了-1)2=1與正方形83。。切于4個點，

即右側(cè)面每條棱的中點即為所求點p;

同理可得：正方體每條棱的中點都滿足題意，故點尸的個數(shù)有12個.

故選：C

?題型05利用空間向量判斷位置關(guān)系

15.(23-24高二下?甘肅?期中)已知平面a外的直線/的方向向量為S=(1,0,2),平面a的一個法向量為

3=(6,1,-3),則()

A./與a斜交B./laC.IllaD.vIIn

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得U=0,得到即可得到答案.

【解析】由平面1外的直線/的方向向量為S=(l,0,2),平面a的一個法向量為工=(6,1,-3),

可得浦=(1,0,2>(6,l,-3)=l>6+0xl+2x(-3)=0,所以51K則〃/a.

故選：C.

16.(23-24高三下糊南衡陽?階段練習)空間四邊形/BCD中耳廠,G,〃分別為“民4。,。,酸的點(不含

端點).四邊形EFG”為平面四邊形且其法向量為二下列論述錯誤項為()

A.而.力=0，則AD〃平面EFG

B.EF=HG，則4C//平面E尸G

C.EFHG=Q,EF//1JG，則四邊形E/G77為矩形.

D.BDAC=Q,EF=HG,則四邊形E尸GH為矩形.

【答案】C

【分析】根據(jù)法向量的定義即可求解A,根據(jù)向量相等可得平行四邊形，進而可得線線平行，進而根據(jù)線線

平行得線面平行，即可由線面平行的性質(zhì)求解BCD.

【解析】由于〃是平面的法向量，J!LBD-H=0，8。不在平面EFG內(nèi)，則8。〃平面ENG,A正確,

對于B,由于而=詬，則四邊形EFG”為平行四邊形，故E〃〃尸G,FGu平面平面/C。，

所以硒//平面/CD,￡77u平面4CB,且平面/CD。平面/C3=/C,故E77///C,

則可r<=平面①平面E尸G,則NC〃平面斯G,故B正確，

對于C,由于方=百4,則四邊形跖GH為平行四邊形，麗.宙=OnEF_L//G,顯然矛盾，故C錯誤,

對于D,由于麗=比，由選項B可得EH//NC,由于四邊形EFGW為平行四邊形，

故EF//77G,E尸u平面4a0,G〃cz平面4口，

所以GH//平面雙D,G"u平面BCD,且平面曲)。平面BCD=8Z),故G////BD,由于

JD-AC=O=>BDYAC,

因此EH，HG,故四邊形EFGH為矩形,

故選：C

17.(23-24高二下,江蘇揚州?階段練習)正方體/BCD-44GA的棱長為1，動點M在線段CG上，動點尸

在平面481G2上，且/尸1平面八四2,線段8尸長度的取值范圍是()

A.[1,^]B.慘6C.豐，亞D.[1,司

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)點尸，可的坐標，由線面垂直轉(zhuǎn)化成向量垂直，列方程組，表示出

BP=(t,-t,l),利用模長公式計算即可.

【解析】結(jié)合題意：以。分別為X//建立空間直角坐標系，如圖所示：

由正方體43。-44G2的棱長為1,可得4(1,0,0),8(1,1,0),9(0,0,1).

設(shè)尸(0也1),兇(0,1,。,(04/41),

則后=(“-1,6,1),西=(-1,-1,1),砌=(0,-1,1一/),

因為AP工平面所以

AP'BD[=\-a-b+\=0\a=t+l

即______L,解得人,,

AP-MDi=-b+l-t=Q[6=17

所以萬=(//_/,1),所以麗=加+方=(O,_l,O)+a，l_/,l)=U，T,l),

所以網(wǎng)=^2+(-z)2+l=也以+1,

因為0W區(qū)1,結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性可得|麗卜3產(chǎn)+1在/e[0,1]單調(diào)遞增.

故網(wǎng)=也》+141,6]

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于利用力尸上平面〃》已，找至IJ萬=（/4-/,1）,從而得到所.

