2025年高考數學模擬試卷02（新九省卷）

詳細解析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={目尤=3〃-1,〃€2},3=何（）＜尤＜6},則AB=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

【答案】D

【解析】A={尤|x=3〃-l,〃eZ},3={x|0<;r<6},則AB={2,5},故選D

2.若tan[a-：)=2,則sin2a=()

4

D.

5

【答案】B

【解析】由t小一小端=2,得tan-3,

.小c.2sinacosa2tana3

/.smz<7=2sinacosa=——---------------=-------------=——故選B.

sina+cosa1+tana5

3.已知〃=Z?=(3m-1,2),若〃〃b，則機=()

A.1B.-1C.1

3

【答案】A

【解析】因為〃=Z?=（3m-1,2）,a!lb，所以2根一（3加-1）=0,解得根=1,故選A.

5

4,若(1一2x)5=%+++a5x,貝(]%+&=()

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

2

【解析】在(l—2x)5=%+〃]%+%%2+.+%%5中，＜22=C1x2=40,〃4=C；X24=80,

所以出+%=120,故選C

5.已知等差數列｛?｝的前〃項和為S“，且$2=2,凡=9,貝|工。=()

A.14B.16C.18D.20

【答案】D

【解析】設數列｛4｝的公差為"，由S?=2,Sb=9,

7

2q+d=2“一

得6x5，解得,

6al+-----d=9

12d=-

4

所以/=叫+^^1=親￡=20,故選D.

6.折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.

它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是

一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧。E,AC所在圓的半徑分別是3和6,且

ZABC=120°,則該圓臺的體積為（）

【答案】D

【解析】設圓臺上下底面的半徑分別為小2，由題意可知gx2兀><3=2跖，解得4=1,

|x27tx6=27r^,解得：弓=2,作出圓臺的軸截面，如圖所示:

DOQ

圖中OD=(=1,O'A=G=2,AD=6-3=3,

過點。向AP作垂線，垂足為T,則AT=4-q=l,

所以圓臺的高/Z=JA￡)2—472=132一1=20,

2

則上底面面積S|=71X1'*S2=7ix2=47T,由圓臺的體積計算公式可得：

147t

V=lx(S1+S2+7^i-^)x/z=1x77tx2>/2=^,故選D.

7.已知直線y+l="(x-2)與圓(x—l)2+(y—l)2=9相交于跖N兩點.則I“VI的最小值為()

A.75B.275C.4D.6

【答案】C

【解析】由圓的方程(x-l)2+(y-l)2=9,可知圓心A(1,D,半徑R=3,

直線y+l="(x-2)過定點5(2,-1),

因為(2-1)2+(-1-1)2=5<9,則定點3(2,-1)在圓內，

22

則點3(2,-1)和圓心A(l,l)連線的長度為d=7(2-1)+(-1-1)=卡，

當圓心到直線距離最大時，弦長最小，此時ABLMN,

由圓的弦長公式可得|"N|=2，&-蕾=2m-(逐了=4，

故選：C

8.己知可導函數〃x)的定義域為R,為奇函數，設g(“是/⑺的導函數，若g(2x+l)為奇函數,

110

且g⑼=7,則￡依(2左)=()

2k=\

A13-13c11n11

A.——B.C.一D.——

2222

【答案】D

【解析】因為為奇函數，貝=

即/(x-i),兩邊求導得r(x-i)=r(-x-i),

貝ljg(x-l)=g(r—l),可知g(x)關于直線》=一1對稱，

又因為g(2x+l)為奇函數，則g(2x+l)+g(-2x+l)=0,

即g(x+l)+g(-x+l)=O,可知g(x)關于點(1,0)對稱,

令x=l,可得g⑵+g(0)=0,SPg(2)=-g(0)=-l,

由g(x-l)=g(_x.l)可得g(x)=g(-x-2),

由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(—x+2),

可得g(r-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g(O)=-；；

令x=2,可得g(6)=-g⑵=；；

且g(x+8)=-g(x+4)=-[-ga)]=g(x),可知8為g(x)的周期,

可知g(8k+2)=g(8左+4)=-；,g(8%+6)=g(8%+8)=),ZeZ,

10]111

所以￡依(2左)=一一(1+2+5+6+9+10)+—(3+4+7+8)=.

