導數必考經典壓軸解答題匯編

【新高考專用】

導數是高考數學的重要內容，是高考必考的重點、熱點內容.從近幾年的高考情況來看，在解答題中試

題的難度較大，主要涉及導數的幾何意義、函數的單調性問題、函數的極值和最值問題、函數零點問題、

不等式恒成立與存在性問題以及不等式的證明等內容，考查分類討論、轉化與化歸等思想，屬綜合性問題,

解題時要靈活求解.

其中，對于不等式證明中極值點偏移、隱零點問題和不等式的放縮應用這三類問題是目前高考導數壓

軸題的熱點方向.

?知識梳理

【知識點1切線方程的求法】

1.求曲線“在“某點的切線方程的解題策略：

①求出函數產於)在尤=尤0處的導數，即曲線產/(無)在點(無0<尤0))處切線的斜率；

②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f(X0)(x-x0).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設出切點坐標T(xo)/(xo))(不出現約)；

②利用切點坐標寫出切線方程：y=J[xo)+f(xo)(x-xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點2導數中函數單調性問題的解題策略】

1.含參函數的單調性的解題策略：

(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導函數為二次函數式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數的正負及兩根的大?。蝗舨荒芤?/p>

式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.

2.根據函數單調性求參數的一般思路：

(1)利用集合間的包含關系處理：產/⑴在Q6)上單調，則區間3,6)是相應單調區間的子集.

(2求x)為增(減)函數的充要條件是對任意的xG(a力)都有/(x)>0(/(x)<0),且在他力)內的任一非空子區間

上，了(無)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題.

【知識點3函數的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導數求函數/U)極值的一般步驟：

(1)確定函數兀0的定義域；

(2)求導數/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函數定義域內的所有根；

(4)列表檢驗/(尤)在/(x)=0的根xo左右兩側值的符號；

(5)求出極值.

2.根據函數極值求參數的一般思路：

已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數法求解.

3.利用導數求函數最值的解題策略：

(1)利用導數求函數/(尤)在句上的最值的一般步驟：

①求函數在(a,b)內的極值；

②求函數在區間端點處的函數值五a),fib)；

③將函數五功的各極值與/(。)，人力比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)求函數在無窮區間(或開區間)上的最值的一般步驟：

求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和

極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.

【知識點4導數的綜合應用】

1.導數中的函數零點(方程根)問題

利用導數研究含參函數的零點(方程的根)主要有兩種方法：

(1)利用導數研究函數/U)的最值，轉化為/U)圖象與X軸的交點問題，主要是應用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由y(x)=O分離參變量，得―g(?,研究尸。與尸g(x)圖象的交點問題.

2.導數中的不等式證明

(1)一般地，要證y(x)＞g(x)在區間(。，上成立，需構造輔助函數F(x)=/(x)—g(x),通過分析F(x)在端點

處的函數值來證明不等式.若F(a)=O,只需證明尸(x)在(a,6)上單調遞增即可；若F(b)=O,只需證明尸(x)

在(a,b)上單調遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數的最值問題，可考慮轉化為兩個函數的最值問題.

3.導數中的恒(能)成立問題

解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路：

(1)分離參數法解決恒(能)成立問題，根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另

一端是變量表達式的不等式，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，即可解決問題.

(2)分類討論法解決恒(能)成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數進行分

類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，據此進行求解即可.

4.導數中的雙變量問題

破解雙參數不等式的方法：

一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的

不等式；

二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.

【知識點5極值點偏移問題及其解題策略】

1.極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數y=/(x)在區間(。力)內只有一個極值點方程/(%)的解分別為

再、%2,且a＜玉＜%＜匕.

(1)若七迤wX。,則稱函數y=f(x)在區間(x15x2)上極值點X。偏移；

(2)若：Ax。,則函數y=/(x)在區間(王,々)上極值點與左偏，簡稱極值點與左偏；

(3)若與迤＜%,則函數y=/(x)在區間(%,％)上極值點/右偏，簡稱極值點X。右偏.

2.極值點偏移問題的一般題設形式

(1)函數抵%)存在兩個零點Xl，X2且%1W%2，求證：Xl+X2>2xo(xo為函數?￥)的極值點)；

(2)函數?￥)中存在％I，%2且X1WX2，滿足/(X1)書X2)，求證：%1+%2>2%0(%0為函數月%)的極值點)；

(3)函數大犬)存在兩個零點XI,無2且無1#尤2,令X。=:,求證：/(尤0)>0；

(4)函數式X)中存在尤1，X2且X1WX2，滿足y(xi)=式X2),令Xo=%,求證：/(XQ)>O.

