絕密★啟用前

2025年高考數學模擬試卷02（全國卷文科）

文科數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.己知集合4={削彳2-尤一220},8=3、=1?；},貝！|（dA）cB=（）

A.{x[0<x<l}B.{x[0<x<2}

C.{x|-l<x<2}D.{x|尤>2}

2.已知復數z滿足z（2-i）-i=2（i為虛數單位），貝心的虛部為（）

444.4.

A.—B.一一C.-1D.——i

5555

x—y—2<0

3.若實數x,y滿足約束條件<3x+y-2>0,貝1|z=2x+3y的最小值為()

x-2y>0

A.-2B.2C.-1D.1

sin(a+01/、

4'已知sin(f)=2,coscsm6二，則sm…=()

1212

A.-B.-C.一D.----

3393

5.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（）

6.某校為了解在校學生對中國傳統文化的傳承認知情況，隨機抽取了100名學生進行中國傳統文化知識考

試，并將這100名學生成績整理得到如下頻率分布直方圖.根據此頻率分布直方圖(分成［40,50),［50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組),下列結論中不正確的是()

頻率

A.圖中的。=0.012

B.若從成績在［70,80),［80,90),［90,100］內的學生中采用分層抽樣抽取10名學生，則成績在［80,90)內

的有3人

C.這100名學生成績的中位數約為65

D.若同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，則這100名學生的平均成績約為68.2

,I2023③質則()

A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

8.已知函數滿足/(x+3)=l-/(I-x),且函數〃x+l)為偶函數，若/(1)=1,則

/（1）+/（2）+/（3）+...+/（2024）=（）

A.0B.1012C.2024D.3036

9.攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建

筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖1，它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐

P-ABCD,其中底面邊長和攢尖高的比值為若點E是棱尸〃的中點，則異面直線網與CE所成角的正

切值為（）

B.2

2

10.已知點尸為直線4：皿一2，一根+6=0與直線4：2x+my-根-6=05?eR）的交點，點。為圓

C:（x+3）2+（y+3）2=8上的動點，貝HP。I的取值范圍為（）

A.[2A/2,8A/2]B.（26,8近]C.[V2,6A/2]D.（也6@

11.設等比數列｛叫中，%，%使函數"力=/+3%￥2+%工+d在x=_1時取得極值。，則％的值是（）

A.±括或±3行B.6或3&C.±372D.3啦

12.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的準線方程為尸一1,A（-l,0）,p,。為C上兩點，且AP=4AQ（%>1）,

則下列選項簿誤的是（）

A.OPOQ=5B.APAQ>8

C.若2=2,則|尸@=半D.若％?20=4后，則忱。=166

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數〃x)=4e，—尸(O)x+2(廣⑴是/⑺的導函數)，則曲線y=/(x)在x=0處的切線方程

為.

f22

14.已知P是雙曲線C:三v-乙=44>0)上任意一點，若P到C的兩條漸近線的距離之積為則C上的

843

點到焦點距離的最小值為.

15.已知長方體ABC。-44GA中，側面8CG用的面積為2,若在棱AD上存在一點M,使得.MBC為等

邊三角形，則四棱錐M-3CG耳外接球表面積的最小值為.

16.若.ABC的內角A5,C的對邊分別為。，4c,tanB=?os：sin1,〃=缶，點。在邊臺。上，且

cosC+sinC

ADB的面積為2一追,貝l」CD=.

2

三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.陜西省從2022年秋季啟動新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”為全國統一高考科目的語文、數學、外語,

“1”為首選科目.要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學、

生物學4門科目中確定2門，共計產生12種組合.某班有學生50名，在選科時，首選科目選歷史和物理

的統計數據如下表所示:

歷史物理合計

男生12425

女生91625

合計104050

2n^ad-bc^

附:“(a+》)(c+d)(Q+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

a0.1000.0500.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

⑴根據表中的數據，判斷是否有99.5%的把握認為學生選擇歷史與性別有關;

(2)從選擇物理類的40名學生中按照分層抽樣，任意抽取5名同學成立學習小組，該小組設正、副組長各一

名，求正、副組長中至少有一名女同學的概率.

18.設等差數列｛。.｝的公差為d,記Sq是數列｛%｝的前"項和，若55=%+20,幾=/生。8.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

4s1

(2)若">。也=——(?eN*),數列也｝的前“項和為I，求證：Tn<n+-.

an,an+\2

19.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABC。為菱形，ZDAB=；，側面SCD是邊長為4的正三角形，SA=2M.

