專題09三角函數的圖象與性質的綜合應用

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

m占nt口馬囪.田攤己I白?rq

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................6

05核心精講?題型突破...........................................................13

題型一：齊次化模型13

題型二：輔助角與最值問題15

題型三：與三角函數有關的最值問題18

題型四：絕對值與三角函數綜合模型24

題型五：三角函數的綜合性質28

題型六：換元法配湊角34

題型七：三倍角公式36

重難點突破：3的取值與范圍問題40

差情;奏汨?日標旦祐

三角函數的圖象與性質在高考中占據重要地位，是考查的重點和熱點。高考對這部分內容的考查主要

集中在兩個方面：

1、三角函數的圖象方面，這包括圖象的變換問題以及根據圖象來確定三角函數的解析式。這類問題通

常以選擇題和填空題的形式出現，考查學生對圖象變換和解析式確定的理解和掌握。

2、三角函數的性質應用方面，這涉及利用三角函數的性質來求解三角函數的值、參數、最值、值域以

及單調區間等問題。這類問題通常以解答題的形式出現，要求學生能夠靈活運用三角函數的性質來解決問

題。

此外，三角恒等變換的求值和化簡也是高考命題的熱點之一。這部分內容既可以單獨命題，以選擇題

或填空題的形式呈現，難度相對較低；也可以作為工具，與三角函數及解三角形相結合，求解最值、范圍

等問題，這時多以解答題的形式出現，難度適中。

考點要求目標要求考題統計考情分析

2024年甲卷第8題，5分

同角三角函數基本關理解同角關系，熟2023年甲卷第7題，5分

系式練運用解題2023年乙卷第14題，5分2025年高考三角函數考

2021年I卷第6題，5分查重點：一是同角三角函數基

2024年I卷第4題，5分本關系及誘導公式，需復習三

2024年H卷第13題，5分

角函數定義，題型為選擇或填

2024年北京卷第12題，5分

掌握恒等變換，提空，難度適中；二是三角恒等

2023年H卷第7題，5分

三角恒等變換高解題技巧與靈變換，注重公式變形、應用及

2023年I卷第8題，5分

活性

2022年H卷第6題，5分最值問題，同樣以選擇或填空

2022年浙江卷第13題，6分形式出現，難度為基礎至中

2021年甲卷第9題，5分檔；三是三角函數的圖像、性

年卷第題，分

2024I75質及變換，組合考查為熱點，

2024年II卷第6、9題，11分

題型靈活，既可為基礎或中檔

2024年天津卷第7題，5分

題，也可能成為壓軸題。考生

理解三角圖像性2024年北京卷第6題，5分

三角函數的圖像與性需全面掌握三角函數相關知

質，提升函數應用2023年天津卷第5題，5分

質

能力2023年甲卷第10題，5分識，靈活運用，以應對高考挑

2023年乙卷第6題，5分戰。

2023年I卷第15題，5分

2023年H卷第16題，5分

㈤3

1、三角函數圖象的變換

（1））7=sinx的圖象變換為y=Asin（0x+0）（A>0,口>0）的圖象主要有如下兩種方法:

方法1方法2

間出產sinx的圖象畫出產sinx的圖象

向左（9>0）或

向右S<0）平移SI個單位長度-橫坐標變為原來的表（倍）

步

得到尸$in（x+0）的圖象驟f得到尸sin3r的圖象

2向左3>0）或平移

橫坐標變為原來的』（倍），寫個單位長度

一向右“<0）

步

|得到產sin（3+p）的圖象卜~驟―?|得到尸sin（@x+@）的圖象

3

_

縱坐標變為原來的4倍）縱坐標變為原來的/（倍）

一

卜導到產（。）的圖象步得到產然汨（加葉的圖象|

4sinor+驟0）

4

_

（2）平移變換

函數圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對九作的變換;

（3）伸縮變換

①沿X軸伸縮時，橫坐標X伸長（0<0<1）或縮短3>1）為原來的_1（倍）（縱坐標y不變）;

CD

②沿y軸伸縮時，縱坐標y伸長（A>1）或縮短（OvA<1）為原來的A（倍）（橫坐標x不變）.

（4）注意平移前后兩個函數的名稱是否一致，若不一致，應用誘導公式化為同名函數再平移.

