絕密★啟用前

2025年高考數學模擬試卷03（全國卷文科）

詳細解析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4={1/6,84，B={l,a4},則滿足4口3=3的實數°的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

4+i

2.已知復數z=「,z的共軌復數為三，則z-z=()

1+1

A庖RU

C.4D.2

22

3.在AASC中，瓦5+2詼=6則（）

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

3355

C.AD=-AB+-ACD.AD=AB--AC

333

4.已知y（x）=￡1-siiu是偶函數，貝Ija=()

A.0B.1C.-1D-1

5.設見僅是兩個不同的平面，/,機是兩條直線，且相。.則尸”是“相//分”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.隨著國潮的興起，消費者對漢服的接受度日漸提高，數據顯示，目前中國大眾穿漢服的場景主要有漢服

活動、藝術拍攝、傳統節日、旅游觀光、舞臺表演、婚慶典禮6類，某自媒體博主準備從這6類場景中

選2類拍攝中國大眾穿漢服的照片，則漢服活動、旅游觀光這2類場景至少有1類場景被選中的概率為

()

7.已知一個三棱錐的三視圖如圖，正視圖為邊長為3的正方形，側視圖和俯視圖均為等腰直角三角形，則

此幾何體的外接球的表面積為（

A.6兀B.12兀C.177tD.27兀

8.已知點尸（-3,0）,點。在圓+上運動，若NQPO=a,貝han2tz的最大值為（）

A,逆R4后

D.------------C.20D.4&

77

己知函數"x）=sin（ox+9）（0>O）,若直線為函數/（x）圖象的一條對稱軸，［?,0］為函數〃力圖

9.

象的一個對稱中心，且“X）在1口

上單調遞減，則。的最大值為（）

AYD1824

?D.—

1717

10.我國南宋時期杰出的數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“三斜求積術”，其內容為：“以小斜塞，并

大斜幕，減中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕，減上，余四約之，為實；一為從隅，開

平方得積.”把以上文字寫成公式，即S=,；/一+C?*］（其中S為面積，a,b,c為AAFC的

啊I2JJ

三個內角A,B,C所對的邊）.若反osC+8053=4,b=5,且當空平=3,則利用“三斜求積”公式

smA

可得AABC的面積S=（）

A.26B.4^/6C.6y［6D.876

22

H.已知雙曲線C：1-與=1（。>0,6>0）的右焦點為R過點尸作垂直于x軸的直線/,M,N分別是/與

ab

雙曲線。及其漸近線在第一象限內的交點.若又是線段尸N的中點，則。的漸近線方程為（）

亞

A.y=±xB.y=±—x

2

C.y=±^-xD.y=±^-x

35

12.已知〃=51110.5,/?=3嗎。=108030.5,則。，瓦c的大小關系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

第二部分（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

X-4y-3<0

13.已矢口實數羽y滿足2x+3y—6W0,貝！Jz=4x+3y的最小值為.

3x-y+2>0

14.設0<e<],向量方=（sin2e,cos。），B=（cose,l）,若M//5，貝八皿9=.

15.已知圓錐SO1的軸截面81B為正三角形，球。2與圓錐5。1的底面和側面都相切.設圓錐S。1的體積、表面

積分別為匕百，球。2的體積、表面積分別為％，邑，則券W=.

16.拋物線y2=4x的焦點凡點A,8在拋物線上，且=弦48的中點〃在準線上的射影為N,

則W\MN\的最大值為________-

IAB\

三、解答題：共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.第17~21題為必考題，每個試題

考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據要求作答。

（-）必考題：共60分.

17.（12分）第19屆亞運會將于2023年9月23日在我國杭州舉行，這是繼北京亞運會后，我國第二次舉

辦這一亞洲最大的體育盛會.為迎接這一體育盛會，浙江某大學舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運，講好

浙江故事”的知識競賽，并從所有參賽大學生中隨機抽取了100人，統計他們的競賽成績（滿分100分,

每名參賽大學生至少得60分），并將成績分成4組：[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]（W：分）,

得到如下的頻率分布直方圖.

