重難點01利用基本不等式求最值【八大題型】

【新高考專用】

基本不等式是每年高考的必考內容，是常考常新的內容.從近幾年的高考情況來看，高考題型通常為選

擇題或填空題，但它的應用范圍很廣，涉及到函數、三角函數、平面向量、立體幾何、解析幾何、導數等

內容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經常考查運用基本不等式求函數或代

數式的最值，具有靈活多變、應用廣泛、技巧性強等特點.在復習中切忌生搬硬套，在應用時一定要緊扣“一

正二定三相等”這三個條件靈活運用.

?知識梳理

【知識點1利用基本不等式求最值的解題策略】

1.基本不等式與最值

已知尤，y都是正數，

(1)如果積犯等于定值P,那么當x=y時，和尤+y有最小值2爐；

(2)如果和龍+y等于定值S,那么當x=y時，積xy有最大值卜2.

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)無、j>0,(2)和(積)為定值，(3)存

在取等號的條件.

2.常見的求最值模型

(1)模型一：mx+—>2\[mn(m>0,n>0)，當且僅當工=JK時等號成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——=m(x-a)——-——I-ma>l^rnn+ma(m>0,H>0),當且僅當x-a=J—時等號成

x—ax—aVm

立；

(3)模型三：=」——=—1—V——(a>0,c>0),當且僅當x=1口時等號成立；

ax+bx+c以+6+￡2^Jac+bVa

x

/八，"girm、mx(n—mx)1mx+n—mx/八八八n、nq

(4)模型四：x(zn-mx)=--------------<—(z----------------)x2=——(m>0,n>0,0<x<一)，N當lzn且/T僅7當x=——時

mm24mm2m

等號成立.

3.利用基本不等式求最值的幾種方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.

(3)常數代換法：主要解決形如“已知》+日”為常數)，求三+二的最值”的問題，先將三+二轉化為

yJvy

g+§,X；，，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)構造不等式法：構建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利

用基本不等式，構造目標式的不等式求解.

【知識點2基本不等式的實際應用】

1.基本不等式的實際應用的解題策略

(1)根據實際問題抽象出函數的解析式，再利用基本不等式求得函數的最值.

(2)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.

(3)在應用基本不等式求函數的最值時，若等號取不到，則可利用函數的單調性求解.

?舉一反三

【題型1直接法求最值】

【例1】(2024?北京東城?一模)已知%>0,則x—4+士的最小值為()

X

A.12B.0C.1D.2V2

【變式1-1】(2024?甘肅定西?一模)/+5+夕的最小值為()

X2

A.2V7B.3V7C.4A/7D.5A/7

【變式1-2](2024.全國.模擬預測)已知ab為正數,則當+2()

ba

A.有最小值，為2B.有最小值，為2或

C.有最小值，為4D.不一定有最小值

【變式1-3]（2024?全國?模擬預測）（3+專）（1+4久2）的最小值為（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4V3

【題型2配湊法求最值】

【例2】（2024?全國?模擬預測）函數y=/+六（久2>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

【變式2-1]（2024.全國.模擬預測）已知a>0,6>0,則a+2b+的最小值為（）

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

【變式2-2]（23-24高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習）設x>2,則函數y=4x—l+力，的最小值

為（）

A.7B.8C.14D.15

【變式2-3]（2024?山西忻州?模擬預測）已知。>2,貝吃白的最小值是（）

a—2

A.6B.8C.10D.12

【題型3常數代換法求最值】

【例3】（2024.河北.模擬預測）已知非負實數招y滿足i+y=l,則;的最小值為（）

3+2返n3+2V24

D.C.2D.

