5大考點精講+專訓1大中考命題點+15大題型探究01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求點與圓的位置關系圓與圓的位置關系切線的判定★★★了解點與圓的位置關系.掌握切線的概念，*探索并證明切線長定理了解三角形的內心與外心【考情分析】本專題中切線的判定和性質是圓的相關問題中的重點，常以解答題的形式出現，掌握切線的判定定理是解題的關鍵，注意其常用輔助線的作法:“有切點，連半徑，證垂直；無切點，作垂直，證半徑”同時，切線長定理也有考查。★【命題預測】本專題內容是各地中考數學中的必考考點之一，主要內容包括點、直線與圓的位置關系、切線的性質和判定、三角形的內切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質和判定，和直角三角形結合的求線段長的問題和三角函數結合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大.關鍵是掌握基礎知識、基本方法，力爭拿到全分．切線的性質與計算三角形的內切圓三角形的內切圓★★★★★★★了解直線與圓的位置關系.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究圓與圓的位置關系考點三直線與圓的位置關系考點二點與圓的位置關系考點一點與圓的位置關系與切線有關的知識考點四三角形的外接圓與內切圓考點五點和圓三種位置關系點與圓的位置關系考點一點和圓共有三種位置關系點在圓內，點在圓上，點在圓外已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系點在圓內點P在圓內

d<r點在圓上點P在圓上

d=r點在圓外點P在圓外

d>r掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關系，可以確定該點與圓的位置關系．【注意】針對練習點與圓的位置關系考點一

AAB

03考點突破·考法探究圓與圓的位置關系考點三直線與圓的位置關系考點二點與圓的位置關系考點一直線與圓的位置關系與切線有關的知識考點四三角形的外接圓與內切圓考點五直線和圓三種位置關系直線與圓的位置關系考點二直線和圓共有三種位置關系相離，相切，相交設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d直線和圓的位置關系相交相切相離定義直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交直線和圓只有一個公共點時，叫做直線與圓相切直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離圖示公共點個數2個1個無圓心到直徑的距離d與圓半徑r之間的大小關系d<rd=rd>r公共點名稱交點切點無直線名稱交線/割線切線無結論直線l與⊙O相交

d<r直線l與⊙O相切

d=r直線l與⊙O相離

d>r從左端推出右端是直線與圓的位置關系的性質，從右端推出左端是直線與圓的位置關系的判斷.直線與圓的位置關系考點二針對練習1．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行

A．相離 B．相切

C．相交

D．無法確定BBD點A在⊙O外．點B在⊙O上

03考點突破·考法探究圓與圓的位置關系考點三直線與圓的位置關系考點二點與圓的位置關系考點一圓與圓的位置關系與切線有關的知識考點四三角形的外接圓與內切圓考點五圓和圓位置關系圓與圓的位置關系考點三圓和圓共有五種位置關系相離，外切，相交，內切，內含設的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關系如下表：位置關系圖形公共點個數性質及判定外離無外切1個切點相交兩個交點內切1個切點內含無兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.圓與圓的位置關系考點三針對練習1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，奧運五環標志里，包含了圓與圓位置關系中的（

）A．相切，內含 B．外切，內含 C．外離，相交 D．相切，相交

A．點C在圓A外，點D在圓A內 B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內 D．點C在圓A內，點D在圓A外3．（2024·上海·二模）若兩個半徑為2的等圓外離，則圓心距d的取值范圍為

．CC

圓A的半徑為5

03考點突破·考法探究圓與圓的位置關系考點三直線與圓的位置關系考點二點與圓的位置關系考點一與切線有關的知識與切線有關的知識考點四三角形的外接圓與內切圓考點五1.切線的性質定理與切線的判定定理與切線有關的知識考點四切線的定義線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點OPm切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經過切點與圓心的直線）【補充】1）經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；2）經過切點且垂直于切線的直線必過圓心切線的判定定理經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線∟Om∟圓的切線P2.切線長定理與切線有關的知識考點四切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．【解題技巧】切線長定理經常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構造直角三角形來求解．OPAB切線長