I222

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數z,下列說法正確的是()

A.若z-2=0,貝！]z為實數B.若z2+52=o,貝iJz=7=0

C.若|z-i|=l,則|z|的最大值為2D.若|z-i|=|z|+l,則z為純虛數

【答案】AC

【解析】設2=。+加(<7/eR),則W=a-歷，

若z-2=0,即(。+歷)—(。一為)=2歷=0,即》=0,則z為實數，故A正確；

若z?+彳2=0,即(°+歷了+(a—歷y=o,

22

化簡可得/+2。歷+。2一力2-2。歷=0,UPa=b,即。=坊，

當。=〃時，z=a+ai,z=a-ai,止匕時不一定滿足z=N=0,

當a=-b時，z=a-ai,z=a+〃i，此時不一定滿足z=5=0,故B錯誤；

22

若|z-i|=l,Bp|z-i|=i=|a+（/,-i）i|=^+（z,_i）=1,

所以/+（。-1）2=1,即z表示以（0,1）為圓心，以1為半徑的圓上的點，

且忖表示圓上的點到原點的距離，所以|z|的最大值為2,故C正確；

若|z-i|=|z|+l,即|z_i|=|a+0_l）i|=Ja2+e_1）2,

目+1=荷+/+1,即!=〃2+戶+1,

化簡可得6=—，/+/,則。=0且/V0,

此時z可能為實數也可能為純虛數，故D錯誤；

故選：AC

10.已知函數/口）=85（妙+9）[。>0,。<夕<"的圖象在｝;軸上的截距為3，巳是該函數的最小正零點,

則（）

71

A.（p=—

3

B./（x）+/'（x）W2恒成立

C.在[o,[上單調遞減

D.將y=/（x）的圖象向右平移:個單位，得到的圖象關于,軸對稱

【答案】AC

【解析】函數/■（尤）=85（0X+夕）（0>0,0<0<]]的圖象在〉軸上的截距為3，

所以cosp=:，因為0<?<:所以。=々.故A正確；

jr

又因為二是該函數的最小正零點，

12

LLt、II兀兀）f\TLt、r兀兀兀

所以COS10丘+§J=。，所以。方+3=5，

解得0=2,所以/"）=8$[2苫+：）,r（x）=-2sin]2x+3,

所以/（元）+/'（無）=cos（2無+^J-2sin]2x+*|J=^cos（2x+m+e]vV^,故B錯誤；

當時，2尤+六與兀）.（0,兀）,故C正確；

將y=〃x）的圖象向右平移三個單位，得到y=cos2卜-3+]=cos[2x-。

是非奇非偶函數，圖象不關于y軸對稱，故D錯誤.

故選：AC.

11.如圖，已知拋物線c：y2=2px（p>0）的焦點為F,拋物線C的準線與X軸交于點D,過點下的

直線/（直線/的傾斜角為銳角）與拋物線C相交于AB兩點（A在x軸的上方，8在x軸的下

方），過點A作拋物線C的準線的垂線，垂足為直線/與拋物線C的準線相交于點N,貝卜）

A.當直線/的斜率為1時，\AB\=4pB.^\NF\=\FM\,則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得ZAOB=90D.若A戶=3FB，則直線/的傾斜角為60

【答案】AD

【解析】易知尸，，。）,可設■：>=（無-￡|（左>0）,設4（%,乂）,3（工2，%），

y=]\X--Ik2r）2

與拋物線方程聯立得iI2）=>k2x2-（k2p+2p）x+^-=0,

y2=2px

貝!]%+x=,=P-.,

2*P”V2

對于A項，當直線/的斜率為1時，此時尤1+%=32，

由拋物線定義可知|4司+忸司=占+]+馬+1=|四=4p,故A正確；

易知AMN是直角三角形，若|人叫=|「5圖，

則ZANM=ZFMN=ZAMF=ZFAM,

又同=|AM|,所以為等邊三角形，即NA網=60,止匕時左=退，故B錯誤;

+%)+牛

由上可知玉%2+%丁2=

3

——〃2<0,

244

即加流0，故C錯誤；

若Ab=3尸3n_1_玉=3^x2-^^xl=2p-3x2,

又矢…注啰，所以％=島，

則"=j萬=若，即直線/的傾斜角為60，故D正確.

占一萬

故選：AD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2024年1月九省聯考的數學試卷出現新結構，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6

分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得。分;

③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三

個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結構數學試題的考試中，小

明同學三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個

選項，則小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數為.