243

【變式3-1]（2024.云南大理.模擬預測）已知a>0,b>0且2a+b=1,則-J+三;的最小值為（）

a+la+b

A.4B.6C.8D.10

【變式3-2]（2024?江蘇揚州?模擬預測）已知%>0,y>0,且2%+y=1,則上的最小值為（）

xy

A.4B.4V2C.6D.2V2+3

—1mile同小/古珀（\

【變式（.四川成都?模擬預測）若是正實數，…,11

3-3]2024a,b^3a+b2a+4b'八J"?八J"Ju」./i

AA.-4B.-C.1D.2

53

【題型4消元法求最值】

【例4】（2024.全國.模擬預測）已知％y,ze（0,+8）,且滿足％-2y+3z=0.則日的最小值為（）

A.12B.6C.9D.3

【變式4-1］（2024?北京?模擬預測）設正實數無、y、z滿足4——3砂+y2一2=0,則把的最大值為（）

A.0B.2C.1D.3

【變式4-2］（2024?浙江紹興?三模）若％,y,z>0,且%2++2%z+2yz=4,貝吃％+y+2z的最小值是

【變式4-3］（2024?四川德陽?模擬預測）已知正實數％,y,z滿足％2+xy+yz+xz+%+z=6,則3%+2y+z

的最小值是.

【題型5齊次化求最值】

【例5】（2024.江西新余.二模）已知尤，y為正實數，且x+y=2,則把罕的最小值為（）

A.12B.3+2V2C.—D.這二

22

【變式5-1］（23-24高一下.重慶沙坪壩.階段練習）已知正數x,y滿足尤+2y=1,則譽的最小值為（）

A.~^=B.2V2C.D.2V2+1

2V22V2+1

【變式5-2］（23-24高一上.江蘇常州?階段練習）已知孫=1,且0<y<J,則最大值為.

【變式5-3】（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知實數x>0,y>0,則空半瞿鏟的最大值為

【題型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024.山西運城.二模）若a,b,c均為正實數，則可〈黑：的最大值為（）

az+2bz+cz

A.iB.iC.也D.更

2422

【變式6-1］（2024?河北衡水?模擬預測）已知實數x,y,z>0,滿足盯+:=2,則當：+（取得最小值時，y+z

的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【變式6-2］⑵-24高三下.浙江.開學考試）已知a、b、c、d均為正實數，且三+：=c?+d?=2,則a+?的

abcd

最小值為（）

A.3B.2V2

C3+Vi口3+2魚

,2?2

【變式6-3］（2024?全國?模擬預測）已知為非零實數，b,c均為正實數，則黑獸的最大值為（

a4a4+b2+c2

A.-B..C.-D.在

2424

【題型7實際應用中的最值問題】

【例7】（23-24高一上?陜西西安?期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一顧客到店購買黃金

100g,售貨員先將50g祛碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將50g祛碼放在天平右盤

中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.與左右臂的長度有關

【變式7-1］（24-25高三上?江蘇無錫?期中）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經過市場調查了解

到下列信息：每月土地占地費為（單位：元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫存貨物費

%（單位：元）與x成正比；若在距離車站6km處建倉庫，則治=4%.要使這家公司的兩項費用之和最小，

則應該把倉庫建在距離車站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【變式7-2］（24-25高一上?四川瀘州?期中）如圖，某花圃基地計劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形

花室.

（1）若柵欄的總長為120米，求每間花室面積的最大值；

（2）若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長的最小值.

【變式7-3］（24-25高一上?陜西咸陽?期中）某校計劃利用其一側原有墻體，建造高為1米，底面積為100平

方米，且背面靠墻的長方體形狀的露天勞動基地，靠墻那面無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下:

長方體前面新建墻體的報價為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報價為每平方米160元，地面以及其

他報價共計6400元.設勞動基地的左、右兩面墻的長度均為x（6<%<12）米，原有墻體足夠長.

（1）當左面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？

（2）現有乙工程隊也參與該勞動基地的建造競標，其給出的整體報價為32°,i+x）（a〉0）元,若無論左面墻的

長度為多少米，乙工程隊都能競標成功（約定整體報價更低的工程隊競標成功），求a的取值范圍.

【題型8與其他知識交匯的最值問題】

【例8】（23-24高三上?山西運城?階段練習）在△ABC中，已知力B-4C=9,b=c-cosA,△ABC的面積為

6,若P為線段A8上的點（點P不與點4點8重合），且CP="谷+y?罌，則工+4的最小值為（）

|刊\CB\X3y+2

3Q1

A.9B.-C.—D.-

4142

【變式8-1］（2020?全國?高考真題）設。為坐標原點，直線x=a與雙曲線。:捻―5=1（（1>0方>0）的兩

條漸近線分別交于兩點，若△ODE的面積為8,貝UC的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【變式8-2］（23-24高三?全國?階段練習）在/4BC中，a,b,c分別為內角4B,C的對邊，且

（acosf+ccosZ）tanZ=V3h.

