第七章相交線與平行線

7.1相交線

7.1.1兩條直線相交

※教學目標※

1.理解對頂角和鄰補角的概念并能在圖形中辨認.（重點）

2.掌握對頂角相等的性質和它的推證過程.（重點）

3.通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養學生的識圖能力難點）

※教學過程※

一、新課導入

［情境導入］觀察下列圖片，說一說直線與直線的位置關系.

二、新知探究

（一）鄰補角與對頂角的概念

［課件展示］

［提出問題］你發現了什么？？

直線與直線相交于一點，并形成了四個角.

［課件展示］

把四個角兩兩組合，按照兩個角的位置關系將角分類.

Z1和Z2,Z1和Z4；

Z2和Z3,Z3和Z4.

有一條公共邊，

另一條邊互為反向延長線.

Z1和Z3；Z2和Z4.

頂點相同，角的兩邊互為反向延長線.

［歸納總結］

鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線,那么這兩個角互為鄰補角.圖中N1的鄰補角

有22,Z3.

c

2

AB

、o

對頂角：如果兩個角有一個公共頂點，并且其中一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線,那么這兩個角互為

對頂角.圖中的對頂角是工2.

［典型例題］例1下列各圖中，Z1與42是對頂角的是（D）

［歸納總結］對頂角是由兩條相交直線構成的，交點就是公共頂點，兩邊互為反向延長線.

［典型例題］例2下列各圖中，Z1與/2是鄰補角的是—②—.

（二）鄰補角與對頂角的性質

［課件展示］

思考：剪刀剪東西的過程中，你能說說/AOC與/AOD,ZAOC與/BOD這兩對角的大小保持怎樣的關系嗎？

ZAOC和NAOD相加始終是一個180°的平角./A0C和NB0D的大小始終相等.

［課件展示］

思考：大膽猜想并驗證相交線中角的大小關系，可以運用量角器測量或幾何推導的方法進行證明.

猜想：對頂角相等.

方法一：量角器測量各個角的度數:

學生分組進行測量，說說看每組測得的角度，并說說各個角之間有什么關系，嘗試自己得出結論.

方法二：幾何推導證明：

已知：如圖，直線AB與CD相交于點。.試說明/I=N3,Z2=Z4.

解：因為直線AB與CD相交于點0,所以/I+Z2=180°,Z3+Z2=180°.

所以/I=Z3.同理可得/2=Z4.

小結：對頂角相等.

［典型例題］例3如圖所示，直線a,b相交，Z1=40°,求/2,Z3,Z4的度數.

分析：已知角的度數，通過鄰補角的定義和對頂角的性質來求未知角的度數.

解：由鄰補角的定義，得N2=180°-Zl=180°-40°=140°.由對頂角相等，得

Z3=Z1=40°,Z4=Z2=140°.

［歸納總結］請同學們自己嘗試完成表格中的內容！

歸類位置關系名稱數量關系

N1和N2、1有.公共頂點

1N2和N3、2有.一條公共邊鄰補

rB互補

N3和N4、3另.一邊互為反向角

N4和N1延長線

AD1有.公共頂點

N1和N3、2沒.有公共邊對頂

3兩.邊互為反向延相等

N2和N4角

長線

［針對練習］1.如圖，若+Z3=60°,則Nl,Z2,Z3,Z4的度數分別為30°,150°,30°,150°.

2.如圖，若/2是/I的3倍，則N1,Z2,Z3,Z4的度數分別為45°,135°,45°,135°.

3.如圖，若1：2=2：7,則/I,Z2,Z3,Z4的度數分別為40°，140°,40°,140°.

三、課堂小結

四、課堂訓練

1.下列說法正確的是（A）

A.互補的兩個角是鄰補角

B,相等的角是對頂角

C.有公共邊的兩個角互為鄰補角

D.兩邊互為反向延長線的角是對頂角

2.如圖，直線AB,CD,EF兩兩相交，若41+45=180。，找出圖中與乙1相等的角.

解：二乙3（對頂角相等）,因為45+乙8=180°,且乙1+乙5=180°,所以48二41.

因為乙8=46（對頂角相等），所以乙6=乙1.綜上可知，與乙1相等的角有43,乙6,乙8.

3.如圖，直線AB,CD,EF,MN相交，若乙2=45,找出圖中與乙2互補的角.

解：因為N1和/3都是22的鄰補角，所以/1+Z2=180°,Z2+Z3=180°.

因為/6和/8都是/5的鄰補角，所以/5+/6=180°,Z5+Z8=180°.

