熱點1-2不等式與復數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

1、近三年高考中，不等式是一個重點考查的知識復數的運算與不等式是常考點，預計在2025年的

點，主要涉及大小判斷、求最值和求最值范圍等問高考中仍將保持其重要地位，考查形式和難度可能

題。而基本不等式求最值是高考中的常考點，通常會與近幾年的趨勢保持一致.

出現在選擇題和填空題中，難度不大.（1）不等式主要考查基本不等式求最值、大小判

2、復數的代數運算、代數表示及其幾何意義是高斷，求取值范圍問題；

考的必考內容，題型多為選擇題或填空題，分值5（2）復數主要考查基本概念以及復數的代數運算，

分，考題難度為低檔.其中復數的除法運算、共軌復數及復數的幾何意義

是最可能出現的命題角度.

熱點題型解讀

題型1不等式性質及應用6、題型5基本不等式求最值

題型2—元二次不等式的解法題型6基本不等式恒成立問題

不等式與復數

題型3一元二次函數根的分布問題o-/\題型7復數的四則混合運算

題型4一元二次不等式恒成立問題題型8復數的幾何意義及應用

題型1不等式性質及應用

明確各個性質（對稱性、傳遞性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、可乘方性）中結；

i

論成立的前提條件，另外在使用不等式的性質時還需注意與作差法、作商法的結合使用.

1.（24-25高三上?陜西西安?月考）下列命題中，真命題的是（）

A.若a<b,貝U—>—B.若a>b,則

ab

__i_p_frClQ+C

C.右1Q>Z?>C>0,則----D.若0<a<b<c,則logc〃<logcb

bb+c

2.（24-25高三上?福建泉州?模擬預測）若實數a>>>0,則下列不等式不一定成立的是（）

11

A.0.3"<0.3"B.lg?>lgZ?C.------<------D.y/a>y[b

a-\b-1

3.（24-25高三上?河北石家莊?模擬預測）（多選）已知實數。，b,c滿足則下列選項正確的是

()

a+cabc

A.----->一B.lg—>0C.---->----D.〃+8H—?>25/2

b+cbb-ca-ba—cy/ab

4.（24-25高三上?湖北武漢?期中）若實數。"滿足-l<〃+b<3,2va-Z?v4,貝！J3〃+Z?的取值范圍為

題型2一元二次不等式的解法

1、解一元二次不等式的一般步驟

（1）化為標準式；（2）計算相應的判別式；（3）根據相應的一元二次方程的根的情況寫出解集.

2、解含參數的一元二次不等式，要把握好討論的層次，一般按下面次序進行討論：首先根據二次項系數

的符號進行分類，其次根據根是否存在，即△的符號進行分類，最后在根存在時，根據根的大小進行分類.

1.（23-24高三下?河北滄州?模擬預測）已知集合4={-1,1,2,3,5},8={也;"3彳-2>0},則AB=（）

A.{-1,3,5}B.{-1,2,3,5}C.{3,5}D.{2,3,5}

2.（24-25高三上?山東棗莊?月考）（多選）已知關于x的不等式加+6x+c>0的解集為{x|x<-2或x>3},

則下列選項中正確的是（）

A.a<0B.不等式bx+c>0的解集是{尤|尤<-6}

C.a+b+c>0D.不等式ex?+a<0的解集為卜Ix<或%>1

3.（24-25高三上?甘肅天水?月考）關于x的不等式d-（l+2a）x+2a<0的解集中恰有2個整數，則實數。的

取值范圍是.

4.（24-25高三上?廣東廣州?月考）（多選）已知不等式ox?+云+。<0的解集為（x：vx<>11,貝U（）

A.a>c>0B.b<—2。<0

—ci~\—Z?+c-2>-+t

42

題型3一元二次方程根的分布問題

一元二次方程根的分布問題主要有兩種：零分布與非零分布，零分布指的是方程的根相對于零的關系，非

；零分布指的是方程的兩根相對于左的關系，解決這類問題可根據方程的系數和判別式來確定方程根的性

:質和分布情況.

1.（24-25高三上?上海浦東新?期中）若關于x的一元二次方程2/一4》+m+3=0有兩個同號實根，則實數

加的取值范圍是.

2.（24-25高三上?北京?月考）已知方程呼+（2=-l）x+4-2m=0的兩根一個比2大另一個比2小,則實數加

的范圍是.