【答案】11

【解析】由題意得小明同學第一題得6分；

第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得。分、4分和6分；

第二題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得。分、2分和3分；

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、

15分共8種情況，

所以中位數為劣丑=11,

13.在直三棱柱ABC-A,與G中，AB=AC=AAi=4,AC±AB,過AQ作該直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面積的最小值為.

【答案】87t

【解析】由直三棱柱ABC-A4G可知，平面ABC,

又AC_LAB,所以AB,AC,兩兩垂直，

設直三棱柱ABC-A由G外接球的半徑為R,

通過構造長方體可知該三棱柱的外接球與以AB,AC，M為邊長的長方體外接球相同；

過AG作該直三棱柱外接球的截面，當AC,為所截圓的直徑時截面面積最小,

因為AC]=A/42+42=4A/2,

則所求截面面積最小值為=8兀.

14.在ABC中，內角A,B,。所對的邊分別為b,c,已知c=2asinC-2ccosA,則sin2A=

若。=2,貝屋ABC面積的最大值為

32+A/7

【答案】

43

【解析】因為。=2asinC—2ccosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinC—2sinCcosA,

因為C￡（0,?）,/.sinCw0,則有sinA-cos人=；，

ii33

所以（sinA-cosA—=—,得l—2sinAcosA=—,即2sinAcosA=—,故sin2A=—；

4444

3

因2sinAcosA,AG（0,71）,故,可得sinA>0,cosA>0,

sinA=l±^

sinA-cosA=-二,得A”=工兒

由＜2,解得SsinA=LMC,

osA=^l2

sin2A+cos2A=1C24

4

由余弦定理得，cosA=U^也二，所以〃+'2=4+立」C,

2bc42

由〃+J+鋁2”當且僅當』時等號成立，可得公占爭+萬,

<J1+幣4f-馬史，即，ABC面積的最大值為"立

sABC-~x--—x§（5+,7）=

33

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）已如曲線“力=加+》-211?+。6力€2在＞2處的切線與直線天+2＞+1=。垂直.

⑴求。的值;

⑵若/(x)ZO恒成立，求匕的取值范圍.

【解】(1)由于x+2y+l=。的斜率為所以廣⑵=2,

2、21

又/'(%)=+l—，故/'(2)=4Q+1—7=2,解得〃二—,

x22

(2)由(1)知。=:，所以尸(x)=x+l-2=.+X2=(X+2)(X-1),

2xxx

故當尤>i時，r(x)>o,/(x)單調遞增，

當0cx<1時，-(x)<0"(x)單調遞減,

故當x=l時，/(%)取最小值/。)=；+1+6,

13

要使/(x)Z0恒成立，^/(1)=-+1+&>0,解得62-；,

,3

故6的取值范圍為

16.(本小題滿分15分)為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學后，學校統計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間

(單位：分鐘)，得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

(1)根據頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值(同一組中的數據用該

組區間的中點值為代表)；

⑵開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作

為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于［80,100)的人數記為己

求隨機變量4的分布列與數學期望.

【解】(1)由題知：各組頻率分別為：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均閱讀時間的平均數為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分鐘)

(2)由題意，在[60,80),[80,100),[100,120]三組分別抽取3,2,1人

4的可能取值為：0,1,2

3

則尸(『)=C專C0=^1m)=C罟2cl=3：

2

P(J=2)=)c'c^」1

C：5

所以j的分布列為:

13I

E((^)=0x-+lx-+2x-=l

17.(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是邊長為2的正方形，PA=PB=也,

點M在尸D上，點N為BC的中點，且〃平面MAC.

(1)證明：CM〃平面P/W；

(2)若尸C=3,求平面PAN與平面MAC夾角的余弦值.

【解】(1)連接3D交AC與點O,連接可得平面P5D與平面MAC的交線為OM,

因為尸8〃平面M4C,Pfiu平面PSD,所以PB//OM,

又因為。為3D的中點，所以點M為尸￡>的中點，

取E4的中點E,連接EM,EN,可得EM//AD且EM=gA￡>,

又因為N為BC的中點，可得CN//AD且CN=：A。，

所以EM//CN且EM=CN,所以四邊形￡MCN為平行四邊形，所以CM//EN,

又因為CMZ平面尸AN，且ENu平面PAN,所以CM//平面PAN.

