專題03函數(shù)基本性質(zhì)綜合應(yīng)用

模塊導(dǎo)航

考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢

重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

難點強化：難點內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

?＞題型聚焦------------------------------------------

【考點11求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

【考點2］根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

【考點3］根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式或參數(shù)

【考點4】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【考點5】單調(diào)性+奇偶性識別圖象

【考點6］單調(diào)性+奇偶性解不等式

【考點7】函數(shù)不等式恒成立問題

【考點8］分段函數(shù)綜合問題

【考點9］單調(diào)性+奇偶性+周期性+對稱性

【考點10］抽象函數(shù)問題

O＞重點專攻-----------------------------------------

O＞難點強化------------------------------------------

知識點1:函數(shù)的單調(diào)性

1、增函數(shù)與減函數(shù)

1.1增函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)/（X）的定義域為/,區(qū)間。0/,如果V%,%e。，當(dāng)石＜當(dāng)時，都有/（石）＜/（/），

那么就稱函數(shù)/（x）在區(qū)間。上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）

特別地，當(dāng)函數(shù)/（X）在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)（increasingfunction）.

1.2減函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)/（%）的定義域為/，區(qū)間/,如果\/石,々e。，當(dāng)石＜x2時，都有/（石）〉/（x2）,

那么就稱函數(shù)/（x）在區(qū)間。上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）

特別地，當(dāng)函數(shù)/（%）在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是減函數(shù)（decreasingfunction）.

2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=/（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）

單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/（X）的單調(diào)區(qū)間.

知識點2：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

1、定義法：一般用于證明，設(shè)函數(shù)/（%）,證明的單調(diào)區(qū)間為。

①取值：任取玉，x2&D,且％＜工2；

②作差：計算/（為）—/（%）；

③變形：對/（西）-/（々）進(jìn)行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要

需討論參數(shù)；

④定號：通過變形，判斷了（石）一/（々）＞0或（/（石）一/（9）＜0）,如有必要需討論參數(shù)；

⑤下結(jié)論：指出函數(shù)y=/（x）在給定區(qū)間。上的單調(diào)性

2、圖象法

一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.

3、性質(zhì)法

(1)函數(shù)y=/(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性與y=-/U)在給定區(qū)間。上的單調(diào)性相反;

(2)函數(shù)y=/(%)在給定區(qū)間。上的單調(diào)性與y=/(%)+c的單調(diào)性相同；

(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定義區(qū)間。，有如下結(jié)論；

y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/O)-g(x)

增增增.不確定

增/減不確定增.

減、減、減不確定

減、增/不確定減、

知識點3：函數(shù)的最大(小)值

1、最大值：對于函數(shù)y=/(x),其定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足:

①X/xe/,都有

②現(xiàn)e/,使得/(x())=M

那么稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值；

2、最小值：對于函數(shù)y=/(x),其定義域為/,如果存在實數(shù)m滿足：

①X/xe/,都有

②叫e/,使得/(%)=加

那么稱加是函數(shù)y=/(X)的最小值；

知識點4：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)

一般地，對于復(fù)合函數(shù)y=/(g(x)),單調(diào)性如下表示，簡記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層

函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時，復(fù)合函數(shù)為減函

數(shù)：

y=/(g(x))：令：t=g(x)和y=/?)

t=g(x)y=/Q)y=/(g(x))

增增增

增減減

減增減

減減增

知識點5：函數(shù)的奇偶性

1、定義：

1.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)〃龍)的定義域為/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—x)=〃x),那么函

數(shù)/(%)就叫做偶函數(shù).

L2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)“X)的定義域為/,如果Vxe/,都有-xe/,且/(—%)=—/(%),那么

函數(shù)/(九)就叫做奇函數(shù).

2、函數(shù)奇偶性的判斷

2.1定義法：

(1)先求函數(shù)/(%)的定義域/,判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.

(2)求/(f),根據(jù)/(-x)與/(%)的關(guān)系，判斷了。)的奇偶性：

①若/D+/⑺=0o/(-x)=-/(x)o/(%)是奇函數(shù)

②若/(—%)-/(x)=00/(-x)=/(x)o/(%)是偶函數(shù)

/(-%)+/(%)=0^

③若o/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

J(-X)=于(x)

/(-%)w-/(%)

④若/、O/(%)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

2.2圖象法：

(1)先求函數(shù)了。)的定義域/,判斷定義域是否關(guān)于原點對稱.