∟∟與切線有關的知識考點四針對練習

∟

∟經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線與切線有關的知識考點四針對練習

C圓的切線垂直于經過切點的半徑

03考點突破·考法探究圓與圓的位置關系考點三直線與圓的位置關系考點二點與圓的位置關系考點一三角形的外接圓與內切圓與切線有關的知識考點四三角形的外接圓與內切圓考點五1.三角形的外接圓與外心三角形的外接圓與內切圓考點五三角形外接圓經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內接三角形三角形的外心三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點.三角形的外心的性質三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.O

外心2.三角形內切圓與內心三角形的外接圓與內切圓考點五三角形內切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形三角形的內心內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形三條內角平分性的交點.三角形的內心的性質內心到三角形各邊的距離相等.O

內心

∟∟∟三角形的外接圓與內切圓考點五針對練習

1

1C

04題型精研·考向洞悉點與圓的位置關系題型01與圓有關的位置關系命題點直線與圓的最值問題題型02直線與圓的位置關系題型03圓與圓的位置關系題型04利用切線的性質求解題型05證明某直線是圓的切線（有明確的交點）題型06證明某直線是圓的切線（無明確的交點）題型07命題點與圓有關的位置關系題型01點與圓的位置關系方法技巧根據點到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關系.設半徑為r，點到圓心的距離為d1）若d＜r，則點P在圓內；2）若d=r，則點P在圓上；3）若d＞r，則點P在圓外.OP1P2P3d＜rd=rd＞r命題點與圓有關的位置關系題型01點與圓的位置關系

C方法指導解題的關鍵：?熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系?正確理解題意，熟練應用三角函數計算

命題點與圓有關的位置關系題型01點與圓的位置關系

A．甲圖四點共圓，乙圖四點共圓

B．甲圖四點共圓，乙圖四點不共圓C．甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓

D．甲圖四點不共圓，乙圖四點不共圓C

MN

命題點與圓有關的位置關系?題型02直線與圓的最值問題點P為⊙O上動點，點Q為直線AB上動點，過點O作OD⊥AB于點D，交⊙O為點C當O，P，Q三點共線且為垂線段時，PQ取最小值，最小值為PQ的長.圖示:已知:結論：方法技巧命題點與圓有關的位置關系?題型02直線與圓的最值問題

方法指導解題的關鍵：?熟練掌握圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題?理解題意，正確添加輔助線

命題點與圓有關的位置關系?題型02直線與圓的最值問題

命題點與圓有關的位置關系?題型02直線與圓的最值問題

命題點與圓有關的位置關系?題型02直線與圓的最值問題

命題點與圓有關的位置關系?題型03直線與圓的位置關系1）根據直線與圓的公共點的個數判斷；①若直線與圓有兩個交點，則直線與圓相交；②若直線與圓有一個交點，則直線與圓相切；③若直線與圓有沒有交點，則直線與圓相離.方法技巧判定直線與圓的位置關系通常有以下兩種方法：2）根據圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷.設半徑為r，直線到圓心的距離為d①若d＜r，則直線與圓相交；②若d=r，則直線與圓相切；③若d＞r，則直線與圓相離.命題點與圓有關的位置關系?題型03直線與圓的位置關系【例1】（2024·上海嘉定·三模）設以3，4，5為邊長構成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為

個.4方法指導解題的關鍵：?熟練掌握勾股定理逆定理，三角形的內切圓，直線與圓的位置關系?理解題意，正確添加輔助線解：如圖，設△??????中????=??,????=??,????=??，

內切圓半徑為1，此時正好有3個交點，當圓的位置移動時，就會最多產生4個交點，如圖命題點與圓有關的位置關系?題型03直線與圓的位置關系

命題點與圓有關的位置關系?題型03直線與圓的位置關系

命題點與圓有關的位置關系?題型04圓與圓的位置關系

方法指導解題的關鍵：?熟記圓的位置關系及勾股定理?理解題意，作出圖形，利用數形結合解決問題

B

命題點與圓有關的位置關系?題型04圓與圓的位置關系

命題點與圓有關的位置關系?題型04圓與圓的位置關系2．（2024·上海·模擬預測）若相交兩圓的半徑分別為4和5，公共弦長為6，兩圓圓心距長為

．

O1O2O1O2命題點與圓有關的位置關系?題型05利用切線的性質求解方法技巧運用切線的性質進行計算時，常見輔助線的作法:連接圓心和切點，根據切線的性質構造出直角三角形，一方面可以求相關角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長度命題點與圓有關的位置關系?題型05利用切線的性質求解

