2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷02【新九省卷】

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合4=｛目尤=3〃-1,〃€2｝,3=｛耳0＜無＜6｝,則408=（）

A.{1,4}B.{195}C.{2,4}D.{2,5}

2.若tan(a-：)=2,則sin2a=(

)

43°3

A.-B.——c.-D.--

5555

3.已知〃=,若。〃人貝！j加二（）

D.二

A.1B.-1c-

?33

4.(1—2x)5=%+dyX+a2%?+?,?+。5天5，貝Ijg+&=()

A.100B.110C.120D.130

5.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”，且Sz=2,S6=9,則%=()

A.14B.16C.18D.20

6.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.

它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是

一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧。E,AC所在圓的半徑分別是3和6,且

ZABC=120°,則該圓臺(tái)的體積為（）

A.也叵兀B.9兀C.77rD.此叵兀

33

7.已知直線y+l=，〃(x-2)與圓(》-1)2+(>-1)2=9相交于M,N兩點(diǎn).則|MN|的最小值為()

A.小B.2.75C.4D.6

8.己知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)镽,/為奇函數(shù)，設(shè)g(x)是/⑺的導(dǎo)函數(shù)，若g(2x+l)為奇函數(shù),

110

且g（0）=7,則士依（2左）=（）

2k=\

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z,下列說法正確的是()

A.若z-2=0,貝！］z為實(shí)數(shù)B.z2+z2=0,則z=N=0

C.若則|z|的最大值為2D.若|z-i|=|z|+l,則z為純虛數(shù)

10.已知函數(shù)"X)=cos(°x+e),>0,0<夕<］］的圖象在y軸上的截距為g,巳是該函數(shù)的最小正零點(diǎn),

貝IJ()

71

A4.（p=一

3

B./(x)+/'(x)W2恒成立

C.在10高上單調(diào)遞減

D.將y=/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于，軸對稱

11.如圖，已知拋物線cy2=2p_x(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C的準(zhǔn)線與X軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸的

直線/(直線/的傾斜角為銳角)與拋物線C相交于A3兩點(diǎn)(A在x軸的上方，8在x軸的下

方)，過點(diǎn)A作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為直線/與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,貝心)

A.當(dāng)直線/的斜率為1時(shí)，|的=4pB.若|N典=|R0|,則直線/的斜率為2

C.存在直線/使得ZAOB=D.若而=3麗，則直線/的傾斜角為60°

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6

分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對得6分，有選錯(cuò)的得。分;

③部分選對得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三

個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小

明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)

選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為.

13.在直三棱柱ABC-A用G中，AB=AC=AAi=4,ACYAB,過AQ作該直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面積的最小值為.

14.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為b,c,已知c=2asinC—2ccosA,貝!!sin2A=；

若a=2,則AABC面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）已如曲線/（力=依2+%—2垢+6（4力?11）在》=2處的切線與直線》+2>+1=0垂直.

⑴求。的值；

（2）若"x）Z0恒成立，求人的取值范圍.

16.（本小題滿分15分）為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號召，并開展閱讀活動(dòng).開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時(shí)間

（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個(gè)小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個(gè)小矩形的高度比為3：2：1.

個(gè)頻率/組距

0.0125—

0.0075—

------------------------->.

O20406080100120時(shí)間/分鐘

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作

為代表分兩周進(jìn)行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時(shí)間處于［80,100）的人數(shù)記為《，

求隨機(jī)變量J的分布列與數(shù)學(xué)期望.

17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是邊長為2的正方形，PA=PB=下,

點(diǎn)M在尸￡>上，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，且P2〃平面MAC.

BNC

(1)證明：CMV/平面PAN；

(2)若PC=3,求平面PAN與平面MAC夾角的余弦值.

22

18.(本小題滿分17分)已知橢圓氏土+匕=1,直線/與橢圓E交于A、8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。4,03,

84

0P1AB,垂足為點(diǎn)P.

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)求面積的取值范圍.

19.(本小題滿分17分)置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合4={1,2,…,〃},〃eN+的函數(shù)稱為〃

次置換.滿足對任意ieAJ(i)=i的置換稱作恒等置換.所有〃次置換組成的集合記作S”.對于/⑺eSn,

，、(12…n\

我們可用列表法表示此置換：=42)...”“J，記

〃，)=『(，)，/(&))=r⑺J(尸⑺)=/()…J&i⑺卜尸⑺,

⑴若/⑺小型/⑴=123143、/計(jì)算/⑺；

(2)證明：對任意〃i)eS4,存在左€z,使得產(chǎn)(i)為恒等置換；

(3)對編號從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第

27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就

能恢復(fù)原來的牌型？請說明理由.

