重難點(diǎn)07雙變量問題【八大題型】

【新高考專用】

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問

題在高考中占有很重要的地位，主要涉及雙變量的恒成立問題、雙參數(shù)不等式問題以及雙變量的不等式證

明等問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，需要靈活求解.

?知識梳理

【知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題】

1.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)

不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【知識點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題的解題策略】

1.轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決雙變量問題

此類問題一般是給出含有X1，切，於1)，人必)的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式

相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該函數(shù)單調(diào)性求解.

2.整體代換解決雙變量問題

(1)解此類題的關(guān)鍵是利用代入消元法消去參數(shù)得到僅含有Xl，X2的式子.

(2)與極值點(diǎn)X1，無2有關(guān)的雙變量問題：一般是根據(jù)X1，M是方程/(x)=0的兩個(gè)根，確定無1，M的關(guān)系,

再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有xi或M的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題，即把所給條件轉(zhuǎn)化為xi，必的齊次式，然后

轉(zhuǎn)化為關(guān)于學(xué)的函數(shù)，把當(dāng)看作一個(gè)變量進(jìn)行整體代換，從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決問題.

3.構(gòu)造函數(shù)解決雙變量問題的答題模板

第一步：分析題意，探究兩變量的關(guān)系；

第二步：合二為一，變?yōu)閱巫兞坎坏仁剑?/p>

第三步：構(gòu)造函數(shù)；

第四步：判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值，進(jìn)而解決問題;

第五步：反思回顧解題過程，規(guī)范解題步驟.

?舉一反三

【題型1雙變量單調(diào)性問題】

2—dxxV1

^^-la2+^+2)x-^,x>l^若對任意久1<應(yīng)，

{xX

都有久1)—/。2)<2/一2冷，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(―8,—2)B.口,+8)C.(-2,|]D.(―8,—H

【變式1-1J(2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測)定義在R上的函數(shù)/(嗎，對Vxi，久2eR都有x"(久D+冷/。2)>久"(

%2)+%2/(%1)，若/(無。)>/Qoga%)(。>0且。。1),則下列式子一定成立的是()

，12e11

A.alna<-B.a\na<-

12

C-alna>eD-alna>e

【變式1?2】(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/(%)=21n%+/一

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意0＜的＜冷，都有"誓＞1，求a的取值范圍.

“2X1

【變式1-3](23-24高二下?遼寧朝陽?階段練習(xí))已知函數(shù)fQ)=x-(a+2)lnx—*.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

1

(2)設(shè)g(x)=Inx+嚏，對任意/，冷6[3,+8),且型＞%使/'(冷)一/'(M)?。皿%2)-。(%1)丁恒成立，求正實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

【題型2雙變量的最值(范圍)問題】

【例2】(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(幻=砂+x,g(x)=lnx+x,若/'(小)=g(%2)，則的最

小值為()

A.-eB,-1C,-1D.一當(dāng)

【變式2-1](2024?河北滄州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)={%：瓶￡,若a＜6,且f(a)=f(b),貝加―a的

取值范圍是()

A.(In2,l]B.(In2,l)C.Qln2,l]D.[1,2)

【變式2-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/⑺=e，-口久-

(1)若尸(x)＞0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若〃>)2-/2+%+小求(a+1)6的最大值.

【變式2-3](2024高三下?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=a1-久3(aeR)有三個(gè)極值點(diǎn)Xi，肛，*3(血<

冷<久3).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若X322冷，求實(shí)數(shù)。的最大值.

【題型3與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題】

【例3】(2024?福建泉州一模)已知尤1出，是函數(shù)/■(>)=(久-1)3-%兩個(gè)極值點(diǎn)，則()

A.5+冷=—2B.巧+%2=1C./(%1)+/(%2)=-2D-/(久1)+f(%2)=2

-1

【變式3-1](2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(%)=aln%+/2_2%有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)巧如，且七-/⑸)+

%2-0恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為()

A.(—8,—5)B.(—8,—5]C.(—8,2—21n2)D.(—8,2—21n2]

【變式3-2](2024?四川德陽,二模)已知函數(shù)/(x)=Inx+%2-2aK,aeR,

(1)當(dāng)a>0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)巧32(叼<血)，求2/(均)一/。2)的最小值.