因為/2=/5,所以N2+Z6=180°,Z2+Z8=180°.

綜上可知，與/2互補的角有Nl,Z3,Z6,Z8.

4.如圖，直線AB,CD相交于點O,OE是一條射線，Z1:Z3=2:7,Z2=70°.

（1）求Z1的度數；（2）試說明OE平分ZCOB.

解：(1)因為/1:/3=2:7,Zl+Z3=180°,所以/1=180°=40°.

(2)因為N1+N2+/COE=180°,Z2=70°,所以/COE=180°-Zl-Z2=70°.

所以/2=NCOE.所以OE平分NCOB.

五、布置作業

見《練習冊》.

※教學反思※

在上冊的學習中，學生已經接觸了通過說理的方式得出兩角相等.本節課學生通過度量等方法，能夠猜想出“對

頂角相等”的性質，并通過推理得到一般結論.因此本節課需要重視從動手操作到推理的教學過程，這是學生對知

識從感性認識到理性認識的發展，了解從特殊到一般的歸納方法.另外，如何把圖形語言翻譯成符號語言，也是對學

生提出的新的挑戰，為今后證明的學習與幾何證明打下基礎.

第七章相交線與平行線

7.1相交線

7.1.2兩條直線垂直

※教學目標※

1.理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線.(重點)

2.掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離.(重點)

3.掌握垂線的性質，并會利用所學知識進行簡單的推理，發展推理能力和數學表達能力.(難點)

※教學過程※

一、新課導入

［情境導入］觀察下列圖片，你能找出其中相交的直線嗎？它們有什么特殊的位置關系？

日常生活里，有圖中位置關系的兩條直線很常見，你能再舉出其他例子嗎？

二、新知探究

(-)垂直、垂線、垂足的概念

［課件展示］

在相交線的模型中，固定木條a,轉動木條b,當b的位置變化時，a,b所成的角a也會發生變化.

［提出問題］(1)當/a分別為35°、90°時，其余的角分別是多少？

(2)當/a為90。的位置關系有幾個？此時，木條a和木條b所在的直線有什么樣的位置關系？

a與b垂直，記作a_Lb.

［提出問題］如圖，直線AB,CD相交于點0,當/A0C=90°時，ZBOD,ZAOD,NB0C的度數是多少？為什么

C

AOB

D

由對頂角和鄰補角的性質可知，當/A0C=90°時，ZBOD=ZA0D=ZB0C=90°.

［歸納總結］

垂直的定義：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直.

垂直的表示方法：如果直線AB與直線CD垂直，那么可記作：AB±CD.

如果用1、m表示這兩條直線，那么直線1與直線m垂直，可記作：

互相垂直的兩條直線的交點叫作垂足（如圖中的0點）.

［典型例題］例1⑴如圖1,直線m,n交于點0,Zl=90°,則m=Ln；

（2）若直線AB,CD相交于點0,且AB_LCD,則/B0D=90°；

⑶如圖2,B0±A0,/B0C與/BOA的度數之比為1：5,那么NC0A=72°,/BOC的補角為盤。.

m

_____i1

圖1。On圖2

A

（二）垂線的畫法及基本事實

探究：（1）畫已知直線1的垂線能畫幾條？

（2）過直線1上的一點A畫1的垂線，這樣的垂線能畫幾條?

（3）過直線1外的一點B畫1的垂線，這樣的垂線能畫幾條?

.B

~1

如圖，已知直線1和1上的一點A,過點A畫1的垂線.

1.放;2.靠；3.移；4.畫.

［歸納總結］

垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：

1.“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外；

2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”強調唯一性.

（三）點到直線的距離

［課件展示］

在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖掘能使渠道最短？請轉化成數學問題并找出最短的位置.

如圖，從A點向已知直線1引一條垂直的線段AD（即點A到直線1的垂線段）和幾條不垂直的線段AB,AC,

AE.

說一說：

1.線段AB,AC,AD,AE中誰最短？

2.你能用一句話表示這個結論嗎？

［歸納總結］

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

簡單說成：垂線段最短.

線段AD的長度叫作點到直線的距離.

四、課堂訓練

1在下列條件中：①兩直線相交所成的四個角都是直角；②兩直線相交，對頂角互補；③兩直線相交所成的四個角都

相等，可以判定兩條直線互相垂直的是（D）.