18.（2024?寧夏吳忠?模擬預測）在正方體44GA中，點尸為線段臺"上的動點，直線加為平面4。尸

與平面gC尸的交線，現(xiàn)有如下說法

①不存在點尸，使得臺耳//平面&DP

②存在點P,使得可尸，平面4。尸

③當點P不是BD、的中點時，都有加//平面A}B}CD

④當點?不是的中點時，都有7"，平面/助】

其中正確的說法有（）

C.②③D.①④

【答案】B

【分析】

對于①，由當點P與點。重合時，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對于②，若男尸，平面則

B'PLBC,建系利用向量運算率?盡WO即可判斷；對于③④，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識判斷

即可.

【解析】對于①，由當點尸與點。重合時，由

而。Au平面46，331cz平面/QP,得34//平面尸，故①錯誤;

對于②，若存在點P，使得司尸，平面4。尸，則

又4。//與C,可得男尸，AC,

以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)棱長為1,即=2甌，OWXW1,

則5(1,1,0),c(o,i,o),q(1,1,1),A(0,0,1),

則布=(0,0,-1),西=(一1,一1,1),

:.即=印+麗=耶+4班麻=(-

所以4P3C=/Ul-X=lwO,這與用尸，8c矛盾，故②錯誤;

對于③，當尸不是82的中點時，

由且B[Cu面片CP,4。（2面3]CP,可知4。//面3c尸，

又直線加為面4Po與面印7的交線，貝U4。//"?,

又/Qu面481cD,mu面4及。1）,從而可得加//面4耳。，故③正確;

對于④，由③可知4。//機，又481平面40。4，40u平面40。14，

所以AB14。，又AB^ADt=A,u平面A8Z）|,

所以4。，平面所以機，平面/8功，故④正確.

綜上，③④正確.

故選：B.

?題型06利用空間向量求角度

TT

19.（23-24IWJ二下,福建廈門?期末）在四面體45cZ）中，BC1.BD,Z.ABC-Z.ABD——,BA=BD=2,

3

BC=3,則4Q與8C所成角的余弦值為（）

ALD^3rV3口小

r\.D.L.U?

2323

【答案】A

【分析】利用向量的夾角公式和數(shù)量積的運算律，即可求解異面直線夾角.

【解析】由題知，DA=^-BD，令6為正與南所成夾角，

53.gc^BA-BD\BC

則cos<9=

同.陶-|麗一叫.明

BABC-BDBC

網(wǎng)網(wǎng)cos；

阿明cos-\BD\.\BC\

2網(wǎng)同cosg

B

故選：A

20.（2024?陜西?模擬預測）在平行六面體N5CD-44GA中，已知=441=1,

ZA^AB=ZAtAD=ABAD=60°,則下列選項中錯誤的一項是（）

A.直線4c與2。所成的角為90。

B.線段4c的長度為亞

C.直線4c與3月所成的角為90。

D.直線4c與平面N8CD所成角的正弦值為"

3

【答案】D

【分析】在平行六面體Z5C。-4qG2中，^AB=ajD=bJAx=c,利用空間向量的線性運算及數(shù)量積

運算，逐一分析選項，即可得出答案.