【變式3-3](24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))已知/(x)=—京2,+4e，—ax—5.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若/(久)有兩個(gè)極值點(diǎn)久1，x2.

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：/(Xi)+/(%2)++%2Vo.

【題型4與切線有關(guān)的雙變量問題】

【例4】(23-24高二下?湖南?期中)已知過點(diǎn)P可作曲線/(X)=K—Inx的兩條切線，切點(diǎn)為

01,/(右))，(%2,/(^2))?求*1工2[與與智初一1]的取值范圍()

A.(—1,0)B.[—1,0)C.(—2,—1)D.[—2,—1)

【變式4-1](2024?河北邢臺(tái)?二模)已知函數(shù)/(%)=/+2111%的圖像在4(%1/(久1)),8(%2/(%2))兩個(gè)不同

點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是()

1010

A.%1+冷=2B.Xi+x2=-C.%i%2=2D.%i%2—

【變式4-2](2024?廣東?二模)已知/(>)=%久2+(1一2砌萬一21nx,a>0.

⑴求f(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)/(%)的圖象上是否存在兩點(diǎn)4(打)1)鳳%2)2)(其中，使得直線48與函數(shù)/(%)的圖象在%0=

半處的切線平行？若存在，請求出直線A&若不存在，請說明理由.

【變式4-3](2024?重慶?模擬預(yù)測)牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓

法.具體做法如下：如圖，設(shè)，是/'(%)=0的根，首先選取曲作為廠的初始近似值，若/'(%)在點(diǎn)Qo/Oo))處

的切線與久軸相交于點(diǎn)。1,0),稱久1是廠的一次近似值；用久1替代Xo重復(fù)上面的過程，得到久2,稱冷是r的二

次近似值;一直重復(fù),可得到一列數(shù):X0,X1,X2,---,Xn,--.在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)Xn-l,*nO￡N*)

近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)/(%)的一個(gè)零點(diǎn)兀

⑴若f（x）=%3+3/+%-3,當(dāng)久0=0時(shí)，求方程/'（￡）=0的二次近似值（保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）;

（2）牛頓法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)儀久）=a-3在點(diǎn)

（2,g（2））處的切線，并證明：ln3<l+*

（3）若%（久）=x（l-lnx）,若關(guān)于久的方程九（%）=。的兩個(gè)根分別為%1盟（%1<%2），證明：x2-Xi>e-ea.

【題型5與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題】

【例5】（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（X）=Inx+l-ax有兩個(gè)零點(diǎn)久1處，且則下列命題

正確的是（）

2

A.a>1B.x1+x2<-

i

C.?%2V1D.12—

【變式5-1］（2024?四川南充?一模）已知函數(shù)/（久）=卜n久—1+2卜根（0<小<3）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)打，x2

（%!<X2）,下列關(guān)于久1，乂2的說法正確的有（）個(gè)

①葭<e2m②高③e3<%2〈言④％62>1

A.1B.2C.3D.4

【變式5-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'（久）=ax-等，a>0.

（1）若/（%）存在零點(diǎn)，求。的取值范圍；

（2）若X1，久2為/'0）的零點(diǎn)，且％1<久2，證明：a（%i+%2）2>2.

【變式5-3](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(幻=Nlnx-zn有兩個(gè)不同的零點(diǎn)Xi，x2>且t=意

+君.

(1)求實(shí)數(shù)爪的取值范圍；

(2)求證:t<1；

(3)比較t與(及2爪+：的大小，并證明.