2、三角函數的單調性

（1）三角函數的單調區間

y=sinx的單調遞增區間是2左兀一］,2%兀+三（ZEZ）,

單調遞減區間是2%兀十二,2%兀+空（2￡Z）;

L22J

y=cosx的單調遞增區間是［2左兀-冗,24兀］（keZ），

單調遞減區間是［2左九,2左冗+冗］（左￡Z）;

y=tanx的單調遞增區間是［左兀一左兀+（kGZ）.

（2）三角函數的單調性有時也要結合具體的函數圖象如結合y=|sinx|,y=sin|x|,

y=|cosx|，y=cos|x|=cosx的圖象進行判斷會很快得到正確答案.

3、求三角函數最值的基本思路

（1）將問題化為y=Asin（*+e）+B的形式，結合三角函數的圖象和性質求解.

（2）將問題化為關于sinx或cosx的二次函數的形式，借助二次函數的圖象和性質求解.

（3）利用導數判斷單調性從而求解.

4、對稱性及周期性常用結論

（1）對稱與周期的關系

正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中

心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.

（2）與三角函數的奇偶性相關的結論

若y=Asin（5+°）為偶函數，貝!I有°=左兀+］（%eZ）;若為奇函數，則有左兀（左eZ）.

若y=Acos（a）尤+。）為偶函數，則有e=左兀（AeZ）;若為奇函數，則有夕=左兀+］（左eZ）.

若y=Atan（ox+e）為奇函數，則有夕=々兀（左eZ）.

5、已知三角函數的單調區間求參數取值范刪的三種方法

（1）子集法：求出原函數相應的單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式（組）求解.

（2）反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正弦、余弦函數的某個單調區間的

子集，列不等式（組）求解.

（3）周期性：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過,個周期列不等式（組）求解.

4

0

心真題砒標?精御皿\\

.COS。rrEI，71

1.（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知------；—=<3,貝UtanOf+~

cosa-sma

「V3

A.2A/3+1B.273-1D.1-5/3

2

?e、rcosa；

【解析】因為-------：—=。r3,

cosa-sma

所以「二一A/3,=z>tana=l-^-,

1-tana3

所以tan(a+?J=^±1=273-1,

1-tana

故選：B.

2.（2024年北京高考數學真題）設函數f（x）=sin&x（0>O）.已知/（玉）=-1,/每）=1,且1-蒼|的最小

值為則。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意可知:4為了（%）的最小值點，/為/（%）的最大值點,

則卜721m=「：，

nl即7=兀，

9IT

且G〉0,所以刃=7=2.

故選：B.

3.（2024年天津高考數學真題）已知函數〃x）=3sii.n[ox+]（。>0）的最小正周期為無.則/⑺在區間

TTTT

上的最小值是（）

12o

b-4D-i

A.C.0

2

【答案】D

【解析】因為函數/（X）的最小正周期為兀，則7=1=兀，所以。=2,

.(c711,兀兀1c兀71兀712兀

即/(x)=3i，sin2x+§,當xe時，2尤-,

336'y3

所以當2尤+巴=工，即》=一2時，f(x\=3sin工=3

3612v7nun62

故選：D

4.(2024年新課標全國II卷數學真題)設函數f(x)=a(x+l)2-l,g(x)=cosx+2ox,當xc(-l,l)時，曲

線y=/(x)與y=g(x)恰有一個交點，貝|］。=()

A.-1B.yC.1D.2

【答案】D

【解析】解法一：令〃x)=g(x),Bpa(x+l)2-l=cosx+2ox,可得依2+a-l=cosx,

令尸(了)=依2+￡7-l,G(X)=COSX,

原題意等價于當xe(-1,1)時，曲線y=歹⑴與y=G(x)恰有一個交點，

注意到尸(x),G(x)均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，

可得尸(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,

若4=2,令尸(x)=G(x),可得2/+1—cos%=0

因為xe(—1,1),貝U2X2?0,1-COSX20,當且僅當x=0時，等號成立，

可得2/+1-cosxNO,當且僅當x=0時，等號成立，

則方程2尤2+1一cosx=0有且僅有一個實根0,即曲線y=尸(x)與y=G(x)恰有一個交點，

所以。=2符合題意；

綜上所述：4=2.