頻率/組距

（1）試用樣本估計總體的思想，估計這次競賽中參賽大學生成績的平均數及中位數；（同一組數據用該組

數據的區間中點值作代表）

（2）現將競賽成績不低于90分的學生稱為“亞運達人”，成績低于90分的學生稱為“非亞運達人”.這100

名參賽大學生的情況統計如下.

亞運達人非亞運達人總計

男生153045

女生55055

判斷是否有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關.

n^ad—bc^

附:K2(其中〃=a+Z?+c+d).

(〃+/?)"+d)(〃+c)伍+d)

pg%)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）已知數列｛%｝是公差d不為零的等差數列，其前〃項和為S“，若。2,小成等比數列，且S4=20.

⑴求數列｛%｝的通項公式;

.111

(2)記(=---+----+,,,+-----，求證：

4出a2a3

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面平面底面ABC。為等腰梯形,

AB//CD,且AB=2CD=2AD=2.

DC

(1)證明：平面PAC_L平面BBC；

(2)若點A到平面PBC的距離為也，求四棱錐尸-ABC。的體積.

2

20.(12分)已知〃x)=(2x+l)lnx-5，曲線在》=1處的切線方程為'=依+》?

(1)求。,匕；

(2)證明f(x)<ax+b.

21.(12分)已知雙曲線C:，■-，=l(“>0,b>0)的右焦點尸(2,0),離心率為半，過JF的直線4交C于點A,B

兩點，過下與4垂直的直線4交C于9E兩點.

(1)當直線4的傾斜角為巳時，求由A民2E四點圍成的四邊形的面積；

(2)直線妝+3分別交//于點M,N,若M為AB的中點，證明：N為的中點.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做。則按所做的第一題記分.

._fx=l+2coscr

22.(10分)在平面直角坐標系xQy中，曲線。的參數方程為).(。為參數).以坐標原點為極

[y=2sma

點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為0sin[e-5)=呼.

(1)求C的普通方程和/的直角坐標方程；

(2)設直線/與x軸相交于點A,動點8在C上，點M滿足痂=麗，點/的軌跡為E,試判斷曲線C

與曲線E是否有公共點.若有公共點，求出其直角坐標；若沒有公共點，請說明理由.

23.(10分)已知a,b,c均為正數，且a+b+c=3.

1a

⑴是否存在。，b,c,使得一+—￡(0,5),說明理由；

ab+c

(2)證明：《3+a+J3+Z?+j3+cW6.

數學（文科）?詳細解析

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的。

123456789101112

BBCAACDBBBCB

1.【答案】B

【詳解】依題意，B￡A,若/=16,解得。=-2（a=2時不滿足集合的互異性，舍去），

若/=8〃，解得。=0（a=2時不滿足集合的互異性，舍去），

綜上所述，。=0或。=-2.

故選：B

2.【答案】B

4+i_(4+i)(l-i)4+l-4i+i_5-3iri—5+3i

【詳解】則2=4~

I+T-(l+i)(l-i)22

5-3i5+3i25+917

故z?N=-------X---------

2242

故選：B.

3.【答案】C

【詳解】因為麗+2?=0,所以。為線段3C上靠近。的三等分點，如下圖所示:

Qr\1Q

故而=通+麗=通+,肥=旗+§@一砌=§布+］蔗.

故選：C.

4.【答案】A

【詳解】由題意可得-sin(-%)=/(%)=-sin-x,

BP——：二―恒成立,即%—〃=%+",即〃=0.

4-x24-x2

故選：A.

5.【答案】A

【詳解】IY/3,且所以a〃夕，又加ua,所以機//尸，充分性滿足,

如圖：滿足相〃分，muc』_Lc,但/不成立，故必要性不滿足，

所以“3尸”是“ml113”的充分而不必要條件.

故選：A.

