2025年北師大版九年級數學下冊

二次函數壓軸練習(含答案解析)

題型1：存在性問題

1.如圖，拋物線了=辦2+法+0("0)與％軸交于點4(—4,0)、C(l,0)兩點，與y軸交于點8(0,3),點M(機,0)

是線段。4上的一個動點，過點M作x軸的垂線/,分別與直線和拋物線交于。、￡兩點，連接/E、

BE.

(1)求拋物線的解析式;

⑵求出當"BE的面積為3時，m的值;

(3)當/ABE=45°時,m的值為_；

(4)在x軸上有一點尸，△NB尸恰好是等腰三角形，請你直接寫出點尸的坐標.

Qo

［答案］⑴,=_不2_不+3

⑵加的值為-2土收

⑶T

⑷(1,0)或(一9,0)或(4,0)或「(,0

【分析】(1)將點A、B、C的坐標代入y=+6x+c(a<0)即可;

(2)利用點A、3的坐標求出直線的解析式，推出。點縱坐標，再由E點縱坐標得到ED長度，根據

s*S,AED+S.BED=:(ED-AM+ED-MO)=^ED-AO,即可推出答案；

(3)作4NLEB交EB于N,先通過勾股定理，計算出48的長度，利用//3￡=45。根據勾股定理求得MV

113

2

的長度，利用兩點距離公式，可以表示出班的長度，由(2)可知，SAABE=-ED-AO=-x^--m-3m),

結合SABE=；EB.AN，從而知道;助防?/尸，從而計算出加值；

(4)設點尸的坐標為&0),由4-4,0),8(0,3)可知，AB2=25,AF2=(t+4^,BF2=t2+9,根據題意,

分當=/尸時，當他=3尸時，當/尸=8尸時，三種情況分別討論求解即可.

I6a-4b+c=0

【解析】(1)解：將/(—4,0),3(0,3),。(1,0)代入>="2+&+C中，°=3

a+b+c=0

39

解得：a=-—,b=~—,c=3

44

3Q

?.?拋物線的解析式為：k-+

44

—4左+<7=0

(2)設直線45的解析式為:好履+仆0),將4(-4,0),C0,3)代入,得:

d=3

3

解得：k=-d=3

4f

二直線4B的解析式為:尸。+3

4

EM工AO,點E、。分別是拋物線和直線上的點

339

。點坐標為(九二加+3),E點坐標為(加,一:/一機+3)

444

ED=--m2——m+3-(—m+3)=--m2-3m

4444

；BEAEDBED

.S-AAb匕=SAAAHL)+SA?DHU=2-('ED-AM+ED-MO)，=-2ED-AO,AO=4

113,

-ED-AO=-x4(--m2-3m)=3

解得:ml=-2-y/2,m2=-2+V2

?1--4<-2-V2<0--4<-2+V2<0?符合點M(見。)是線段。4上的一個動點,

機的值為-2土

(3)作ANLEB交EB于N,如圖

4-4,0),5(0,3)

???AB=A/32+42=5

???/ABE=45°,則NNBA=NNAB=45°,

：.AN=BN,

■■AN2+BN2=AB2,

AN^—AB,BPAN^—

22

39

由(2)可知，E點坐標為(加,一二加2一加+3)

44

I~~§o7

EB=Jm2+(--m2--m)2

：SABE二;,加2+(__|加2加)2

139

由(2)可知，S^ABE=—x4(——m—3m)

—x$亞xJm2+(-—m2-—m)2=—x4(--m2-3m)

22Y4424

整理得：(3機+37)(2加+59)=0

—44加?0,-----<—4,—4<------W0

321

37-

「?加2=--—舍去

59

m=-----

21

59

故答案為：;

(4)設點尸的坐標為：&0),

由4(-4,0),8(0,3)可知，

AB-=25,/尸2=(7+4)2,BF2=(2+9,

若AAB尸是等腰三角形，則

當48=4F時，即48?=得(/+4>=25,解得：4=1,t2=-9,

???點尸的坐標為(1,0)或(-9,0)；

當"3=39時，即/爐=8尸2,得r+9=25，解得：4=4,t2=-4(舍去),

???點尸的坐標為(4,0)；

7

當/尸=瓦7時，即4^_哥2,得/+9=(%+4)9,解得：t=――,

8

二點尸的坐標為1-(o?

