第一講集合概念及集合上的運算

知識、方法、技能

高中一年級數學（上）（試驗本）課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件（或

具有某種性質）的對象集中在一起就成為一個集合.

在此基礎上，介紹了集合的元素的確定性、互異性、無序性.深入地逐步給出了有限集、

無限集，集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、并集等十

余個新名詞或概念以及二十幾個新符號.由此形成了在集合上的運算問題，形成了以集合為背

景的題目和用集合表示空間的線面及其關系，表面平面軌跡及其關系，表示充要條件，描述

排列組合，用集合的性質進行組合計數等綜合型題目.

賽題精講

I.集合中待定元素的確定

充分利用集合中元素的性質和集合之間的基本關系，往往能解決某些以集合為背景的高

中數學競賽題.請看下述幾例.

33

例1：求點集{（x,y）Ilg（x+ly+l）=lgx+lgy}中元素的個數.

39

【思路分析】應首先去對數將之化為代數方程來解之.

【略解】由所設知無>0,y>0,及+；>3+[=盯，

由平均值不等式，有/+>3岫.（￥）.（}=xy,

當且僅當即（虛根舍去）時，等號成立.

故所給點集僅有一個元素.

【評述】此題解方程中，應用了不等式取等號的充要條件，是一種重要解題方法，應注意掌

握之.

例2：已知y4={y|y=x2-4x+3,xeR},B={y|y=-x2-2x+2,xeR}.求AnB.

【思路分析】先進一步確定集合A、B.

【略解】y=(x—2>—121,又y=—(x+l>+3<3.

.?.A={y|y>-l},B={y|y<3},^An5={y|-l<y<3}.

【評述】此題應避免如下錯誤解法：

聯立方程組

},''消去y,2/-2x+l=0.因方程無實根，故

[y=--_2X+2.

這里的錯因是將A、B的元素誤解為平面上的點了.這兩條拋物線沒有交點是實數.但這不是拋

物線的值域.

例3：已知集合A={(x,y)||x|+1y\=a,a>Q},B={(x,y)||xy|+1=|x|+1y|}.

若Ac3是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則a的值為.

【思路分析】可作圖，以數形結合法來解之.

【略解】點集A是頂點為(a,0),(0,a),(-a,0),(0,-a)的正方形的四條邊構成(如

圖I-1—1—1).

將|町|+1=|x[+|y|,變形為(|x|T)(3-1)=0,

所以，集合B是由四條直線x=±l,y=±l構成.

欲使AC8為正八邊形的頂點所構成，只有a>2或1<。<2這兩種情況.

(1)當。>2時，由于正八形的邊長只能為2,顯然有缶一2血=2,

故a=2+V2.

(2)當l<a<2時，設正八形邊長為/,貝I」

/cos450=3,/=2&-2,

2

這時，a—1+——V2.

2

綜上所述，a的值為2+后或血，

如圖I一1一1一1中A(后,0)/(2+五,0).

【評述】上述兩題均為1987年全國高中聯賽試題，題目并不難，讀者應從解題過程中體會

此類題目的解法.

II.集合之間的基本關系

充分應用集合之間的基本關系(即子、交、并、補)，往往能形成一些頗具技巧的集合

綜合題.請看下述幾例.

例4：設集合4={巴|〃GZ},B={〃|n€Z},C={〃+」|〃wZ},O={N+!|〃GZ}4iJ

2236

在下列關系中，成立的是()

A.AuBuCu。B.AcB=（j）,CcD=（!）

WWW

C.A=BuC,CuDD.B=B^CC\D=（/）

【思路分析】應注意數的特征，即〃+2=生士1,4+』=里里/€2.

22366

【解法1】???A={2|〃GZ},8={〃I〃eZ},C={〃+工I〃GZ},。={2+工I〃wZ},

2236

???4=8口。,。匚。.故應選C.

*

【解法2】如果把A、B、C、D與角的集合相對應，令

>77t71H7TTT

A'={J[〃eZ},8，={〃》|〃eZ},C，={〃》+—|neZ},O={J+—|neZ}.

2236

結論仍然不變，顯然A'為終邊在坐標軸上的角的集合，B'為終邊在x軸上的角的集

合，C'為終邊在y軸上的角的集合，D'為終邊在y軸上及在直線y=±?x上的角的集

合，故應選(C).

【評述】解法1是直接法，解法2運用轉化思想把已知的四個集合的元素轉化為我們熟悉的

的角的集合，研究角的終邊，思路清晰易懂，實屬巧思妙解.