解法二：令/z(x)=/(x)—g(x)=ax2+a-l-cos;v,xe(-l,l),

原題意等價于Mx)有且僅有一個零點，

因為力(—x)=a(—%)2+a—1—cos(—x)=ar2+a—1—cosx=%⑺，

則h(x)為偶函數，

根據偶函數的對稱性可知h(x)的零點只能為0，

即/2(0)=a—2=0,解得a=2,

若a=2,則/z(x)=2x2+1-COSX,XG(-1,1),

又因為2x?20,1-cosxNO當且僅當x=0時，等號成立，

可得/2(X)N0,當且僅當x=0時，等號成立，

即Mx)有且僅有一個零點0,所以。=2符合題意；

故選：D.

5.(2024年新課標全國I卷數學真題)當行[0,2加時,曲線y=sin尤與y=的交點個數為()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因為函數丫=sin龍的最小正周期為7=2元,

函數y=2sin(3x-胃的最小正周期為T=g,

所以在xe[0,2對上函數'=2$穴3苫-"有三個周期的圖象,

在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示:

6.(2024年新課標全國I卷數學真題)已知《?3+0=〃?,1211￡13116=2,則cos(a-#)=()

"2m

A.—3ntB.-----C.一D.3機

33

【答案】A

【解析】因為cos(a+/7)=加，所以cosacosP一sinasin笈="，

而tanatan/?=2,所以sinasin尸=2cosacos尸,

故cos。cos尸一2cosacos尸=機即cosacos/3=—m,

從而sinasin4=-2m,故cos(a-7?)=-3根，

故選：A.

Jr

7.(多選題)(2024年新課標全國II卷數學真題)對于函數/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-]),下列說法中

正確的有()

A./(》)與g(x)有相同的零點B.與g(x)有相同的最大值

C.f(x)與g。)有相同的最小正周期D./(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸

【答案】BC

【解析】A選項，令/(x)=sin2x=0,解得x=即為/(x)零點，

令gQ)=sin(2x-?)=0,解得x="+g,A:eZ,即為8(元)零點，

428

顯然/(x)，g。)零點不同，A選項錯誤；

B選項，顯然“x)max=g(x)1mx=1,B選項正確；

2兀

C選項，根據周期公式，/(x),g(x)的周期均為于=兀，C選項正確；

D選項，根據正弦函數的性質/(x)的對稱軸滿足2x=far+Wox="+r?eZ,

g(x)的對稱軸滿足=E+=￡+■，左eZ,

顯然/(x)，g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.

故選：BC

8.(2024年北京高考數學真題)在平面直角坐標系x0y中，角a與角月均以3為始邊，它們的終邊關于原

兀71

點對稱.若ae,貝"os。的最大值為______.

o3_

【答案】-1/-0.5

[解析】由題意P=a+n+2kn,kGZ,從而cos(3=cos(a+兀+2E)=—cosa,

因為所以cosa的取值范圍是,cos尸的取值范圍是,

_o3J2222

TTJT

當且僅當&=^,即夕=￡4+時，cos乃取得最大值，且最大值為一;1.

故答案為：

9.(2024年高考全國甲卷數學(文)真題)函數/(x)=sinx-石cosx在[0,可上的最大值是.

【答案】2

【解析】/(無)=sinx-6cos尤=2sin]x-3,當xe[0,可時，x-1-e，

當彳一色=四時，即關=至時，f(x\=2.

326v7mx

故答案為：2

10.(2024年新課標全國II卷數學真題)己知a為第一象限角，夕為第三象限角，tanc+tan6=4,

tanatan力=夜+1,貝!Jsin(a+(3)=.

【答案】-述

3

tana+tan夕4

由題意得tan（"+，）==-20

【解析】法一:1-tancrtan[3l-(72+l)

因為aw|2fai,2hi+曰)，,[2加兀+兀,2m7i+皇3兀)，k,nieZ,

2

則a+尸￡《2%i+2左）兀+兀,（2m+2左）兀+2兀），k,meZ,

又因為tan（a+尸）=一2日＜0,

貝lJa+/￡](2m+2%)兀+號](2m+2%)兀+2兀)，

k,meZ,則sin(a+〃)<0,

則:*J卜-2后,聯立sin2(a+0+cos2(a+P)=l,解得sin(c+〃)=一寺.