綜上，尸恰好是等腰三角形時，點尸的坐標為(1,0)或(-9,0)或(4,0)或(-go].

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，勾股定理，三角形面

積求解問題等，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

題型2：最值問題

2.已知二次函數了=3/+樂+，(b,c是常數).

⑴當/(-3,2)是二次函數y=3f+6x+c圖象上的點時，求代數式2436-81C的值；

⑵若二次函數尸3/+6x+c的表達式可以寫成尸3(x-獷-2(%是常數)的形式，求b-c的最大值；

⑶若二次函數y=3/+6x+c的表達式可以寫成了=3(》-18-機)(加是常數，且-1＜冽＜0)的形式，該

函數圖象與x軸交于5、C兩點(點8在點C左側)，已知點。、點E都是該拋物線對稱軸上的點，點。位

于第一象限，且/。DC=90。，點尸是點。關于該拋物線的對稱軸對稱的點，連接陽并延長交y軸于點

G,連接2G.當AAJG的周長的最小值等于1時，求此時〃7的值.

4

【答案】(1)2025

(2)5

(3)z?=

4

【分析】本題為二次函數綜合大題，涉及到了二次函數的圖象性質，二次函數坐標點的特征，軸對稱的性

質等知識點，合理分析圖象利用數形結合思想是解題的關鍵.

(1)把/(-3,2)代入＞=3/+云+。運算求解即可；

(2)把歹=3(x-〃)2—2化成一般式得：y^3x2-6hx+3h2-2,表達出b-c=-3后一6〃+2=—3小+1丫+5,

把b-c的值看作是/!的二次函數，求解即可;

（m+1）

（3）求出拋物線對稱軸，得到廳的坐標，設點D亍/J,由/QDC=90。得：自以砧=-1從而得：

D-,皆1）,又由對稱軸垂直平分線段5,且平行于y軸，則由三角形中位線逆定理得：

G（0,71^7）,連接CG交對稱軸于點￡,即C、E、G三點共線時，則點E即為所求點，利用周長列式運

算即可.

【解析】（1）把4（-3,2）代入：=3/+樂+像壽得：27-36+c=2,即3b-c=25,

2436-81c=81（36-c）=2025；

（2）把y=3（x『一2化成一般式得：y^3x2-6hx+3h2-2,

b=-6h,c=3/z2—2,

.■.b-c=-3h2-6h+2=-3（h+l）2+5,

把b-c的值看作是，的二次函數，則該二次函數開口向下，有最大值，

.??當〃=-1時，6-c的最大值是5；

（3）由題意得：B（m,0）、C（l,0）,拋物線對稱軸為直線x=竽，則尸（機+1,0）,

設點。由/。DC=90。得：左OD?上8=T從而得：，—2—J'

又由對稱軸垂直平分線段OF,且平行于V軸，則由三角形中位線逆定理得：G（0,后了），

在RtZXBOG中，BG2=BO2+OG2=m2+l-m2=1,

???點C是點B關于函數對稱軸的對稱點，

:.BE=CE,

連接CG交對稱軸于點E,如圖所示：

即C、E、G三點共線時，則點E即為所求點,

9

理由是：ziBEG的周長=3G+GE+5￡=1+G￡+C￡21+CG,即1+CG=—

4

貝IJCG?=O02+OG2=1+1—機2—1],

解得加=±也^

4

/7

,.--l<m<0,故加=----

4

題型3：取值范圍問題

3.【項目式學習】如圖，拋物線＞="2+瓜+或。〉0)與工軸分別交于4、5兩點(Z、8分別在原點左右兩

側)，與天軸交于點。，點尸為拋物線上第一象限內一動點，過點4、點尸的直線交》軸于點過點5、

點尸的直線交y軸于點N,連接助人BC、AC,試探究CM、CN、0403之間的數量關系.為探究該問

題，擬采用研究問題的一般路徑一一由特殊到一般的研究方式：

(1)設Q=l,b=l,c=-2.

①若點尸的橫坐標為2,計算：______，察=______；

OBC7V

U一L1OACM/上士一、

比較大小：—_____—(填或

013C7V

②若點尸的橫坐標為加，上述當、舞之間的數量關系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請

(JBC7V

說明理由.

(2)根據上述研究經驗，當/、8兩點的橫坐標為占、x?時，CM、CN、。4。8之間的數量關系仍然成立

嗎？請說明理由.