(1)證明：平面SCD_L平面ABCD；

(2)求點A到平面SBC的距離.

22

20.已知橢圓C的方程%+方=1(。>6>0),右焦點為/(1,0),且離心率為:

⑴求橢圓C的方程；

(2)設A3是橢圓C的左、右頂點，過下的直線/交C于。，E兩點(其中。點在x軸上方)，求二8尸與

的面積之比的取值范圍.

21.已知函數/(x)=lnx+x2-2otMeR,

(1)當a>0時，討論/(元)的單調性；

⑵若函數/(X)有兩個極值點xi,x2(xi<x2),求2/-/(%2)的最小直

(-)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4一4：坐標系與參數方程

22.已知在平面直角坐標系宜刀中，以坐標原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的

%=j/i+A/3COSOL

極坐標方程為夕=2sin。；在平面直角坐標系xQy中，曲線。2的參數方程為廠(。為參數)，

y=J3sina

點A的極坐標為且點A在曲線C?上.

(1)求曲線G的普通方程以及曲線c?的極坐標方程；

(2)已知直線/:x-gy=0與曲線G，G分別交于P，。兩點，其中P,Q異于原點。，求△AP。的面積.

選修4-5：不等式選講

23.已知函數〃x)=國+值一2|+|尤一4

(1)當a=2時，求不等式/(x)<14的解集；

(2)若/(x)>[x。+8國+16恒成立,求。的取值范圍.

文科數學.參考答案

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

123456789101112

BACBCCDBCADC

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.2x—y+6=014.^/3—^2

15.鼠"16.3-A/3

3

三、解答題：本大題共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.【詳解】(1)

將表中的數據帶入，得到

22

2_n(ad-bc)_50x(216-16)_

,(a+b)(c+d)(a+c)(O+d)25x25x10x40

所以有99.5%的把握認為學生選擇歷史與性別有關..........................................5分

(2)

由題意知，抽取的5名同學中，男生有3名，設為A,B,C,女生2名，設為DE,.................6分

從這5名同學中選取2名同學擔任正副組長，所有的可能情況有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共計10種基本情況，且每種情況的發生是等

可能的，...............................................................................8分

其中至少有一名女生的情況有AD,AE,BD,BE,CD,CE,DE,共計有7種情況，.……10分

7

所以P(至少有一名女生)=—.........................................................12分

18.【詳解】(1)由S5=4+20,§5=5(。；%)=5%,得5%=%+20,解得。3=5,......................1分

由，5=。2〃3。8，&=I""；"")=]5,,所以15/=5%/，所以。8=°或。2=3,............................3分

當/=0時d=——=-1,止匕時q=%+(〃-3)d=8—〃；..................................4分

8—3

當〃2=3時4=〃3—。2=2,止匕時%=%+（〃-3）d=2〃-1；.....................................................................5分