例5設有集合4={劉尤2-[無]=2}和8=3|劉<2},求4門8和4。3(其中㈤表示不

超過實數x之值的最大整數).

【思路分析】應首先確定集合A與B.

從而—14》42.顯然,2€4：.A<JB={X\-2<X<2].

若xwAcB,則/=[x]+2,[x]€{1,0-1,-2),

從而得出x==或x=—l([x]=—1).于是An5={-l,V3}

【評述】此題中集合B中元素x滿足時，會出現什么樣的結果，讀者試解之.

例6：設/(x)=x2+bx+c(b,c6R),,EL4={x|x=f(x),xGR},B={x[x=/[/(x)],xeR},

如果A為只含一個元素的集合，則人=8.

【思路分析】應從A為只含一個元素的集合入手，即從方程/(x)-x=0有重根來解之.

【略解】設4={。|(/€11},則方程/(》)一》=0有重根1,于是/(x)-x=(x—a)2,

f(x)=(x-a)2+x“從而x=即x=[(x-a)2+(x-a)]2+(x-(z)2+x,

整理得(x—a)2[(x—a+l)2+l]=0,因x,a均為實數

(x-a+l)2+1力0,故％=。即8={a}=A.

【評述】此類函數方程問題，應注意將之轉化為一般方程來解之.

例7：已知M={(蒼丁)|32公},%={(?田|左+(y-a)241}.求立時,a

需滿足的充要條件.

【思路分析】由McN=N，可知NqM.

【略解】McN=NON=M.

由/+(,_0241得/?y_y2+Qa_l)y+(l_q2)于是，

若-y-+(2iz—l)y+(1—o')<0①

必有yN/,即N=M.而①成立的條件是小二'「a)_(2"D10,

一4

即4(1—M)+(2。-1)2<0,解得a>l-.

4

【評述】此類求參數范圍的問題，應注意利用集合的關系，將問題轉化為不等式問題來求解.

222

例8：設A、B是坐標平面上的兩個點集，Cr={(x,y)\x+y<r}.

若對任何r20都有C,.uA之Gu8,則必有A=B.此命題是否正確？

【思路分析】要想說明?個命題不正確，只需舉出一個反例即可.

【略解】不正確.

反例：取4={(%,乃口2+/<1},B為A去掉(0,0)后的集合.

容易看出C,.UA=GUB,但A不包含在B中.

【評述】本題這種舉反例判定命題的正確與否的方法十分重要，應注意掌握之.

III.有限集合中元素的個數

有限集合元素的個數在課本P23介紹了如下性質：

一般地，對任意兩個有限集合A、B,有

card(AuB)=card[A)+card(B)-card(AnB).

我們還可將之推廣為：

一般地，對任意n個有限集合A1,&，?,?，4,有

card(AiuA2UA3U---UAn_xu4〃)

=[card(A1)+card(A2)+card(A3)-^---卜card(An)]-[card(A{cA2)+card(A、cA3)]

+…+cwd(A]cA“)+…+card(A“_]cA〃)]+[card(AnA2nA3)]4--??+card(An_2nAn_xnAn)]

----+(-1)"_|-card[\cA3c…cA“).

應用上述結論，可解決一類求有限集合元素個數問題.

【例9】某班期末對數學、物理、化學三科總評成績有21個優秀，物理總評19人優秀，化

學總評有20人優秀，數學和物理都優秀的有9人，物理和化學都優秀的有7人，化學和數

學都優秀的有8人，試確定全班人數以及僅數字、僅物理、僅化學單科優秀的人數范圍(該

班有5名學生沒有任一科是優秀).

【思路分析】應首先確定集合，以便進行計算.

【詳解】設人=｛數學總評優秀的學生｝,B=｛物理總評優秀的學生｝,C=｛化學總評優秀的學生｝.

則card(A)=21,card(B)=19,card(C)=20,card(AcB)=9,card(BcC)=7,card(CcA)=8.

,**card(AoBuC)=card(A)+card(8)+card(C)-card(AnB)-card(Br\C)-card(CnA)

+card(Ac8cC),：.card\AuBuC)-card(AnBr>C)=2\+19-^20-9-S=36.

這里，是數、理、化中至少一門是優秀的人數，cad(AcBcC)是這

三科全優的人數.可見，估計card(AuBuC)的范圍的問題與估計card(Ac8cC)的范

圍有關.

注意到nJ5nC)<mm｛card(AcB),card(BnC),card(CnA)｝=7,可知

0<card｛AnnC)<7.因而可得36<card(AuBuC)<43.

又card(AoBuC)+card(AuC)=card(U),其中card(AuBoC)=5.