C_C

⑶若上代_2=左，求出左的取值范圍.

、ABCN

【答案】⑴①2,2,=；②仍然成立，理由見詳解

°A-CM

⑵ny下一區

71

⑶上司

【分析】（1）①由己知確定函數的解析式，求出4瓦。的坐標，再由待定系數法求出直線的與直線AP的

解析式，從而得到點坐標，分別計算空，要即可；

OBCN

②同理①，由待定系數法求出直線北與直線AP的解析式，從而得到點坐標，分別計算經，鄴即

OBC7V

可；

（2）分別求出45Gp的坐標，由待定系數法求出直線的與直線AP的解析式，從而得到M,N點坐標，

分別計算器，晉即可;

（3）令芻=心根據面積公式求出后的表達式為左=-0-'丫+,，再求左的范圍即可?

OBI2）4

【解析】(1)解：①當〃=1,6=1,。=一2時，j?=x2+x-2,

當尸。時，x2+x-2=0,

解得：%=—2或%=1,

「?^(-2,0),5(1,0),

.?Q=23=l,

，0=2,

OB

,?,點尸的橫坐標為2,

”(2,4),

當x=0時，歹=一2,

C(0,-2),

設直線AP的解析式為y=kx+bf

j-2k+b=0

'[2k+b=4'

\k=\

解得：Ad

[b=2

二直線里的解析式為y=x+2,

同理可求直線BP的解析式為7=4x-4,

N(0,—4),

:.CM=4,CN=2,

.型=2

,CN，

.OACM

,~OB~~CN，

故答案為：2,2,二；

②當=萼仍成立，理由如下：

(JDC7V

??,點尸的橫坐標為加，

/.P[m,m2+加-2),

設直線ZP的解析式為y=k,x+bt,

J-2F+y=0

mk'+b'=m?+m—2'

k'=m-\

解得:

b'=2m-2

???直線AP的解析式為y=(m-V)x+2m-2,

/.M(0,2m-2),

同理可求直線3尸的解析式為歹=(加+2)%-加-2,

N(0,—加—2),

CM=|2m\,CN=\m\f

3=2

,CN，

.OACM

''OB~~CN；

(2)解：???4、5兩點的橫坐標為x1、x2,

y=〃（x—xj（x-々），

,0）,5（x2,0）,C（0,axxx2）,

設尸,,4?_項）?_%2）），

.??同（1）得直線Z尸的解析式為歹=Q。—％2）X—〃（，一工2）X1,

同理直線5尸的解析式為V=-匹卜-〃（/-王）工2，

M(O,-Q(Z-X2)XJ),2V(O,-a[t-x^x^,

OAA

~OB%

,OA_CM

'~OB~~CN'

S^BCM-

（3）解:

屋BCN

CMOB-CMOA

CNOB

CM(OB-OA)

~CNOB

CMOB—OA

~~CN~OB

OA_CM

~OB~~CN

k=弋M-SGACM=/(I—7)=一/+/=+；,

w0,

:.k<-.

4

【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，待定系數法求函數的解析式

的方法，準確計算是解題的關鍵.

題型4：定點問題

4.如圖，直線了=》與拋物線G：y=；（x+3）2+m交于A、8兩點（點A在點8的左側），拋物線與V軸交于

點C.

(1)若點A的橫坐標為-5,求拋物線的解析式；

(2)在(1)條件下，點”為直線：了=工上方的拋物線上一點，若&/斕=2S2BC，求點〃的坐標；

(3)將拋物線C平移使得頂點落在原點。得到拋物線G，直線了=x+6交拋物線G于P,。兩點，已知點

8(0,-1),直線PH,映分別交拋物線于另一點N.求證：直線恒過一個定點.

【答案】⑴拋物線的解析式為V=；(X+3)2-6；

(2)點M的坐標為(-1+Jld,彳+或(-1-J而，--V46)

⑶直線經過定點(1,0)

【分析】(1)由直線解析式求得A點的坐標，然后代入V=；(x+3)2+m,即可求得加的值，從而求得拋物

線的解析式；

(2)設直線下方拋物線上的點M坐標為(X4-2X+3),過M點作V軸的平行線交直線于點N,則

N(x,x+3),根據三角形面積為3,求出x的值，M點的坐標即可求出；

(3)先求出拋物線G的解析式為y=：x2,由Jx2=x+6,可得4+氣=4,xP-xQ=-4b,設直線Affir的

44

141

解析式為＞=b-1,由：/=履-1,xp=——，設直線NHr的解析式為＞=左、-1,由二/Ol,可得

4XM4

41

=—,通過整理可得/+XM=/?■%，設直線AGV的解析式為'=加x+〃，由7/=蛆+〃，可得

XN4

xN+xM=4m,xN-xM=-4n,貝=求出直線MV的解析式為y=/(尤-1),可知直線MV經過定點

(1,0).