3.（23-24高三上?四川?月考）若關于x的方程/一2依+a+2=0在區間（-2,1）上有兩個不相等的實數解，則

。的取值范圍是（）

4.（23-24高三上.貴州?月考）（多選）已知一元二次方程尤加+3=0有兩個實數根三，％，且

0<x1<2<x2<4,則機的可能值為（）

A.-4B.-4.5C.-4.6D.-5

題型4一元二次不等式恒成立問題

100與j（

1、一元二次不等式在實數集上的恒成立

a=b=Ofa>0

（1）不等式。「一人+「.（I對任意實數l恒成立=或4

c>0|A<0

a=b=0fa<0

（2）不等式心一/，v十「（）對任意實數K恒成立=或1

Lc<0IA<0

2、一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題求解方法

:方法一：若八外>0在集合/中恒成立，即集合/是不等式/（n>o的解集的子集，可以先求解集，再

由子集的含義求解參數的值（或范圍）；

;方法二：轉化為函數值域問題，即已知函數/（"的值域為

則?\"恒成立=>MM2it,即〃）上u；/（r）“恒成立=??',?_u,即〃二u.

3、不等式能成立問題常常轉化為函數的最值來處理

（1）若存在*e[見，“，u>/（."有解今。n'I.,；

若對任意["7,，1<1>/（V）無解，，■，（，I.

（2）若存在.J。V./（K）有解=>,（、）一、；

\右對任意av/（x）無解/（K）z.

1.（24-25高三上?陜西咸陽?月考）若關于x的不等式尤2一公+2>。在區間[1,5]上有解，則a的取值范圍是（）

A.（2^^,+8）B.（-co,2后）C.（-oo,3）27、

D.

一8司

2.（24-25高三上?四川成都?月考）已知關于x的不等式加-2x+3a<0在（0,2]上有解，則實數。的取值范

圍是（）

A.（-ool）B/一哼C.（-oo,0]D.（-00,0）

3.（24-25高三上?天津?開學考試）若不等式/+辦+120對任意xe（0,；恒成立，貝匹的取值范圍是（）

A.[0,+oo）B.（-QO,-2]C.-J+00]D.（-oo,-3]

3

4.（24-25高三上?甘肅蘭州?月考）若不等式2履2+丘-3<0對一切實數x都成立，則左的取值范圍為

O

題型5基本不等式求最值

0O后?

在用基本不等式求函數的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.

①一正：各項均為正數；

②二定：含變數的各項的和或積必須有一個為定值；

③三相等：含變數的各項均相等，取得最值.

L⑵-24高三下海南?模擬預測）若正數a,6滿足加2.+力3,則仍的最小值為（）

A.3B.6C.9D.12

3?

2.（23-24高三下?湖北黃岡?一模）若機且淅+2〃-1=0,則一+—的最小值為（）

mn

A.20B.12C.16D.25

1213

3.（23-24高三下?河南信陽?模擬預測）a>0,b>0-+-=l則一\+1三的最小值為（）

ab9a—1b—2

A.6B.2上C.76D.6

4.（23-24高三下?湖南邵陽?三模）（多選）若正數%,>滿足2x+y=孫，則（）

A.xy<8B.8x+y>18

C-31>巫

x2廠2D-hQ

題型6基本不等式恒成立問題

\

;不等式恒成立問題的實質是已知不等式的解集求不等式中參數的取值范圍，在滿足條件的情況下可以把參1

:數分離出來.常見求解策略是將不等式恒成立問題轉化為最值問題，即yN相恒成立0ym1n2〃?；yV加恒j

成立oy1mxWm.但要注意函數中自變量的取值范圍，性質很難研究，就不要使用分離參數法.

1.（24-25高三上?江西上饒?月考）若不等式。在區間［0』上恒成立，則實數。的取值范圍是（）

4/-1

A.a<yp2—B.a<\C.a<—D.a<2\/2—

232

41

2.（24-25高三上?河北承德?月考）已知%>0,y>0,且％+y=5,若--+—1恒成立，則實數

x+1y+2

加的取值范圍是（）

（21（11（11z，

A.I-Q0,-B.1-00,—C.I-°o,-D.（一8,4|

3.（24-25高三上?湖南長沙?月考）已知九，>,a>0,且xH——H>8恒成立，則a的取值范圍是________.

xxy

4.（23-24高三下?浙江?二模）（多選）已知正實數。力,。，且1>。>。,羽丁/為自然數，則滿足

--+—?---->。恒成立的％，y*可以是（）

a—Db—cc—a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

題型7復數的四則混合運算

解決復數四則運算問題的思路：

ii

1、復數的加減法：實部與虛部相加減，虛部與虛部相加減分別作為結果的實部與虛部.把i看作字母，

II

’類比多項式加減法中的合并同類項；

.2、復數的乘法可以按照多項式的乘法計算，只是在結果中要將i2換成-1,并將實部、虛部分別合并.多;

II

:項式展開中的一些重要公式仍適用于復數，常用公式有（。+歷）（a-歷）=/+尸，

ii

（a±bi）2-a2-b~+2abi,（a±bi）3=a3-3ab2+（2a2b—b3）i.

；2、復數的除法法則在實際操作中不方便適用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實數化”的方法，即

將分子、分母同乘分母的共輾復數，使分母成為實數，再計算.