3.極值點偏移問題的常見解法

(1)(對稱化構造法)：構造輔助函數：

①對結論尤1+X2>2xo型，構造函數尸(x)=/(x)-/(2x0-X).

②對結論為當〉而型，方法一是構造函數產(x)=/(x)—/(*),通過研究尸(X)的單調性獲得不

等式；方法二是兩邊取對數，轉化成hui+hM2>21nAo，再把瓜打，瓜也看成兩變量即可.

(2)(比值代換法)：通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數不等式，利用

函數單調性證明.

?舉一反三

【題型1函數的切線問題】

【例1】(2024?廣東?二模)已知函數f(%)=ex-1—xlnx.

(1)求曲線y=/(%)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)證明：/(x)>0.

【變式1-1](2024.四川雅安.一模)已知函數/(%)=詈，其中aCR,

(1)當。<0時，求/(%)的單調區間；

(2)當a=1時，過點(-1,租)可以作3條直線與曲線y=/(%)相切，求相的取值范圍.

【變式1-2](2024?湖北黃岡?一模)已知函數/(%)=2a\nx+^%2—(a+3)%,(aeR)

(1)若曲線y=/(久)在點處的切線方程為/(久)=-x+b,求。和6的值;

(2)討論f(x)的單調性.

【變式1-3](2024?廣東惠州?模擬預測)已知函數/0)=6。，+}(。20).

(1)當a=0時，求曲線y=f(x)在點(l,f(1))處的切線方程；

(2)設g(x)=f'(x)-x2,求函數g(x)的極大值.

【題型2(含參)函數的單調性問題】

【例2】(2024?浙江金華?一模)已知函數/(%)=—a?%+(1—a)久，(a>0).

(1)若a=1,求/(x)的單調區間;

(2)若/(久)2—求a的取值范圍.

【變式2-1](2024?上海靜安?一模)設函數f(x)=x+(-8,0)u(0,+8).

(1)求函數y=/(%)的單調區間；

(2)求不等式/(%)<2%的解集.

【變式2-2](2024.廣東.模擬預測)已知函數/(%)=%3+|(a—3)%2—ax+4.

(1)當a=6時，求f(%)的極值；

⑵討論/(%)的單調性.

【變式2-3](2024.貴州六盤水.模擬預測)已知函數/(%)=e%-a%+l(aGR).

⑴求函數/(%)的單調區間；

(2)若V%20,/。)2+2,求實數〃的取值范圍.

【題型3函數的極值與最值問題】

【例3】(2024?云南大理?一模)已知函數/(%)=ln%+?—l.

(1)當。=1時，證明：/(x)>0；

(2)若函數/(%)有極小值，且/(%)的極小值小于a-求a的取值范圍.

【變式3-1](2024?廣東肇慶.一模)已知函數/(無)=等+ax+5.

(1)當a=0時，求/(x)的最大值;

(2)若/。)存在極大值，求a的取值范圍.

【變式3-2](2024?陜西榆林?模擬預測)已知函數/(%)=。%-ln(%+1)+1.

(1)當Q=1時，求/(%)的最小值；

(2)求/(%)的極值；

(3)當a<2時，證明：當時，/(%)>ex.

【變式3-3](2024.河南.二模)已知函數/(%)=%2+2(a-3)x+2alnx(aeR)在定義域內有兩個極值點

xlfx2.

(1)求實數a的取值范圍；

-

(2)證明:/(%!)+/(%2)>1°-

【題型4導數中函數零點(方程根)問題】

【例4】(2024?貴州黔南?一模)已知函數/(%)=ae%—%+ER).

⑴討論函數/(%)的單調性；

(2)若當。>0時，函數/(%)有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍.

【變式4-1](2024?山東煙臺?三模)已知函數/(%)=%+ae%(a€R).

⑴討論函數/(%)的單調性；

(2)當a=3時，若方程齊+*=爪+1有三個不等的實根，求實數小的取值范圍.

fM-x/(x)

【變式4-2](2024?四川?一模)設/(%)=e%3T_ax

(1)若a=0,求/(%)的單調區間.

(2)討論/(%)的零點數量.

【變式4-3](2024?甘肅白銀?一模)已知函數f(%)=垃2一21n%-1.