【解析】(1)解：把x=-5代入y=x,得了=一5,

A(-5,—5),

才巴A的坐標代入P=；(%+3)2+加,得一5=；(—5+3)2+加,

解得m=-69

「?拋物線的解析式為V=；(%+獷-6；

???8(3,3),

把尤=0代入V=；(x+3)2—6,求得丁=一,，

44

。(。,一號)，

4

/.OC=—,

4

：?S—Be=5、?*(3+5)=15,

?S^ABM=2s4ABe，

S/^ABM=30,

設直線4B上方拋物線上的點M坐標為(x,%+3>一6),過M點作V軸的平行線交直線N8于點N,則

N(x,x),

11「1?-

.?—)=5z(x+3)2-6-x-(3+5)=30.

整理得M+2%-45=0,

解得西=—l+VZ^,x2=—1—V46.

故點〃的坐標為(T+廊，￡+廊)或(-1-J話，y-V46).

(3)???將拋物線G平移使得頂點落在原點O得到拋物線Q,

???拋物線C2的解析式為y=

—1x2=x+b,,

4

12

??一x—x—b=0,

4

/.xp+=4,xp'XQ=-4b,

設直線的解析式為夕=b-1,

/.一/=Ax-],

4

1

??—x9—kx+1—0,

4

：

,XM-xp=4,

4

二.xp=—,

XM

設直線地的解析式為y=左，-1,

.e._Y=]^'x-1

4

—x2—k'x+1—0.

4

=4,

44,

/.——+——=4,

XMXN

XN+XM=XN'XM，

設直線MN的解析式為P=加工+〃,

12

—x=mx+n,

4

12

/.—x-mx-n=0,

4

xN+xM=4m,xN-xM=-4n,

4m=-4〃,

/.m=-n,

:.y=mx-m=m(x-1),

二直線MN經過定點(1,0).

圖1

【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，考查了一次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數的

解析式，二次函數圖象與幾何變換，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的圖象及性質，靈

活應用根與系數的關系是解題的關鍵.

題型5：定值問題

5.如圖1,拋物線了=辦2+區-3與x軸交于4T0)、8(3,0)兩點，。為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,經過定點G的直線/=依-左-2(左＞0)交拋物線于￡、尸兩點(點E在點尸的左側)，若AOFG的

面積是△OEG面積的三倍，求人的值：

(3)如圖3,直線尸初■與拋物線有唯一公共點直線PN與拋物線有唯一公共點N,且直線過定點

(1,-2),則的面積為定值，求出這個定值.

【答案】⑴12一2尤-3

（2）后=|?指

（3）6

【分析】（1）運用待定系數法求解即可；

（2）可求過定點G（l,-2）,而頂點則。G〃了軸，設后（西,必）,尸（乙,力）,聯立直線和拋物線解析

Iy=x—2x—3c/、

式得：177，化簡得：x—（左+2）、+左—1=0,則匹+/=左+2,再工2=左一1,設產G以。G為底

[y=kx-k-2

的高為4，△■DEG以。G為底的高為“2,則4=3〃2，即工2-1=3（1-占），則遍=4-3花，可得到演=1-；左,

x2=\+h,再代入再％=左-1,得（1一;“1+|"=左一1,即可求解；

（3）由（2）（3）可知此時直線AGV即為上述直線E尸，設〃■（加,丁_2加-3）,N（〃,〃2-2"-3）,同上可得:

m+n=k+1,mn=k-1,可求直線尸A/：y=k^x-m）+m2-2m-3,與拋物線角單析式聯立得：

y=x-2x—3o/、°

<,/\2c,，整理得：X-（K+2）x-機’+2加+/加=0,由直線尸河與拋物線有唯一公共點

y=K^x-mj+m-2m-3

M,故/_（匕+2）-/+2"+左必=o該方程有兩個相等的實數根，則由根與系數得關系得：

2

m+m=kl+2,則左=2加—2,止匕時直線尸A/：y^（2m-2）x-m-3,同理直線7W：

2

^=（2n-2）x-W-3,聯立直線尸的表達式得：（2加一2卜一加？-3=（2〃-2）x-/一3,整理得：

x=m+n將x=代入直線尸N并化簡得：y=mn-（m+n）,將〃?+〃=左+2,〃?〃=左一1代入得：

了=無一1一（左+2）=-3,即處=-3,則以板=g48x|y/=；x4x3=6,故A4BP面積為定值，且為6.