6.【答案】C

【詳解】記漢服活動、藝術拍攝、傳統節日、旅游觀光、舞臺表演、婚慶典禮這6類場景分別為A,B,C,

D,E,F,

從6類場景中選2類場景進行拍攝的基本事件有

(AB),(AC),(AD),(A,E),(AF),(B,c),(B,D),(B,E),(B,F),

(C,Z>),(C,E),(C,F),(DE),(D,F),(凡尸),共15種,

設事件〃為“漢服活動、旅游觀光這2類場景至少有1類場景被選中”，

則事件〃包含的基本事件有(AB),(AC),(A。)，(AE),(AF),

(B,D),(C,D),(D,E),(D,F),共9種，

Q3

故所求概率尸(〃)=西=(,

故選：C.

7.【答案】D

【詳解】由題意將該三棱錐補充為一個正方體，如圖所示，

該三棱錐為A-BCD,其外接球與它所在正方體外接球是同一個，

設其外接球的半徑為R,則有(2R)2=32+32+32=27,

，此幾何體的外接球的表面積為S=4nR2=277t.

故選：D.

8.【答案】B

【詳解】如圖，過尸作圓。的切線以，連接A。,

在RtZkPAO中,PA=4OP。_OA?==20，

An172

所以tan/OPA=—

AP2夜一4

當點。運動到點A時,tanNQRA最大,IPtana=，

4

2tana40

所以tan2a=

l-tan2a7'

故選：B.

9.【答案】B

【詳解】由題意知直線x=：為函數〃x）圖象的一條對稱軸，[§,0j為函數〃x）圖象的一個對稱中心,

?+"=尢兀+|>（尢eZ）

則■（七-%）-[,（左,左）

故《0=z^Z,

學+夕=與兀,（幻eZ）

又小）在，"上單調遞減，則

1212

即得口《一，結合G>0,BPO<^<—,

77

故當—1時，。=二；當七一《=2時，。=旦

心一左取其它值時，不合題意,

1Q

故。的最大值為衿，

故選：B.

10.【答案】B

〃2人2_2^2.2_12

【詳解】因為〃COSC+30s5=4,由余弦定理可得6+c?=4,解得。=4,

2ablac

又因為smB+：nC=3,由正弦定理可得"￡=3,且。=5,即歲=3,解得c=7,

sinAa4

所以S=Ja*-廣丁［］=46.

故選：B.

11.【答案】C

【詳解】設雙曲線的右焦點廠（。,0）,過第一象限的漸近線方程為y=：尤，

當X=C時，y=如，即N，,史］,又

a<aJI〃J

因為M是線段尸N的中點，所以乙=L多，得c=2b,

a2a

所以=4bn=a2+b29即a二4b,

所以C的漸近線方程為y=+-x=土且x.

a3

故選：C.

12.【答案】B

［詳解］對因為y=sinx—x,則y'=cos%_l<0,即函數y=sinx—x在（0,曰）單調遞減,

且x=0時，>=。，則sinx-%vO,BPsinx<x,所以a=sinO.5Vo.5,

因為210go30.5=10go.3。?25>log030.3=1且log030.5<log030.3=1,所以0.5<c=10go30.5<1,

又Z?=3°5>3°=1,所以avcv〃.

故選：B

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.【答案】-7

【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示,作出直線/°：4x+3y=0,平移直線數形結合可知當直線

/：z=4x+3y經過點A時，z取得最小值.

%_4y_3=0'曰=

由3%_y+2=0^jy=_l,故A(—1,-1)，?-zmin=4x(-l)+3x(-l)=-7.

