專題12數列不等式放縮技巧

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

rn占nt口馬囪.田姓己I白吉q

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................6

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：先求和后放縮8

題型二：裂項放縮10

題型三：等比放縮12

題型四：￡@<(>)/(")型不等式的證明14

i=\

題型五：立4<(?/(?)型不等式的證明15

4=1

題型六：fq<(>)6型不等式的證明17

Z=1

題型七：在4<(>)b型不等式的證明19

Z=1

重難點突破：利用遞推關系進行放縮21

差情;奏汨?日標旦祐

數列放縮技巧是高考數學中的核心考點，尤其在數列與不等式相結合的復雜問題中更為凸顯。當前，

這類問題的難度已趨于穩定，保持在中等偏難水平。解題時，關鍵在于對數列通項公式的靈活處理，特別

是通過巧妙的變形來接近那些具有明確求和公式的數列類型。在此過程中，向可裂項相消的數列和等比數

列靠攏，成為了放縮策略中的高級且有效的手段。

考點要求目標要求考題統計考情分析

預測2025年高考數學

試題趨勢，多以解答題形式

出現，具體估計為：（D在

導數題目的壓軸環節，第二

問極有可能涉及利用導數

理論進行數列不等式的證

明，此類型問題預計將具備

2023年n卷第18題，12分較高的思維難度與解題復

2022年I卷第17題，10分

掌握技巧，提升解雜度，對考生的邏輯推理與

數列不等式2021年乙卷第19題，12分

題能力數學分析能力提出嚴峻挑

2021年II卷第17題，10分

戰。（）至于數列解答題部

2021年浙江卷第20題，15分2

分，其第二問預計將以中等

偏上的難度水平出現，該題

預計將融合多個知識點，構

成一道綜合性較強的題目，

旨在全面考察考生對數列

知識的深入理解及靈活運

用能力。

匐2

〃用識導圖?思維引航\\

知識揄理?方法技巧

常見放縮公式:

11

(1)--------—(n>2)；

K(〃—1)〃n—1n

1111

(2)

〃(〃+1)nn+1

14411

(3)——-----<---------=2

22

幾24n4H-12n-l2〃+1

n\111

(4)------------,—<—v----------(r2);

r!(n-r)!nrr\r(r-l)7^4-

11<1+1+-^—+^—++1

(5)+<3；

n1x22x3

122

(6)=2^-y/n—l+6)(〃22)；

品\[n+y/nJn-1+G

122

(7)=2,^—y/n+{TI+1)；

Vn品+\fny/n+，n+\

1222A/2

(8)

yfnyjn+yfn1J2n—1+「2,+1

(9)(n>2)；

2〃T—12n-l

x/n+l—1

(10)

J〃+l+J〃-l

2金

(6+J〃T)

-2(-1-2

y/n-17n

----=---------<--------1------=2-----2--=-2------

2--1(1+1)--1C°+C\+C；-\〃5+1)nn+1

12"~11/一、

2n-1(2"T-1)(2〃-1)2"T-12n-1v7

2<1<2

(14)2(J〃+1—A/H)=2(6—Qn—l).

7?+i+6石石+&-1

（15）二項式定理

①由于2"-1=(1+1)"-1=(端+6；++C；)-1>C：+C；="(二1)(“N3),

于是“〈高=2

1_J_(?>3)

nn+\

@2">2n+l(n>3),

X=(1+1),!=C°+C*++￡'1+￡；>C：+2C：=2"+1；

2">n2+n+2(〃>5),

2"=(1+1)。=C：+C：+C；++Cf2+C；；-1+C；；>2C°+2C'+2C^=n2+n+2

(16)糖水不等式

>a>0,m>0,則旦土生〉區；^b>a>m>0,則a-m

b+mbb-m

0

〃真題班拚精御皿\\

1.（2023年天津高考數學真題）已知｛叫是等差數列，a2+a5=16,a5-a3=4.