A41<card(JJ)<48.這表明全班人數在41-48人之間.

僅數學優秀的人數是caW(Ac仄元).

二card(AcBuC)=card｛AuBuC)-card(BuC)=card(AuBuC)-card(B)

-card(C)+card(BcC)-card(Au5uC)-32.

可見44card(Ac8DC41L同理可知34card(8cAuC)410,

5<cat(CcBuA)<12.故僅數學單科優秀的學生在4~11之間，僅物理單科優秀的學生

數在3~10之間，僅化學單科優秀的學生在5~12人之間.

第二講映射及映射法

知識、方法、技能

1.映射的定義

設A,B是兩個集合，如果按照某種對應法則力對于集合A中的任何一個元素，在集

合B中都有惟一的元素和它對應，這樣的對應叫做從集合A到集合B的映射，記作/：4-B.

(1)映射是特殊的對應，映射中的集合A,B可以是數集，也可以是點集或其他集合，

這兩個集合有先后次序，從A到B的映射與從B到A的映射是截然不同的.

(2)原象和象是不能互換的，互換后就不是原來的映射了.

(3)映射包括集合A和集合B,以及集合A到B的對應法則/,三者缺一不可.

(4)對于一個從集合A到集合B的映射來說，A中的每一個元素必有惟一的，但B中

的每一個元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一個.

2.--映射

一般地，設A、B是兩個集合，//-B.是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，

對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么

個這個映射叫做A到B上的一一映射.

3.逆映射

如果/是A與B之間的一一對應，那么可得B到A的一個映射g：任給b規定

g(b)=a,其中。是b在/下的原象，稱這個映射g是7的逆映射，并將g記為rI

顯然有即

如果/是A與B之間的一一對應，則廣|是B與A之間的一一對應，并且尸|的逆映射

是工

事實上，尸|是B到A的映射，對于B中的不同元素b,和b2,由于它們在/下的原象不

同，所以b和b2在尸?下的像不同，所以尸?是1-1的.

任給aeA,^f(a)=b,則廣|(b)=a.這說明A中每個元素a在尸都有原象.因此，/

t是映射上的.

這樣即得尸是B到A上的1一1映射，即尸是B與A之間一對應.從而尸有逆映射

6：AfB.由于任給aeA,設//(a)=b,其中b是。在「I下的原象，即/I(b)=a,所以，

f(a)=b,從而力(a)=b=/(a),得力=f,這即是尸的逆映射是f

賽題精講

I映射

關映射的高中數學競賽題是常見題型之一，請看下述試題.

例1：設集合A/={x|O<x<ll,xeZ},集合/={(a,b,c,d)\a,h,c,deM},映射/：F—Z.使得

fff、

(。也c,d)—>ab—cd.已知(〃,匕x,y)—>39,(u,y,x,v)—>66,求x,y,w#的值.

【思路分析】應從(〃也cd入手，列方程組來解之.

【略解】由/的定義和已知數據，得

uv-xy=39,

uy-xv=66(u,v9x,ywM).

將兩式相加，相減并分別分解因式，得

(y+v)(w-x)=105,(y-v)(w+x)=27.

顯然，〃-x20,y-v20,在x,e{x|04x41l,xeZ}的條件下，0<M-V<11,

[詈]+14y+v422,即104y+v422,但(y+v)|105,可見(y+v}=15,(y+v)=21,

對應可知(“-x)1=7,(“-X)2=5.

27

同理，ill0<y-v<11,[—]+\<u+x<22知,3<u+x<22又有(〃+%))=3,(w+x)2=9.

對應地，(y-y)]=9,(y-咦=3.于是有以卜兩種可能：

y+x=\5,y+v=21,

(I)u-x=7,(II)?-x=5,

w+x=9,M+x=9,

J-u=3;y-v=3.

由(I)解出kl,y=9,w=8,v=6；由(H)解出y=12,它已超出集合M中元素的范

圍.因此，(II)無解.

【評述】在解此類問題時，估計y+-%,丁-匕“+》的可能值是關鍵，其中，對它們的

取值范圍的討論十分重要.

例2：已知集合A={(x,y)|—<-^<JJ}和集合{(x,y)|2>0}.求一個A與B的一一對

3xx

應力并寫出其逆映射.

【略解】從已知集合A,B看1恒它們分別是坐標平面上兩直線所夾角形區域內的點的集合

(如圖I—1—2—1).