A.?2）B.①（WC.②G）D.①②o

2.如圖，下列說法正確的是（D）

A.線段AB叫作點B到直線AC的距離

B.線段AB的長度叫作點A到直線BC的距離

C.線段BD的長度叫作點D到直線BC的距離

D.線段BD的長度叫作點B到直線AC的距離

4

3.如圖，直線AB,CD相交于點E,EFlAB于E,若aCEF=58°,則乙BED的度數為32。.

4.如圖，A01FD,0D為乙BOC的平分線，0E為射線0B的反向延長線，若乙AOB=40。，

求乙EOF,乙COE的度數.

解：因為AO1FD,且4AOB=40°,

所以乙BOD=90°-40°=50°.

所以乙EOFBOD=50°.

又因為OD平分4BOC,

所以乙BOC=2ZBOD=100°.

所以4COE=180°-ZBOC=180°-100°=80°.

五、布置作業

見《練習冊》.

※教學反思※

垂線的性質和定義，都是通過操作、探究獲得的.對于探究垂線的性質，需要讓學生動手畫圖，再經過小組討

論，體會垂線的存在性和唯一性，歸納出“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”這一性質；

“垂線段最短”的性質在日常生活中有著廣泛的應用，可以由實際問題引入，由解決實際問題結束.教學時，應多舉

一些生活中的實例，讓學生體會數學與生活的聯系，同時發展學生的抽象概括能力和空間觀念.

第七章相交線與平行線

7.1相交線

7.1.3兩條直線被第三條直線所截

※教學目標※

1.理解“三線八角”中沒有公共頂點的角的位置關系，知道什么是同位角、內錯角、同旁內角.（重點）

2.通過比較、觀察、掌握同位角、內錯角、同旁內角的特征重點）

3.能在復雜圖形中正確識別圖形中的同位角、內錯角和同旁內角.（難點）

※教學過程※

一、新課導入

［問題導入］兩條直線AB和EF相交，能形成具有什么關系的角？

1.鄰補角；2.對頂角.

必

F

請同學們自己說說這些角是哪些？

二、新知探究

（-）同位角、內錯角、同旁內角

［課件展示］

探究：若再添加一條直線，即直線EF被第三條直線CD所截，構成了幾個角？有什么特點？

簡稱“三線八角”.

一、同位角

觀察/I與N5的位置關系

①在直線EF的同旁（左邊）［一同位角

②在直線AB、CD的同一側（上方）

圖中的同位角還有哪些？

N2和/8,N3和N7,/4和N6

C.(l)，(2),(3)D,(2),(3),(4)

［歸納總結］

下列變形圖中的與/2是同位角嗎？為什么？這樣的圖形有什么特點？

圖形特征：在形如字母“F”的圖形中有同位角.

二、內錯角

F

①在直線EF的兩側

②在直線AB、CD之間J內珀用

［典型例題］例2如圖，與/I是內錯角的是(B)

［歸納總結］

下列變形圖中的/I與/2是內錯角嗎？為什么？這樣的圖形有什么特點？

tJN八

圖形特征：在形如字母“Z”的圖形中有內錯角.

三、同旁內角

觀察/I與/5的位置關系:

E.

4

1

AB

①在直線EF的同旁（左邊）

同旁內角

②在直線AB、CD之間3-

A)

［歸納總結］

下列變形圖中的N1與/2是內錯角嗎？為什么？這樣的圖形有什么特點？

圖形特征：在形如字母“U”的圖形中有同旁內角.

［歸納總結］

基本形象

角的名稱角的特征相同點共同特征

圖形記法

有

必

①三

截線:同側

線

條

篁

同位角被截線:同旁都在截類

三

②這

線同側有

沒

角

都

截線:同側點

頂

公

同芳內角共

被截線:之間示

表

③都

都在被

的

間

角

截線:兩側截線之之

系

關

內錯角Z位

被截線:之間間S-

［典型例題］例4如圖，直線DE截AB,AC,構成8個角，指出所有的同位角，內錯角，同旁內角.

解：兩條直線AB,AC被直線DE所截，所以8個角中，

同位角有：Z1與28,Z2與N5,Z3與N6,Z4與/7；

內錯角有：Z1與N6,Z4與N5；同旁內角有：Z1與N5,Z4與/6.

三線八角手勢表示法：（手勢可以幫助同學們加強記憶）

同位角內錯角同旁內角

三、課堂小結

四、課堂訓練

1.如圖，乙1和乙2不能構成同位角的圖形是(D)

ABCD

2.如圖，下列說法錯誤的是(A)

A.42和46是同位角

B.A3和A4是內錯角

C.41和43是對頂角

D.Z3和Z5是同旁內角

3.如圖，直線DE,BC被直線AB所截.