【解析】在平行六面體Z5C。-中，令六=],AD=b,AA1=c,

由4B=4D=/4=1,AAXAB=ZA,AD=ABAD=60°,

得|叫=歷|二|3|=1,a-b=b-c=a-c=-^,

對于A,顯然4。=5+石-^,^D=-a+b，

貝ij汞?麗=（3+3—己＞（-2+3）=-必+廬+小？-幾日=0,即"，麗，

因此直線4c與5。所成的角為90。，A正確；

對于B,\A^C^=（a+b-c）2=a2+b2+c2-2b-c=2,即|而|=0,B正確；

2

對于C,AlC-BBl=（a+b-c）-c=a-c+b-c-c=0,即就_L函，

因此直線4c與32所成的角為90。，C正確；

對于D,在平行六面體/BCD-/4G。中，四邊形45CD是菱形，即/C/5D,

又4c18。，A{CnAC=C,4C/Cu平面4。，于是AD2平面4。，

又8Du平面48CD,則平面4c平面48CD,

連接/C交AD于點。，在平面4。內(nèi)過點4作4EL/C于點E,如圖,

由平面4c4rl平面4BCD=/C,因此/1E_L平面48c。，即直線4c與平面N3CZ）所成角為Z4c4,

AC=a+b，貝"％『=B+B|2=12+廬+21^=3,即|/C|=K,

由441//B4及選項C知,ZAA1C=90°,則sin/4c4=-j=D錯誤.

3

故選：D

21.（23-24高二下?江蘇徐州?期中）如圖，四邊形ABCD,AB=BD=DA=4,BC=CD=2梃,現(xiàn)將沿

7T7F

AD折起，當二面角4-5O-C的大小在匕,；］時，直線4B和8所成角為a，貝Ucosa的最大值為（）

63

A

A2V2-V6DV2r2V2+V6

168168

【答案】B

【分析】取8。中點。，連結(jié)/。，CO,以。為原點，OC為x軸，為〉軸，過點O作平面BCD的垂

線為二軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線N3與CD所成角的余弦值的最大值.

【解析】取ao中點。，連接NO,CO,AB=BD=DA=4,BC=CD=26,

則CO_LBr>,/O_LB。，且CO=2,26，于是//OC是二面角工一AD-C的平面角，

顯然2。1平面NOC,在平面/OC內(nèi)過點。作OzLOC,則ADLOz,

直線OC,aD,Oz兩兩垂直，以。為原點，直線。COROz分別為無,y,z軸建立空間直角坐標系，

2(0,-2,0)<(2,0,0),。(0,2,0),設(shè)二面角/一2。一C的大小為巴丘邑勺，

o3

因此4(2行cos40,2VJsin。)，BA=(273cos0.2,273sin6>),CD=(-2,2,0),

\BA-C5||4-4V3cos4|1-V3cos0\

于是cosa=卜0$.84。。?卜

畫面4x2722y/2

顯然COS。G,貝U當C0s8=X^時，(cosa)max=-^-，

2228

【點睛】關(guān)鍵點點睛：建立空間直角坐標系，求出動點A的坐標，利用向量建立函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

?題型07利用空間向量求距離

22.（23-24高一下?黑龍江齊齊哈爾?期末）平行六面體-44GA中，

44=4D=4B=1,"AD=ZA.AB=/BAD=60°,點M為的中點，則點。到直線MC的距離為

【分析】選取赤，焉，麴作為空間一組基底，用基底表示兩，兩，求出模，運用公式可以求解.

【解析】如圖所示，根據(jù)題意，選取而，您作為空間一組基底.

—*—”—*—*1--------*—?I———?

COS

則AD.ZB=|AD|.|/B|Z8/D=5，同理=AAl-AD=~.

^=DDl+I^i=AAl+^DB=AAl+^(AB-AD)=^AB+AAl-^AD,

CM=CD+75Di+D[M=-AB+AAl+^AB-^AD=--AB+AA}-^AD,

DM-CM；萬+可一;Zoj-I-|ZB+14-|AD

一:方+京2+：方-可?茄=—+i+：T=1；

-----I1---?----?1------)11--->2---->21---?2---?----1-------,----,--------?

AD=AB+AA]+ADABAA

\CM\^M--AB+AAX~~)\'l~^~-\+-AB-AD-AA.AD

_/I1+1111_V3.

V442422

----I1--------->-----1---，,?1---k2----*21----*1---?----1-------?---?----,---?

\DM\=M-AB+AA,-^AD)=^AB+AA'+4AD+AB'AA\~^_AB-AD-AA\'AD

J+1+—殳

442422

1

則、中J，

2

點D到直線MC的距離d=7|0A7|2-I

故答案為：個

23.（23-24高二下?安徽，期末）在棱長為2的正方體-44GA中，E,尸分別為正方形/3C。和正方

形CDAG的中心，則點A到平面&環(huán)的距離為.

