微專題12反比例函數與一次函數、幾何結合

高頻考點突破

考點1反比例函數與一次函數結合(6年3考)

方法解讀

求幾何圖形面積：通常將坐標軸上的邊或與坐標軸平行的邊作為底邊，再利用點

的坐標求得底邊上的高，最后利用面積公式求解.

常見求三角形面積的示例如下：

①S△AOB＝OB·AD；

1

2

②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；

③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.

例1如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝k1x＋b1(k1≠0)的圖象與反比例

函數y＝(k2≠0)的圖象分別交于點A(－1，－2)，B(，n).

?23

(1)求一次?函數與反比例函數的解析式；2

第1頁共12頁

(2)如圖①，點C是反比例函數圖象上一動點，過點C作y軸的垂線，交y軸于

點D，交一次函數圖象于點E，當點C恰好是DE的中點時，求點C的坐標；

例1題圖①

(3)核心設問如圖②，連接OA，OB，求△AOB的面積；[2019廣東23(2)題考查]

例1題圖②

(4)核心設問如圖③，點M是一次函數圖象上一動點，當AM＝3BM時，求點M

的坐標.[2021廣東21(2)題考查]

例1題圖③

考點2反比例函數與幾何結合(6年2考)

方法解讀

一、坐標法

由y＝得到xy＝k，如：點A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函數y＝的圖象上，

??

則xA·yA＝x?B·yB＝k①，即反比例函數圖象上的點的橫、縱坐標積相等，?都等于k；

第2頁共12頁

①式變形為＝②，即反比例函數圖象上兩點橫坐標的比值與縱坐標的比值互

????

為倒數.????

二、面積法

面積法的本質即利用“k”的幾何意義，由xy＝k可以得到；反比例函數圖象上

的點向x，y軸作垂線，得到的矩形面積都相等，均為｜k｜；進而得到下圖中：

S△AOB＝S△COD＝｜k｜.

1

2

例2(北師九上習題改編)如圖，已知雙曲線y＝(x＞0)經過Rt△OAB斜邊OB

?

的中點D，與直角邊AB相交于點C，DE⊥OA于?點E，連接OC，若△OBC的面

積為3，則k等于.

例2題圖

例3(2024東莞一模改編)如圖，點A是反比例函數y＝(x＞0)的圖象上任意一

6

點，AB∥x軸并交反比例函數y＝－(x＜0)的圖象于點B，以?AB為邊作菱形ABCD，

3

其中C，D在x軸上，則菱形ABC?D的面積為.

例3題圖

第3頁共12頁

例4(人教九上習題改編)如圖，△ABC的邊AB在x軸上，邊AC交y軸于點E，

AE∶EC＝1∶2，反比例函數y＝(x＞0)的圖象過點C，且交線段BC于點D，

?

?

BD∶DC＝1∶3，連接AD，若S△ABD＝，則k的值為.

11

4

例4題圖

真題及變式

命題點1反比例函數與一次函數結合(6年3考)

1.(2021廣東21題8分)在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx＋b(k＞0)的圖

象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數y＝圖象的一個交點為P(1，

4

m).?

(1)求m的值；

(2)若PA＝2AB，求k的值.

2.(2019廣東23題9分)如圖，一次函數y＝k1x＋b的圖象與反比例函數y＝的

?2

圖象相交于A，B兩點，其中點A的坐標為(－1，4)，點B的坐標為(4，n).?

(1)根據圖象，直接寫出滿足k1x＋b＞的x的取值范圍；

?2

(2)求這兩個函數的表達式；?

(3)點P在線段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求點P的坐標.

第2題圖

命題點2反比例函數與幾何結合(6年2考)

第4頁共12頁

3.(2020廣東24題10分)如圖，點B是反比例函數y＝(x＞0)圖象上一點，過點

8

B分別向坐標軸作垂線，垂足為A，C.反比例函數?y＝(x＞0)的圖象經過OB

?

的中點M，與AB，BC分別相交于點D，E.連接DE并延長?交x軸于點F，點G

與點O關于點C對稱，連接BF，BG.

(1)填空：k＝；

(2)求△BDF的面積；

(3)求證：四邊形BDFG為平行四邊形.

第3題圖

第5頁共12頁

高頻考點

例解：將點－，－代入＝中，得＝－，

1(1)A(12)y(k2≠0)－2

?2?2

?1

解得k2＝2，

∴反比例函數的解析式為y＝，

2

將點B(，n)代入y＝中，得?n＝，

324

∴點B(2，)，?3

34

23

將點A(－1，－2)，B(，)分別代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，

34

－＋＝－23

得，

＋＝

?1?12

34

11

2?＝?3

解得4，

?1＝－3

2

1

∴一次?函數的3解析式為y＝x－；

42

(2)設點C的坐標為(x，)，33

2

∵點C是DE的中點，?

∴點E的坐標為(2x，)，

2

將點E(2x，)代入y＝?x－中，

242

得·2x－＝?，33

422

整理3得43x2－?x－3＝0，

解得x＝1或x＝－，

3

當x＝1時，y＝＝42，點C的坐標為(1，2)，

2

當x＝－時，y＝1＝－，點C的坐標為(－，－).