(2)若/(x)的圖象關(guān)于V軸對稱0/(%)是偶函數(shù)

(3)若/(x)的圖象關(guān)于原點對稱0/(%)是奇函數(shù)

2.3性質(zhì)法：

/(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：

/(X)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

知識點6：對稱性

1、軸對稱：

設(shè)函數(shù)/(%)的定義域為/,且x=a是/(%)的對稱軸，則有：

0/(?+%)=/(a-x)；

②/(%)=/(2。7)

@f(-x)=f(2a+x)

2、點對稱

設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域為/,且(。,0)是/(%)的對稱中心，則有：

①/(a+x)=—f(a—x)；

②/(%)=-/(2。-%)

③/(f)=-/(2a+x)

3、拓展：

①若/"(a+x)=/3—x),則/(%)關(guān)于x=對稱；

②若/'(a+力=—/S—x),則/(x)關(guān)于(等,0)對稱；

?)提升專練-------------------------------

A題型歸納

【考點11求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

1.(2024?海南海口?模擬預(yù)測)函數(shù)/5)=爐-4|》|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—8,—2)B.(-8,-2)和(0,2)

C.(一2,2)D.(―2,0)和(2,+8)

【答案】B

【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、分段函數(shù)的單調(diào)性

【分析】將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

【詳解】小）=八小+3=1一：+："'：,

711[X2+4X+3,X<0

則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x20時，y=Y-4x+3=（x-2）2-l的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）；

當(dāng)x<0,y=Jf2+4x+3=（x+2）2—1的單調(diào)遞減區(qū)間為（力,-2）,

故〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-8,-2）和（0,2）.

故選：B

2.（2024高一?全國?專題練習(xí)）函數(shù)'曰-/+以+目的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【答案】（T2）,（5,+w）

【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、畫出具體函數(shù)圖象

【分析】作出函數(shù)y=|-d+4x+5]的圖象，根據(jù)圖象即可求出結(jié)果.

【詳解】函數(shù)y=K+4尤+5/]:+4x+5,xe[1,5]

11[x-4x-5,xG（-a）,-1）u（5,+??）

由|+4%+5|=o,解得x=_1或％=5,

函數(shù)y=1-必+4%+5]的圖象如圖所示，

由圖可知，函數(shù)y=1T2+4x+51的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,2）,（5,”）.

故答案為：（-1,2）,（5,+8）.

3.（2024?吉林長春?一模）函數(shù)〃x）=ln（f-4）的單調(diào)增區(qū)間為.

【答案】（4,內(nèi)）

【知識點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即得.

【詳解】函數(shù)〃x）=ln（x2-3尤-4）的定義域是小），

在定義域內(nèi)函數(shù)8（力=犬-3》-4的單調(diào)增區(qū)間是（4,+8）,

而函數(shù)“力=皿1-3%-4）的單調(diào)增區(qū)間就是在定義域內(nèi)函數(shù)8（力=》2一3》-4的增區(qū)間,

所以函數(shù)/（力=皿爐-3》-4）的單調(diào)增區(qū)間為（4,母）.

故答案為：（4,+co）.

【考點2]根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

1.（23-24高一上?福建三明?期中）函數(shù)f（x）=32d-a，在區(qū)間（2,4）上單調(diào)遞減,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-<?,8]B.（-oo,8）C.[16,+oo）D.（16,+oo）

【答案】C

【知識點】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

【分析】根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】設(shè)"2/一3，

因為函數(shù)/（X）在區(qū)間（2,4）上單調(diào)遞減，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，

函數(shù)t=2x2-ax在區(qū)間（2,4）上單調(diào)遞減，

所以224,解得。216,

故選：C.

2.（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=e#T）在⑵3）上單調(diào)遞減，則f的取值范圍是（）

A.[6,+oo）B.（-oo,6]

C.D.[4,+oo）

【答案】A

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得y=的單調(diào)性，從而可求得/的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)、=^在R上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)y=在（2,3）上單調(diào)

遞減，則"3,解得年6.

故選：A

3.（2024?湖北?二模）已知函數(shù)〃x）=log5（，-2）在[1,y）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.B.[in2,-K?）C.（2,-H?）D.[2,+OO）

【答案】C

【知識點】由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】先由題設(shè)條件證明a>2,再驗證a>2時條件滿足即可.