(1)41與42,Z1與乙3,與44各是什么關系的角？

(2)如果41=44,那么41與乙2相等嗎？與43互補嗎？為什么？

解：(1)Z1與乙2是內錯角，21與43是同旁內角，與44是同位角.

(2)如果乙1=44,由對頂角相等，得乙2=44,那么乙1=乙2.

因為23和24互補，即24+23=180°.又21=44,所以41+乙3=180°,即41與43互補.

五、布置作業

見《練習冊》.

※教學反思※

由于角的形成與兩條直線的相互位置有關，學生已有的概念是兩相交直線所形成的有公共頂點的角（鄰補角、對

頂角等），在此基礎上引出了這節課的新內容:兩直線被第三條直線所截形成的沒有公共頂點的八個角的位置關系一

一同位角、內錯角、同旁內角.研究這些角的關系主要是為了學習平行線的判定與性質做準備.這節課在相交線與平

行線的學習中，有著承上啟下的作用.

第七章相交線與平行線

7.2平行線

7.2.1平行線的概念

※教學目標※

1.了解平行線的概念及平面內兩條直線相交或平行的兩種位置關系.（重點）

2.掌握平行公理以及平行公理的推論.（重點）

3.會用符號語言表示平行公理推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線.（難點）

※教學過程※

一、新課導入

［問題導入］前面我們學的兩條直線具有怎樣位置關系？

兩條直線相交。（其中垂直是相交的特殊情形）

生活中兩條直線除了相交以外，還有什么情形呢？下面我們一起來體會一下.

不相交.

二、新知探究

（-）平行線的定義及表示

［課件展示］

思考：如圖，分別將木條a、b與木條c釘在一起，并把它們想象成兩端可以無限延伸的三條直線.轉動a,直

線a從在c的左側與直線b相交逐步變為在c的右側與b相交.想象一下，在這個過程中，有沒有直線a與

直線b不相交的情況呢？

［歸納總結］

在木條轉動過程中，存在直線a與直線b不相交的情形，這時我們說直線a與b互相平行.記作“a〃b”.

在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.

注意：平行線的定義包含三層意思：

（1）“在同一平面內”是前提條件；

（2）“不相交”就是說兩直線沒有交點；

（3）平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或兩條線段.

前面我們已知通常用表示平行.例如：

A------------------BABHCD

C------------------D讀作：Z5平行于CD

“讀作：。平行于6

小結：在同一平面內，不重合的兩直線的位置關系有平行與相交兩種.

［典型例題］例1在同一個平面內，不重合的兩條直線的位置關系是（A）

A.相交或平行B.相交或垂直

C.平行或垂直D.不能確定

（二）平行線的畫法及推論

［課件展示］

畫一畫：按照下面的步驟動手畫出平行線.

（1）放；（2）靠；（3）推；（4）畫.

探究：（1）經過點C能畫出幾條直線？

無數條.

⑵與直線AB平行的直線有幾條？

無數條.

⑶經過點C能畫出幾條直線與直線AB平行？

1條.

⑷過點D畫一條直線與直線AB平行，與（3）中所畫的直線平行嗎？

平行.

你能對這些情況進行歸納總結嗎？

［歸納總結］

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

C

--------------------------------a

AB

平行公理的推論（平行線的傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

幾何語言表達：

'/a/7c,c〃b,（已知）

/.a〃b.（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

［典型例題］例2農民伯伯在插秧時，為了保證所插的每行秧苗都平行，只需后插的每一行秧苗都與前一行平行即

可.如圖2,插第②行時，只需與第①行平行即可，插第③行時，只需與第②行平行即可，這樣就能保證第③行秧

苗與第①行秧苗也平行.這種做法的依據是（D）

A.兩點確定一條直線

B.兩點之間，線段最短

C.經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

D.平行于同一條直線的兩條直線平行

三、課堂小結

1.在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.

2.經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

3.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

四、課堂訓練

1.下列錯誤說法的序號是①②③.

①兩條直線不相交就平行

②在同一平面內，兩條平行的直線有且只有一個交點

③過一點有且只有一條直線與已知直線平行

④平行于同一條直線的兩條直線互相平行2.如圖，直線AB,CD,EF兩兩相交，若41+45=180。，找出圖中與

相等的角.