2n-l

⑴求也,｝的通項公式和

i=2n-x

⑵設圾｝是等比數列，且對任意的人eN*,當214〃42、1時，則bk<an<bk+l,

kk

（I）當上22時，求證：2-l<bk<2+l.

（H）求也｝的通項公式及前九項和.

2.（2022年新高考全國I卷數學真題）記5“為數列｛g｝的前〃項和，己知％是公差為3的等差數

列.

⑴求｛〃“｝的通項公式;

111c

(2)證明：一+—+-+—<2

qa2an

3.（2021年天津高考數學試題）已知｛即｝是公差為2的等差數列，其前8項和為64.｛如｝是公比大于。的

等比數列，4也-用=48.

（I）求｛%｝和｛匕｝的通項公式;

1*

（II）記c〃=b2n十大幾wN

bn

（i）證明歸-%｝是等比數列；

(ii)證明tJ孚

k=iyck~c2k

4.（2021年浙江省高考數學試題）己知數列「｛%、｝的前〃項和為九%=，9，且4S"M=3S”-9.

（1）求數列｛4｝的通項；

（2）設數列他,｝滿足3d+（w-4）a“=0SeN*）,記｛么｝的前〃項和為看,若（《獨，對任意〃eN*恒成立,

求實數幾的取值范圍.

5.（2020年浙江省高考數學試卷）已知數列｛即｝,｛m｝,｛⑺中,

?i=4=9=1，%=。“+1一氏，%+1=｝，c”（neN"）.

2+2

（I）若數列｛加｝為等比數列，且公比q〉0,且偽+d=64，求4與｛所｝的通項公式；

（H）若數列｛加｝為等差數列，且公差］〉0,證明：C1+c2++q,<l+L.（〃eN*）

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：先求和后放縮

【典例1-1】(2024?高三?遼寧大連?期中)已知｛?！埃那皐項和為"，4=2,且滿足,現有以下條件:

-4〃+1_A一

①2q+2%2+2%3H-----—-—;②3二？〃“-2；③S〃+i-2S〃=2

請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題:

⑴求數列｛%｝的通項公式；

2n+l3

⑵若包="log?一,求的前〃項和小并證明：-^,<1.

【典例1-2］已知數列｛〃“｝滿足：｛。“+%+|｝是公差為6的等差數列，｛q+%+|+q+2｝是公差為9的等差數歹|,

且弓=1.

(1)證明：｛%｝是等差數列；

⑵設6是方程2/+3犬-2=0的根，數列付”｝的前〃項和為S“，證明：S,<|.

先求和后放縮方法是一種處理數列不等式問題的有效策略。其核心思路在于，首先通過求和將數列的

項合并，簡化問題形式；接著，在求和的基礎上進行適當的放縮，即利用不等式的性質對求和結果進行放

大或縮小，從而更便于進行后續的比較和推導。

【變式1-2］已知數列｛%｝滿足q=2,。用=2”“-〃+1.記￡=%-〃.

⑴證明：數列｛〃｝為等比數列；

(2)求數列件｝的前〃項和S"；

b?

(3)若%=二：，數列｛%｝的前"項和為1,，求證：

【變式1-3】已知在數列｛%｝中，％=4〃],且當〃之2時，%=3%_i+2.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵設么=絲2，數列出｝的前〃項和為九證明：S“<"

anan+\4

命題預測

1.設數列｛4｝的前〃項和為S".若對任意的正整數"，總存在正整數加，使得s“=m，則稱｛(｝是數

列

f2,M=1X

⑴若4=23〃>2'判斷數列(｛%｝是否是“H數列”；

(2)設口｝是等差數列，其首項仇=1,公差deN*,且也｝是“H數列”，

①求d的值；

②設c,=(-D"4(：”；〃，名為數列｛%｝的前“項和，證明：

題型二：裂項放縮

【典例2-1］已知數列｛%｝的首項為1,其前〃項和為S,,等比數列也｝是首項為1的遞增數列，若

3nan+1-6Sn=〃(〃+1)(〃+2),84+2%=功.