【解析】（1）解：將4-1,0）、8（3,0）兩點代入好爾+6無一3,

/口ja-b-3=0

得：（9。+36-3=0，

f（7=1

解得：,。，

[b=-2

???解析式為：y=^2—2%—3；

（2）解：y=kx-k-2=k（x-1）-2,滿足過定點，則與左無關，

x-1=0,

x—1,jv——2,

,過定點G（l,-2）,

vj;=%2-2x-3=（x-1）2-4,

??.頂點。（1,-4）,

DG〃y軸，

設￡（西，%），尸（%2，%），

y=x2—2x—3

聯立直線和拋物線解析式得：“，7。，

y=KX-K-2

化簡得：——（左+2）x+左—1=0,

xy+x2=k+2,演工2=k-T,

設△。廠G以。G為底的高為九，△DEG以DG為底的高為〃2

vSWFG=3sMEG，且ADFG,叢DEG共底DG,

即馬一玄=3（XD-X￡）,

J.%—1=3（1—X]）,

/=4-3國，

將％=4-3/代入x{+x2=k+2

得：再

x2=4—3（1—；左]=1+g左,

13

=

將"Xy\——k,%2=]+5左彳弋入?X]%2=k-1

得:ym」,

解得：^=|V6（舍負）；

（3）解：由（2）（3）可知此時直線即為上述直線所,

???直線jW：y=kx-k-2,

設〃（加，加2-2加一3）,雙（〃,九2一2〃一3）,

同上可得：m+n=k+2,mn=k-\,

設直線PW的解析式為：>=左％+4,

代入M（加，加2_2加一3）,

2

得：m-2m-3=kxm+bx,

2

???m-2m一3=k1m+bx

2

：.m-2m-3-k^m=bx

2

???直線PM：y=kx(x-m)+m-2m-3,

y=x2-2x-3

與拋物線解析式聯立得:

y=k^x-+m2-2m-3

理得:—（左］+2）x—加2+2加+左加=0,

???直線PM與拋物線有唯一公共點M,

d_（左+2）x-加2+2加+左即=o該方程有兩個相等的實數根,

???由根與系數得關系得：加+加=%+2,

左=2加一2,

，直線PM：y=(2m-2)(x-m)+m2-2m-3,

整理得：y=(2m-2)x-m2-3,

同理直線PN：y=(2n-2)x-n-3,

聯立直線PM,PN的表達式得：（2加—2）x—加2-3=僅〃-2）x—/—3,

口m+n

整理得：工二W，

將x二^121代入直線PN：y=（2n-2）x-n2-3

得：尸伽-2）x等-/_3,

化簡得：y=mn-(m+n),

將加+〃=左+2,機〃=左一1代入得：y=左一1一（左+2）=—3,

???點尸縱坐標處二-3,

AB=xB-xA=4

戶=gA8x?/=；x4x3=6,

???△48尸面積為定值，且為6.

【點睛】本題考查了二次函數中的定點定值問題，面積問題，難度很大，涉及待定系數法求一次函數，二

次函數解析式，直線與拋物線的交點問題，解一元二次方程，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握知

識點，細心化簡計算是解題的關鍵.

題型6：新定義題

6.定義：若拋物線的頂點和與x軸的兩個交點所組成的三角形為等邊三角形時，則稱此拋物線為正拋物線.

（1）如圖，在△4BC中，NB4C=90°,點。是3c的中點.試證明：以點A為頂點，且與x軸交于。、C

兩點的拋物線是正拋物線；

問題探究：

（2）已知一條拋物線經過x軸的兩點E、F（E在/的左邊），￡0,0）且所=2若此條拋物線為正拋物線,

求這條拋物線的解析式；

應用拓展：

（3）將拋物線乂=-/+2gx+9向下平移9個單位后得新的拋物線外.拋物線外的頂點為尸，與x軸

的兩個交點分別為川、N在N左側），把APAW沿x軸正半軸無滑動翻滾，當邊7W與無軸重合時記

為第1次翻滾，當邊與x軸重合時記為第2次翻滾，依此類推…，請求出當第2025次翻滾后拋物線％

的頂點P的對應點坐標.

