2025年四川省遂寧市中學(xué)校高2022級高三二模考試數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項:1．答卷前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。3．考試結(jié)束后，只將答題卡交回。第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的首項（

）A．3 B．2 C．1 D．3．“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．5．一個筆盒中裝有6支筆，其中3支黑色，2支紅色，1支藍色．若從中任取2支，則“恰有1支黑色”的概率是（

）A． B． C． D．6．已知向量，則（

）A． B．2 C． D．37．?dāng)?shù)列中，，，記，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，對，，使得成立.下列結(jié)論正確的是（

）A．，使得B．函數(shù)的最大值為0C．a(chǎn)的取值范圍為D．過作的切線，有且只有一條二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．的最大值為0 D．在內(nèi)有2個零點10．下列說法正確的是（

）A．已知隨機變量服從二項分布：，設(shè)，則的方差B．?dāng)?shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為7C．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則的平均數(shù)為10D．用簡單隨機抽樣的方法從51個樣本中抽取2個樣本，則每個樣本被抽到的概率都是11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，滿足的動點的軌跡為曲線．則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點在曲線上，則點和也在曲線上B．點的橫坐標(biāo)的取值范圍是C．曲線上點的縱坐標(biāo)的最大值為2D．曲線與圓只有一個公共點第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）13．“文翁千載一時珍，醉臥襟花聽暗吟”表達了對李時珍學(xué)識淵博、才華橫溢的贊嘆.李時珍是湖北省蘄春縣人，明代著名醫(yī)藥學(xué)家.他歷經(jīng)27個寒暑，三易其稿，完成了192萬字的巨著《本草綱目》，被后世尊為“藥圣”.為紀(jì)念李時珍，人們在美麗的蘄春縣獨山修建了一座雕像，如圖所示.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組為測量雕像的高度，在地面上選取共線的三點A、B、C，分別測得雕像頂?shù)难鼋菫椋颐祝瑒t雕像高為米.

14．記不超過的最大整數(shù)為．若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本題13分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知(1)證明：；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.16．（本題15分）如圖，圓臺下底面圓的直徑為是圓上異于的點，且為上底面圓的一條直徑，是邊長為6的等邊三角形，.(1)證明：平面平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值.17．（本題15分）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．18．（本題17分）已知點A，B是橢圓的左，右頂點，橢圓E的短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)點O是坐標(biāo)原點，直線l經(jīng)過點，并且與橢圓E交于點M，N，直線與直線交于點T，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．19．（本題17分）設(shè)函數(shù)（其中是非零常數(shù)，是自然對數(shù)的底），記．(1)求對任意實數(shù)，都有成立的最小整數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意，，都存在極值點，求證：點在一定直線上，并求出該直線方程；(3)是否存在正整數(shù)和實數(shù)，使且對于任意，至多有一個極值點，若存在，求出所有滿足條件的和，若不存在，說明理由．參考答案題號12345678910答案CBACADCDACACD題號11答案AC12．13．14．15．（1）由正弦定理及，知，即，所以，所以或，因為B，，所以，即（2）由（1）知，，又△ABC為銳角三角形，所以，，故，所以，得，故16．（1）解（1）為圓的直徑，是圓上異于的點，故，又，而.平面，平面.平面平面平面.（注：也可以由，證明，得出）（2）設(shè)為的中點，連接，則，由（1）可知，平面；所以平面，平面，如圖以為原點，分別以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面，四邊形為矩形，設(shè)平面的一個法向量為由，令，可得，即，設(shè)平面的一個法向量為，由得，令，可得，即.設(shè)平面與平面的夾角為則平面和平面夾角的余弦值為.17．（1）定義域為，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證18．（1）依題意，，解得，所以，橢圓E的方程為．（2）顯然直線l的斜率存在，不妨設(shè)直線：，因為過點，所以：，所以直線：聯(lián)立，消去y，得，，設(shè)點，，所以，，，，直線，直線，聯(lián)立，解得，即，又因為直線：，所以所以，，所以，．19．（1）依題意，，，，，，因此，，即，所以對任意實數(shù)，都有成立的最小整數(shù)的值是5.（2）由（1）知，，，，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)單調(diào)，當(dāng)時，有唯一零點，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，函數(shù)都存在唯一極值點，依題意，即，方程兩邊同時加上得，即，所以點在一定直線上，該直線方程為.（3）當(dāng)，時，方程無解，因此要使，必有,①當(dāng)時，，即，解得，而當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值點，嚴(yán)格遞減，無極值點，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上嚴(yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，有一個極值點，又，則恒成立，有單調(diào)遞減，無極值點，綜上得存在，滿