法二：因為。為第一象限角，夕為第三象限角，則cosa>0,cos/?<0.

cosa1ncos(3-1

cosa=ii,cosp=]=,

Vsin2cr+cos2avl+tan2a，sin[3+cos(3，l+tan[3

貝°sin(cr+￡)=sinacos)3+cosasin°=cosacos尸(tana+tanp)

“c-4-4-42返

—4cosctcosp——/-/=-/=-/.=---------

V1+tan26Z^/1+tan2/3^/(tana+tan/?)2+(tantan-1)2V42+23

故答案為：—也.

3

H.(2023年北京高考數學真題)已知命題P：若團尸為第一象限角，且。>/，貝hana>tan/.能說明p

為假命題的一組名￡的值為夕=,B=.

?小田、91171

【答案】--

【解析】因為〃x)=tanx在[。胃]上單調遞增，^0<?0</?0<1,則tan4<tan4，

取1=2｛兀+g,夕=2%兀+夕0,左&eZ,

貝I]tana=tan（2勺兀+%）=tan%,tan/?=tan（2k/+4）二面14，即tanavtan力，

令匕＞k2,則。一尸=（2匕兀+4）—（2右兀+4）=2化一%2）兀+（4—4）,

因為2（左1―網）兀22兀,一^＜%-&＜（）,貝I=2（左一左2）兀+（%—鳳）＞0,

即用〉化2,則a＞月.

不妨取％=1&=0,%=?&=卷，即1=事,』=三滿足題意.

?f....,,,、>97171

故答案為：——.

43

12.(2023年北京高考數學真題)設函數/(x)=sinscos夕+cosoxsin0.

(1)若f(0)=一烏求。的值.

(2)已知了直)在區間-爭三上單調遞增，/［三］=1，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇

一個作為已知，使函數/(x)存在，求公。的值.

條件①：

條件②：/f-jV-i；

jrIT

條件③：/(x)在區間-］，-§上單調遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

71

【解析】(1)因為/(x)=sin0xcos"+coss;sin9，G〉O,|o|<5

不

所以/(0)=sin(0?0)coscp+cos(0?0)sin夕=sin夕=一"-,

因為所以°=一三.

兀

(2)因為/(xXsinGxcoso+cosGxsinoMAOJoK,,

7T

所以/(尤)=sin(。龍+9),。>0,|夕|<5,所以/(x)的最大值為1,最小值為一1.

若選條件①：因為/(x)=sin(5+0)的最大值為1,最小值為-1,所以/［)=血無解，故條件①不能使

函數存在；

若選條件②：因為f(x)在上單調遞增，且/［g］=l,/「］=T

所以：=/一1一5)=兀,所以7=2兀,0=牛=1,

所以/(x)=sin(x+0),

又因為=，所以sin[-5+e]=-l,

TTIT

所以_§+。=_5+2版,左￡Z,

所以夕=-F+2E#eZ,因為|例＜三，所以夕=一^.

626

JT

所以0=1,?9=--;

6

7T27rJT7T

若選條件③：因為“X）在-了不上單調遞增，在一萬,-§上單調遞減,

所以“X）在*處取得最小值-1,

以下與條件②相同.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：齊次化模型

【典例1-1】（2024?高三?江西宜春?期末）已知sin2e+2gsin8cose+3cos2。=4,則tan6=（）

A.1B.一近C.2D

2-T

【答案】D

【解析】由題意若cos6=0,則sin8=±l,不符合題意,

sin*2^+2A/3sin^cos0+3cos2^tan28+2石tan8+3

所以sin2e+2A/^sin6cose+3cos之。==4,

sin20+cos20tan26^+1

即3tan"25an0+l=0，解得tan*走,

3

故選：D

【典例］（?高三.河北滄州?期中）已知則主文二智￡

1-22024tana=3,()

2cosa+3sina

A.A53

B.cD.

11n-H11

【答案】D

,,3cosa—2sina3-2tana_3-2x33

【解析】tana=3,故二-------—

2cosa+3sma2+3tana2+3x3TT

故選：D

巧

齊次分式：分子分母的正余弦次數相同，例如:

asma+6cosc(一次顯型齊次化)

csina+dcosa

asin2cir+/?cos2cr+csincrcoscr

或者asin?a+bcos2cr+csin2cos。=>（二次隱型齊次化）

sin2a+cos2a

這種類型題，分子分母同除以cos。（一次顯型）或者cos2。（二次隱型），構造成tana的代數式，這

個思想在圓錐曲線里面關于斜率問題處理也經常用到.