【答案】⑴見解析；（2）y=-V3（x-2）2+V3^j.=V3（x-2）2-V3；（3）（405173,3）.

【分析】（1）由RtZX/BC中是斜邊3c的中線可得4D=CD,由拋物線對稱性可得AD=AC,即證得

△NCD是等邊三角形；

（2）設拋物線頂點為G,根據正拋物線定義得AMG是等邊三角形，又易求E、尸坐標，即能求G點坐標,

由于不確定點G縱坐標的正負號，故需分類討論，再利用頂點式求拋物線解析式；

（3）根據題意求出拋物線%的解析式，并按題意求出尸、M、N的坐標，得到等邊APMN,所以即每翻

滾3次為一個周期，當翻滾次數〃能被3整除時，點P縱坐標為3,橫坐標為g+“x2g=（2"+l）石，2025

能被3整除，代入即能求此時點P坐標；

本題考查了二次函數的圖象與性質，直角三角形和等邊三角形的性質等知識，掌握知識點的應用是解題的

關鍵.

【解析】解：（1）證明：-.-ZBAC=90°,點。是2c的中點，

.-.AD=BD=CD=-BC,

2

???拋物線以A為頂點與x軸交于。、C兩點，

.\AD=AC,

AD=AC=CD,

.??△/CD是等邊三角形，

???以點A為頂點，且與％軸交于。、。兩點的拋物線是正拋物線；

（2）?.?￡1（1,0）且所=2,點尸在x軸上且E在尸的左邊，

.-.F（3,0）

???一條經過無軸的兩點E、尸的拋物線為正拋物線，設頂點為G,

??.△MG是等邊三角形，

，』=汽生=2,|兀|=也==有，

①當G（2,百）時，設拋物線解析式為y="x-2），君把點用1,0）代入得：“+百=0,

?*,CL=-y/3，

??.y=-V3（x-2廣+6,

②當G（2,-時，設拋物線解析式為y=a（x-2）2-6,

把點￡（1,0）代入得：a-V3=0

a—A/3，

y=V3(x-2)--V3,

綜上所述，這條拋物線的解析式為y=-g（x-2y+百或y=V3（x-2）2-V3；

（3）?.?拋物線必=-x2+2岳+9=-1-時+12,

???必向下平移9個單位后得拋物線％=-1-如丫+3,

...尸（6,3）,M（0,0）,N（2百,0）,

PM=MN=PN=2y5,

.?.△PAW是等邊三角形，

???第一次翻滾頂點尸的坐標變為6（4百,0）,第二次翻滾得6與6相同，第三次翻滾得A（7點3）,

即每翻滾3次為一個周期，當翻滾次數〃能被3整除時，點P縱坐標為3,橫坐標為：V3+MX2V3=（2H+1）V3,

???2025+3=675

.-.（2x2025+1）x73=405173,

???第2025次翻滾后拋物線外的頂點P的對應點坐標（4051百,3）.

題型7：二次函數與特殊平行四邊形

7.已知直線y=-x+2與X軸交于N,與y軸交于點8,拋物線y=-/+6x+c與x軸交于N,C兩點，

與〉軸交于點3

⑴求這個拋物線的解析式

（2）若尸是直線上方拋物線上一點，存在點尸使得S/BP=；S“BC，求點尸的坐標

⑶在對稱軸上是否存在點0,使得△B。。的周長最小，若存在，請直接寫出0點坐標，若不存在，請說明

理由

（4）點M在x軸上，在坐標平面內是否存在點N,使以/,2,M,N為頂點的四邊形是菱形，若存在直接

寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴N=*+尤+2

⑵存在，［，：）或C：）

⑶存在，

（4）存在，（2,2）或（20,2）或卜2啦,2）

【分析】（1）先求出點A,點3的坐標，利用待定系數法求解即可；

（2）先求出點C的坐標，再求出J.,過點尸作x軸的垂線，交直線于點兄設尸（0,-/+。+2）,

則坦p,-p+2）,求出尸〃=_/+2p,由%行=；尸女?5，結合S“BP=；S“BC，建立方程求解即可；

（3）作點。關于拋物線對稱的對稱點E,則￡0,0）,貝由。2為定值，當瓦三點共線時,

QE+QB有最小值，即。。+。3有最小值，則△臺。。的周長最小，利用待定系數法求出直線BE的解析式,

令x=g,代入計算即可得到結果；

（4）分42為對角線和邊兩種情況，利用菱形的性質，求解即可.