故答案為：-7

14.【答案】1/0.5

2

【詳解】由M//3，貝！J有sin26xl-cos（9?cose=。,

gpsin2^-cos2^=2sin^cos^-cos2^=cos^(2sin^-cos0)=0,

IT

由o<e<—,故cos。/。，

2

故2sin9-cos9=0,BPtan0=.

cosB2

故答案為：

15.【答案】1

【詳解】依題意，設正的邊長為2,則圓錐SQ的底面圓半徑為1,高為g,母線長為2,

因止匕乂=-7ixl2x.s/3=-7t,S1=7txl2+nxlx2=37r,

133

球Q半徑即為正△SAB的邊心距g,因此匕=33（￥）3=等無，52=4畛（￥）2=3無，

故答案為：1

16.【答案】顯

3

設|AF|=a,\BF\=b,由拋物線定義可知IA尸|=|A。I,\BF\=\BP\,

2\MN\=\AQ\+\BP\=a+b,

因為ZAFB=&,所以一+1一=_J_,

32ab2

所以|AB『=a2+b2+ab=(a+b)2-ab,

因為"］一：

所以(a+Z?)2—ab>(a+b)2-

a+b

G\MN\W2一石

所以|48但彳(4+3’所以西

*a+b)3

即靄的最大值為走.

IAB|3

故答案為：逅.

3

三、解答題：共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.第17~21題為必考題，每個試題

考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據要求作答。

(-)必考題：共60分.

17.(12分)

【詳解】(1)平均數元=65x0.015x10+75x0.030*10+85x0.035*10+95x0.020x10=81,

由10x0.15+10x0.30=0.45,10x0.15+10x0.30+10x0.35=0.8>0.5,

故中位數位于［80,90),設中位數為九則有至黑=冷空，解得尸81.43,

L790-800.8-0.45

即平均數元=81,中位數y*81.43；

於100(15x50-30x5)2100

(2)p9.091〉7.879,

45x55x20x8011

故有99.5%的把握認為能否獲得“亞運達人”稱號與性別有關.

18.(12分)

【詳解】(1)因為%，％，4成等比數列，且邑=20,

所以眄+3/(…)&+7〃),由"o,解得』：

44+6d=20[d=2

所以4=%+{n-V)d=2n.

11<11…、

⑵由----=7---T=,

q&+i41，z+17

,111111ii、

得znrTI=-(l_-+--T+---+--------7)=-(Z1l--------7)，

4223nn+l4n+l

由〃eN*,有」~7>。，所以l----1■<1，得北---<7，

n+ln+l4n+lJ4

19.(12分)

【詳解】(l)在等腰梯形ABC。中，因為AB=2CD=2AD=2,

所以ZADC=N3CD=l20。，ZDAB=ZABC=60°,

所以/C4B=30。，所以NAC8=90。,AC，3c.

因為平面PAB_L平面ABC。，平面B4Bc平面A8CD=48,上4，48,上4匚平面已45,

所以PA平面ABCD.

又BCu平面ABC。，所以24_LBC.

又24門4。=4,/>4,4。(^平面尸4(7,所以3c1平面PAC.

又BCu平面P3C,所以平面PAC_L平面尸3c.

(2)如圖，過點A作尸C于點E,由(I)可知平面PACL平面尸3C,

又平面PACA平面PBC=PC,AEu平面PAC,所以平面BBC,故AE=3.

2

在AWC中，/4。。=120。,4。=。。=1,所以AC=石.

在RtAACE中，AE=走,AC=JL所以NACE=30。.

2

XPA1AC,tanZACP=—=,所以2=1,即四棱錐P-ABC。的高為1.

AC3

由題意知，梯形ABC。的高為也，所以梯形A3CD的面積為L(l+2)x也=38,

22v724

所以四棱錐尸-ABCD的體積為

344

20.(12分)

r211

【詳角軍】(1)由/(x)=(2x+l)lnx—■可得/'(%)=21nx+(2%+l)-----x=21nx—xd----F2,

則/'⑴=2,所以曲線/⑴在點x=l處的切線斜率為左=2,

又因為所以切線方程為：y+|=2(x-l),即y=2x-|.

所以a=2,6=-g.