【詳解】若/'⑺=1隰-2）在[1,也）上單調(diào)遞增，

則必然在尤=1處有定義，所以4-2>0,即a>2；

若a>2,貝！）當(dāng)無21時"-22”一2>0,所以〃尤）在口,+⑹上有定義，

再由。>1知屋-2在R上單調(diào)遞增，所以在[L也）上單調(diào)遞增.

故選：c.

4.(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)已知〃x),g(x)是定義域為R的函數(shù)，且八月是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

滿足“x)+g(x)=^+x+2,若對任意的1＜玉＜三＜2,都有g(shù)(』)-g(%)＞_3成立,則實數(shù)“的取值范圍

xi-x2

是.

【答案】

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)不等式恒成立問題

【分析】根據(jù)題意，得到-〃x)+g(x)=ax2-x+2,聯(lián)立方程組，求得g(x)=G?+2,結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為

g(%)+3玉＜8(%)+3々成立，構(gòu)造/7(X)=冢；0+3工=辦2+3工+2,得到人(無)在xe(l,2)單調(diào)遞增，利用二次

函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解.

【詳解】因為解力是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù)，滿足/(x)+g(x)*+x+2,

可得/(-X)+g(-X)=_/⑺+g(%)=a?_x+2,

+g(x)=ax2+x+2

聯(lián)立方程組解得g(x)=ax?+2,

-f(x)+g(x)=ax1-x+2

又因為對任意的1＜占＜馬＜2,都有g(shù)(xJ_g')＞_3成立,

玉-x2

所以g(%)-g(9)＜-3%+3%,所以g(石)+3石＜g(x2)+3xz成立,

構(gòu)造h(x)=g(%)+3x=ax2+3x4-2,

所以由上述過程可得/i(x)=/+3x+2在X￡(1,2)單調(diào)遞增,

33

(。若avO,貝!I對稱軸/=一之2,解得一二＜〃＜。；

2a4

他)若〃=0,3)=3%+2在%￡(1,2)單調(diào)遞增,滿足題意；

3

(訪)若。＞0,則對稱軸/=-丁(1恒成立；

2a

綜上可得，?＞-1,即實數(shù)0的取值范圍為「二,+3).

4L4)

故答案為：

【考點3］根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式或參數(shù)

1.(2024?寧夏吳忠?一模)已知函數(shù)〃%)=(>4)2+111?+1)是偶函數(shù)，貝心=)

11

A.—B.-C.0D.1

42

【答案】A

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)

【分析】由偶函數(shù)定義可得=計算即可得解.

【詳解】由題意可得f(x)="—x),即(x—a)2+ln(e,+l)=(—尤―4+呵仁+1),

萩E加“re'+l),(e，+l)

整理得4辦=l1n|-,=lnex--——-=%,

I1+eJ

即(4。_1卜=0恒成立，gpfl=1.

故選：A.

2.(2。24?陜西寶雞?三模)已知函數(shù)〃x)=x."+意為偶函數(shù)，則”()

【答案】B

【知識點】由奇偶性求參數(shù)

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求值.

【詳解】解：由于/(x)為偶函數(shù)，貝!1/(一x)=/(x)恒成立,

貝！1/(-1)=/XD，貝！I有一卜(“+怎)=(“+*),

3

可得”=

經(jīng)驗證滿足/(-x)=/(%)恒成立.

故選：B.

3.(2024?黑龍江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x^x-cosx+l,則當(dāng)

x.O時，/(%)=.

【答案】x+cosx—1

【知識點】求含8SX的函數(shù)的奇偶性、由奇偶性求函數(shù)解析式

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解，注意當(dāng)％=0時要單調(diào)獨驗證.

【詳解】解：當(dāng)X>0,—X<0J(—X)=T—COS(T)+1,又因為/(X)為R上的奇函數(shù)，

所以/(-X)=-f(x)=-X-cos(-力+1,解得/(x)=x+COSX-1,

X/(0)-0+cos0-l=0,所以當(dāng)120,7(%)=%+co&x—l.

故答案為：x+cosx-1.

【考點4】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

1.(2024?海南?模擬預(yù)測)已知函數(shù))=4(%)+2是R上的偶函數(shù)，若/(-3)=2,則〃3)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合特值法可解.

【詳解】y=#(x)+2是偶函數(shù)，貝!|一3〃-3)+2=3/(3)+2,且〃-3)=2,代入計算得到〃3)=-2.