2.下列推理正確的是（C）

A.因為a//d,b//c,所以c〃d

B.因為a//c,b//d,所以c〃d

C.因為a//b,a//c,所以b//c

D,因為a〃b,c//d,所以a//c

3.如圖，若AB〃CD,經過點E可畫EF〃AB,貝EF與CD的位置關系是EF〃CD,理由是如果兩條直線都

與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

五、布置作業

見《練習冊》.

※教學反思※

學生在之前的學習中已初步接觸了平行線，所以本節課重點內容是通過學生觀察、畫圖和討論，共同探索平行

公理，從而發展學生的實踐能力和自主學習的習慣.但是，七年級學生的抽象思維能力還處于初級階段，因而對于

平行公理推論的理解存在困難，要逐步運已學的知識幫助學生理解.

第七章相交線與平行線

7.2平行線

7.2.2平行線的判定

第1課時平行線的判定

※教學目標※

1.掌握兩直線平行的判定方法.（重點）

2.了解兩直線平行的判定方法的證明過程.（重點）

3.靈活運用兩直線平行的判定方法證明直線平行難點）

※教學過程※

一、新課導入

［問題導入］問題1兩條不重合的直線的位置關系有哪幾種？

相交（包括垂直）和平行兩種.

問題2怎樣的兩條直線平行？

在同一平面內，不相交的兩條直線平行.

問題3上節課你學了平行線的哪些推論？

1.經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

2.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

思考：根據平行線的定義，如果同一平面內的兩條直線不相交，就可以判斷這兩條直線平行.但是，由于直線無限

延伸，檢驗它們是否相交有困難，所以難以直接根據兩條直線是否相交來判定是否平行，那么有沒有其他判定方法

呢？

二、新知探究

（-）利用同位角判定兩條直線平行

［課件展示］

上節課我們已經學習過平行線的畫法，你還記得嗎？

（1）放；（2）靠；（3）推；（4）畫

思考：（1）畫圖過程中，什么角始終保持相等？（同位角）

（2）直線a,b位置關系如何？（平行）

（3）將其最初和最終的兩種特殊位置抽象成幾何圖形.

（4）由上面的操作過程，你能發現判定兩直線平行的方法嗎？

［歸納總結］

判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

應用格式：因為N1=N2（已知）,

所以同位角相等，兩直線平行）.

A

［典型例題］例1如圖，你知道木工用圖中的角尺畫平行線的道理嗎?

同位角相等，兩直線平行.

練一練：1.如圖，在直線AB外取一點P,經過點P作AB的平行線，這種畫法的依據是同位角相等，兩直線平行.

2.如圖，Z1=55°,Z2=125°,直線AB與CD平行嗎？為什么？

解：平行.因為Nl=55°,所以/DMN=180°-Z1=125°.所以/DMN=/2=125°.（同位角相等，兩直線平行）

（二）利用內錯角、同旁內角判定兩條直線平行

同理能否利用內錯角、同旁內角來判定兩條直線平行呢？

［典型例題］例2如圖，由N3=Z2,能推得a〃b嗎？試一試.

解：因為=Z3（對頂角相等），Z3=Z2（已知），

所以/I=/2.所以a〃b（同位角相等，兩直線平行）.

［歸納總結］

判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.

應用格式：因為/I=Z2（已知），所以a//b（內錯角相等，兩直線平行）.

［典型例題］例3如圖，如果/I+Z2=180°,能判定a//b嗎？

解：能.理由如下：因為/I+Z2=180°（已知），Zl+Z3=180°（鄰補角的性質）,

所以/2=Z3（同角的補角相等）.所以a//b（同位角相等，兩直線平行）.

［歸納總結］

判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.

簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行.

應用格式：因為/I+/2=180°（已知），所以a//b（同旁內角互補，兩直線平行）.

@VZ2=Z6（D知）,

AB//CD（同位角相等，兩直線平行）.

②=Z5（已知），

...ABCD（內錯角相等，兩直線平行）.

③4=180°（已知），

ABCD（同旁內角互補，兩直線平行）.

［歸納總結］

判定兩條直線平行的方法

文字敘述符號語言圖形

同位角相等,?;N1=N2（已知）,

兩直線平行aHb.

內錯角相等，?.?N3=N2（已知）,

兩直線平行aHb.

同旁內角互補,?.?N2+N4=1807已知）,上

兩直線平行aHb.

三、課堂小結

中W在U同一個平面內，兩條直線不

定義'去相交

_'平_行線_的"4H-------------------------

.判定八X同位角相等，兩直線平行

Y判定方法為內錯角相等，兩直線平行

Y同旁內角互補，兩直線平行

四、課堂訓練

i.根據圖形完成填空：

AB〃CE（內錯角相等，兩直線平行）.