1.（23-24高三下?江蘇南京?期中）已知i為虛數單位，則（2+后）（2-/）=（）

A.5B.-1C.1D.7

2.（23-24高三下?浙江杭州?期中）已知復數2=魯，則同=（）

A.2B.1C.非D.與

3.⑵-24高三下?黑龍江哈爾濱?模擬預測汨知l-2i是關于復數z的方程z2-mz+n=O（m,neR）的一個根，

貝|〃1+九=（）

A.5B.6C.7D.8

4.（23-24高三下.江西新余.模擬預測）（多選）已知ZEC,1為z的共軌復數，則下列條件可判定zwR的

是：（）

Z_Z_

A.討=同B.z-z=O

2222

C.z-zD.z'Z=Z'Z

題型8復數的幾何意義及應用

1-4

1、復數的幾何意義

（1）任一個復數z=a+5（a,》GR）與復平面內的點Z（a,切是---對應的.

II

（2）一個復數2=。+歷（°,bGR）與復平面內的向量應=（a,b）是---■對應的.

2、與復數模有關的最值問題

（1）求復數在復平面內對應點的集合表示的圖形時，常用的方法是通過化簡得到關于復數模的最簡等式：

ii

或不等式，然后根據復數的模的幾何意義直接判斷圖形的形狀.

II

（2）復數的幾何意義是復平面內兩點之間的距離公式,若2=X+yi,則|z-（a+兒）|表示復平面內點（x,y）

與點（a,b）之間的距離，則|z-（a+6i）|=??"表示以（a,b）為圓心，以r為半徑的圓上的點.

1.（24-25高三上?天津?月考）已知復數z=i（l+i）（其中i為虛數單位），則復數z的點的坐標所在象限為（）

A.-B.二C.三D.四

21

2.（23-24高三下?陜西銅川?模擬預測）若復數z=i*+29i，則復數z在復平面內對應的點位于（）

1+i23

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（23-24高三下.安徽.模擬預測）若zeC,i為虛數單位，|z+2i-l|=l,則|z-i|的最大值為（）

A.2B.J1Q-1C.4D.V10+1

4.（23-24高三下?廣西?模擬預測）（多選）復數z=x+yi（尤,yeR,i為虛數單位）在復平面內內對應點Z（x,y）,

則下列為真命題的是（）

A.若|z+l|=|z-1],則點Z在圓上

B.若|z-l|+|z+l|=4,則點Z在橢圓上

C.若|z+l|-|z-1=2,則點Z在雙曲線上

D.若k+l|=|z-l|,則點Z在拋物線上

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

1.（23-24高三下?浙江溫州?模擬預測）設集合4={無力龍2-3》-440},B={x||x+l|<1},則A|B=（）

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.{0,1,2}D.{0,1}

2.（23-24高三上?湖北荊門?月考）已知復數z在復平面內的對應點為（1,1）,貝Uz+工的虛部為（）

Z

A.-iB.一C.；D.—i

2222

3.（23-24高三下?山東?二模）若則下列不等式成立的是（）

1111

A.01VbiB.a+b<b+cC.—<-D.rr<777

ab\a\例

4.（23-24高三下?新疆?二模）已知復數z滿足z+彳=4,且z—2=2i,則|z|=（）

A.72B.73C.2D.百

5.（23-24高三下?安徽?三模）已知x>0,>>0,且2x+y=l,則工±1的最小值為（）

xy

A.4B.4^/2C.4A/2+1D.2V2+I

6.（23-24高三下.山東煙臺.三模）若復數z滿足忖=|z-2-2i|,則忖的最小值為（）

A.1B.亞C.百D.2

7.（24-25高三上?福建廈門?月考）對任意的實數機e[。,2],不等式（x-2）（x-3+〃z）>0恒成立，則x的取值

范圍是（）

A.x<l或光>3B.%<1或x>2C.xv2或x>3D.R

19

8.（24-25高三上?湖南平江?開學考試）設正數。，b滿足一+：=1,若不等式〃+。之—/+4%+18—相對任意

ab

實數%恒成立，則實數機的取值范圍是（）

A.m>3B.m<3C.m<6D.m>6

9.（24-25高三上?云南德宏?月考）（多選）設4，Z2為復數，則下列說法中正確的有（）

A.若馬=4+為，z2=c+di,其中。，b,c,JGR,且b>d,則zpz2

B.若療-3帆+2+（療-l）i（meR）為純虛數，則根=2

C.若關于龍的方程f+px+q=。，p,"R的一個虛根為2i—1,則p+q=-5

D.若Z]=-l+2i,Z2=3+4i,則復數4-Z2在復平面內對應的點位于第三象限

10.（23-24高三下?遼寧?模擬預測）（多選）已知。>0,b>0,a+b=2f貝!J