故選：A.

2.(2024?廣東惠州?模擬預(yù)測)已知/⑺在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時，貝!!”/'(-1))=()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【知識點】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【分析】利用函數(shù)奇偶性，由內(nèi)向外求值即可.

【詳解】由題意/(—1)=一/。)=2,所以/(f(T))=/(2)=-l.

故選：D

3.(24-25高三上?陜西咸陽?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=：+cosx?In卜+A/177)在區(qū)間［-5,5］的最大值是

M,最小值是“，則/(M+M)的值等于.

【答案】j

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、求含COSX的函數(shù)的奇偶性

【分析】可設(shè)g(x)=cosx/n(x+Jl+x?),判斷出g(x)是奇函數(shù)，從而得出g(x)的最大值和最小值的和為0,

即可求出M+加的值，然后求解了(M+〃z).

【詳解】函數(shù)f(x)=：+cosx?ln(x+Jl+上),

設(shè)g(x)=cosx-ln(x+Jl+爐)9g(-x)=cosx-ln(-x+Jl+號,g(x)+g(-x)=cosx-(In1)=0,則g(x)是奇函數(shù)，

，g(x)的最大值和最小值互為相反數(shù)，且f(x)的最大值為Af,最小值為加，

一兀

2

71

故答案為：V

4

【考點5】奇偶性識別圖象

1.(2024?新疆?模擬預(yù)測)函數(shù)/(同=等三+：二的部分圖象大致為()

e+ex+1

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識別

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)圖像趨勢即可判斷.

-XCOS(一x)sin(-x)

【詳解】函數(shù)定義域為R,且〃T）==一小），

e-X+,ec%

所以圖像關(guān)于原點對稱，排除A、C；當(dāng)X從正向無限趨近于0時,

"、）=辭9+*也正向無限趨近于零；所以排除D；

故選：B.

2.（2024?海南?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=sinx/nW的部分圖象大致為（）

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識別

【分析】分別利用函數(shù)的定義域、奇偶性與特殊值的正負(fù)排除不符合要求的選項即可得.

【詳解】由〃耳=5由“111國定義域為（—,0）_（0,”），故可排除C；

X/(--^)=sin(-x)ln|-x|=-sinxln|x|=—/(%),

故"X）為奇函數(shù)，故可排除D；

.7C-JC［兀_I,t“rA

由/in7ln7=ln-7>0?故可排除B；

故選：A.

3.(2024?四川?一模)函數(shù)〃x)=：cosm(e-e，),xe(T,4)的圖象大致為()

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識別、已知角或角的范圍確定三角函數(shù)式的符號

【分析】根據(jù)條件，得到/(x)為奇函數(shù)，從而可排除選項A和B,再結(jié)合cos?與e，-e-，在上的

正負(fù)值，即可求解.

(詳解】因為定義域關(guān)于原點對稱，又〃-尤)=；cos(-7Lr).(e--e')=-：cosm(e=e，)=龍)，

即/⑺=/05吠(/-/)為奇函數(shù)，所以選項A和B錯誤,

7-cos&O,當(dāng)xe]4]時,

又當(dāng)X時,7ue(y,47t),此時COSTLY>0,

2

又易知當(dāng)x>0時，el-e->0,所以時，/(x)>0,結(jié)合圖象可知選項C錯誤，選項D正確,

故選：D.

【考點6］單調(diào)性+奇偶性解不等式

1.(2024?四川資陽?二模)若定義在R上的偶函數(shù)“X)在［0,+s)上單調(diào)遞增，則不等式

〃2x+l)—/(x—1)>—3/-6x的解集為()

A.(-oo,-2)u(0,+oo)B.(-oo,-l)u(0,+<?)

C.(-2,0)D.(-1,0)

【答案】A

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式特征構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進(jìn)行求解即可.

【詳解】由f(2x+l)—/(x—1)>—3/-6x,RTMf(2x+l)+(2x+l)2>/(x-l)+(x-l)2.

令g(x)=/(x)+f,因為〃尤)是偶函數(shù)，且在[0,y)上單調(diào)遞增，所以g(x)也是偶函數(shù)，且在[0,+8)上

單調(diào)遞增，AW|2x+l|>|x-l|,解得x<-2或無>0.