【答案】①/三用

1111

【分析】建系，寫出相關(guān)點的坐標，分別求出石與平面4M的法向量］的坐標，代入點到平面距離的向

量計算公式計算即得.

【解析】

如圖，以點。為坐標原點，分別以所在直線為x/，z軸建立空間直角坐標系.

則/（2,0,0）,4（2,0,2）,磯1,1,0）*（0,1,1）,

于是，刀;=（o,o,2）,4E=（TL-2）"=（-2，LT）

n?AXE=-x+y-2z=0

設(shè)平面AXEF的法向量為〃=（xj,z）

n?AXF=-2x+y-z=0

_\n-AA,o'JT

故可取n=（1,3,1）,則點A到平面AXEF的距離為"=L_J===業(yè).

\n\VTT11

故答案為：巫.

11

24.（23-24高二下?江蘇淮安?階段練習）將邊長為2的正方形45CZ）沿對角線4C折疊使得A4C。垂直于底

面N3C,則異面直線/。與3C的距離為.

【答案】巫/沁

33

【分析】利用垂直關(guān)系，建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線的距離.

【解析】取/C的中點。，連結(jié)。瓦。。，ODLAC,OBVAC

由條件可知，平面/CZ)_L平面48C,且平面4C￡>n平面N3C=/C,ODu平面4CZ),

如圖，以點。為原點，礪，反，而為X/，二軸的正方向，建立空間直角坐標系,

/（0,-后,0）,5（V2,0,0）,C（0,V2,0）,D（0,0,V2）,

AD=（0,V2,V2）,SC=（-V2,V2,0）,BD=（-42,0,^,

設(shè)與瓦，能垂直的向量為為=(x,%z),則

AD-n=Cy+V2z=0

令x=l,則》=l,z=-1,所以為=（1,1,-1）,

BC-n=-y[lx+y[2y=0

則異面直線AD與BC的距離為空"-V2-V2I276

3

故答案為：巫

3

25.(24-25高二上?上海?單元測試)如圖，在直三棱柱48C-/4C］中，ZABC=90°,BC=2,CC1=4,

點。為CG的中點，則片。與平面4BD的位置是.

【答案】垂直

【分析】建立空間直角坐標系，證明及0,82耳。，R4,即可得與。與平面48。的位置關(guān)系.

【解析】如圖所示，分別以348C,34所在直線為X,乃Z軸建立如圖空間直角坐標系,

且8C=2,CG=4.

^AB=a,則耳（0,0,4）,3（0,0,0）,”（a,0,0）,D（0,2,2）,

所以麗=（0,2,-2）,麗=（0,2,2）,詼=（a,0,0）,

因為B^DBD=Q^DBA=0,

所以可萬_L而，百萬_L茄，

因為2。門氏4=尻2。＜=平面46。，歷lu平面480,

所以穌0_1_平面480.

故答案為：垂直.

26.（19-20高二?全國?課后作業(yè)）正方體ABCD-4B[GQ的棱長為4,M,N,E,F分別為4Q,AMC。,

&G的中點，則平面4MN與平面EFB。的距離為.

【答案】g

【分析】建立空間直角坐標系，計算平面A/WN的一個法向量，然后使用等價轉(zhuǎn)化的思想，面面距轉(zhuǎn)為點面

距，最后計算即可.

【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系Oxyz,

0,0),8(4,4,0),E(0,2,4),

F(2,4,4),N(4,2,4).

-'-EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),~BF=(-2,0,4),

■■■EF=MN,BF=AM，

.-.EF\\MN,BF\\AM,EFcBF=F,MNcAM=M.

平面A/WNII平面EFBD.

設(shè)？j=（x，%z）是平面A/WN的一個法向量,

方竺=2x+2尸。，解得x=2z,

則

nAM=-2x+4z=0,y=-2z.