集合A為直線y=和y=Qx所夾角內點的集合，集合B則是第一、三象限內點

的集合.所要求的對應實際上可使A區域拓展成B區域，并要沒有“折疊”與“漏洞”.先用

極坐標表示集合A和B：

A={(pcose,psin6)|x?wO,/?ER,—<0<—},

63

B={(/7cose，psin°)|x?w0,p￡R,0<(p<§}.

TT

令/(pcos。,夕sin。)->(pcos°,psin°)，9=3(。——).在這個映射下，極徑夕沒有改

6

變，輻角之間是一次函數8=36-二，因而掰口夕之間是--一對應，其中(工,乙)，

263

TT

9w(0,5).所以，映射/是A與B的一?對應.

逆映射極易寫，從略.

【評述】本題中將下角坐標問題化為極坐標問題，頗具特色.應注意理解掌握.

II映射法

應用映射知識往往能巧妙地解決有關集合的一些問題.

例3：設*={1,2,…，100},對X的任一非空子集M,M中的最大數與最小數的和稱為M

的特征，記為m(M).求X的所有非空子集的特征的平均數.

【略解】設AuX,4/:A—A,A'={101—a|aeA}uX.

于是/：AfA'是X的非空子集的全體(子集組成的集)，Y到X自身的滿射，記X的非

空子集為A”A2,A。(其中n=2i°°—l),則特征的平均數為

]“1n

一￡皿Aj)=丁X(加(Aj)+m(A-)).

n,=l2n,=1

由于A中的最大數與A'中的最小數的和為101,A中最小數與A'中的最大數的和也

為101,故機缶,)〃2(4：)=202,從而特征平均數為--202-/z=101.

2n

如果A,B都是有限集合，它們的元素個數分別記為card(A),card(8).對于映射/：4fB來

說，如果/是單射，則有cm力(A)Wcard(B)；如果/是滿射，則有，。”(4)2以4(8)；如

果/是雙射，則有card(A)=card(B).這在計算集合A的元素的個數時，有著重要的應用.即

當card(A)比較難求時，我們就找另一個集合B,建立一一對應/：4.B，把B的個數數清,

就有以以(月)=這是我們解某些題時常用的方法.請看下述兩例.

例4：把aABC的各邊n等分，過各分點分別作

A

各邊的平行線，得到一些由三角形的邊和這些平

行線所組成的平行四邊形，試計算這些平等四邊

形的個數.

【略解】如圖IT—2—2所示，我們由對稱性,

先考慮邊不行于BC的小平行四邊形.把AB邊和

圖

AC邊各延長一等分，分別到B',C',連接I-1-2-2

B'C'.將A'B'的n條平行線分別延長，與B'C'相交，連同B',C'共有n+2個分點,

從B'至C'依次記為1,2,n+2.圖中所示的小平行四邊形所在四條線分別交B'C'

于i,j,k,/.記

A={邊不平行于BC的小平行四邊形},

B={(i,j,k,l)11<z<j<k<l<n+2}.

把小平行四邊形的四條邊延長且交6'C'邊于四點的過程定義為一個映射：

下面我們證明了是A與B的---對應，事實上，不同的小平行四邊形至少有一條邊不相

同，那么交于B'C'的四點亦不全同.所以，四點組亦不相同，從而/是A到B的1

-1的映射.

任給一個四點組過i,j點作AB的平行線，過k,/

作AC的平行線，必交出一個邊不平行于BC的小平行四邊形，所以，映射/是A到B的滿

射.總之/是A與B的對應，于是有card(A)=card(B)=

加上邊不平行于AB和AC的兩類小平行四邊形，得到所有平行四邊形的總數是3。,：+2.

例5：在一個6X6的棋盤上，已經擺好了一些1X2的骨牌，每一個骨牌都恰好覆蓋兩上相

鄰的格子，證明：如果還有14個格子沒有被覆蓋，則至少能再放進一個骨牌.

【思路分析】還有14個空格，說明已經擺好了

11塊骨牌，如果已經擺好的骨牌是12塊，

圖I一1一2一3所示的擺法就說明不能再放入骨牌.

所以，有14個空格這?條件是完全必要的.我們

要證明當還有14個空格時，能再放入一個骨牌，

只要能證明必有兩個相鄰的空格就夠了.如果這種

情況不發生，則每個空格的四周都有骨牌，由于正

方形是對稱的，當我們選定一個方向時，空格和骨牌就有了某種對應關系，即可建立空格到

骨牌的一種映射，通過對空格集合與骨牌集合之間的數量關系，可以得到空格分布的一個很

有趣的結論，從而也就證明了我們的命題.

【略解】我們考慮下面5X6個方格中的空.