故選：A

2.(2024?山西?三模)設(shè)函數(shù)/(%)=1嗎0--，則不等式f(x-2)2f(2x+2)的解集為()

A.M,0]B,[-4,0)C.M,-l)u(-l,0]D.[-4,-l)u(-l,0)

【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇

偶性解不等式

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，

解得即可.

【詳解】函數(shù)f(X)=log21尤I-4的定義域為{xIXw0},

-2

且〃-X)=log21Tl-(一以2=log2|%|-%=/(%),所以/'(X)=log2m-尸為偶函數(shù)，

當(dāng)X>0時/(%)=log2x-二，因為y=log?尤與y=--在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/⑺=log?x—-在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則”X)在(3,0)上單調(diào)遞減，不等式/(X-2)2/(2X+2),

'|x-2|>|2x+2|

即3x—2|"/(|2x+2|),等價于b-2w0,解得T〈x<-1或一1<XV0,

2x+2w0

所以不等式的解集為[-4,-l)u(-l,0].

故選：C

3.(2024?陜西?一模)已知定義在R上的函數(shù)/⑺，滿足(西-尤2)[〃占)-)]<0，且/W+)=0.若

/(1)=-1,則滿足1/5-2)區(qū)1的x的取值范圍是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]

【答案】A

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式

【分析】由已知條件可得，魚)在(-4+S)上單調(diào)遞減，且f(x)為奇函數(shù)，將|/。-2)區(qū)1化為

/(I)4/。-2)</(-I),再利用函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果.

【詳解】因為定義在R上的函數(shù)f(x),滿足(占-々)[〃下)-〃尤2)]<。，

所以/(X)在(-00,+00)上單調(diào)遞減,

因為f(x)+f(r)=0,所以f(—x)=—F(x),

因為/⑴=T,所以f(T)=-f⑴=1,

il/(x-2)|<l,得TC/(x-2)Vl,

所以y(i)w/(x-2)v/(-1).

因為/(x)在(-co,+00)上單調(diào)遞減，

所以—1WX—2W1,得14丈<3,

故選：A.

4.(2024?湖北武漢?二模)已知函數(shù)〃x)=log2(4，+2用+l)-x,若〃2"-1)</(a+3),則實數(shù)〃的取值

范圍為?

【答案】

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇

偶性解不等式

【分析】由/(力=1。氏(2,2-工+2),根據(jù)奇偶性、單調(diào)性定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷f(x)性質(zhì)，再由性

質(zhì)得|2。-1|<"+3]即可求范圍.

x

(A_L_Ox+1_|_1A

【詳解】由題設(shè)/(月=1。氏一--=1。氏值+2-*+2),定義域為R,

〃一無)=log2(2一工+2,+2)=〃尤)，即f(尤)為偶函數(shù)，

在(0,+co)上，令/=2工+2-*+2,且國>%>0,

貝!|t{-t2=23+2f-2*-2f=(23一2為)(1-,

由本>2項,1一行工>0,故4>L，即函數(shù)^=2'+2一*+2在(0,+s)上遞增，

而y=log?f在定義域上遞增，故/(%)在(0,+8)上遞增，

所以/(2〃-1)</(tz+3),可得|2Q—1|<|Q+3|=>(2Q—1)2<(a+3)2,

2

3〃2—10a-8=(3a+2)(〃—4)<0,-§<〃<4.

故答案為：

【考點7)函數(shù)不等式恒成立問題

1.(2025?黑龍江齊齊哈爾?一模)VxeR,用M(x)表示/(%),g(x)中的較小者，記為M(x)=min{f(x),g(x)},

設(shè)函數(shù)/(x)=e、i+x-2,g(x)=-d+(a-l)x-a,若V尤wR,M(尤)W0,則a的取值范圍為()

A.(-oo,3+2V2]B.(-8,6]

C.[3-2A/2,3+2A/2]D.[3-2&,+OO)

【答案】A

【知識點】函數(shù)新定義、函數(shù)不等式恒成立問題、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，結(jié)合題中函數(shù)"(尤)的定義，利用基本不等式

進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為函數(shù)〉=j/=尸2都是實數(shù)集上的增函數(shù)，所以“X)在R上為增函數(shù)，

所以當(dāng)XVI時，/(^)</(1)=0,所以當(dāng)xVl時，M(x)<0成立.