(1)若曲線y=/(%)在％=2處的切線的斜率為3,求心

(2)已知/(%)恰有兩個零點%<%2).

①求力的取值范圍；

②證明：久+三<上駟.

X2%1t

【題型5導數中不等式的證明】

【例5】(2024?廣東廣州?模擬預測)已知函數/(%)=e%-Ze/一%.

⑴若k=｝求證：當％>0時，/(%)>1；

(2)若％=0是/(%)的極大值點，求k的取值范圍.

【變式5-1](2024?四川?一模)已知函數/(%)=xln%-a/+1.

(1)若f(%)在(o,+8)上單調遞減，求a的取值范圍;

(2)若aVO證明：/(%)>0.

【變式5-2](2024.山西.模擬預測)已知函數/(%)=Inx+^x2—x+2(aGR).

⑴若函數/(%)在定義域上單調遞增，求a的取值范圍；

AQX—2

(2)若a=0；求證：/(x)<

(3)設%i，%2(%1<%2)是函數/(%)的兩個極值點，求證：/(%1)-/(%2)<一3(%i一%2).

【變式5-3](2024.安徽安慶.三模)已知函數f(x)=(ln|x|)2-(%+，+2,記尸(久)是f(x)的導函數.

(1)求尸(1)的值；

(2)求函數/(久)的單調區間；

(3)證明:當x>1時，(X-1)[e-x+xln^1+>Inx-ln(x+1).

【題型6利用導數研究不等式恒成立問題】

[例6](2024?河南?模擬預測)已知函數/(%)=ex—2elnx+ax+lna(a>0).

(1)若Q=1,證明：/(%)>|%；

(2)若f(%)>2e+1恒成立，求實數a的取值范圍.

【變式6-1](2024.福建.三模)函數/(%)=(1-％比。%-%-1,其中。為整數.

(1)當a=1時，求函數/(%)在％=1處的切線方程；

(2)當％6(0,+8)時，/(%)V0恒成立,求a的最大值.

【變式6-2](2024?浙江臺州?一模)已知函數/(黑)=婷+4/一5%.

⑴求函數y=/(%)的單調遞減區間；

(2)若不等式^^-61nx<a(x-對任意％E[1,+8)恒成立，求實數a的取值范圍.

【變式6-3](2024.四川德陽.模擬預測)已知函數/(%)=ln%+?.

(1)若曲線y=/(%)在點處的切線為久+y+b=0,求實數b的值；

2

(2)已知函數g(%)=/O)+%,且對于任意%€(0,+8),g(x)>0,求實數a的取值范圍.

【題型7利用導數研究能成立問題】

【例7】(2024?四川樂山?三模)已知函數/(%)=ax+ln%,g(%)=aQ—%—1^+1—%

(1)討論/(%)的單調性;

(2)令”(久)=f(x)+g。)，若存在久06(1,+8),使得〈上爰1成立，求整數a的最小值.

【變式7-1](2024?河南鄭州?模擬預測)已知函數/'(%)=xlnx—ax2,g(%)=ax2—ax+1,/i(x)=f(x)+

g(%)?

⑴討論：當。€(-8,0]U住,+8)時，/(%)的極值點的個數；

(2)當a>1時，3%G(l,+oo),使得九(%)<(e-1)。一3e+3,求實數〃的取值范圍.

【變式7-2](2024?湖北?模擬預測)已知函數/(%)=In%,g(%)=￡-1其中a為常數.

⑴過原點作/(%)圖象的切線求直線/的方程；

(2)若士G(0,+8),使/(%)<g(%)成立,求a的最小值.

【變式7-3](2024?遼寧?模擬預測)已知函數/(%)=(ax—l)ex+1+3(aW0).

⑴求/(%)的極值；

(2)設a=l,若關于久的不等式/(%)<(b-l)e%+i-汽在區間[一1,+8)內有解，求b的取值范圍.

【題型8雙變量問題】

【例8】(2024.江蘇鹽城.模擬預測)已知函數/。)=捺，其中a〉0.

(1)若f(x)在(0,2]上單調遞增，求a的取值范圍；

(2)當a=1時，若%]+&=4且0<X1<2,比較/'01)與/(右)的大小，并說明理由

【變式8-1](2024.河南商丘.模擬預測)已知函數/(久)的定義域為(0,+8),其導函數/(久)=2支+：—

2a(aeR),/⑴=1-2a.