如果棋盤第一行(即最上方的一行)中的空格數多于3個時，則必有兩空格相鄰，這時問題

就得到解決.

現設第一行中的空格數最多是3個，則有card(X)N14—3=11,另一方面全部的骨牌

數為11,即card(Y)=11.所以必有card(X)=card(y),事實上這是--個---映射，這時，

將發生,個很有趣的現象：最下面一行全是空格，當然可以放入?個骨牌.

【評述】這個題目的證明是頗具有特色的，從內容上講，這個題目具有一定的綜合性，既有

覆蓋與結構，又有計數與映射，尤其是利用映射來計數，在數學競賽中還較少見.

當然這個題目也可以用其他的方法來解決.例如，用抽屜原則以及用分組的方法來討論其

中兩行的結構，也能比較容易地解決這個問題，請讀者作為練習.

例6：設N={1,2,3,…},論證是否存一個函數/：N-?N使得〃1)=2,/(/(?))=f(n)+n

對一切〃eN成立，/(〃)</(〃+1)格，即除去第一行后的方格中的空格.對每一個這樣的

空格，考察它上方的與之相鄰的方格中的情況.

(1)如果上方的這個方格是空格，則問題得到解決.

(2)如果上方的這個方格被骨牌所占，這又有三種情況.

(i)骨牌是橫放的，且與之相鄰的下方的另一個方格也是空格，則這時有兩空格相鄰，即問

題得到解決；

(ii)骨牌是橫放的，與之相鄰的下方的另一個方格不是空格，即被骨牌所覆蓋；

(iii)骨牌是豎放的.

現在假設僅發生(2)中的5)和(iii)時，我們記X為下面5義6個方格中的空格集合,

Y為上面5X6個方格中的骨牌集合，作映射/：x->y,由于每個空格(X中的)上方都

有骨牌(Y中的)，且不同的空格對應于不同的骨牌.所以，這個映射是單射，于是有

card(X)<card(Y),對一切〃wN成立.

【解法1】存在，首先有一條鏈.

1-2T-5—8-13f21-…①

鏈上每一個數n的后繼是/(〃)，/滿足

/(/(?))=/(?)+?②

即每個數是它產面兩個數的和，這種鏈稱為了鏈.

對于①中的數m>n,由①遞增易知有

>m-n③

我們證明自然數集N可以分析為若干條f鏈，并且對任意自然數m>n,③成立(從而

/(”+1)>/(“))，并且每兩條鏈無公共元素).方法是用歸納法構造鏈(參見單博著《數學

競賽研究教程》江蘇教育出版社)

設已有若干條/鏈，滿足③，而k+1是第一個不在已有鏈中出現的數，定義

/伏+1)=/伙)+1④

這鏈中其余的數由②逐一確定.

對于m>n,如果m、n同屬于新鏈，③顯然成立，設m、n中恰有一個屬于新鏈.若m屬

于新鏈，在m=k+l時，-f(n)-f(k)+1-f(n)>k-n+\-m-n,

設對于m,③成立，則/(/(加))一/(〃)=/(加)+加一/(〃)之機一〃+m2/(團)一〃

[由②易知2加之/(m)].即對新鏈上一切m,③成立.

若n屬于新鏈，在口=1:+1時，

f(m)-f(n)=f(m)-f(k)-\>tn-k-\=m-n.

設對于n,③成立，在m>n時，m不為原有鏈的鏈首。記

m=/(x),則在機>/(〃)時J(m)-/(〃〃))=s+機一(/(〃)+〃)=m-f(n)+(s-h).

而在s?n,f(n)-f(s)>n-s>0,與mf(〃)矛盾,所以s>n,/(m)-/(/(?))>m-f(n).

即對新鏈上一切，③成立.因而添入一條新鏈后，③仍成立.

這樣繼續添加，直到所有自然數均在鏈中出現，所得函數N即為所求.

【解法2]令/(〃)=[/?(?+1)]+〃,其中￡=表示x的整數部分.顯然/(〃)

嚴格遞增，并且/⑴=2.又由于夕(，+1)=1,

/(""))=/(〃)+[夕(/(〃)+1)]

=/(〃)+{例2(〃+1)]+夕(〃+1)}

=/(")+{/2(〃+1)—雙伙n+1)]+隊〃+1)}

(“}=x-[x]為X的分數部分)

=/(〃)+{〃+1-團以〃+1)]}=/(?)+?.

因此，[￡("+1)]+〃就是滿足要求的函數.