（1）求角/的大小；

（2）若a=遮，求be的最大值.

【變式8-3］（23-24高二下?遼寧?階段練習）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究

和證明中占有重要的位置，基本不等式等2屆（。>0/>0）就是最簡單的平均值不等式.一般地，假設

3%即為"個非負實數，它們的算術平均值記為4t=。1+的：+。”=打匕七（注：￡之通=%+的+…

1

+an）,幾何平均值記為%=,,…戶=（1日產］亦（注：？產=的的,,…&i），算術平均值與幾何

平均值之間有如下的關系：…；…+所>7%%??…斯，即/>Gn,當且僅當的=。2=???=即時等號成立,

上述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式.

（1）已知%>y>0,求％+「、的最小值;

y（x-y）

（2）已知正項數列｛a九｝,前〃項和為5n.

nn

（i）當S九=1時，求證：1（1一后）之（足—1）九］必；

nin(?i

(ii)求證：II(1+a)>/77.

i=izj=ol'

?課后提升練（19題:

一、單選題

1.（2024.河北.模擬預測）己知x〉l,y>0,且2+'=1,貝|4x+y的最小值為（）

A.13B.C.14D.9+V65

2

2.（2024?四川綿陽?一模）已知久>0,y>0,且滿足％+y=%y—3,貝hy的最小值為（）

A.3B.2V3C.6D.9

3.（2024?江蘇宿遷?一模）若a>0,b>0,a+2b=3,貝哈+9的最小值為（）

ab

A.9B.18C.24D.27

4.（2024?陜西西安.模擬預測）下列說法錯誤的是（）

A.若正實數a,6滿足a+6=l,則工+《有最小值4

ab

B.若正實數a,b滿足a+2b=1,則2。+4b22世

C.y=4E+供的最小值為竽

Vx2+33

D.若a>h>1,則ab+1<a+b

5.（2024?四川成都.三模）設a>6>0,若a2+2爐工2，則實數2的最大值為（）

a-b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2&

6.（2024?貴州遵義?模擬預測）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國數學家趙爽于公元3世紀在

給《周髀算經》“勾股網方圖”作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負薪余日，聊觀《周》”一書之中.

他用數學符號語言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a,b斜邊為c（a、氏c均為正數）.則（a+b）2=4防+

Q—a）2,（a+6）2=2c2—（6—4”.某同學讀到此書中的“趙爽弦圖”時，出于好奇，想用軟鋼絲制作此圖,

他用一段長6cm的軟鋼絲作為a+b的長度（制作其它邊長的軟鋼絲足夠用），請你給他算一算，他能制作

出來的“趙爽弦圖”的最小面積為（）

A.9B.18C.27D.36

7.（2024?福建寧德?模擬預測）若兩個正實數％,y滿足4%+y=2%y,且不等式X+三V/一7n有解，貝|

4

實數機的取值范圍是（）

A.{m|-1<m<2}B.{m\m<-1或m>2}

C.{m\—2<m<1}D.{m\m<-2或m>1]

8.（2024.山東淄博.二模）記max{%,y,z}表示％y,z中最大的數.已知居y均為正實數，貝!jmax{|J,%?+4y?}

的最小值為（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

二、多選題

9.（2024.貴州銅仁.模擬預測）下列不等式正確的有（）

A.當0V%V10時，Jx（10-％）的最大值是5

B.已知正實數居y滿足X+y=2,則§+

C.當％〉一1時，xH------21

X+1

D.函數y=l-2x—：（x<0）最小值為1+2逐

10.（2024?廣東佛山?一模）已知a,b>0,且ab=a+2b+6,則（）

A.ab的最小值為18B.a2+F的最小值為36

C.?+押最小值為2D.a+6的最小值為3+4企

ab3

11.（2024?吉林長春?模擬預測）十六世紀中葉，英國數學加雷科德在《礪智石》一