(1)求曲線y=/(久)在點(1,/(1))處的切線/的方程，并判斷/是否經過一個定點；

(2)若三%1，%2，滿足OV%1<%2，且/(%1)=/(%2)=。，求2/(%1)-/(%2)的取值范圍.

【變式8-2](2024?四川成都?模擬預測)已知函數/(%)=詈一7n,%￡(0m).

⑴求函數/(%)的單調區間；

(2)若第1<%2，滿足/(%1)=/(%2)=。.

(i)求ni的取值范圍；

(ii)證明：/+%2V1T.

【變式8-3](2024?安徽阜陽?一模)已知函數f(%)=31nx—ax.

⑴討論f(%)的單調性.

(2)已知是函數/(久)的兩個零點(第1V%2)?

(i)求實數a的取值范圍.

(ii)2e(0,|),廣(x)是f(x)的導函數.證明：+<0.

【題型9導數中的極值點偏移問題】

【例9】(2024.江西.模擬預測)已知函數f(x)=%+學

(1)討論f(%)的單調性；

(2)若%1。%2，且/(%i)=/(%2)=2,證明：0Vm<e,且％1+&<2.

【變式9-1】(2024?云南?二模)已知常數a>0,函數/(%)=一一2a2]口%.

(1)若V%>0/(%)>-4a2,求a的取值范圍;

(2)若%1、不是/(%)的零點，且%1。％2，證明:％i+%2>4a.

【變式9-2](2024?全國?模擬預測)已知函數f(%)=1—In%—ER).

(1)求/(%)的單調區間；

(2)若/(%)有兩個零點%i，到，且%1<%2，求證：%i%2<e-a.

【變式9-3](2024?湖北武漢?三模)已知函數/(%)=a%+(a-l)ln%+：,aER.

⑴討論函數/(%)的單調性；

(2)若關于％的方程/(%)=xex-Inx+:有兩個不相等的實數根%]、%

(i)求實數〃的取值范圍;

/一、十、/eX1,eX2、2a

(11)求證：一H--X->——.

%21

【題型10導數與其他知識的綜合問題】

【例10](2024?江蘇南通?三模)已知函數/(久)=(1+x)fc-/ex-l(fc>1).

()若X>-1,求/(X)的最小值;

(2)設數列｛an｝前項和%,若0n=(1+藪)，求證：Sn-n>2-等.

【變式10-11(24-25高三上?河北滄州?階段練習)已知函數/(%)=In久的圖象與函數g(x)的圖象關于直線y=

-x+1對稱.

(1)求函數g(x)的解析式；

⑵證明:VxG(1,+oo),/(x)-g(x)>0;

(3)若圓M:(x—1)2+丫2=產">0)與曲線丫=|/(為|相交于43兩點，證明：NAMB為銳角.

【變式10-2](2024.重慶?二模)已知函數/■(>)=總]

⑴求/(%)的單調區間；

(2)當OV%<1時，/(%)>-^-+a,求實數a的取值范圍；

%—1

(3)已知數列{&J滿足：Gli=且廝=f(an+i).證明：<an<-^.

【變式10-3】(2024?江蘇?一模)已知a>0,函數/(%)=axsin%+cosa%—1,0<%<-.

4

⑴若a=2,證明：/(%)>0；

(2)若求4的取值范圍；

(3)設集合尸={a\a=〉cos,幾6N*},對于正整數m,集合={x\m<x<2m},記Pn中

nnk=l2/C(/：t+l)

元素的個數為力句求數列物加}的通項公式.

【題型11導數新定義問題】

【例11】(2024.河南新鄉.模擬預測)已知函數/(%)=。0+%%+g/+…+其中…，%I不

71

全為0,并約定an+i=0,設瓦=(k+1)以+1-耿，稱g(%)=為+瓦%+歷/+…+b九%為/(%)的“伴生

函數

(1)若/(%)=5x4+3x2+3%+1,求g(%)；

(2)若f(%)>0恒成立，且曲線y=>0)上任意一點處的切線斜率均不小于2,證明：當1>0時，

gM>/(%)；

(3)若劭=0，證明：對于任意的租e(0,+8),均存在te(o,7n),使得g(t)<3黑.

【變式11-1](2024四川成者回模擬預測)定義運算：|；；|=mq-np,已知函數/(x)=「竽”—1

?“q??1CL

--1.