⑴求數列｛??｝和也｝的通項公式；

1111c

(2)證明：—+—+—+-+—<2；

G/2

(3)求使得為上勿成立的最大整數”.

2

【典例2-2］數列｛風｝中，4=1,an+l=2an-n+3n,(〃eN*).

(1)試求力、〃的值，使得數歹!)｛4+力12+〃〃｝為等比數列；

⑵設數列｛2｝滿足：bn=°+3-,S“為數列也｝的前w項和，證明：時，(“+：；“+］)<S“<?

放縮方法是一種處理數列求和及不等式證明的技巧。其核心在于將數列的通項進行裂項，即將其拆分

為兩部分或多部分，以便更容易地觀察其規律或進行放縮。

在裂項后，我們可以根據不等式的需要，對拆分后的項進行適當的放大或縮小。這種放縮通常基于數

列的單調性、有界性或其他已知性質。

裂項放縮方法的關鍵在于準確裂項和合理放縮，它能夠幫助我們簡化問題，揭示數列的內在規律，從

而更輕松地證明數列不等式。

【變式2-11已知正項數列｛%｝滿足q=1,g=2,且對于任意〃N*,滿足

(1)求出數列｛%｝的通項公式；

(2)設a==，證明：數列也,｝的前〃項和

an3

n(1][11

⑶設s“=￡----------,證明：s?<-.

i=o\a3k+la3k+2J1d

【變式2-2]已知數列｛%｝的前〃項和為S“，2s“=("+1)%，且%=3.

⑴求；

⑵若從數列中刪除｛%｝中的項，余下的數組成數列｛2｝.

①求數列j4的前"項和T?；

也也,+iJ

②若配成等比數列，記數列的前〃項和為4,證明：4<1-

[命題預測1

1.已知數列出｝的前“項和為S,,且池+32為+...+3*“=S,+〃2.

(1)求數列也｝的通項公式；

4

(2)證明：S?<-.

題型三：等比放縮

【典例3-1】已知數列以｝滿足％=3,“用=鏟"為奇數(?eN*).

a〃一3n,幾為偶數

3

⑴記5(〃eN*),證明：數列｛2｝為等比數列，并求｛么｝的通項公式；

(2)求數列｛乙｝的前2〃項和S2n；

2h-13〃

(3)設孰=寶-(〃eN*),且數列｛&｝的前〃項和為，，求證：T-n<ln---------1(neN*).

2%-13〃-1

【典例3-2］已知數列｛%｝和也｝滿足44包=4+2,q=?,-^—=bn-^.

7乙J

⑴證明：也｝是等比數列；

⑵設Vlog4M.面%/求數列｛七｝的前"項和S"；

(3)證明：(―l)q+(—1)%+(—1)4++(—1)an<1.

Hl

等比放縮方法是一種處理數列不等式問題的有效技巧。其核心思想在于，通過觀察數列的項與項之間

的關系，發現其等比規律，并利用這一規律對數列的項進行適當的放大或縮小。

在具體應用時，我們可以根據數列的等比性質，選擇一個合適的等比數列作為放縮的基準，然后對原

數列的每一項都按照這個等比數列進行放縮。這種方法的關鍵在于準確把握等比數列的性質，以及合理確

定放縮的倍數，從而確保放縮后的不等式仍然成立。

【變式3-1］數列｛4｝是等差數列，數列也｝是等比數列，滿足：％+4=8,%+仇=18,

。+。=30,6%產%2+9?！?

⑴求數列｛%｝和圾｝的通項公式；

⑵數列｛4｝和伊“｝的公共項組成的數列記為｛g｝，求｛6｝的通項公式;

9

(3)記數列］的前，項和為S“，證明:S<

8-

【變式3-2］已知數列—｝的前〃項和為若4=1,且滿足S“=%+2a,i(?>3).