方法指導解題的關鍵：?熟記切線的性質，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質與判定?理解題意，正確作出輔助線：連結圓心和切點形成直角三角形

6命題點與圓有關的位置關系?題型05利用切線的性質求解

P

命題點與圓有關的位置關系?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）方法技巧1）給出了直線與圓的公共點和經過公共點的半徑時，可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.命題點與圓有關的位置關系?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）

方法指導解題的關鍵：?掌握圓周角定理，切線的性質和判定，相似三角形的判定和性質，勾股定理?理解題意，正確作出輔助線，構造去切線判定方法：“連半徑,證垂直”

命題點與圓有關的位置關系?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）

方法指導解題的關鍵：?掌握圓周角定理，切線的性質和判定，相似三角形的判定和性質，勾股定理?理解題意，正確作出輔助線，構造去切線判定方法：“連半徑,證垂直”

命題點與圓有關的位置關系?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）

方法指導解題的關鍵：?掌握圓周角定理，切線的性質和判定，相似三角形的判定和性質，勾股定理?理解題意，正確作出輔助線，構造去切線判定方法：“連半徑,證垂直”

命題點與圓有關的位置關系?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）

命題點與圓有關的位置關系?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）

命題點與圓有關的位置關系?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）

方法指導解題的關鍵：?掌握判定直線是圓的切線，切線的性質定理，等腰直角三角形的性質?理解題意，正確作出輔助線，構造去切線判定方法：“作垂直,證相等”

P∟

∟

命題點與圓有關的位置關系?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）

方法指導解題的關鍵：?掌握判定直線是圓的切線，切線的性質定理，等腰直角三角形的性質?理解題意，正確作出輔助線，構造去切線判定方法：“作垂直,證相等”P∟∟H∟GF04題型精研·考向洞悉切線的性質與判定綜合題型08與圓有關的位置關系命題點作圓的切線題型09應用切線長定理求解或證明題型10由三角形外接圓求值題型11由三角形內切圓求值題型12三角形內心有關的應用題型13三角形外接圓與內切圓綜合題型14圓位置關系與函數綜合題型15命題點與圓有關的位置關系?題型08切線的性質與判定綜合

方法指導解題的關鍵：?掌握圓的切線的判定和性質，圓的基本性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數含義?理解題意，正確作出輔助線，靈活運用相關知識求正弦值

N∟∟

命題點與圓有關的位置關系?題型08切線的性質與判定綜合

方法指導解題的關鍵：?掌握圓的切線的判定和性質，圓的基本性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數含義?理解題意，正確作出輔助線，靈活運用相關知識求正弦值N∟∟

命題點與圓有關的位置關系?題型08切線的性質與判定綜合

“連半徑,證垂直”

命題點與圓有關的位置關系?題型08切線的性質與判定綜合

解題的關鍵：?掌握圓的切線的判定和性質，圓的基本性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數含義?理解題意，正確作出輔助線，靈活運用相關知識求正弦值命題點與圓有關的位置關系?題型09作圓的切線

方法指導

E∟

命題點與圓有關的位置關系?題型09作圓的切線

（1）如圖所示CD

E命題點與圓有關的位置關系?題型10應用切線長定理求解或證明

解題的關鍵：?掌握切線的判定與性質，切線長定理，全等三角形的判定與性質，點與圓的位置關系?掌握扇形面積計算公式，理解題意，正確作出與切線有關的輔助線，方法指導

命題點與圓有關的位置關系?題型10應用切線長定理求解或證明

圓上命題點與圓有關的位置關系?題型10應用切線長定理求解或證明

圓上

命題點與圓有關的位置關系?題型10應用切線長定理求解或證明

H

命題點與圓有關的位置關系?題型11由三角形外接圓求值

A．8 B．4 C．3.5 D．3B解題的關鍵：?掌握三角形外接圓的性質及中位線的性質?正確理解題意，掌握三角形外心是三邊垂直平分線的交點方法指導

命題點與圓有關的位置關系?題型11由三角形外接圓求值

6命題點與圓有關的位置關系?題型11由三角形外接圓求值

△ADC、△BDC、△ABD

命題點與圓有關的位置關系?題型12由三角形內切圓求值