【解析】（1）解：?.?直線V=f+2與x軸交于4,與了軸交于點5,

令x=0,%=0+2=2,令y=-x+2=0,xA=2f

.?.4(2,0),8(0,2),

0=-4+2b+c

將4（2,0）,3（0,2）代入拋物線y^-x^+bx+c,則

2=c

6=1

解得:

c=2

:?拋物線的解析式為：^=-X2+X+2；

（2）解：存在，

..?拋物線＞=-/+苫+2與x軸交于4,C兩點,

令y=*+x+2=0,貝!jx2-x-2=0,

x

解得:i=2,x2=-1,

根據題意得c(-i,o),

AC=3,

'''S"c=3,

如圖，過點尸作x軸的垂線，交直線48于點”,

設尸夕2+P+2),則p+2),

.e.PH=（一夕2+,+2）—（-p+2）=-p2+2p,

19一

；?

?SAABP=]PHXA=-P+2p,

??c_J_c

,口“BP~4U“BC'

/.-p2+2p=；x3,即4/Z—82+3=0,

13

解得：P=3或2=不，

點P的坐標為或（I';

（3）解：存在，

作點O關于拋物線對稱的對稱點E,連接QB,QO,QE,

11

'-,拋物線的對稱軸為x==2'

.?.￡（1,0）,QE=QO,

。8=2為定值，

當尻°,￡三點共線時，0E+0有最小值，即。。+。8有最小值，則△8。。的周長最小,

設直線BE的解析式了=必+”(小/0),則

0=m+n

解得:

，直線8E的解析式歹=-2x+2,

(4)解：存在,

如圖，當以4s為對角線時,

???四邊形"AffiN為菱形,

C/,N/r

I~OA/2^x

：.ABLMN,

?.,點〃?在x軸上，

???點M在點/的左側，

設”（W，

?「AM=2-t,

'：BN//AM,BN=AM,

N（2—,2）,

???BM=AM=BN,

BM=yl（0-t）2+22=J/+4=2-t,HPt2+4=t2-4t+4,

解得：f=0,

??.N（2,2）；

如圖，當以N2為邊時,

當點M在點/左側時，

；四邊形/ACVS為菱形，AB=A/22+22=2V2>

AB=AM=MN=BN=272.BN//AM,

：.AA(-272,2)；

如圖，當點〃■'在點/右側時，

同理得：N'(2式,2)；

綜上，點N的坐標為(2,2)或(2正,2)或卜2式,2)

【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求解析式，二次函數的圖象及性質，軸對稱的性質,

菱形的性質等，解題關鍵是熟練掌握并能夠靈活運用二次函數的圖象及性質.解題關鍵是找特殊點，充分

利用對稱軸，頂點坐標等知識.

題型8：二次函數與相似三角形

8.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線了=辦2+區+0伍*0)與x軸交于/,3兩點，與y軸交于點

C,其中3(-1,0),OA=1OB,連接NC,tanZCAB=^.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點P為直線/C下方拋物線上一點，過點尸作尸。II/C交y軸于點。，求孚尸D+C。的最大值及此時

點P的坐標；

(3)將該拋物線沿射線/C方向平移，經過點8時得到新拋物線，在新拋物線上有一點M,過點M作上

軸于點N.若以8,M,N三點為頂點的三角形與△49C相似，寫出所有符合條件的點M的坐標，并寫出

求解點M的坐標的其中一種情況的過程.

