第01講平面向量的概念

模塊導航素養目標

模塊一思維導圖串知識1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結合物理中的力、位

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數量的區別

模塊三核心考點舉一反三與聯系；

模塊四小試牛刀過關測2.認真閱讀課本，在讀書過程中學會用有向線段、字母

表示向量，了解有向線段與向量的聯系與區別；

3.在認真學習的基礎上，理解零向量、單位向量、平行

向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識

圖形中這些相關的概念.學會向量的表示方法；

模塊一思維導圖串知識

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1向量的概念

（1）向量

在數學中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我們所學的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.

②向量與向量之間不能比較大小.

（2）數量

只有大小沒有方向的量稱為數量，如年齡、身高、長度、面積體積、質量等

（3）向量與數量的區別

①向量與數量的區別：向量有方向,而數量沒有方向；數量與數量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能

比較大小

②向量與矢量:數學中的向量是從物理中的矢量（如位移、力、加速度、速度等）中抽象出來的，但在這里我

們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時具備大小和方向這兩個屬性,還具有其他屬性（如“力”

就是由大小方向、作用點所決定的）.

知識點2（1）有向線段

具有方向的線段叫做有向線段

①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點指向終點.以A為起點、3為終點的有向線段

記作AB（如圖所示），線段AB的長度也叫做有向線段的長度,記作|而|.表示有向線段時,起點一定要寫

在終點的前面,上面標上箭頭.

終點）

4（起點）

②有向線段的三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向、長度，它的終點就唯一確定了.

（2）向量的表示

①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.

②字母表示:向量可以用字母9九上…表示

（3）向量的模

向量AB的大小稱為向量AB的長度（或稱模），記作|亞|.

（4）兩種特殊的向量

零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作0.

單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量

①若用有向線段表示零向量,則其終點與起點重合.

②要注意0與6的區別與聯系:0是一個實數，6是一個向量,且有161；書寫時6表示零向量,一定不能漏掉

o上的箭頭.

③單位向量有無數個,它們大小相等，但方向不一定相同.

④在平面內,將表示所有單位向量的有向線段的起點平移到同一點,則它們的終點構成一個半徑為1的圓.

知識點3相等向量與共線向量

（1）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量￡與B平行,記作￡||尻規定:零向量與任意向量平行,即對

于任意向量都有0II7

（2）相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量Z與B相等,記作a=b.兩個向量相等必須具備的條件是長度相等,方向相同因為向量完全由它的方向

和模確定,故任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關.

（3）共線向量

任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.

共線向量所在直線平行或重合,如果兩個向量所在的直線平行或重合,則這兩個向量是共線向量.

?＞模塊三核心考點舉一反三

考點一：向量的有關概念

（23-24高一下?新疆烏魯木齊?階段練習）給出下列物理量:

①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間.其中不是向量的有（）

A.①⑥B.⑦⑧⑨C.①⑧⑨D.①⑥⑦⑧⑨

【變式1-1］（23-24高一下?黑龍江綏化?階段練習）關于平面向量，下列說法正確的是（）

A.向量可以比較大小B.向量的模可以比較大小

C.速度是向量，位移是數量D.零向量是沒有方向的

【變式1-2］（多選）（24-25高一下?全國?課后作業）（多選）下列說法正確的是（）

A.加速度是向量B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同

C.零向量的方向是任意的D.向量就是有向線段

【變式1-3］（23-24高一?全國?課堂例題）已知。為正六邊形A5CDE尸的中心，在下圖所標出的向量中:

⑴找出與而相等的向量;

⑵找出幾組相反向量.

考點二：向量的表示

2.（23-24高一?全國?隨堂練習）畫圖表示小船的下列位移（用1:500000的比例尺）：

⑴由A地向東北方向航行15km到達B地;

⑵由A地向北偏西30。方向航行20km到達C地;

⑶由C地向正南方向航行20km到達。地.

【變式2-1］（23-24高一?上海?課堂例題）在平面直角坐標系中，作出表示下列向量的有向線段:

⑴向量3的起點在坐標原點，與x軸正方向的夾角為120。且同=3；

⑵向量B的模為4,方向與y軸的正方向反向；

（3）向量Z的方向與y軸的正方向同向，模為2.

【變式2-2](24-25高一下?全國?課后作業)在方格紙(每個小方格的邊長為1)中，畫出下列向量.

⑴|可|=2,點A在點。的正東方向；

(2)|訪|=2近，點8在點。的北偏東45。方向;

(3)求出網的值.

【變式2-3](23-24高一下?安徽淮北?階段練習)在如圖的方格紙中，畫出下列向量.

⑴網=3,點A在點。的正西方向;

(2)|OS|=3>/2,點8在點。的北偏西45。方向;

(3)求出網的值.

考點三：向量的模

例3.（23-24高二下?全國?課后作業）如圖所示，以長方體ABCD-ABCQ的八個頂點的兩點為起點

和終點的向量中,

⑴試寫出與彩模長相等的所有向量；

ULIL1

（2）若A3=AO=2,M=l.求向量AC1的模.

【變式3-1］（23-24高一下?北京?期中）已知向量獲共線，且同=羽=2,則,+同=.

【變式3-2］（24-25高一上?上海?課后作業）（1）如圖，在2x4的矩形中，起點和終點都在小方格頂點且

模與|麗|相等的向量共有多少個？（除通外）

（2）如果擴展到3義4的矩形呢？（除通外）

【變式3-3］（23-24高一下?福建泉州?期中）已知邊長為3的等邊三角形A3C,求3c邊上的中線向量標的

模畫.