綜上可得數列｛%｝的通項公式為為=8-〃或。“=2〃-1；....................................6分

（2）因為4>0,所以。“=2〃-1,貝1]凡=（1+2：_1）九=/,................................7分

,,4S?An2Arc-1+1

Illib=--------=--------------------=--------------------

"4J-（2?-l）（2n+l）（2?-1）（2?+1）

1+7--------77------------7=]-1-------------------------

（2〃-1）（2〃+1）2y2n-l2n+l

所以口111

4=1+1+1+-I+1+;+1+-

I2135212〃-12〃+1

11111+」

=n+—1--+--------4----------4-

2335572n-l2/1+1

11」111

=n+—=nT-----<n+—12分

22〃+l22（2n+l）2

19.【詳解】⑴證明:取CD中點E,連接SE,AE,BE,1分

71

因為AB=BC=4,ZDAB=-

所以CE=2,/BCD.,NABE=M故BE=SE=2&,3分

XAE2^AB2+BE2=28,SA=2函,

所以S&2=4爐+5爐，故AE_LSE,4分

因為AEu平面ABCD,CDu平面ABC。，AEcCD=E,

所以SE_L平面ABC。,又因為SEu平面SCD,

所以平面SCD±平面ABCD.6分

(2)由(1)知跖，平面A8CZ),且SE=26,

在.ABC中，AB=BC=4,

所以^AABC=-ABxBCxsinZABC=-x4x4xsin—=4A/3,

223

故匕-ABC；如

=xS5cXSE=gx4Gx2=88分

在aSBC中，SC=BC=4,SBZSE^+BE?=2底,

所以SB邊上的高〃=14,_（娓）=V10,

所以SASBC=（X2遙x版=2而........................................................10分

設點A到平面SBC的距離為d,

則匕1-SBC=YS-ABC>即§*S^SBCxd=8,解得d=>

所以點A到平面SBC的距離為勺近.....................................................12分

5

20.【詳解】（1）設橢圓焦距為2c,

1_______

由題意可得。=l,e=‘=5，a=c2/=la2—F=6,......................................3分

22

故橢圓方程為土+匕=1.................................................................4分

43

（2）當/斜率不存在時，易知#=黑=一=；；......................................5分

8AEF|Ar|a+c3

②當/斜率存在時，設/：%="+1QW0),。(九1,y)(x>0),E(x2,y2)(y2<0),

x=ty+l

由,fy2,得(3/2+4)9+6?_9=0,顯然A=36?+36(3〃+4)>。，

——+—=1

143

-6/0

所以％+'2=E'必%=一仃，.....................................................7分

1311

因為SAEF=-\AF\-\y2|=--(-y2),StBDF--\BF\-\yll=--yi,

1

所以》尸：：1X

..........................................................9分

AEF3/\3V,

因為（必+%）244

>——

3

3+7

4(%+城

所以-§<<0,

弓(y+城=#+2》%+資=M?)??

10分

y^2%%%x~'..................................................

設互=左，貝|左<0,--<k+-+2<0,解得一且左/一1,

必3k3

21.【詳解】(1)因為/(x)=lnx+x2-2tzx,x>。，

所以r(x)J+2x_2a_2『2ax+l,...........................................................................................................1分

XX

令g(x)=2x2-2ax+1，貝!JA=4a2-8=4(/-2)，

因為a>0,

當0<〃V后時，A<0,則g@)N。,BPfr(x)>0,

此時/(x)在(0,+8)上單調遞增，..........................................................3分

當a>正時，八>。，由g(%)=。，得工3，一J.=/，+"2—2,且無3<%4，

22

當0<x<x,或時，g(x)>0,即/'(尤)>0；

當三<x<8時，g(x)<0,gpf\x)<0,

所以/(x)在(O,xJ,(%,+oo)上單調遞增，在(&,%)上單調遞減；.............................5分

綜上，當時，了⑺在(0,+8)上單調遞增，

當時，/(力在(O，F),(X4，+°°)上單調遞增，在(不，/)上單調遞減，

甘小加―/-2a+Jq--2人八

其中x,=——------,羽=——.............................................................6分

22

(2)由(1)可知，毛,匕為了(X)的兩個極值點，且忍<4，

所以王=尤3，馬=z,且看,超是方程21-2依+1=0的兩不等正根，

止匕時a>&，xi+x2=a>0,再?無2=g，

貝°2,(玉)一/(%2)=2(ln菁+片一26al'-(in/+以-2ox2)

=2(in玉+—2,—1)—(in/+%；—2%；—1)=—2x；+2In再一Inx2+￥—1

................................10分

則/…

“時，g?）＜0,則g⑺單調遞減,

當方￡

當te（l,行）時，g'?）＞0,則g⑺單調遞增,

所以g（」g（l）=-氣吟

所以27（xJ—/（%）的最小值為.................................................12分

（-）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

選修4-4：坐標系與參數方程

22.【詳解】（1）因為曲線G的極坐標方程為夕=2sin0,所以"=2psin9,

x=pcosd

由y=/7sin。,得曲線G的直角坐標方程為f+y2-2y=0；

y=x2+/

x=m+J3cosci

由曲線。2的參數方程為＜L（a為參數），又cos2a+sin20=l,

得（%一根）2+y2=3,...........................................................................2分

因為，0.s：所以（夕cos。—根）？+（夕sin。）？=3,BPp2-Impcosd+m1=3,

即曲線G的極坐標方程為夕之-21npeos6+/=3.

又點A［遙q）在曲線G上，所以6-2百加+療=3,解得m=6,

所以曲線G的極坐標方程為2=2道cos。；.................................................4分

x=46cos—

4

（2）因為點.................5分

=A/6sin—=A/3

4

由(1)得曲線。2的直角坐標方程為卜-上了+曠=3,

3A/3

x-y/3y=0X

X=0T2

聯立/r-\2，解得，所以，

(X-V3)+/=3尸。叫3

y=—

2

￡

y

y=o2

聯立