（2）vZ1+_Z3_=180°（已知），

CD〃BF（同旁內角互補，兩直線平行）.

③N1+Z5=180°（已知）,

同旁內角互補，兩直線平行）.

Z4+_Z3_=180°（已知），

，AB〃CE（同旁內角互補，兩直線平行）.

2.如圖，給出下列條件.其中，不能判定a〃b的是（D）

A.45+乙1=180°B.42+乙4=180°

C.乙1二乙4D.乙2二43

3.如圖.⑴從乙1=44,可以推出竺〃蟲，理由是內錯角相等，兩直線平行.

⑵從/ABC+4BCD=180。,可以推出AB〃CD,理由是同旁內角互補，兩直線平行.

（3）從43=乙2,可以推出AD〃BC,理由是內錯角相等，兩直線平行.

（4）從45=4ABC,可以推出AB〃CD,理由是同位角相等，兩直線平行.

4.如圖，已知41=43,AC平分心DAB,你能判定哪兩條直線平行？請說明理由.

解：AB〃CD.理由如下：；AC平分乙DAB（已知），，21=乙2（角平分線定義）.

又乙1=23（已知），.??42=23（等量代換）.

AB〃CD（內錯角相等，兩直線平行）.

五、布置作業

見《練習冊》.

※教學反思※

上節課我們學習了平行線的定義和畫法，這節課仍用平行線的定義和畫法來引入，讓學生在未知中激發學習興

趣和探索欲望.學生掌握了平行線的畫法，但是并不知道它的原理，這個階段的學生無法進行深奧的論證，只能用

既定的事實，幫助學生理解什么樣的條件可以判定平行.另一個需要注意的地方是，學生的證明基礎薄弱，在教會

學生分析、推理、論證時，要足夠細心，更要教會學生有條理講邏輯的發展推理思維.

第七章相交線與平行線

7.2平行線

7.2.2平行線的判定

第2課時平行線判定方法的綜合應用

※教學目標※

1.靈活選用平行線的判定方法進行證明.（重點）

2.掌握平行線的判定在實際生活中的應用.（難點）

※教學過程※

一、新課導入

［復習導入］到目前為止，判定兩直線平行的方法有哪些?

(1)定義法：在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.(這條在做題時不實用)

(2)平行公理的推論：若a〃b,b〃c,貝a〃c.

(3)判定方法1：同位角相等，兩直線平行.

(4)判定方法2:內錯角相等，兩直線平行.

(5)判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.

二、新知探究

(-)平行線的判定的綜合運用

［典型例題］例1如圖，E在AB上，F在DC上，G在BC延長線上.

(1)如果NB=ZDCG,可以判定哪兩條直線平行？為什么？

(2)如果ND=ZDCG,可以判定哪兩條直線平行？為什么？

(3)如果/D+ZDFE=180°,可以判定哪兩條直線平行？為什么？

BCG

解：(1)AB〃CD.同位角相等，兩直線平行

(2)AD/7BC.內錯角相等，兩直線平行

(3)AD〃EF.同旁內角互補，兩直線平行.

［典型例題］例2如圖，已知/1=75°,Z2=35°,Z3=40°,試說明：a//b.

解：是N2,N3所在三角形的外角，.?./4=/3+/2=75°,

又/1=75°,.\Z1=Z4,.\a//b.

［典型例題］例3如圖，E,F分別是線段AC,AB上一點，點D在BC的延長線上，連接BE,CF,ED,若/1=/2,Z

ABC=ZACB,ZEBD=ZD,試說明：FC〃ED.

cD

解：VZ1=Z2,ZABC=ZACB,/.ZEBD=ZFCB,

VZEBD=ZD,.".ZFCB=ZD,；.FC〃ED.

(二)在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行

在鋪設鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的.

思考：如何確定兩條直軌是否平行？

思考：我們知道，平行與同一條直線的兩條直線平行，那么在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？

為什么？

猜想：同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

在同一平面內，b_La,c±a,試說明：b//c.

解：如圖，：b±a,c_La（已知）,

/.Zl=Z2=90°（垂直的定義）.

b〃c（同位角相等，兩直線平行）.

此處符號表示“因為”，符號“二”表示“所以”.

探究：小組討論看看還有哪些方法可以說明.

［歸納總結］同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

幾何語言：：b，a,cJ_a（已知），，b〃c（同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行）.

