第3節(jié)基本不等式及其應(yīng)用最新考綱1.了解基本不等式的證明過(guò)程；2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題.(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào).(3)其中

稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，

稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).知

識(shí)

梳

理a＝b2.兩個(gè)重要的不等式2ab3.利用基本不等式求最值x＝y(tǒng)小x＝y(tǒng)大1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)診

斷

自

測(cè)答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(

) A.80

B.77

C.81

D.82答案C答案C答案

85.(必修5P100A2改編)一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為_(kāi)_____m，寬為_(kāi)_______m時(shí)菜園面積最大.考點(diǎn)一配湊法求最值當(dāng)t＝0，即x＝1時(shí)，y＝0；規(guī)律方法

1.應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件.2.在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.考點(diǎn)二常數(shù)代換或消元法求最值(易錯(cuò)警示)【例2】(1)(一題多解)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值為_(kāi)_______； (2)(一題多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為_(kāi)_______.∴3x＋4y的最小值是5.法一

(消元法)因?yàn)閤＞0，y＞0，所以0＜y＜3，法二

∵x＞0，y＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)等號(hào)成立.設(shè)x＋3y＝t＞0，則t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故當(dāng)x＝3，y＝1時(shí)，(x＋3y)min＝6.答案(1)5

(2)6規(guī)律方法條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.易錯(cuò)警示

(1)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2)盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號(hào)成立的條件一致.則x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝10時(shí)取等號(hào).∴x＋y的最小值為20.故選C.考點(diǎn)三基本不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用規(guī)律方法

1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).2.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3.在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)求解.【訓(xùn)練3】2016年11月3日20點(diǎn)43分我國(guó)長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認(rèn)為我國(guó)已從航天大國(guó)向航天強(qiáng)國(guó)邁進(jìn)的重要標(biāo)志.長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新材料，甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求1≤x≤10)，每小時(shí)可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克. (1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù). (2)要