同時因為當(dāng)x>l時,/(x)>/(l)=O,所以當(dāng)x>l時,g(x)VO恒成立,

2

即當(dāng)尤>1時，?(x-l)<^2+x,即.設(shè)，=x-l>0,

X-1

.x2+xt2+3t+22三、cI2ca

貝mi！I-----=--------=/+—+3之3+21八一=3+2,2,

x-1ttVt

當(dāng)且僅當(dāng)/=:時取等號，即當(dāng)r=五時取等號，所以O(shè)W3+2VL

故選:A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)M(x)的性質(zhì)，運用基本不等式進(jìn)行求解.

2.(2024?河北?三模)對VxeR,都有/(%)=■?-4/+(〃?+5卜2_(2旭+4卜+:九+420恒成立，那么小的

取值范圍是.

【答案】m>0

【知識點】函數(shù)不等式恒成立問題、復(fù)合函數(shù)的最值

【分析】先利用分離常數(shù)法求出m/-"一NT(x：+1),然后求出最值，再根據(jù)恒成立條件即可得

(x-1)2

【詳解】由題意可知，〃x)=(/-2,+加(尤-1)2+(》-2)2^0恒成立，

當(dāng)x=］時，/(1)=(12_2X1『+〃Z(1_1)2+(1_2)2=2±0恒成立，

(X2-2X)2+(X-2)2(X-2)2(X2+1)

當(dāng)xW1時，m>-A------L---------=--------1----L,

一(X-1)2(X-1)2

而-"-2廠(龍：+1)40,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，等號成立，所以〃狂0；

(I)?

綜上所述：m>0.

故答案為：m>0

Q

3.(2024?山西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)無20時，/5)=。-3匚3一"且/(-1)=T

(1)求〃的值，并求出f(x)的解析式；

⑵若彳/(尤)-9'-9一"一14Vo在xe(0,內(nèi))上恒成立，求2的取值范圍.

罕—3Tx>0

【答案】〃尤)='1

3—D,X<U

(2)(-oo,8]

【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、基本不等式求和的最小值、函數(shù)

不等式恒成立問題

【分析】(1)利用偶函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)值可得。=1,再由偶函數(shù)定義可得其解析式；

(2)將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求彳43工-3-工+」彳恒成立問題，由基本不等式計算可得九的取值范圍.

3—3

1Q

【詳解】(D因為/(無)是偶函數(shù)，所以〃-1)=〃1)=34-2=:，

解得<2=1,

當(dāng)x<0時,可得T>0,所以/(尤)=/(_勸=3=33=3-工-3',

所以函數(shù)f(x)的解析式為/(無)=[3；途,，

13—3,x<0.

(2)由(1)知，當(dāng)x>0時,1(無)=3工一3一>0,

因為2/(x)-9,一9T一14W0在xe(0,+oo)上恒成立，

所以％<9'+9r+14=G.3)+16=§―3*+16,

3%-3-13%-3-%3￥-3-"

又因為3,-3一+忐=8,

當(dāng)且僅當(dāng)3。3T=方』時，即x=log3(V5+2)時等號成立，

所以4V8,即九的取值范圍是(-刃網(wǎng).

1_V

4.(2025?江蘇南通?一模)已知函數(shù)“無)=log?一.

1+X

⑴判斷并證明“X)的奇偶性；

(2)若對任意xe-1,1,Ze[-2,2],不等式/(x)2〃+“一6恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴奇函數(shù)，證明見解析；

(2)一:〈a4：.

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)不等式恒成立問題、求對數(shù)函數(shù)的最值、一元二次不等式在某

區(qū)間上的恒成立問題

【分析】(D利用奇偶性定義證明判斷即可；

(2)根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定“X)在xe-1,|上最小值，把問題化為廣+口一540在飛[-2,2]上恒

成立，即可求結(jié)果.

【詳解】(D〃x)為奇函數(shù)，證明如下：

由解析式易知-函數(shù)定義域為TD,

而/(-x)=log。產(chǎn)二=Tog2/=一/(尤)，故/(X)為奇函數(shù).