【題型6雙變量的恒(能)成立問題】

【例6】(2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(久)=W，g(x)=axe-ax,若存在/e(0,1),尤2e(-8,0)使得/(打)

=9(久2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(—1,+8)D.(0,+8)

【變式6-1](2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=2xlnx—a/,若對任意的久1的e(0,+8),當(dāng)/>

久2時(shí)，都有2判+/(>2)>2%2+/(久1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.岳,+8)B.[1,+8)C.9,+8)D.[2,+8)

【變式6-2](2024?四川瀘州?一模)已知函數(shù)萬久)=以+lflnx的圖像在x=1處的切線與直線x—y=0平

行.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若VX1，X2G(0,+00),且久1>乂2時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【變式6-3](23-24高二下?湖南郴州?期末)已知/'(x)=alnx+京2一2%(aeR且a70),g(x)=cosx+%

sinx.

(1)求g(%)在［-7r,7r］上的最小值;

(2)如果對任意的％16［一為兀］,存在%2E使得當(dāng)”一。<g(%D成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題型7雙變量的不等式證明問題】

［例7］(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(%)=為其導(dǎo)函數(shù).

(1)若/(%)41恒成立，求a的取值范圍；

(2)若存在兩個(gè)不同的正數(shù)%1，%2，使得f(%i)=/(%2)，證明：廣(，％1%2)>0?

【變式7?1】(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(%)=%ln%

(1)分析/(%)的單調(diào)性和極值;

⑵設(shè)g(x)=/(%+0+|,若對任意的久20,都有。(為之加久成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

(3)若尤1大無2，且滿足/(久1)+/'(久2)=*/+始)—1時(shí)，證明：*1+刀2>2.

【變式7-2］(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=a(l—21nx)+4x6(aeR).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

-1___

(2)若X1，尤2(乂1大*2)為函數(shù)g(x)=依2+至一In比的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：(乂1X2)4>12e4.

【變式7?3】(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=詈一7n,、C(0m).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若冗1<%2，滿足/(%1)=f(%2)=0.

(i)求m的取值范圍；

(ii)證明：%i+%2<TT.

【題型8雙變量的新定義問題】

【例8】(2024?四川成都?模擬預(yù)測)定義運(yùn)算：|；^^mq-np,已知函數(shù)/(x)=怛71|應(yīng)(乃三

(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0,求實(shí)數(shù)a的值；

⑵證明:(l+9(l+/l+》,(l+0<e.

(3)若函數(shù)h(x)=/(%)+g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)句,冷，證明：蛆紇管一。+2<0.

X1x2

【變式8-1](2024?浙江紹興?三模)若函數(shù)a(%)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)zn,函數(shù)/?(%)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)九,

且m>n,則稱a(%)與/?(%)具有性質(zhì)a-S〃?n>n.

⑴函數(shù)91(%)=sin%-7與02(汽)=心一％是否具有性質(zhì)01-92〃%0>。？并說明理由.

xx

⑵已知函數(shù)/(%)=ae-ln(x+1)與g(%)=ln(x+a)-e+1具有性質(zhì)>x2.

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：>\x2\-

【變式8-2](2024?浙江溫州?二模)如圖，對于曲線「，存在圓C滿足如下條件:

①圓c與曲線「有公共點(diǎn)4且圓心在曲線r凹的一側(cè)；

②圓C與曲線「在點(diǎn)力處有相同的切線；

③曲線r的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)4處的導(dǎo)數(shù)(即曲線r的二階導(dǎo)數(shù))等于圓C在點(diǎn)a處的二階導(dǎo)數(shù)(已知圓(%-a)2+

(y-b)2=r2在點(diǎn)4(久0沙0)處的二階導(dǎo)數(shù)等于;

則稱圓C為曲線「在4點(diǎn)處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.

(1)求拋物線y=/在原點(diǎn)的曲率圓的方程；

(2)求曲線y=§的曲率半徑的最小值；

(3)若曲線y=e”在(%1￡刃和(%2￡冷)(刀1豐功)處有相同的曲率半徑，求證：%i+%2<Tn2.

【變式8-3](2024?上海徐匯?二模)已知常數(shù)k為非零整數(shù)，若函數(shù)y=/(x),xe[0,1]滿足：對任意打,外e

fck

[0,1],|/(x1)-/(x2)|<|(Xi+l)-(x2+l)b則稱函數(shù)y=f(x)為L(k)函數(shù).