考點四：零向量與單位向量

I\|例4.（多選）（23-24高一下?吉林四平?階段練習）下列說法中正確的是（）

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個非零向量必不相等

【變式4-1］（2024高三?北京?專題練習）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動，零向量的長度

為零，方向是任意的；②若a,石都是單位向量，則^=5;③向量血與麗相等.其中正確命題的序號為（）

A.①B.③C.①③D.①②

【變式4-2］（23-24高一下?湖北?期中）下列結論錯誤的是（）

A.零向量與任一向量共線

B.零向量與任一向量的數量積為0

C.方向相反的兩個向量是相反向量

D.模長等于1個單位長度的向量稱為單位向量

【變式4-31（多選）（23-24高一下?遼寧撫順?開學考試）設Z*6,則與其平行的單位向量有（）.

考點五：相等向量

.例5.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在正AABC中，D,E,歹均為所在邊的中點，則以下向

量和的相等的是（）

A.EFB.FB

C.DFD.~ED

【變式5-1］（23-24高一下?江蘇連云港?階段練習）下列說法錯誤的是（）

A.西=|明B.］、或是單位向量，則同=同

C.兩個相同的向量的模相等D.單位向量均相等

【變式5-21（多選）（24-25高一下?全國?課后作業）如圖，在菱形ABC。中，/區4。=120。，則以下說法

正確的是（）

cB

A.與而相等的向量只有1個（不含質）

B.與通的模相等的向量有9個（不含血）

C.前的模恰為9的模的后倍

D.無與罰不相等

【變式5-3］（23-24高一下?安徽六安?期末）如圖，四邊形是平行四邊形，四邊形A3OE是矩形.

⑴找出與存相等的向量;

⑵找出與方共線的向量.

考點六：共線向量

.例5.（2024高三?全國?專題練習）在VABC中，AB=AC,D、E分別是A8、AC的中點，貝！|（）

A.荏與正共線B.詼與有共線

C.無與荏相等D.而與麗相等

【變式6-1］（23-24高一下?黑龍江大慶?階段練習）下列命題中，正確的是（）

A.若問明,則［石B.若問沖則Z"

C.若4=石，則〃〃石D.若￡〃及則￡〃"

【變式6-2］（多選）（24-25高二上吶蒙古呼倫貝爾?階段練習）關于非零向量彳，b,下列命題中，正確

的是（）

A.若同=忖，則乙=5B.若萬=-5,則1//B

C.若Z//B,bl1c,則口分D.若同＞M，貝!|4＞方

3模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學業考試）下列量中是向量的為（）

A.功B.距離C.拉力D.質量

2.（2024高三?全國?專題練習）下面命題中，正確的是（）

A.若同=w，則辦=5B.若同〉問，貝L＞BC.^a=-b，則彳//方D.若

14=0,則1=0

3.（24-25高二下?全國?課后作業）給出下列命題：

①若空間向量。，方滿足|菊=歷|,則才=方;

②在正方體ABCD-ABCQI中，必有衣=襦；

③若空間向量扇方忑滿足。=瓦5=己則丈=子.

其中假命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（23-24高一下?陜西咸陽?期中）已知四邊形A2CZ）中，AB=DC,并且|福卜|礪|,則四邊形ABCD是

（）

A.菱形B.正方形C.等腰梯形D.長方形

5.（24-25高二上?河南商丘?階段練習）給出下列命題：

①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；

②在正方體ABC。-中，必有AC=AG；

③若空間向量a,B,c滿足a=B,B=c,則￡=

④空間中任意兩個單位向量必相等；

其中假命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

6.（24-25高二上?全國?課后作業）下述四個結論中，所有正確結論的編號是（）

①零向量沒有方向；②向量的線性運算結果可以是實數；

③相等向量的方向相同；④與向量苕方向相反的向量，叫做萬的相反向量.

A.①②B.②③C.③D.③④

7.（23-24高一下?福建福州?期中）下列說法正確的是（）

A.若兩個非零向量而，方共線，則A及C,￡）必在同一直線上

B.若彳與5共線，石與忑共線，則不與也共線

C.若同=同則4乩

D.若非零向量血與麗是共線向量，則它們的夾角是0。或180。

8.（23-24高一下?吉林?期末）下列說法正確的是（）

A.平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；

B.若同=忖，則￡與5的長度相等且方向相同或相反；

C.若I4T同，且Z與B的方向相同，則￡=5

D.若京區，則Z與B方向相同或相反

二、多選題

9.（24-25高二上?云南昭通?期中）如圖，在菱形ABC。中，若4MB=120。，則以下說法中正確的是（）

A.而與歷不平行

B.麗的模恰為次模的6倍

C.與通的模相等的向量有9個（不含通）

D.與通相等的向量只有一個（不含而）

10.（24-25高一下?全國?課堂例題）（多選）下列命題中，正確的是（）

A.若Z與1同向,且則

B.若|3|=出|,則￡與B的長度相等且方向相同或相反

C.對于任意|Z|=|B|,且Z與B的方向相同，貝！］￡=石

D.所有的零向量都相等

三、填空題

11.（24-25高二上?全國?課后作業）給出下列命題：

①|。|=出I是向量％=b的必要不充分條件；

同=