X

(1)若函數f(x)的最大值為0,求實數。的值；

(2)證明：(1+襄)(1+*)(1+*)…(1++)<e.

(3)若函數無(久)=/(x)+g(K)存在兩個極值點%1，刀2，證明：_a+2<0.

%1一不

【變式11-2】(2024?湖南長沙?模擬預測)定義：如果函數f(x)在定義域內，存在極大值f(/)和極小值/(%2)

且存在一個常數鼠使/(%)-/(>2)=k(xi-右)成立，則稱函數/(X)為極值可差比函數，常數k稱為該函數

的極值差比系數.已知函數/(X)=x-1-alnx.

(1)當a=]時，判斷/(久)是否為極值可差比函數，并說明理由；

(2)是否存在a使/(久)的極值差比系數為2-a?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

(3)若乎<a<|,求/(%)的極值差比系數的取值范圍.

【變式11-3](2024.上海?模擬預測)已知函數y=f(x),xGD,如果存在常數M,對任意滿足/<x2<■■■<

久nT<f的實數與，久2,…，久n-1,與1，其中無1，久2,…，久n-l，Xn6。，都有不等式￡上2"(%)-/■(陽-1)14M恒成

立，則稱函數y=/(%),%e。是“絕對差有界函數”

(1)函數/(*)=等,x>:是“絕對差有界函數”，求常數M的取值范圍；

(2)對于函數y=/(%),%e[a,b],存在常數匕對任意的%力亞e[見句，有lf(%i)一/(犯)14《久i一]2I恒成立，

求證：函數y=/(%),%e&用為“絕對差有界函數”

⑶判斷函數，⑺=/北｝°、'”不是，，絕對差有界函數，，？說明理由

A課后提升練(19題7

一、解答題

1.(2024.海南省直轄縣級單位.模擬預測)已知函數/(%)=%-In%-2.

(1)求曲線y=/(%)在(e,e-3)處的切線方程；

(2)若a20,g(x)=ax2-2(ax+1)-/(x),討論函數g(%)的單調性.

2.(2024?湖北?一模)已知/(%)=(ax2+%+l)ex.

(1)當a=1時，求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程;

(2)若f(%)在區間內存在極小值點，求a的取值范圍.

3.(2024?重慶?模擬預測)設aGR,已知函數/(%)=Inx+ax—a2+2.

(1)當函數/(%)在點(2/(2))處的切線m與直線/:3%-2y-1=0平行時，求切線m的方程;

(2)若函數/(%)的圖象總是在久軸的下方，求a的取值范圍.

4.(2024?河南?模擬預測)已知函數/'(x)=/+ax(aeR)的一個極值點為x=1.

⑴求a的值:

(2)若過點(3,機)可作曲線y=f(x)的三條不同的切線，求實數6的取值范圍.

5.(2024?西藏拉薩?一模)已知函數/(%)-x2—(A+3)x+Zlnx.

(1)若4=-3,求/'(X)的單調區間；

(2)若f(x)既有極大值，又有極小值，求實數4的取值范圍.

6.(2024?廣東.模擬預測)已知函數/(%)=x—1-alnx,aeR.

(1)判斷函數/(久)的單調性；

(2)若/'(X)＞。恒成立，求a的值.

7.(2024?四川成都?二模)已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產一千件需另投入2.7

萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，銷售收入為R(x)萬元，且R(x)=

(注：年利潤=年銷售收入-年總成本)

(1)寫出年利潤加(萬元)關于年產量無(千件)的函數解析式；

(2)求公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大時的年產量.

8.(2024?江蘇?二模)已知函數/(%)=%—■Falnx(aeR).

(1)當a=0時，證明:/(x)>1;

(2)若/(%)在區間(1,+8)上有且只有一個極值點，求實數。的取值范圍.

9.(2024?新疆?模擬預測)已知函數/(%)=(%-l)emx.

(1)當m=1時，求/(%)的單調區間及最值；

(2)若不等式f(%)>X2-%在［1,+8)上恒成立，求實數771的取值范圍.

10.(2024?吉林長春?模擬預測)已知函數/(%)=>。)?

⑴證明：0</(x)<|；

(2)證明：W"高<皿"+1)<W"三，nEN*.

11.(2024?四川內江?一模)已知函數/'(x)=a(￡+a)—ln(x+1),aER.

(1)討論函數/(%)的單調性；

(2)若f(x)>1恒成立，求實數a的取值范圍.

12.(2024?河北邯鄲