［典型例題］例4如圖，為了說明示意圖中的平安大街與長安街是互相平行的，在地圖上量得/I=90°,你能通過

度量圖中已標出的其他的角來驗證這個結論嗎？說明理由.

解：測出N2,Z3,Z4,Z5中任意一個角為90°即可驗證,

理由是同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

三、課堂小結

平行線的定義

「如果兩條直線都與第三

［平行線的有

L條直線平行，那么這兩

/3推論廠〔條直線也相互平行.

平行線

的判定

方法

’在同一平面內，如果兩條直、

線都垂直于同一條直線，那

〔么這兩條直線平行.

四、課堂訓練

1.一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛方向與原來相同，這兩次拐彎的角度可能是（B）

A.第一次向右拐40°,第二次向左拐140°

B.第一次向左拐40°，第二次向右拐40°

C.第一次向右拐40°，第二次向右拐140°

D.第一次向左拐40°,第二次向左拐140°

2.下列四個圖形中，Z1=Z2,能夠判定AB〃CD的是（B）.

3.如圖，李師傅將木條AB和AC固定在點A處，在木條AB上點O處安裝一根能旋轉的木條0D.李師傅

用量角儀測得/A=70°,木條OD與AB的夾角/BOD=82°,要使OD〃AC,木條OD繞點O按逆時

針方向至少旋轉(A)

A.12°B.18°C.22°D.24°

4.如圖，點E、F分另1j在CD、AB上，連接BE、CF、DF,BEJ_DF于點G,ZC=Z1.

(1)求NCFD的度數；

(2)若N2+/D=90°,試說明AB〃CD.

解：（1）VBE±DF,AZEGD=90"..\Zl+ZD=90o.VZC=Z1,

.,.ZC+ZD=90°.AZCFD=90°.

（2）由（1）可知NC+ND=90°.VZ2+ZD=90",：.ZC=Z2.

；.AB〃CD.

5.如圖，MF±NF于F,MF交AB于點E,NF交CD于點G,Nl=140°,N2=50°,試判斷AB和

CD的位置關系，并說明理由.

解：過點F向左作FQ,使乙MFQ=42=50°,則AB〃FQ,且乙NFQ=4IVIFN-aMFQ=90°-50°=40°.

又41=140°,所以41+4NFQ=180°.所以CD〃FQ.所以AB〃CD.

五、布置作業

見《練習冊》.

※教學反思※

本節課的重點主要體現在兩個方面，一是運用習題鞏固平行線的多種判斷方法、鍛煉學生的解題能力、發展靈

活應用思維；二是學習一個新的平行線判定方法一一“同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行”，其本質

是平行線判定定理的推論，它的學習有助于學生提高解題技巧.在教學時注意讓學生去感受數學語言的簡潔和趣味,

發展學生的分析、推理能力.

第七章相交線與平行線

7.2平行線

7.2.3平行線的性質

第1課時平行線的性質

※教學目標※

L掌握兩直線平行，同位角、內錯角相等，同旁內角互補，并能熟練運用.（重點）

2.通過獨立思考，小組合作，運用猜想、推理的方法，提升自己利用圖形分析問題的能力.（難點）

※教學過程※

一、新課導入

［復習導入］根據右圖填空:

①如果41=4C,

那么_AB_CD_（同位角相等，兩直線平行）.

②如果41=4B,

那么_EC_〃_BD_（內錯角相等，兩直線平行）

③如果42+4B=180°,

那么_EC_〃_BD_（同旁內角互補，兩直線平行）

問題：通過上題可知平行線的判定方法有哪些？

1同位角相等，兩直線平行；

2.內錯角相等，兩直線平行；

3.同旁內角互補，兩直線平行.

思考：反過來，如果已知兩條平行線被第三條直線所截，那么同位角、內錯角、同旁內角各有什么等量關系呢?

二、新知探究

平行線的性質

［課件展示］探究1畫兩條平行線a〃b,然后畫一條截線c與a、b相交，標出如圖所示的角.任選一組同位角

度量，把結果填入下表，由此猜想兩條平行線被第三條直線所截的同位角有什么關系：

角Z1Z2Z3Z4

度數

角Z5Z6Z7Z8

度數

觀察：Z1-48中，哪些是同位角？它們的度數之間有什么關系？說出你的猜想:

猜想：兩條平行線被第三條直線所截，同位角.

思考1：如果改變截線位置，你的猜想是否還成立？

思考2:兩如果兩直線不平行，上述結論還成立嗎？

［交流討論］學生動手操作、觀察并思考，小組之間交流討論，猜想：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.