(1)函數(shù)y=2x,xe[0,1]是否為L(2)函數(shù)？請說明理由；

(2)若y=f(x)為L(l)函數(shù)，圖像在工€[0,1]是一條連續(xù)的曲線，f(0)=0,且f(x)在區(qū)間(0,1)上僅

存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記PXlmax、/(X)min為函數(shù)y=/(X)的最大、小值，求/O)max—〃X)min的取值范圍；

(3)若。>0,/(%)=0.05%2+0.1x+aln(x+1),且y=/(%)為￡(一1)函數(shù)，0(%)=/'(%),對任意居yE[0,1],

恒有|g(%)-g(y)|<M,記M的最小值為M(q),求。的取值范圍及M(a)關(guān)于。的表達(dá)式.

?課后提升練（19題

一、單選題

1.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）己知a,6滿足ea=—ae-2,b（\nb-2）=e4,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),

則ab的值為（）

A.-eB.-e2C.-e3D.-e4

2.（24-25高三上?山西大同?開學(xué)考試）已知Xi/2是函數(shù)/（X）=京/-2久+Inx的兩個(gè)極值點(diǎn)，若不等式

m>/（%!）+f（x2）+乂62恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-3,+oo）B.[-2,+oo）C.（2,+8）D.[e,+oo）

3.（23-24高三上?山東?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（久）=e2x,g（x）=x—l,對任意亞6夫，存在冷6（0,+8）,使

/（%1）=。（%2），則久2-無1的最小值為（）.

A.1B.V2

C.2+ln2D.5+5I112

4.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）己知直線y=kx+t與函數(shù)y=4sin（a>x+租）（力>0,3>0）的圖象恰有兩個(gè)

切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的人所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為的和6，且任>電，則（）

3kl5-7比5-5kl77fci7

A-5<^<7B.C.3<^<iD-

x

5.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（久）=xlnx,g（x）=xe,若存在小e（0,+8）,x2GR,使得/'（久。

=9（x2）>0成立，則藍(lán)的最大值為（）

121

A.一B.1C.-D.~

eee2

-i

6.（23-24高三上?廣東江門?階段練習(xí)）己知/（久）=如%+$2（。>0）若對于任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)4%2,

都有>2恒成立，則a的取值范圍是（）

的一Q

A.（0,1]B.[1,+oo）C.（0,3]D.[l,2e）

7.（23-24高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=e，-a/的定義域?yàn)锧,2）,且對以1出ed2）加中

犯,安手2<句+小恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

41&2

A.件一1,+8)B.[Ve-1,+oo)C.(-00,|-1]D.(—8,)1)

8.(23-24高二下?福建福州?期中)已知函數(shù)/1(%)=(X-2)d,若/'(/)=/(久2)，且劭力久2,-%2>0,則

()

13

A.^i>2B.%2<]C.%i%2>1D.%i+%2V2

二、多選題

9.(2024?重慶萬州?模擬預(yù)測)若函數(shù)久久)=ln(ax)T,g(x)=ex-b,滿足對Vx€(0,+8)均有f(x)g(久)

>0,則ab的取值不可能為()

2c

2

A.eB.—4C.eD.9

10.(2024?廣東廣州?一模)已知直線丫=kx與曲線y=In久相交于不同兩點(diǎn)M(xi，%),N(%2，y2)，曲線y=ln

%在點(diǎn)M處的切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)「(沏,打),貝ij()

A.0<fc<|B.%1%2=e%0C.yi+y2=1+yoD.yry2<1

11.(2024?海南海口?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(%)=汨nx+(l—x)ln(l—%),貝ij()

A./(%)=/(l-x)

B.函數(shù)/(%)有最大值-ln2

x

C.若Xi+x2=1>則+2/(%i)2-ln2

D.若％1+乂2<1，且:<%2<1，貝行(久2)</Q1)

三、填空題

12.(23-24高二下?四川遂寧一期中)已知函數(shù)/'(久)=