【變式（2。24?陜西安康?三模）已知tan"：'則盤■萬

A.6B.—D.2

6

【答案】C

rA77+r2sin3^+sin^cos2^

［角軍析］:——7-——~~西

cos夕+singeos0

_2tan3^+tan^

1+tang

43

2—4—1

1+32

12

故選：C.

則sin2a

【變式1-2］若tana=2,的值為（）

cos2a-sin?a

4244

A.——B.C.一D.

7397

【答案】A

【解析】因為tanc=2,

“…sin2a2sinacosa

月「以Q?~2―2丁^~2

cos2a-sinacoscz-2sina

2tana_2x2_4

-l-2tan2a-l-2x22-一7'

故選：A

命題預測二1

1.設ae（0,g],若tana=正，則,山2a=（）

I2J2cos2a-3

A.2萬B.72C.—gD.一比

4

【答案】D

【解析】解法一：因為tanc=g,

所以sina=——,即cosa=Vasina，

coscr2

又cos2cr=cos2。—sin2a,sin2a+cos2a=1,

sin2。2sinacosa2sinacosa2后sin2a

所以V2

cos2cr-3cos2a-sin2a_3cos2a-3sin2a-2cos2cr-4sin2cr-8sin2a4

sin2a2sinocostz2sinacosa_tan。

解法二:因為

cos2a-3cos2a-sin2a-3cos26f-3sin2a一2cos之。-4sin2a2tan2a+1

變

變

4

故選：D.

題型二：輔助角與最值問題

【典例2-1］若函數f(x)=sinx-3cos尤在》=七處取得最大值，貝！|tanxo=.

【答案】

【解析】因為/(%)=sinx—3cos%=

13

TVcos0=~,sin0=—.—,

貝tan。=3,

TT

當兄一6=2也+—,左wZ時，

2

即當無=2E+'+d,上eZ函數〃x)取最大值，最大值為歷，

JT

所以％o=2E+—+0,

一廣」(CT兀八、(兀八、cosg1

所以tan%=tan|2kjt+-+0=tan-+6?=---=

V2J12Jsin"3

故答案為：

【典例2-2】(2024?高三?江西萍鄉?期中)設0<e<g,Mcos+sin6)+(cos6)—sin=z/z(cos6)+sin6(+1)2,

則實數機的取值范圍是—.

3A/2-4,1

【答案】

cos+sin^+(cos0-sin0^(cos6+sin8)(cos6+sin6+1)-4cos6sin6

【解析】m=---------------------------~~L=----------------△-------------------&-----------------

(cos夕+sin8+1)(cos8+sin8+1)

令x=cose+sine,則x=版sin￡(L6］，且sincos0-~~~~，

2

m、j%(冗+1)-2(/—1)-X+X+22-X31

所以機=----------5-------=-----------廠=----=------1,

(x+l)(x+l)X+1%+1

因為〃X)=三-1是(1,&］上的減函數，所以機<〃1),

即me3夜-4,31.

故答案為：口后-4,￡|

第一類:(其中tane=2)

a

第二類：二次輔助角asincoxcoscox±bcos2cox^a,b>0)

21

asincoxcoscox±Z?cos2cox=］sin2cox±:(cos2cox+1)=y/a+bsin(2cox±夕)土:(tan(p=-)

2

【變式2”】(2024.高三.山東臨沂.期中)已知關于x的方程asinx+0+l)cosx+2b+2=。有解，則/+/的

最小值為.

3

【答案】7/0.75

【解析】由asin%+(b+l)cosx+2/?+2=亞~7^77了sin(x+0)+2/;+2=0,其中tan°="L

、-2b-2\2b+2\

.z,即|26+2|4荷+優+1)2,

則"+*FFF,可得后而廣

22

兩邊平方化簡可得3伍+1)2<々2,因止匕4+/>3^+1)+b=4/+66+3,

由4戶+66+3=4。+3]則。2+6223,當且僅當6=一。時，等號成立.

14)4444

3

故答案為：—.