(2)要證明/(x)Wox+6,只要證(2工+1)111^-友一2工+；V0,

丫2s1

設g(x)=(2%+l)lnjt--------2%+—,則g'(x)=2hix+——%,

22%

令/z(x)=21nx+』一x,則==V0，

xXXX

所以〃(力在(0,+8)上單調遞減，又項)=0,

所以當無?0,1)時，h(x)>0,則g(x)在(0,1)上單調遞增，

當xe(,+oo)時,h(x)<0,則g(x)在(1,+e)上單調遞減,

所以g(x)Vg⑴=0,所以/(x)Vor+Z>.

21.(12分)

【詳解】(1)由題意知￡=二^^,c=2a==c?—/=4—3=1,

a3

所以C的方程為:-丁=1

直線4的傾斜角為：，過點尸(2,0)；.直線人的方程為y=x-2

R_2=1

設4(不乂),3(巧,%),聯立<3'一，

y=x-2

%+%2=6

得2f-12尤+15=0;.，15

%無2=耳

/.|AB|=Jl+%2I%1—X2|=&-J(X1+%)2-4不%2=2\/3

???k與4互相垂直的傾斜角為,A由對稱性可知\ED\=\AB\=2石

=1|AB|.|^|=273X2^/3=6

(2)方法一:由題意可知/J的斜率存在且不為0,設的方程分別為y=尢(x-2),y=總(x-2)由//互

相垂直可得上他二之①

"y=k+.（x-32）得3-2kxm

聯立

y=^（x-2）

聯立

x2-3y2=3，

/\/\-]2k2

整理得（1-3好卜2+12k：x-3（4K+1）=0,xA+xB=

Xx+X2_-6k^

是A3的中點.,?無材=21-34口

2

3-2kxm_-6k；Qn31-fc

由②③得,即〃2=-----L④

1—kim1—3衍2人

y=&（-2）得/二衿四⑤

同理聯立

x=my+31-k2m

由①④⑤得

6k「6k2（1一6）_6勺-6k2+6左：右6k26k2-6kf

2k「3左2（1—左：）2k「3k2+3k；k23k?+kIk；⑥

x工

2k2

y=&（x—2）

聯立

X2-3/=3'

得（1-3%）f+i2片彳_3（4后+1）=0,,/+4=^^

1-3k2

取DE中點N',所以XM=-——⑦

1-3與

由⑥⑦得尸與N重合，即N是DE中點.

方法二：由題意可知44的斜率存在且不為。，設乙4的方程分另U為x=%y+2,x=/2，+2

由4,4互相垂直可得電=-1

設4,8的坐標分別為&,另）,（孫%）

得（與一3）/+氣、+1=。，又一3/0；』+為=募

%+%2t,

M是A3的中點%=」「=

'620)

=d+2=、3-片3-f；J

3-4

整理可得的。E中點N［壽,我）

又,??直線/：x=沖+3恒過定點H（3,0）,

.3片-3-2fj3-3?,22%—2；（3/：_3+3_36

22

3-片3片-13?1-13-tt（3T：）（3t：_l）

,-.HM//HN'■■三點共線

所以￡>E的中點N'在/上，又￡>E上的點N在/上

所以N'與N重合，即N是DE中點

方法三：由題意可知IJ的斜率存在且不為0,設1J的方程分別為y=￡（x-2）,y=履（x-2）

由乙，互相垂直可得上他=T①

2)得M‘3—2%即k]‘所以期"=37②

聯立

x=my+3\-kxm'1—kxm

*:=1

設AB的坐標分別為（&%）,仁，力），代入c得，

0=1

兩式相減得］1X

7)=。,

即自心匕二:③

變形為

xx+x2xx-x2JJ

由②③得意—T即加高￥④

y=左2(x-2)3-2kmkj

同理聯立得N22

x=my+31—k2m'1—k2mj

k

所以⑤

1kxk21

由①④⑤得3一2匕3?匕互飛匕一修（1一后）飛右,

2

所以心.義二:⑥

取DE中點N',同理可證后州二:⑦

由⑥⑦得自.

結合N,N'均在直線6上，所以V與N重合，即N是