1—x1+X

1—x2H上為減函數(shù)，而y=iogz加在定義域上為增函數(shù),

(2)由加=---=------1在

1+x\+x

所以〃x)在xe-1)|上為減函數(shù)，故〃4Ml=/(g)=-l,

要使任意xe-1.1,re[-2,2],不等式/(x)2〃+〃.6恒成立,

只需“+點-6W-1在。6[-2,2]上恒成立，即t2+〃一5?0在，￡[-2,2]上恒成立,

14—2。—54011

由y=L+m-5開口向上，則彳5<0n一尸""5，

[4+2〃-5W022

綜上，——-a-^-

【考點8]分段函數(shù)綜合問題

Y—1<r<1

1.(2024?四川德陽?一模)函數(shù)〃尤)='單調(diào)遞增，且〃2〃Z+1)>“〃L1),則實數(shù)機(jī)的取值

3'—m,x>l

范圍為()

A.(-2,1]B.(-2,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】C

【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組求解即可.

【詳解】解：因為當(dāng)時，f(x)=2'單調(diào)遞增；

當(dāng)xNl時，/(無)=3'-〃7單調(diào)遞增；

又因為y=單調(diào)遞增，K/(2m+l)>/(m-l),

2<3-tn

所以<2m+1>m-1,

m-1>-1

解得0<m<l.

故選：c.

Cx(x+4)x>0

2.(2025?四川巴中?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(無)=)；、一八；若/(4-3)>〃々-1),則實數(shù)”的取值范

[一九(%-4),%<0'7

圍是()

A.(-oo,-l)u(2,+oo)B.(-oo,-2)(1,+co)

C.(-oo,-l)u(3,+oo)D.(-oo,-3)(l,+oo)

【答案】A

【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】作出函數(shù)圖象，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合解一元二次不等式，即得答案.

x(x+4),x>0

【詳解】作出函數(shù)/（%）=的圖象,如圖:

—x(x—4),x<0

x(x+4),x>0

可知函數(shù)/（》）=在R上為單調(diào)遞增函數(shù),

一%(%—4),x<0

故由/（。2-3）>/（。一1）可得/一3>°-1,即〃“一2>0,

解得a<—1或。>2,

即實數(shù)a的取值范圍是（-。,-1）52,+8）,

故選：A

(a—l)x+5,xe(-<x>,2)

（2024?山東?一模）已知a>0且。片1,若函數(shù)/（尤）=在（-8,+8）上具有單調(diào)性,

ax,xe[2,+ao)

則實數(shù)。的取值范圍是

【答案】（0,1）33,+8）

【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，按單調(diào)遞減和單調(diào)遞增分類列式求解.

【詳解】函數(shù)/（x）=]（：T）：；5,“：（一”，”在y,+8）上單調(diào)，

,工￡[2,+8）

a-l<0

當(dāng)了（%）在（-8,+00）上單調(diào)遞減時，<0<〃<1,解得Ovavl；

2（〃—1）+52/

a-l>0

當(dāng)了（%）在（-8,y）上單調(diào)遞增時，〃>1，解得〃23,

2（〃—1）+5W/

所以實數(shù)。的取值范圍是（0,1）33,+。）.

故答案為：（0,1）33,+。）

/^|x+2|]ZA

4.（2024?吉林?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=「"，/（〃-3））=0,則實數(shù)。的值為.

[ln（x2+ax+3）,x>0''----

【答案】-3

【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、對數(shù)函數(shù)的概念判斷與求值

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義計算函數(shù)值后，解方程可得.

【詳解】/（-3）=3|-3+21-1=2,所以解/（-3））=ln（4+2a+3）=0,所以解+7=1,解得a=-3.

故答案為：—3

【考點9]單調(diào)性+奇偶性+周期性+對稱性

1.（2024?廣東河源?模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)"%）滿足〃x+1）為奇函數(shù)，且y=〃2x）的圖象關(guān)

50

于直線x=l對稱，若〃0）=-1,貝!]￡/?）=（）

i=\

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、判斷證明抽象函數(shù)的周期性、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)

值

【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)、對稱性求得〃1）=〃3）=0、〃2）=1、/（4）=-1,進(jìn)而有

/（1）+/（2）+/（3）+/（4）=0,再確定“X）的周期，利用周期性求函數(shù)值的和.

【詳解】由/（x+1）為奇函數(shù)，知〃尤）的圖象關(guān)于點。,0）對稱，則/⑴=。，

由/（O）=T，得”2）=—"0）=1.

由y=/（2x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則的圖象關(guān)于直線尤=2對稱，

所以〃4）=40）=-1,/（1）=/（3）=0,

綜上，f（l）+/（2）+/（3）+/（4）=0,

由上/（x）+/（2—x）=0,f（2-x）=f（2+x）,得f（x）=—/（2+x）,

所以"4+無）=-/（2+無）=〃x）,則4為的一個周期，

50

所以￡/（i）=0xl2+〃l）+〃2）=L

4=1

故選：c

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對稱性求函數(shù)值，并確定周期為關(guān)鍵.

