微專題32尺規(guī)作圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1五種基本尺規(guī)作圖的方法(6年3考)

作圖步驟

一、作一條線段等于已知線段

1.作射線OP；

2.以點(diǎn)O為圓心，a為半徑作弧交OP于點(diǎn)A，則OA即為所求作的線段

原理：圓弧上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑長(zhǎng)

二、作一個(gè)角等于已知角

1.在∠α上以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交∠α的兩邊于點(diǎn)P，Q；

2.作射線O'A；

3.以點(diǎn)O'為圓心，OP(或OQ)長(zhǎng)為半徑作弧，交O'A于點(diǎn)M；

4.以點(diǎn)M為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作弧，交步驟3中的弧于點(diǎn)N；

5.過(guò)點(diǎn)N作射線O'B，∠AO'B即為所求作的角

原理：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條

直線

三、作已知角的角平分線

1.以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA，OB于點(diǎn)N，M；

2.分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相

1

交于點(diǎn)P；2

3.作射線OP，OP即為∠AOB的平分線

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原理：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一

條直線

四、作線段的垂直平分線

1.分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧分別交

1

于點(diǎn)M，N；2

2.作直線MN，直線MN即為所求作的垂直平分線

原理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直

線

五、過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線

情況1過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線

(1)以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于A，B兩點(diǎn)；

(2)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑向直線l的上方(或下方)作弧，交

1

于點(diǎn)M；2

(3)過(guò)點(diǎn)M，P作直線，直線MP即為所求作垂線

原理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直

線

情況2過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線

(1)任意取一點(diǎn)M，使點(diǎn)M和點(diǎn)P在直線l的兩側(cè)；

(2)以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于A，B兩點(diǎn)；

第2頁(yè)共13頁(yè)

(3)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，在點(diǎn)M的同側(cè)交于點(diǎn)N；

1

(4)過(guò)點(diǎn)P，N作直線，直線PN即為2所求作垂線

原理：圓弧上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑長(zhǎng)；到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條

線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線

例1已知△ABC.

(1)如圖①，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD＝BA；(不寫作法，保

留作圖痕跡)

例1題圖①

(2)如圖②，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊BC上找一點(diǎn)D，使∠BAD＝∠B；(不寫作法，

保留作圖痕跡)

例1題圖②

(3)如圖③，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作∠BAC的平分線，交BC邊于點(diǎn)N；(不寫作法，

保留作圖痕跡)

例1題圖③

(4)如圖④，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作邊AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)G；(不寫作法，

保留作圖痕跡)

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例1題圖④

(5)如圖⑤，若∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，

在斜邊AC上求作一點(diǎn)E，使DE⊥AD；(不寫作法，保留作圖痕跡)

例1題圖⑤

(6)如圖⑥，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線交BC于點(diǎn)D.(不寫作法，

保留作圖痕跡)

例1題圖⑥

考點(diǎn)2與尺規(guī)作圖痕跡有關(guān)的計(jì)算(2020.15)

例2(2024呼倫貝爾)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓

心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，

大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.若

1

△AC2D的面積為8，則△ABD的面積是()

A.8B.16C.12D.24

例2題圖

變式1(2024珠海校級(jí)模擬)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，依據(jù)尺規(guī)作圖痕

跡，下列判斷正確的是()

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變式1題圖

A.DA＝DCB.∠CDE＝∠ADE

C.AB＋EC＝ACD.以上結(jié)論都不對(duì)

考點(diǎn)3無(wú)刻度直尺作圖

例3(2024珠海模擬)如圖是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每

個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，回答下列問(wèn)題.(要求：作圖只用無(wú)刻度的直尺)

例3題圖

(1)作∠AOB，使得cos∠AOB＝；

3

(2)作出∠AOB的角平分線OC，并5簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)C的位置是如何找到的(不用證明).

真題及變式

命題點(diǎn)1與尺規(guī)作圖痕跡有關(guān)的計(jì)算(2020.15)

1.(2020廣東15題4分)如圖，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的長(zhǎng)為

1

半徑，分別以點(diǎn)A，B為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過(guò)此兩點(diǎn)的直線交AD邊2于點(diǎn)E(作

圖痕跡如圖所示)，連接BE，BD.則∠EBD的度數(shù)為.

第1題圖

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命題點(diǎn)2尺規(guī)作圖(6年3考)

2.(2019廣東19題6分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn).

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；

(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若＝2，求的值.

????

????

第2題圖

3.(2023廣東19題9分)如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°.

(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的高DE；(保留作圖痕跡，不要

求寫作法)

(2)應(yīng)用與計(jì)算：在(1)的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長(zhǎng).

第3題圖

4.(2024廣東17題7分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°.