【答案】(1)夕=1，+4苫+鼻，詳見解析

(2)冬叵尸Z)+C￡>最大值為^,此時尸點坐標為：(一~詳見解析

5o128J

⑶點河的坐標為:M〔4,￡|,以「其］心(7，16),詳見解析

【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角函數等知識

點，

(1)先由04=708求出-7,0),再由tan/C/8=；求出最后由待定系數法即可求解；

(2)如圖，過P點尸尸軸交y軸于點尸，設尸■加2+4加+：［(_7<%<0),用含機的代數式表示出

^PZ)+CD=-1L+-Y+—,再利用二次函數的性質求出最值，進而即可得解；

52(2J8

1

(3)先利用平移的性質求出新的拋物線解析式，用含f的代數式表示出9-2,W=|/+l|,

然后分/G￡8=/A/N和=兩種情況討論以8,M,N三點為頂點的三角形與△/0C相似，即

可得解;

熟練掌握其性質，合理添加輔助線是解決此題的關鍵.

【解析】(1)??-5(-1,0),

/.OB=1,

???OA=7OB,

-7,0),

,/tanACAB=—,

2

OC1

?,?---—一—，

OA2

將/、B、。三點代入^二"2+&+。得,

a-b+c=0"-2

<49a-7b+c=0,解得<6=4,

c=3.57

c=—

2

177

???拋物線的解析式為V=萬一+4x+萬；

(2)如圖，過P點尸尸，歹軸交歹軸于點Rm,1m2+4m+1(-7<m<0),

???PD〃AC,

??./ACO=/PDF,

,,"CAB=/DPF,

1

：.tanACAB=tan/DPF==----

PF2

,DF=-PF=--m,

22

??.PZ)2=尸尸2+［；尸尸)

S竽E-m，

7〃〃119

：.CD=CF-DF=-+4-——m=——m2——m,

222222

215Dn5f129111IfIB121

???-----PD+CD=—m+—m—m=—m2-----m=—m-\H------，

522J222^2J8

...當加=-2時，型PZ)+CD有最大值為導，

258

W11.12,727

???當加=---時，—m+4m+—=-------,

2228

最大值為號，夕點坐標為：

5XI2X)

（3）???將該拋物線沿射線/C方向平移，tanNC/8=；,

???設拋物線沿X軸正半軸方向平移2〃個單位，則沿y軸正方向平移〃個單位,

■■y2,

1O

???平移后的函數解析式為歹=5（%+4-2〃）7

???新拋物線經過點B,

1O

/.0=-(-1+4-2?)9

解得〃=0（舍）或〃=|"

1

???平移后的函數解析式為y=5（x-l）7-2,

在新拋物線上有一點過點〃■作MV_Lx軸于點N,設M的橫坐標為

19

：.MN=-2,5N='+1|,

COMN公51

----tanNCA.B——,

AOBN------------2

i

5。-1)9-2=>+1],

解方程得：4=4,t2=—1,t3=3,t4=-2f

當=時，AAOCSAMNB,

CO

AO需“NCAB",

1

=2\t+l\,

2

.?,5=7,%6=T，

i7s

...將％=4,t2=-\,4=3,。=-2,/5=7分別代入〉=5@-1)2-2得到點亂的縱坐標為：0,0,

?.?點(-1,0),(3,0)在x軸上，

???與點N重合，構不成三角形，，不符合題意，舍去，

.??點”的坐標為：跖,胃，M(7，16).

題型9：二次函數與解直角三角形

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點尸為該拋物線上一動點.

①當點尸在直線/C下方時，過點尸作尸￡||x軸，交直線/C于點E,作尸尸〃夕軸.交直線/C于點E求

EF的最大值；

②若ZPCB=3/OCB,求點P的橫坐標.

【答案］⑴尸;f+2x—6

Q)①字②*

【分析】(1)待定系數法求解析式即可；

(2)①當x=0時，y=-G,即C(0,-6),OA=6=OC,ZOAC=ZOCA=45°,待定系數法求直線/C的

解析式為＞=一工一6；如圖1,設廠&T-6),則尸上,；?+2/-61PF=-1/2-3?=-1(Z+3)2+|,由

10

--＜0,可知當3時，P尸有最大值5，由軸，尸尸〃y軸，可得NPFE=NPEF,PE=PF,由

勾股定理得，EF=yJPE1+PF2=42PF＞進而可求石尸的最大值；②如圖2,作8關于V軸的對稱點N,

連接CN,作CP,使NPCN=/NCO,交無軸于。，由軸對稱的性質可知，ZNCO=ZOCB,

ON=OB=2,CN=CB,貝U/NC3=2/OC8,ZPCO=ZPCN+ZNCO=2ZOCB=ZNCB,

ZPCB=ZPCO+ZOCB=3ZOCB,由勾股定理得，BC=CN7O