取z=l,則x=2,y=-2,得］=(2,-2,1).

平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面EFBD的距離.

???A8=（0,4,0）,平面AMN與平面EFBD間的距離引=-.

I?l3

O

故答案為：—

【點睛】本題考查面面距，使用數(shù)形結(jié)合，形象直觀，并采用向量的方法，將幾何問題代數(shù)化，便于計算,

屬基礎(chǔ)題.

?題型08空間向量與立體幾何解答題

27.（24-25高三上?湖南?開學考試）如圖，在直三棱柱NBC-48cl中，。是側(cè)棱CQ的中點，

/ACB=120。,AA[=百AC=生。.

⑴證明：平面/片G，平面4如；

⑵求銳二面角B-AXD-B、的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵交.

4

【分析】（1）利用三棱柱性質(zhì)以及邊長關(guān)系可得“344為正方形，所以/片，48；再利用勾股定理以及面

面垂直的判定定理即可證明出結(jié)論；

（2）以C為原點建立空間直角坐標系，分別求得平面的法向量為方=卜3,-石,2）,易知平面43。的

一個法向量為函=（道,-3,2V3）,可得銳二面角B-A.D-4的余弦值.

【解析】（1）設(shè)/與c48=M,因為N/C3=120°,44=6/。=石3。，

由余弦定理可得4爐=4。2+2。2-2/。3（入05120°=3/。2,即4g=#/c；

可得四邊形為正方形，所以/片，&B,

且又。是側(cè)棱CG的中點，連接。

因為qD=J^C；+,AD=JAC?+CD?,又AC=CB=C[B[,CD=C[D,則/。=片。,

因為M為4B1的中點，所以

由DW，43u平面49，且。A/n43=M,可得/4，平面4臺。，

又因為481u平面,

可得平面/片平面450.

（2）由直棱柱的性質(zhì)與己知，得CG，G4,CCJCB,

以c為原點，以垂直于平面/cq的直線，C4CG所在直線分別為x/，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)NC=3C=2,可得/4=2石，且。是CG中點,

則/(O,2,O),D(O,O,道),4(0,2,2退),用(退,-1,26).

可得福=（括，-3,26）,西=（0,2,若），函=（括，-1,6）,

n-DA=2y+布z=0,

設(shè)平面44。的法向量為為=（x,%z）,}

n-DBl=C尤-y+y/3z=0,

令了=一百，貝!Jx=—3,z=2,可得萬=卜3,一6,2卜

由⑴可知平面4瓦＞的一個法向量為加=麗=（△，-3,26卜

71rli3__m-n-3x73+(-^)x(-3)+2x2730

口」付cosm,n=....=----------------------7=-----------------=——，

應司4x2764

所以銳二面角B-AXD-Bx的余弦值為也.

4

28.(23-24高二下?上海?期末)如圖，在四棱錐尸-48。中，底面48co為正方形，尸口，底面48CD,M

為線段尸C的中點，PD=AD=\,N為線段8c上的動點.

(1)證明：MD1PN；

(2)當N為線段2C的中點時，求點A到面的距離.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證出8C1平面尸。。和平面尸BC,進而可得尸N；

(2)以。為原點，D4DGOP分別為x/，z軸建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，利

用空間向量法求出點到平面的距離.

【解析】(1);FD_L平面48cD,BCu平面48CD,

BC±PD,

又BC^LDC,PDcDC=D,PD,DCu平面PDC,

:.BCL^^PDC,又A?u平面PDC,

MDLBC,

RMPDC中，尸。_1"7,尸。=。。,〃為尸。的中點，MDYPC,

PCcBC=C,PC,BCu平面尸2c,A/D_L平面PBC,

???PNu平面尸BC,:.MDLPN.

(2)以。為原點，D4,OC,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系。-孫z,

則D(O,0,0),/(i,o,o),小；￡|,

所以方=(1,0,0),=P2V=Q,l,ol

設(shè)方=(x,y,z)為平面MND的法向量,

zt

D：4

n-DM=—y+—z