第三講函數的概念和性質

知識、方法、技能

I.函數的定義

設A,B都是非空的數集，f是從A到B的一個對應法則.那么，從A到B的映射f：A-

B就叫做從A到B的函數.記做y=f(x),其中x￡A,y￡B,原象集合，A叫做函數f(x)的定

義域，象的集合C叫做函數的值域，顯然C±B.

II.函數的性質

(1)奇偶性設函數f(x)的定義域為D,且D是關于原點對稱的數集.若對任意的xCD,

都有f(一x尸一f(x),則稱Rx)是奇函數；若對任意的xGD,都有f(一x尸(W,則稱f(x)是偶函

數.

(2)函數的增減性設函數f(X)在區間D'上滿足：對任意X1,X2GD',并且Xi〈X2時，

總有f(X])<f(X2)(f(X1)>f(X2)),則稱f(x)在區間D'上的增函數(減函數)，區間D'稱為f(x)的

一個單調增(減)區間.

III.函數的周期性

對于函數f(x),如果存在?個不為零的正數T,使得當x取定義域中的每個數時，

f(x+T)=f(x)總成立，那么稱f(x)是周期函數，T稱做這個周期函數的周期.如果函數f(x)的所有

周期中存在最小值To,稱To為周期函數f(x)的最小值正周期.

IV.高斯函數

對任意實數X,我們記不超過X的最大整數為[X],通常稱函數尸[X]為取整函數，又稱高

斯函數.

進一步，記｛X｝=X—[X],則函數尸｛X｝稱為小數部分函數，它表示的是X的小數部分.

根據高斯函數的定義，可得到其如下性質.

性質1對任意XGR,均有

X—l<[x]<x<[x]+l.

性質2對任意xGR,函數產｛x｝的值域為[0,1).

性質3高斯函數是一個不減函數，即對任意X1,X2dR,若X]<X2,則[X]]<[X2].

性質3若n6Z,xGR,則有[x+n]=n+[x],｛n+x｝=｛x｝

后一個式子表明產｛X｝是一個以1為周期的函數.

性質4若x,yGR,則[x]+[y]<[x+y]W[x]+[y]+l.

性質5若nGN*,xGR,則[nx]2n[x]

性質6若nGN*,xGR,則[與=[區].

nn

性質7若nGN*,xdR+,則在區間[l,x]內，恰有[三]個整數是n的倍數.

n

性質8設p為質數，n￡N*,在p在n!的質因數分解式中的幕次為

P(〃!)=[~]+[―y]+???

PP

賽題精講

函數是高中數學，也是高等數學的基礎.因此，也是高考和高中數學競賽的重要內容.

下面分類介紹此類題目.

I函數的定義域和值域

【思路分析】應根據對數的意義，從最外層開始一層一層地逐步消去根號和對數符號求

出X的范圍.

【略解】由x>0,得［1gX>1

【評述】這種多層對數及根式問題，一定要逐層由外向內求解，要有耐心。

例2設A={a|a=7p,peN*},在A匕定義函數f如下：若aGA,則f(a)表示a的數字之和,

例如f(7)=7,f(42)=6,設函數f的值域是集合M.求證：M={n|nGN*,n22}.

【思路分析】注意從充要條件的角度來進行證明.

【略解】先證M={n|nGN*,n22}.

任取xdM,即x是被7整除的正整數的數字之和，由于7X10、眸。，1,2,…，所以x

的數字之和是大于1的正整數，因此xG{n|nGN*,n22}.所以

Mq{n|nCN*,n22}.

再證{n|nGN*,n》2}cM.

任取xG{n|nWN*,n22},即x是大于1的正整數.下面分兩種情形：

當x=2k(kGN*)時,由于7|100|,于是取

a=10011001-1001,

k個1001

則7|a，且f(a)=2k,所以xGM.

當x=2k+l(kGN*)時,由于7|100|,7|21,于是取

b=10011001—100121,

k-1個1001

則7|b,且f(b尸2(k—l)+3=2k+l,故xCM,故x^M.所以

{n|nGN*,n22}=M.

因此M={n|nCN*,nZ2}.

【評述】此類題目的證明嚴謹、科學.

例3設正實數x,y滿足xy=l,求函數

f(x,y)=-------9-------的值域.(其中([x]表示不超過x的最大整數)

33+印+3+1

【思路分析】由x、y的對稱性，不妨設xey,則有x2^l,必分x=l與x>l兩種情況

討論.

【詳解】不妨設x》y,則x2，l,x\l.有下面兩種情形:

(1)當x=l時,y=l,此時Rx,y)=g.

(2)當x>l時，設[x]=n，{x}=x—[x]=a,則x=n+a,0Wa<1.