［歸納總結］一般地，平行線具有如下性質:

性質1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.

簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

符號表示：：a〃b（已知），Z2（兩直線平行，同位角相等）.

［典型例題］例1如圖，a#b,41=60。，則42的度數為（D）

A.900B.100°C.110°D.120°

［課件展示］探究2在上一節中，我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內錯角相等，兩直線平行”，類似地,

已知“兩直線平行，同位角相等"，能否得到內錯角之間的等量關系？

分析：

兩條直同位角轉@內錯角、

線平行相等同旁內角

［提出問題］如圖，已知a〃b,那么乙2與乙3相等嗎？為什么?請嘗試寫出幾何求解過程.

分析：兩直線平行得同位角相等，進行角的轉化，即可證明.

a"-N1=N2I_N3=N2

N1=N3（對頂角相等j'

解：；a〃b

乙1=乙2（兩直線平行，同位角相等）.

又?.21二乙3（對頂角相等），

??23=22（等量代換）.

［歸納總結］性質2兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.

簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.

符號表示：???a〃b（已知），，42=A3（兩直線平行，內錯角相等）

［課件展示］探究3類似地，已知兩直線平行，能否得到同旁內角之間的數量關系？如圖，已知a〃b,那么42與

44有什么關系呢？為什么？

解：能.乙2+44=180°.

理由如下：

a〃b,

乙1=42（兩直線平行，同位角相等）.

又乙1+乙4=180。（平角的定義），

,22+44=180。（等量代換）.

［歸納總結］性質3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.

簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.

符號表示：a〃b（已知），Z2+Z4=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

［典型例題］例2如圖是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得4A=100。，4B=115。，梯形的另外兩個角的度數分別是

多少？

\_______I

AB

解：因為梯形上、下底互相平行，所以6與4D互補，ZB與乙C互補.

于是ND=180°-4A=180°-100°=80°,AC=180°-ZB=180°-115°=65°.

所以梯形的另外兩個角分別是80。、65。.

平行線的性質：

性質1:兩直線平行，同位角相等；

性質2：兩直線平行，內錯角相等；

性質3:兩直線平行，同旁內角互補.

四、課堂訓練

1.如圖，直線a〃b,直線b垂直于直線c,那么直線a垂直于直線c嗎？為什么?

ab

解：a，c.因為兩直線平行，同位角相等.

2.如果有兩條直線被第三條直線所截，那么必定有（D）

A.內錯角相等B.同位角相等

C.同旁內角互補D.以上都不對

3.如圖，如果AB〃CD〃EF,那么ABAC+4ACE+ZCEF=(C)

A.180°B.270°

C.360°D.540°

4.如圖，若AB〃DE,AC〃DF,試說明4A+4D=180。.請補全下面的解答過程，括號內填寫依據

D/P

B---------幺

解：AB〃DE（已知）,

,-,AA=_ACPD_（兩直線平行，同位角相等）.

???AC#DF（已知），

.'.ZD+^ZCPD_=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

ZA+ZD=180°（等量代換）.

五、布置作業

見《練習冊》.

※教學反思※

本堂課是在學生學習和掌握了平行線的判定的基礎上，研究平行線的性質，它既包含了相交線的內容又包含了

平行線的內容.平行線的性質和判定是一個互逆的命題，這種互逆思想的學習也為我們將來學習其它幾何圖形的性質

和判定提供了范例，發展學生的自主學習能力.

第七章相交線與平行線

7.2平行線

7.2.3平行線的性質

第2課時平行線的性質與判定的綜合應用

※教學目標※

1.進一步熟悉平行線的判定方法和性質.（重點）

2.運用平行線的性質和判定進行簡單的推理和計算.（難點）

※教學過程※

一、新課導入

［復習導入］1.平行線的判定

文字敘述符號語言圖形

同位角相等,N1=N2（已知）,c

兩直線平行aHb.ra

國2

內錯角相等,?「N3=N2.（已知）,

兩直線平行aHb.

同旁內角互補,?.'Z2+Z4=180°（已知），

兩直線平行aHb.

2.平行線的其他判定方法

如圖1,若a/7b,b〃c,則a//c.

（在同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行）

如圖2,若a_Lb,ale,貝b〃c.

（在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行）

----------------b

____□____J

--------------------c_______________________a

圖1圖2

3.平行線的性質

圖形已知結果依據

同

位兩直線平行

角al