(1)求數列｛%｝的通項公式；

11113

(2)證明：三+六+g廠+…+二

31Zd23d3nbn2

I命題預測、

1.已知數列｛%｝的前〃項和為S“，且45“=%+3.

⑴求S.；

(2)^(1+S2?)C?+52?=1,記數列｛5｝的前〃項和為。“，求證：y<e?<y+-^.

題型四：z?,<(>)/(?)型不等式的證明

Z=1

【典例4-1】已知函數〃x)=xeT.

(1)若0cx<1,證明：I”(1+：)<<(x)<］n(1+x)；

⑵記數列｛%｝的前〃項和為S“.

e

⑴若見=〃")，證明：S“<Q了.

(ii)已知函數g(x)=3x-l+ln(〃x)),若%+i=g(%),4=3,o?>l,證明：S?<3"+n-l.

【典例4-2］數列｛4｝的前幾項和為S,,滿足S,”i=2S“+”+l且首項q=1.

(1)證明：數列｛%+1｝為等比數列，并求出數列｛%｝的通項公式％;

(2)令/(工)=0］》+%/++%%",〃€此討論尸⑴(尸(X)為了(X)的導數)與7"的大小關系.

通項分析法進行放縮

【變式4-1】已知函數〃x)=ln(依+1)T在點(0,0)處的切線與x軸重合.

(1)求函數〃尤)的單調區間與極值；

(2)已知正項數列｛%｝滿足q=1,4+1=ln(fl?+1),〃eN*,記數歹U｛叫的前"項和為Sn,求證：S“>In(〃+1).

【變式4-2］已知函數/(x)=(x+l)lnx-(m+l)x+2,〃zeR.

⑴當機=1時，求/(X)的單調區間；

(2)若對任意xe(l,+8),都有/(x)+5>0恒成立，求機的最大整數值;

(3)對于任意的“?N*,證明：-+-++^L<史也M.

374/z-l4

［命題預測J

1.柯西不等式是數學家柯西在研究數學分析中的“流數”問題時得到的，其形式為：

(?i2+?；++叫(廳+￡++幻占+地++岫］，等號成立條件為空=￡=L=，*或

%也,i=1,2,3,…，打至少看一方全為0.柯西不等式用處很廣，高中階段常用來計算或證明表達式的最值問

題.已知數列｛4｝滿足％=；，4+1=(〃eN*).

(1)證明：數列1上］為等差數列，并求數列｛見｝的通項公式；

(2)證明：——--1--------F-H———］<lnj2〃+l.

21%+凡a2+an_x

題型五：立4<(>)/(?)型不等式的證明

Z=1

■az■—t乙r蟲心c/、1+ln(l+x)/、m/八、

【典例5-1】已知函數/(x)=---------,g(尤)=—；(mcR).

Xx+1

(1)判斷函數/(x)在(0,+8)上的單調性;

(2)若/(x)>g(x)在(0,+8)上恒成立，求整數機的最大值.

(3)求證：(1+1X2)(1+2X3)…口+〃5+1)］>62"-3(其中6為自然對數的底數).

【典例5-2】(2024?遼寧大連?一模)已知函數/")=lnx-史^^+2?

(1)若函數/(尤)在點(1,/。))處的切線在兩坐標軸上截距相等，求人的值；

(2)(i)當x>l時，尤)>0恒成立，求正整數%的最大值；

(ii)記%=(l+lx2)(l+2x3)11+("-1問，,=MN,且“22.試比較。，與”的大小并說明理

由.

通項分析法進行放縮

【變式5-1］設數列｛4｝的前〃項和為S,,且3a“=2(S,+2〃)，?eN*.

⑴證明：數列｛%+2｝是等比數列，并求｛4｝的通項公式；

⑵設么=log,證明:1+^—＞業2向?

ITbj

【變式5-2］伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數學家伯努利發現并提出.?伯努利不等式在證明數列

極限、函數的單調性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應用.?伯努利不等式的一種常見形式

為：

當時，(1+xY>1+axf當且僅當a=l或％=0時取等號.