于是，尸一-一<h故[y]=0.

n+a

1

〃+aH--------

〃

/(x,V)=+a

〃+l

由函數g(x尸x+工在x》l時是遞增的和OWaVI得

X

11?1

〃+—W〃+ad--------<n+1H--------,

nn+an+1

1?1

〃+—〃+1+—

???-―7-<f(x,y)<-----產L

n+1〃+1

1

n-\—21

1-4^

設a._n_-+l

〃+ln24-nn4-n

?I

幾+l+一

b.---------^=l+—.則

n+1("+1)2

n—2

，，+I"n(n+1)(〃+2)

a{>a2=%,%<a4<...an<...,

b{>b2>...>bn>....

于是當x>1時J(x,y)的值域為[4，bj,即R,3).

64

綜上所述，4v,y)的值域為山U[2,』).

264

【評述】本例表面上為“二元函數”實為一元函數，因為y=-,消去y后就是關于x

x

的函數了.

II.函數性質的應用

在數學競賽中，常見的應用函數性質的題目有以下兒類：

1.求值、求最值

例4設函數f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數，且f(l)=2,求f(2)+f(3)的值.

【思路分析】要抓住函數為奇函數且周期為3進行變形求值.

【略解】對定義在R卜.的奇函數，必有

f(O)=-f(O),即f(0)=0.

二f(3)=f(O)=O,f(2)=f(-l+3)=f(-l)=-f(l)=-2.

，f(2)+f(3)=-2.

例5設f(x),g(x)都是定義在R上的奇函數，F(x)=af(x)+bg(x)+2在區間(0,+?>)上的

最大值是5,求F(x)在(-8,0)上的最小值.

【思路分析】應注意F(x)—2是奇函數，這是解題的一條途徑.

【略解】令Q(x)=F(x)—2=af(x)+bg(x),

易知9(x)為奇函數，且在(0,+8)上有最大值3.

...夕(x)在(一8,0)上有最小值一3.

故F(x)在(一8,0)上的最小值為一1.

【評述】將代數式轉化為奇函數的思想十分重要，應注意掌握這種“轉化思想”.

例6設函數f(x),對任意x,yGR都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時，f(x)<0且f(l)=-2.

(1)證明：f(x)是奇函數；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【思路分析】因為xeR,由區間的特殊點，即x=0入手，是解題的出發點.

［略解］⑴令x=y=0,則有

f(0)=f(0)+f(0),Af(0}=0.

再令y=-X,得f(0)=f(x)+f(—x),

Vf(0)=0,Z.f(-x)=-f(x),

，f(x)是奇函數.

(2)設X］,X2dR,且X1〈X2,則

f(x2)=flx1+(x2—XI)］=f(x1)+f(X2-X1),

VX2>Xi,.'.X2—X|>0.

由已知得f(x2—X］)<0,

???f(X2)Vf(X1).故f(x)在R上是減函數.

；.f(x)在［―3,3］上的最大值［f(x)］域大值=f(一3),最小值［f(x)及小但=a3).

又Vf(3)=f(l+2)=f(l)+f(2)=f(l)+f(l)+f(l)=-6,fi［-3)=-f(3)=6.

故f(x)在［-3,3］上的最大值為6,最小值為-6.

【評述】本題中的“X2=X|+(X2—xD”是完成證明函數是減函數的證明的主要過程，這-

特點讀者應有所體會.

2.求函數的解析式

例7若f00=2X-2-、lga為奇函數，求實數a的值.

【思路分析】可由f(x)為奇函數，得到f(一x尸一f(x),構造方程來求a的值.

【略解】；R-x)=2-x-2xlga=-(2x-2-xlga)=-f(x),

二(2*+2x)-(2x+2x)lga=0,

BP(2x+2-x)(l-lga)=0,

V2x+2x>0,/.l-lga=0,

故a=10.

【評述】利用“函數與方程的思想”來解題依然是本題的主線，但函數是奇函數是出發

點。應注意找好每道題解題的出發點.

例8已知定義在R上的單調函數f(x)滿足f(x+y尸f(x)+f(y)且瑁尸2.

(1)求證:f(x)為奇函數；

(2)當t>2時，不等式f(kk>g2t)+f(log2t-log?、-2)<0恒成立，求實數k的取值范圍.

【思路分析】山f(x)的定義域為R,從其特殊點，即x=y=O入手來解此題.

【略解】(1)令x=y=O得

f(0)=2f(0),.\f(0)=0.

再令y=—x,得f(O)=f(x)+f(—x),

/.f(—x)=—f(x),即f(x)為奇函數.