(2)取A3的中點S,連結尸S,CS,

因為24=28=石，可得尸S_LAB,且PS=[PB?-BS?=2，

又因為SC=dBC?+BS，=小，且尸C=3,

所以PC?=m2+5。2,所以尸S_LSC,

又因為ABSC=S,且A5,SCu平面ABCZ）,所以PS_L平面ABCD,

以S為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系S-孫z,

可得4（—1,0,0）,以1,0,0）,。（1,2,0）,￡＞（-1,2,0）,尸（0,0,2）,

因為/為尸。的中點，N為3c的中點，可得

則AP=（1,0,2）,PN=（1,1,-2）,AM=，

/、m-AP=x,+2z,=0

設m=（3,小4）是平面尸4V的法向量，貝ij,

m-PN=石+"一2Z]=0

取光=2,可得y=—4,z=—l,所以根=（2,-4,—1）,

3

n-AM=-x2+y2-z2=0

設加=（X2，%，Z2）是平面M4C的法向量，貝人

n?MC=；%+%+z2=0

取％=2,可得y=—2,z=l,所以〃=（2,—2,1）；

\m-n\111101

設平面PAN與平面MAC的夾角為6,則===

\m\\n\3J2163

即平面PAN與平面MAC的夾角的余弦值為生區.

63

22

18.（本小題滿分17分）己知橢圓E:土+匕=1,直線/與橢圓E交于A、8兩點，。為坐標原點，且

84

0P1AB,垂足為點P.

⑴求點尸的軌跡方程；

⑵求面積的取值范圍.

【解】（1）①當直線/斜率不存在時，由橢圓的對稱性，不妨設直線/在y軸右側,

直線0A的方程為〉=彳,

---1---二'解得-半’『半'所以‘/2762A/6、

由＜84

33

y=x7

淮2巫,此時尸（子,0.

所以,直線AB的方程為1=

37

同理,當直線/在y軸左側時，P-望，0.

7

②當直線/斜率存在時，設直線/的方程為廣區+加，4（藥,必），3仇,必），

y=kx+m

由d2消去y整理得,（1+2左2）尤2+4kmx+2m2—8=0,

——+—=1

I84

-Ahn2m2-8

A=6442-8療+32>0,且西+無2=x,x=-----

1+2左21y-1+2左2

又，。4。2=0即：占%+%%=0,

所以，百%,+（何+機）（丘,+m）=0,

則（1+左2）占尤2+hn（^xA+x1）+rrr=0,

故（1+左~）（2病-8）4后/*叫1+2左2）

=0,

2

1+2-2i+2k1+2〃

所以3療=8（公+1）滿足A〉。,

綜上，|O尸上半，所以，點尸的軌跡方程為爐+/=|.

Q

（2）①由（1）可知，當直線/斜率不存在或斜率為。時，S^ABC=-.

②當直線/斜率存在且不為0時，

\AB\=^e\Xi-X2\=行戊4：券+32

c132k2+8I---------------

（1+用（1+4用

1+2^3V（1+24

_W|l4k4+5k2+l4A/6Ik2-

V4^4+4^2+l+4k4+4k2+l

=S|1+1?

3卜入4+1

V^>0,：.4e+^>4,當且僅當r==，即％=±變等號成立.

k222

1+e

?'?4^+X+4^-'，網孚,2后,

K

：.StABC=^\OP\-\AB\^,242,

綜上，SASCeI，2&.

19.(本小題滿分17分)置換是代數的基本模型，定義域和值域都是集合&={1,2,…,〃},〃eN+的函數稱為“

次置換.滿足對任意ieA/(/)=?的置換稱作恒等置換.所有n次置換組成的集合記作S”.對于/⑺eS,,

12

我們可用列表法表示此置換：/(/)=記

/(1)"2)f(n)J

=/⑺"(嚴⑺)=八),一,/■(尸1))=??).A,左eN..

(\234、

⑴若〃i)eS4，〃i)=14~13}計算r⑺；

(2)證明：對任意/⑺^邑，存在左eN+，使得f(i)為恒等置換；

(3)對編號從1到52的撲克牌進行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯插入，即第1張不動，第

27張變為第2張，第2張變為第3張，第28張變為第4張，……,依次類推.這樣操作最少重復幾次就

能恢復原來的牌型？請說明理由.

(\234、

【解】(1