2.（2024?河北?模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R,且“2尤+1）為奇函數(shù)，/（2x+4）=/（2x）,則一

定正確的是（）

A.〃元）的周期為2B.〃尤）圖象關(guān)于直線尤=1對稱

c./(x+1)為偶函數(shù)D./(x+3)為奇函數(shù)

【答案】D

【知識點】抽象函數(shù)的奇偶性、判斷證明抽象函數(shù)的周期性、函數(shù)對稱性的應(yīng)用

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對稱性及周期性對選項逐一分析即可.

【詳解】〃2x+l)為奇函數(shù)，得洋2x+l)+〃-2x+l)=0,

即/(x+l)+/(_x+l)=O,貝！|/(尤+1)為奇函數(shù)，故C錯誤；

且“X)圖象關(guān)于點。,0)中心對稱，故B錯誤；

/(2x+4)=/(2x)可知，函數(shù)，(尤)周期為4,故A錯誤；

/(x)=/(x+4),又〃尤)圖象關(guān)于點(1,0)中心對稱，知"x)=-/(2—x),

所以/(尤+4)=-/(2-x),得了⑺關(guān)于點(3,0)對稱，

則/。+3)關(guān)于點(0,0)對稱,所以〃x+3)為奇函數(shù)，故D正確.

故選：D.

3.(2024?遼寧本溪?一模)設(shè)函數(shù)”尤)定義域為R,〃》-1)為奇函數(shù)，〃x+l)為偶函數(shù)，當(dāng)xe(-U］時,

〃x)=-f+i,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.B./(x+7)為奇函數(shù)

C.在(6,8)上是減函數(shù)D.方程/(x)+lgx=0僅有6個實數(shù)解

【答案】C

【知識點】函數(shù)對稱性的應(yīng)用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、函數(shù)周期性的應(yīng)用、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)與〃x+l)的奇偶性可判斷函數(shù)的對稱性與周期性，從而作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)

合判斷各選項.

【詳解】為奇函數(shù)，BPf(x-l)=-f(-x-l),/(x)關(guān)于點(TO)對稱,

又〃尤+1)為偶函數(shù)，即/(x+l)=/(-x+l),關(guān)于直線x=l對稱，

所以“X)=〃T+2)=-/(X-4),即“X+4)=-/(X),

所以『(x+4)=/(x-4),

即函數(shù)的最小正周期為8,

A選項:

B選項：/(x+7)=/(x-l),所以/(x+7)為奇函數(shù),B選項正確;

C選項：由當(dāng)x?7,8)時，x—8e(—l,0),所以/⑺=〃*一8)=+1,所以/⑺在(7,8)上單調(diào)遞

增，C選項錯誤；

D選項：由/（x）+lgx=O,得〃x）=—Igx

作出函數(shù)/（x）及y=Tg尤圖像如圖所示，

由已知函數(shù)的值域為-1』，且-lglO=-l,

當(dāng)?shù)?gt;10時,y=-lgx<-l,函數(shù)y=-lgx與/（x）無公共點,

當(dāng)x<10時，由圖像可知函數(shù)“X）與函數(shù)y=-lgx有6個公共點，

即y（x）+lgx=0有6個解，D選項正確；

故選：C.

4.（多選）（2024?四川瀘州?一模）已知函數(shù)/（X）的定義域為R,若

/（l+x）+/（3-^）=2,/（^）-/（2-x）=4-4x,貝！J（）

A.〃。）=4B./（0）+/（1）+/（2）+/（3）=8

C.〃x）+〃x+2）=8-4xD.f（2024）=-4043

【答案】BD

【知識點】求函數(shù)值、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用

【分析】應(yīng)用賦值法可求得/'（2）,f（0）和/（0）+/（1）+/（2）+/（3）,變換可得/（2+力+/（2-力=2,與

x）=4—4x聯(lián)立即可求得/（x）+/（x+2）,應(yīng)用/（x）+〃x+2）=6—4x可得/（x）=/（x+4）+8,

進(jìn)而可得“2024）.

【詳解】因為〃l+x）+/（3—力=2,所以/（1+1）+/（3—1）=2,所以〃2）=以

取x=