(2)???f(0)=0,f(l)=2,且f(x)是R上的單調函數，故f(x)是R上的單調遞增函數.又f(x)

是奇函數.

由f{klog,r)<-/(log,t-log；t_2)=/(logjf-log,t+2)

2

得klog2t<log2t—log2t+2,

即log22t—(k+1)log2t+2>0,

.\(k+l)2-8<0,

—2y/~2<k+l<2V2,

—1—2yl~2<k<—1+2\[2.

故使不等式恒成立的實數k的范圍是(-1-272,272-1).

【評述】本題(2)為函數不等式，此類題1=1十分典型，本節后面將專門加以介紹.

第四講常見的初等函數、二次函數

知識、方法、技能

常函數y=c,暴函數y=x"(a6Q),指數函數y=a*,對數函數y=logaX,三角函數(產sinx,

y=cosx,y=tanx等)，反三角函數(y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等)是數學中最為基本的

函數，我們把它們統稱為基本初等函數.

學習中應熟練掌握各基本初等函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本性

質，并能利用這些性質快捷地比較兩個數值的大小或解有關不等式.具體解題時，若繪出各基

本初等函數的草圖，往往能“一目了然”地獲得問題的結果.

繪制基函數y=xa(a=竺，m、n是互質的整數)草圖的一般步驟是：

n

(1)根據指數a的大小判斷函數圖象在第一象限的情形如圖I-1-4-1.

(2)判斷函數的奇偶性并確定函數圖像在其他象限的情況

①m,n均為奇數時，產x&為奇函數，圖象在一、三象限內關于原點中心對稱.

②m為偶數，n為奇數時Y=x"為偶函數，圖象在-、二象限內關于y軸對稱.

③m為奇數，n為偶數時，y=x。既不是奇函數也不是偶函數，函數只在第一象限有

圖像.

常見的函數往往是由基本初等函數通過有限次加減乘除運算或復合而得到的，我們

稱之為初等函數.其中二次函數和形如y=x+-的分式函數在高考和競賽中具有尤為

X

重要的地位.同學們要熟練掌握求二次函數解析式、值域的有關方法，并會用這些方

法解決相關的問題；會判斷二次方程根的分布情況：會利用函數y=x+&的性質求

X

出一些分式函數的值域.

賽題精講

135

例13個基函數y=》2,y=和產x6的圖象如圖1—1—4—2：試寫出各個函數的圖

象的對應編號.

圖I—1一4一2

【思路分析】3個函數的定義域、值域、單調性都相同，具有類似的草圖，僅從草圖己

無法區分這三者了.只能更為“精細”地考察和函數值的大小，不妨取x=2試試.

235

【略解】當x=2時，3個函數值分別為23,212%.因為y=2'為增函數，

135125

上<3<二所以22<24<26.而圖中,x=2時，圖象①的對應點縱坐標最大，圖象③的對應

246

y35

點縱坐標最小，所以產x2,y=x4和y=/對應的圖象依次為③，②，①.

【評述】一般地，當a越大大時，幕函數圖像在x>l對應的部分越“高”.此外，本題方

法也可應用于辨別兩個草圖相近的指數函數或對函數的圖象.

例2比較下列各題中兩個值的大小：

_3_322

(1)(-行尸與-(石尸；(2)(-3.14戶與(-萬戶；

24

(3)(一萬戶與(-萬戶(4)log23與log23.1.

3--

【思路分析】(1)中兩數有相同的指數一二，故可將這兩者看做同一函數y=x$的兩

個不同函數值，利用函數單調性比較兩數大小.

_3

【略解】(1)因為y=x不是(-8,0)上的減函數，又—五>—JJ,所以

3_3

(-V2)-7<(-V3)-?.

222

(2)因為y=/是(-oo,0)上的減函數又—3.14〉一肛所以(—3.14)3<(_萬"；

2224-2i

(3)因為y-'是(-00,+8)上的增函數，又(一%)3=%3,§<仁,所以(一萬尸<萬5

(4)因為y=k)g2X是(0,+8)上的增函數,又3<3.1,所以Iog23〈k>g23.1.

例3求下列函數的定義域：

⑴y=logulog?log?x(a>0,aH1);

(2)廣行―鬲H，

【略解】(1)據題意有logalogaXX).

①a>l時，上式等價于logax>l,BPx>a.

②0〈a〈l時，上式等價于0<logaX〈l,即l>x>a.

所以，當a>l時，函數定義域為(a,+8)；而當Ova<l時，函數定義域為(a,l).

11--

歹丐尸，

V9-(1r1-3

>0,(|r<9