4

【變式2-2】已知吧2=cos(a+￡),求tan"的最大值_______.

sina

【答案】亨

sinB

[解析】———=cos(a+/?),且cos+。)=cosacos0-sinasinj3,

sina

sin/?=sincrcosacos/?-sincrsincrsin/?,即sin方(1+sin2a)=gsin2。cosP

-sin26z

所以sin2asin2a

tan/3=2

1+sin2a2+2sin2a3-cos2a

、門sin2a

攻--------=￡=>sin2。+%cos2a=3t,

3—cos2a

由|3心戶-孝w4.

故皿的最大值為當

故答案為：f

命題預測.

1.［新考法］(2024?高三?江蘇蘇州?開學考試)設角a、￡均為銳角，貝"ina+sin尸+cos(a+/)的范圍

是.

【答案】

【解析】因為角〃均為銳角，所以sinacosa,sin，,cos/的范圍均為(0,1),

所以sin(a+/)=sincifcos[3+cosasm<sina+sin4，

所以sina+sin夕+cos(a+4)>sin(a+/)+cos(a+尸)=A/2sin[a+,

因為0<a<3,0<,0+〃+：<,，

所以及sin[a+/+：]>=

sina+sin4+cos(a+￡)=sina+sin尸+cosacos萬一sinasin/3

=(l-sin/?)sina+cosacos+sin/?<J(1-sin/?)2+cos2尸+sin4

=<^2(1-siny0)+sin6，

當且僅當。-sin/?)cosa=sinacos/7時取等，

令Jl-sin尸=t,G(0,1),sin/?=1-r2,

所以=^2(l-siny0)+sin2=-J2t+l-t2=-t-+^-<.

則sina+sin/?+cos(a+/7)的范圍是：H,-1.

故答案為：［1,|

題型三：與三角函數有關的最值問題

【典例3-1】已知函數〃x)=2sinx+sin2x,則〃x)的最小值是.

【答案】_迫

2

【解析】［方法一］:【通性通法】導數法

f\x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx—2

=2(cosx+1)?(2cosx-1).

令尸(x)>0,得cosx>；,即/(x)在區間。也-2,2配+三｝4€2)內單調遞增；

令r(x)<0,得cosx<5，即/(%)在區間［2E+］,2E+~yJ(壯Z)內單調遞減.

則"。加?=，2版-。=一竽.

故答案為：—更.

2

［方法二］:三元基本不等式的應用

因為/(%)=2sin%+2sin%cosx=2sinx(l+cosx),

223

所以產(%)=4sinx(l+cosx)=4(1-cosx)(l+cosx)

=j(3-3cosx)(l+cosx)(l+cosx)(l+cosx)

<4(3—3cosx)+(1+cosx)+(1+cosx)+(1+cosx)4_43Y27

-34-3X(2j

當且僅當3-3COSJV=1+COSX,即cos%=—時，取等號.

2

根據/(—?=—/(%)可知，A?是奇函數，于是/(元)￡—孚,孚，［/(')］.=—孚，此時

.V31

sinx=------,cosx=—?

22

故答案為：-一.

2

［方法三］:升塞公式十多元基本不等式

r,、?z-??A?"c2%

j(x)=sinx+sin2x=2sinx(l+cos%x)=4sin—cos—?2cos—,

/2(x)=64sin2,cos6^=64sin2Al-sin2,

_.4

3sMf+［l-sin2fHiTiWH-iW)］_幺

34-T

YYy1i——i27

當且僅當3sin2±=l-sin2土，即sin±=±—時，「產(處］.

2222LJmax4

3J33J3I3J3

根據/(—%)=—/(%)可知，/(x)是奇函數，于是/(%)￡—

故答案為：-巫.

2

［方法四］:化同角+多元基本不等式+放縮

/(x)=sinx+sin2x=2sinx(l+cosx)=4sincos］?2cos2

8ctan—%8tan—8tan—

__2_>.2236

->-

、2.2-2F,當且僅當tan22=Ltan2=—史時等

1+tan2鼻l+l+Ltan,土

12%42323

33324―Ytan—

332

號成立.

故答案為：一更.

2

［方法五］:萬能公式+換元+導數求最值

Of2

則，(尤)可化為、^2t1-t8t

g(f)=2x+2xx2

wl+tl+2r+/4

當r