－

32838

3

44343

綜上所述，點C的坐標為(1，2)或(－，－)；

38

第64頁共132頁

(3)由(1)可知點A(－1，－2)，點B(，)，

34

在一次函數y＝x－中，令y＝0，2得x3＝，

421

332

∴S△AOB＝××(＋2)＝；

1145

(4)設點M(2a，2b3)，當點6M在AB的延長線上時，

∵AM＝3BM，∴AB＝AM，

2

如解圖①，過點M作x3軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩線相交于點P，過點

B作BQ⊥AP于點Q，則BQ∥MP，

∴△ABQ∽△AMP，

∴＝＝＝，

??????2

??????3

∴3＝4＝，

2+13+22

解得?+1a＝?+2，b3＝3，

11

∴點M的4坐標為(，3)；

11

當點M在線段AB4上時，

∵AM＝3BM，∴AB＝AM，

4

如解圖②，過點M作x3軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩線相交于點P，過點

B作BQ⊥AP交AP的延長線于點Q，則BQ∥MP，

∴△ABQ∽△AMP，

∴＝＝＝，

??????4

??????3

∴3＝4＝，

2+13+24

解得?+1a＝?+，2b3＝，

71

∴點M的8坐標為2(，).

71

綜上所述，點M的8坐2標為(，3)或(，).

1171

4第87頁2共12頁

圖①

圖②

例1題解圖

例22【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中點，∴OE

＝OA，DE＝AB，∴＝＝2，又∵點C，D都在y＝上，∴＝＝2，即

11?????????

22?????????

DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝BC·OA＝·3AC·OA＝k＝3，

113

∴k＝2.222

一題多解法

∵點C，D都在y＝上，∴S△ODE＝S△OCA＝，由題意得△ODE∽△OBA，且相似

??

?2

比＝，∴＝，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋k，

??1?△???11

△???

∴2??k＝32＋k，?∴k＝42.2

1

例39【2解析】設點B的縱坐標為b，∴－＝b，解得x＝－，∵AB∥x軸，

33

??

∴點A的縱坐標為b，∴b＝，解得x＝，∴AB＝－(－)＝，∴S菱形ABCD＝·b

666399

＝9.??????

例44【解析】設A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴點C(2a，)，∵BD∶DC

?

＝1∶3，∴點D的縱坐標為×＝，∴點D的坐標為(8a，)，2∴?B(10a，0)，

?1??

2?48?8?

第8頁共12頁

∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×＝11，∴S△ABC＝×11a×

111?

＝11，解得k＝4.422?

真題及變式

1.解：(1)∵P(1，m)為反比例函數y＝圖象上一點，

4

∴當x＝1時，m＝＝4；(2分)?

4

(2)如解圖，過點P1分別作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，

由(1)得P(1，4)，

∴PM＝4，PN＝1.

①當點B在y軸的正半軸時，

∵PA＝2AB，

∴＝，

?1?11

??12

易證△A1OB1∽△A1MP，

∴＝＝，

??1?1?11

???1?2

∴OB1＝2，

∴B1(0，2)，

將P(1，4)，B1(0，2)分別代入y＝kx＋b中，

＋

得，解得；(5分)

??=4?=2

②當點在軸的負半軸時，

?=2By?=2

∵PA＝2AB，

∴＝，

?2?21

??23

易證△B2A2O∽△B2PN，

∴＝＝，

??2?2?21

????23

∴OA2＝，

1

3第9頁共12頁

∴A2(，0)，

1

3

將P(1，4)，A2(，0)分別代入y＝kx＋b中，

1

＋3

得，解得.

＋＝－

??=4

1?=6

綜上3?所述?，=k0的值為2?或6.2(8分)

第1題解圖

2.解：(1)x＜－1或0＜x＜4；(2分)

(2)∵點A(－1，4)在反比例函數y＝的圖象上，

?2

∴＝，分?

4－(3)

?2

1

解得k2＝－4，

∴反比例函數的表達式為y＝－.(4分)

4

∵點B(4，n)在反比例函數y＝－?的圖象上，

4

∴n＝－＝－1，?

4

∴B(4，－41).

∵一次函數的圖象過A，B兩點，

－＋

∴，(5分)

＋＝－

?1?=4

1

解得4?＝?－，1

?11

∴一次函數的表達式為＝－＋；分

?=3yx3(6)

(3)如解圖，連接OP，OA，OB，設一次函數y＝－x＋3與x軸交于點C，

第10頁共12頁

第2題解圖

∵當y＝0時，x＝3，

∴點C的坐標為(3，0).

∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，

∴S△AOB＝×3×4＋×3×1＝.(7分)

1115

∵S△AOP∶S2△BOP＝12∶2，2

∴S△BOP＝S△AOB＝×＝5.

2215

∵點P在線3段AB上3，2

∴設P的坐標為(m，－m＋3)，－1＜m＜4，

∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，

∴S△BOP＝×3×(－m＋3)＋×3×1＝5，(8分)

11

解得m＝2，2

2

∴－m＋33＝－＋3＝，

27

∴點P的坐標為3(，3).(9分)

27

3.(1)2；(2分)33

【解法提示】如解圖①，過點M分別向坐標軸作垂線，垂足為P，Q.由題意得S

矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝｜k｜.∵M是OB的中點，∴S矩形PMQO＝S