⑴假設某地區現有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.2%,以此增長率為依據，試判斷6年后該地區

人口的估計值是否能超過107萬？

_n__n_

(2)數學上常用口?表示卬，出，L,?！暗某朔e，口G=?！竒a?,weN*.

1=11=1

(ii)已知直線y=〃x)與函數y=ln(x+l)的圖象在坐標原點處相切，數歹!]｛%｝,｛2｝滿足：a?=f(n),

么=區電產L'證明：1+6”++以(而工L

命題預測

1.已知數列｛%｝滿足％=1,且a〃+i=端-砌“+〃+1,neN*.

⑴計算〃2，〃3；

(2)求猜測｛〃〃｝的通項公式，并證明;

(3)設么=,問是否存在使不等式+…1+；之。,2〃+1對一切〃22且幾金N*均成立的

I4人\)I\)

最大整數。，若存在請求出，若不存在，請說明理由.

題型六：f”(>M型不等式的證明

Z=1

2

【典例6-11在各項均為正數的數列｛。"｝中，4=2,a2=16,an+xan_x=4a?(n>l).

(1)證明數列

⑵若bn=2+(2亞羨+1)?In3，記數列也｝的前〃項和為S..

(i)求s“；(ii)證明：S?>-1.

【典例6-2】已知函數〃x)=xTn(x+a)的最小值為0,其中a>0.

⑴求。的值；

⑵若對任意的xe［0,+?),有/(x)(小成立，求實數上的最小值；

n2

(3)證明：--ln(2?+l)<2neN*.

i=\2l—l

構造函數進行放縮

【變式6-1］已知數列｛4｝是公比大于0的等比數列，q=4,%=64.數列也J滿足：b?=a2?+—(?eN*).

an

⑴求數列也J的通項公式；

(2)證明：花-%,｝是等比數列；

(3)證明：g+及(*eN*).

"Vbk一般

【變式6-2］已知數列｛%｝,S“為數列｛%｝的前"項和,且滿足q=1,3s,=(〃+2)%.

(1)求｛4“｝的通項公式；

11111

⑵證明：—+—+—++—<-.

出。4%2

命題預測

1.已知函數/(%)=sinx—x+'％3.

6

⑴證明：對封^￡[0,+8),/(%)20恒成立；

1113

(2)是否存在〃GN*,使得ln2<sinEa+smi7+???+sm丁右成立？請說明理由.

1XjZX471十4

題型七：口”,<(>)6型不等式的證明

i=\

【典例7-1】已知函數〃x)=x-l—左Inx?wO.

(1)當左=2時，求曲線“X)在尤=1處的切線方程;

(2)若〃力20,求上的值；

1+5■卜機，求機的最小值.

(3)設機為整數，且對于任意正整數外

【典例7-2】已知函數/(尤)=ln(x+l)-x.

(1)求/(x)的最大值；

(2)設g(x)=/(x)-冰2(。20),/是曲線丫=8(刈的一條切線，證明：曲線y=g(x)上的任意一點都不可能

在直線/的上方;

2482〃

⑶求證：(1+汨)4+而)《+*)叱尸……(其中e為自然對數的底數，〃N*).

巧

構造函數進行放縮

【變式7-1】已知函數〃x)="2+ln(x+l).

⑴當。=-;時，求函數的單調區間；

(2)當xe[O,y)時，不等式恒成立，求實數。的取值范圍.

〃13

27

(3)求證:1+<e(neN,,e是自然對數的底數).

【變式7-2】已知函數〃x)=e=g62一尤.

(1)若/⑴在xeR上單調遞增，求。的值；

(2)證明：(l+l)(l+-)--(l+4)<e2(〃eN*且”22).

4n

［命題預測31

1.己知函數/(刈=二^,/(I)=1,/fl"l=l.令尤1=4，%+1=/(%).