(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，

不要求寫作法)

(2)應(yīng)用與證明：在(1)的條件下，以點(diǎn)D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作☉D.求證：

AB與☉D相切.

第4題圖

新考法

第6頁(yè)共13頁(yè)

5.[注重過(guò)程性](2024北京)下面是“作一個(gè)角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方

法.

第5題圖

(1)如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；

(2)作射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧，交O'A'于點(diǎn)C'；以點(diǎn)C'為圓

心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D'；

(3)過(guò)點(diǎn)D'作射線O'B'，則∠A'O'B'＝∠AOB.

上述方法通過(guò)判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'

≌△COD的依據(jù)是()

A.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等

6.(2024江西)如圖，AC為菱形ABCD的對(duì)角線，請(qǐng)僅用無(wú)．刻．度．的．直．尺．按要求完

成以下作圖(保留作圖痕跡).

(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線；

(2)如圖②，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線.

第6題圖

7.[注重過(guò)程性](2024浙江)如圖，平行四邊形ABCD，E是AD上一點(diǎn)，關(guān)于如

何作EC的平行線，小紅、小明展開討論：

第7頁(yè)共13頁(yè)

小紅：我以C為圓心，AE為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，則AF∥EC；

小明：我以A為圓心，EC為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F，則AF∥EC

小紅：我認(rèn)為你的方案有誤，因?yàn)椤?/p>

(1)證明小紅的結(jié)論；

(2)解釋小明方案的不合理性.

第7題圖

第8頁(yè)共13頁(yè)

高頻考點(diǎn)

例1解：(1)如解圖①，點(diǎn)D即為所求作(作法不唯一)；

例1題解圖①

(2)如解圖②，點(diǎn)D即為所求作(作法不唯一)；

例1題解圖②

(3)如解圖③，AN即為所求作(作法不唯一)；

例1題解圖③

(4)如解圖④，直線EG即為所求作；

例1題解圖④

(5)如解圖⑤，DE即為所求作(作法不唯一)；

例1題解圖⑤

(6)如解圖⑥，直線AD即為所求作(作法不唯一).

例1題解圖⑥

第9頁(yè)共13頁(yè)

例2B【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，由作圖知AD

平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∴CD＝AD，∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，

1

△·2

∴CD＝BD，∴＝1＝＝，又∵△ACD的面積為8，∴△ABD的面積

1?△???2??·????1

1

2??????2

是2×8＝16.2????

變式1C【解析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，AD為∠BAC的平分線，DE為AC

的垂線，∴∠BAD＝∠EAD，△AED為直角三角形，∵∠B＝∠AED＝90°，AD

＝AD，∴△ABD≌△AED，∴AE＝AB，∴AE＋EC＝AC＝AB＋EC，∴C正確，

故符合要求；由題意知，DA不一定等于DC，∠CDE不一定等于∠ADE，A、B、

D錯(cuò)誤，故不符合要求.

例3解：(1)如解圖，在線段OA上取點(diǎn)E，使OE＝3，在點(diǎn)E的正上方取點(diǎn)B，

使BE＝4，連接OB，

∴OB＝＋＝5，

22

∴cos∠A3OB＝4＝，

??3

∴∠AOB即為所??求作5；

(2)如解圖，在線段OA上取點(diǎn)D，使OD＝5，連接BD，再取BD的中點(diǎn)C，作

射線OC，則射線OC即為所求作.

例3題解圖

真題及變式

1.45°【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝30°，∴∠ABD

＝∠ADB＝(180°－∠A)＝75°.由作圖痕跡可得，點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，

1

2

第10頁(yè)共13頁(yè)

∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠EBD＝∠ABD－∠ABE＝75°－30°

＝45°.

2.解：(1)如解圖，∠ADE即為所求；

【作法提示】①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交線段AB，BC于點(diǎn)P，

Q；②以點(diǎn)D為圓心，BP(或BQ)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AD于點(diǎn)M；③以點(diǎn)M

為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑畫弧，交步驟②中所畫弧于點(diǎn)N；④連接DN并延長(zhǎng)交線

段AC于點(diǎn)E，∠ADE即為所求作.

(2)∵∠ADE＝∠B，

∴DE∥BC，

∴＝＝2.

????

????

第2題解圖

3.解：(1)如解圖，線段DE即為所求作；

第3題解圖

(2)在Rt△ADE中，AD＝4，∠DAB＝30°，

∴AE＝AD·cos∠DAB＝4×＝2，

3

∴BE＝AB－AE＝6－2.23

4.(1)解：如解圖①，AD3即為所求作；

第4題解圖①

(2)證明：如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

第11頁(yè)共13頁(yè)

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，

∵DC為☉D的半徑，∴DE為☉D的半徑，

∵DE⊥AB，∴AB與☉D