微專題29與圓有關的位置關系

考點精講

構建知識體系

考點梳理

1.點與圓的位置關系

點在圓外d＝OA①r

點在圓上d＝OB②r

點在圓內d＝OC③r

2.直線與圓的位置關系(2024年首次涉及考查)

位置關系相離相切相交

d與r的

d④rd⑤rd⑥r

關系

交點的

沒有公共點有且只有一個公共點有兩個公共點

個數

示意圖

3.切線的性質與判定(6年6考)

(1)性質定理：圓的切線⑦于過切點的半徑(或直徑)

第1頁共20頁

(2)性質：①切線和圓只有一個公共點；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切

線垂直于過切點的半徑；④經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；⑤經過切點

且垂直于切線的直線必過圓心

(3)判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

(4)判定方法：①直線與圓公共點已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點未知：

作垂直，證半徑

4.切線長與切線長定理

圖示

在經過圓外一點的圓的切線上，這點與⑧之間的線段的長

切線長

度，叫做這點到圓的切線長

從圓外一點可以引圓的⑨條切線，它們的切線長⑩，這

切線長定理一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.(探索并證明切線長定理*

選學)

5.三角形的內切圓

(1)定義：與三角形各邊都相切的圓

(2)圓心O：內心(三角形的內切圓圓心或三角形三條?的交點)

(3)性質：三角形的內心到三角形?的距離相等

(4)角度關系：如圖③，圖④，∠BOC＝90°＋∠BAC

1

【知識拓展】2

任意三角形的內切圓直角三角形的內切圓

圖③圖④

第2頁共20頁

利用等面積法可得：＝

r＋＋

利用等面積法可得：＝△??

r＋＋

2?????＋?－?

利用切線長定理可得：r＝

???

???

2

練考點

1.已知☉O的半徑為3，P為平面內一點，OP＝4，則點P在☉O.(填

“內”“上”或“外”)

2.已知圓的半徑為3，圓心到某直線的距離為2，則此直線與圓的位置關系

為.(填“相交”“相切”或“相離”)

3.如圖，AC是☉O的直徑.

(1)若BC是☉O的切線，則∠ACB＝°；

(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，則BC與☉O.(填“相交”“相切”或“相

離”)

第3題圖

4.如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，連接AB，OA，OB，PO，PO

交☉O于點C，交AB于點D，∠OAB＝30°.

第4題圖

(1)∠APB的度數為；

(2)若OA＝4，則OP的長為.

5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內切圓半徑r

＝.

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第5題圖

6.如圖，△ABC的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線CD上，若AB＝CD，

則△ABC的面積為.

第6題圖

高頻考點

考點與切線有關的證明及計算(6年6考)

一、切線的判定(6年4考)

方法解讀

1.利用平行證垂直：

當需要證明的切線有一條垂線時，可證明過切點的半徑與這條垂線平行.

2.利用等角轉換證垂直：

題干中直接給出角度關系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角

代換來證明.

3.利用三角形全等證垂直：

常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構造全等三

角形來證得垂直.

4.作垂直，證半徑：

過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長等于半徑.

方法一連半徑、證垂直

第4頁共20頁

例1(利用平行證垂直)核心設問如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為

直徑的☉O交BC于點E，過點E作EF⊥AB于點F.求證：EF是☉O的切線.[2019

廣東24(2)題考查]

例1題圖

例2(利用等角轉換證垂直)如圖，AB是☉O的直徑，C是圓上一點，過點C的

直線CD交BA延長線于點D，且∠DCA＝∠B，求證：CD是☉O的切線.

例2題圖

例3(利用三角形全等證垂直)核心設問如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

以BC為直徑作☉O，交AB于點D，點E為AC上一點，連接DE.若DE＝CE，

求證：DE是☉O的切線.[2020廣東22(1)題考查]

例3題圖

方法二作垂直、證半徑

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例4核心設問如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一點O為圓心，

OC長為半徑作☉O，連接BO，若BO平分∠ABC，求證：AB是☉O的切線.[2024

廣東17(2)題考查]

例4題圖

二、切線性質的相關證明及計算(6年2考)

方法解讀

1.證明角相等的方法：

(1)根據直角三角形中兩銳角互余，進行等量代換找到對應的角；

(2)根據平行線與等腰三角形的性質，進行等量代換找到相對應的角；

(3)通過證明兩個三角形全等，得到對應的角相等.

2.求線段長的方法：

(1)若題干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出現三角函數sin、cos、tan時，

考慮利用三角函數求線段長；

(2)若題干無特殊角或三角函數，觀察圖形發現已知邊與所求邊分別所在的三角形

存在相似關系，考慮作輔助線將所求線段轉化到直角三角形中，利用相似三角形

求線段長.

3.證明線段平行的方法：

(1)通過角之間的等量代換，利用同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補的方法

證明兩直線平行.

(2)設法將兩條線段放在同一個三角形中，利用中位線(或等分點)的性質證明兩直

線平行.

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例5如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一點，以BE為直徑的☉O

與AC相切于點D，連接BD，DE.

例5題圖①

(1)求證：∠ABD＝∠CDE；

(2)求證：BD平分∠ABC；

(3)若∠ABD＝30°，AD＝，求OC的長；

3

(4)如圖②，若F為CD的中點，連接EF，∠C＝30°，求證：EF∥AB.

例5題圖②

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真題及變式

命題點切線的判定及性質(6年6考)

1.(2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，

AB是☉O的直徑，CO平分∠BCD.

(1)求證：直線CD與☉O相切；

(2)如圖②，記(1)中的切點為E，P為優弧上一點，AD＝1，BC＝2.求tan∠APE

的值.?

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