數(shù)學(xué)?參考答案

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

91011

ACACAD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

13.1113.8n14.-2+近

43

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）

【解】（1）由于x+2y+l=0的斜率為-;，所以（（2）=2,

2?1

又/'（力=2依+1-故廣（2）=4〃+1-5=2,解得a.,

/—、/.、A-rt1|ir*1%Jcf（\12+X—2（x+2）（%—l）

（2）由⑴知〃=彳，所以/=%+l——=------------=--------------

2xxx

故當(dāng)％>1時(shí),廣（%）>0J（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)Ov尤vl時(shí),廣（%）<0,/（力單調(diào)遞減,

故當(dāng)x=l時(shí)，“X）取最小值/⑴=；+1+6,

13

要使廣⑺川恒成立，^/（1）=-+1+&>0,解得羥-展

3

故匕的取值范圍為

16.（本小題滿分15分）

【解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分鐘)

(2)由題意，在[60,80),[80,100),[100,120]三組分別抽取3,2,1人

4的可能取值為：0,1,2

C3C01C2cl3

則PC=o)=*，%=1)=寧=

5

l2

%=2)c=c*=1

5

所以4的分布列為:

+2x-=l

5

17.（本小題滿分15分）

【解】（1）連接交AC與點(diǎn)。，連接31,可得平面與平面MAC的交線為ON,

因?yàn)橐馈ㄆ矫骢?C,尸3u平面尸fiD,所以P3//（W,

又因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)/為尸。的中點(diǎn)，

取承的中點(diǎn)E,連接EM,EN,可得EM〃AD且EM=；AD,

又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，可得GV//"）且CN=

所以EM//CN且EM=CN,所以四邊形應(yīng)0CN為平行四邊形，所以CM//EN,

又因?yàn)镃M平面尸AN,且ENu平面尸4V,所以CMV/平面PAN.

（2）取AB的中點(diǎn)S,連結(jié)尸S,CS,

因?yàn)镻A=P5=&,可得PS_LAB,且PS=NPB°-BS°=2,

又因?yàn)镾C=J3c-+敏=#＞，且尸C=3，

所以尸C?ups'sc?,所以PS_LSC,

又因?yàn)锳BASC=S,且AB,SCu平面ABC。，所以PS，平面A8C￡）,

以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系S-孫z,

可得A（-1,0,0）,3（1,0,O）,C（1,2⑼,。（-1,2,0）,P（0,0,2）,

因?yàn)镸為尸。的中點(diǎn)，N為3c的中點(diǎn)，可得

貝！|麗=（1,0,2）,麗=（1』,_2）,戒=[,11）冠=修』,_1）,

/、in-AP=x+2z.=0

設(shè)用=（%,%,zj是平面PAN的法向量，貝叫―y，

m?PN=%+/一2Z]=0

取1=2,可得kT,z=-1,所以戊=（2,T—1）,

3八

n-AM=-x2+y2-z2=0

設(shè)為=（々,%/2）是平面MA。的法向量，貝人

h-MC=-x2+j2+z2=0

取％=2,可得y=—2,z=l,所以而=（2,—2,1）；

設(shè)平面市與平面mC的夾角為凡貝口S"需二3=嚕'

即平面PAN與平面MAC的夾角的余弦值為口叵.

18.（本小題滿分17分）

【解】（1）①當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)直線/在y軸右側(cè),

直線OA的方程為y=x,

由＜8+41,解得x=半,y=半，所以,/2^/62娓'

A------,------

33

7

所以，直線A3的方程為了=手，此時(shí)尸平,。

同理,當(dāng)直線,在y軸左側(cè)時(shí)，P-差,0.

I3J

②當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為尸質(zhì)+機(jī)，4（4%）,B（x2,y2）,

y=kx+m

由小由消去y整理得,（1+2/X

+4kmx+2m2—8=0,

-----1-----=1

I84

2

?9a-4bn2m-8

9

??A=64左~—8/TI+32>0,玉+%-=l+2"k72“-l+2k2

又；OA_LOB,...瓦.赤=0即：芯％+%%=°，

所以,%/+（村+m）（Ax2+m）=0,

2

則（1+嚴(yán)）項(xiàng)X?+初7（%1+%2）+m=0,

他（1+用Q療一84k2m2.

1+2公-1--+----2---公-T-------]-

所以3布=8仁+1）滿足△＞（）,

+1

+1

綜上，\OP\=^H,所以，點(diǎn)尸的軌跡方程為/+

33

,_8

（2）①由（1）可知，當(dāng)直線/斜率不存在或斜率為0時(shí)，S,'△ABC-3

②當(dāng)直線，斜率存在且不為0時(shí),

&4左2—8加2+32

|AB|=J1+尸—X2\=J1+左2

l+2k2

4a（1+%2）（1+4%2）

=y/1+k2

1+2/3

4A/64左4+5左2+14A/6k2

1+

亍4/+4/+134-+442+1

當(dāng)且僅當(dāng)〃=1，即左=±巫等號成立.

22

1

?-------

…4F+

???川詼=；|0葉恒同€[|,2拒

綜上，Si三2艙.

19.（本小題滿分17分）

【解】⑴①（I\2314J、

由題意可知產(chǎn)，（,，）、；/132434、“、n234、}

「1234、

（2）解法一：①若/（，）=J234’則/⑺為恒等置換；

「1234、

②若存在兩個(gè)不同的i,使得〃/）3?，不妨設(shè)i=l,2,貝!|〃。=]243,

（1234、

所以r（。=[123J'即產(chǎn)⑺為恒等置換；

“234、<1234

③若存在唯一的i,使得〃。=力，不妨設(shè)i=2,貝！|〃i）=或〃，）=4,12

乙i"1/、什乙AJ

（\234、

當(dāng)〃‘）=401a時(shí)，由（1）可知「⑺為恒等置換；

\^421

「1234、

同理可知，當(dāng)/（i）=Q24J時(shí)，/⑺也是恒等置換；

④若對任意的，"⑺"，

則情形一」⑺,、4，12143J公或，、（124314J、或"/、”口