專題五綜合與實(shí)踐(2024年新增題型)1.綜合與實(shí)踐順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形,我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測(cè)量,猜想:原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.【探究一】原四邊形對(duì)角線的關(guān)系中點(diǎn)四邊形的形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是各邊的中點(diǎn).求證:中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.證明:∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),∴EF,GH分別是△ABC和△ACD的中位線,∴EF=12AC,GH=12AC(∴EF=GH.同理可得EH=FG,∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.結(jié)論:任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.(1)請(qǐng)你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù).【探究二】原四邊形對(duì)角線的關(guān)系中點(diǎn)四邊形的形狀不相等、不垂直平行四邊形AC=BD菱形從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅰ:原四邊形的對(duì)角線相等時(shí),中點(diǎn)四邊形是菱形.(2)下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ,請(qǐng)你在【探究一】中的證明結(jié)論的基礎(chǔ)上,寫出后續(xù)的證明過程.【探究三】原四邊形對(duì)角線的關(guān)系中點(diǎn)四邊形的形狀不相等、不垂直平行四邊形AC⊥BD(3)從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅱ:原四邊形對(duì)角線垂直時(shí),中點(diǎn)四邊形是.(4)下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ,請(qǐng)你在【探究一】中的證明結(jié)論的基礎(chǔ)上,寫出后續(xù)的證明過程.【歸納總結(jié)】(5)請(qǐng)你根據(jù)上述探究過程,補(bǔ)全下面的結(jié)論,并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形.原四邊形對(duì)角線的關(guān)系中點(diǎn)四邊形的形狀結(jié)論:原四邊形對(duì)角線時(shí),中點(diǎn)四邊形是.2.綜合與實(shí)踐某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組用一張矩形紙片(如圖1,在矩形ABCD中,AB>AD且AB足夠長)進(jìn)行探究活動(dòng).【動(dòng)手操作】如圖2,第一步,沿點(diǎn)A所在的直線折疊,使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處,折痕為AF,連接EF,把紙片展平.第二步,把四邊形AEFD折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,點(diǎn)D與點(diǎn)F重合,折痕為GH,再把紙片展平.第三步,連接GF.【探究發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上操作,甲、乙兩同學(xué)分別寫出了一個(gè)結(jié)論.甲同學(xué)的結(jié)論:四邊形AEFD是正方形.乙同學(xué)的結(jié)論:tan∠AFG=13(1)請(qǐng)分別判斷甲、乙兩同學(xué)的結(jié)論是否正確.若正確,寫出證明過程;若不正確,請(qǐng)說明理由.【繼續(xù)探究】在前面操作的基礎(chǔ)上,丙同學(xué)繼續(xù)操作.如圖3,第四步,沿點(diǎn)G所在的直線折疊,使點(diǎn)F落在AB上的點(diǎn)M處,折痕為GP,連接PM,把紙片展平.第五步,連接FM交GP于點(diǎn)N.根據(jù)以上操作,丁同學(xué)寫出了一個(gè)正確結(jié)論:FN·AM=GN·AD.(2)請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.參考答案1.解析:(1)中位線定理.(2)證明:∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),∴EF,GH分別是△ABC和△ACD的中位線,∴EF=12AC,GH=1同理可得EH=FG=12∵AC=BD,∴EF=GH=EH=FG,∴中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形.(3)矩形.(4)證明:∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),∴EF,GH分別是△ABC和△ACD的中位線,∴EF∥AC,GH∥AC,∴EF∥GH.同理可得EH∥FG.∴四邊形EFGH是平行四邊形,如圖1,記AC與EH的交點(diǎn)為I.∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠OIH=90°,∠FEH=∠OIH,∴∠AOD=∠EFG=∠FEH=∠EHG=90°,∴中點(diǎn)四邊形EFGH是矩形.(5)在圖中畫出的對(duì)應(yīng)圖形如圖2所示.AC⊥BD且AC=BD;正方形.2.解析:(1)甲、乙兩同學(xué)的結(jié)論都正確.理由如下:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DAE=∠D=90°,由第一步操作根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:AD=AE,DF=EF,∠AEF=∠D=90°,∴∠DAE=∠AEF=∠D=90°,∴四邊形AEFD為矩形.又∵AD=AE,∴四邊形AEFD為正方形,故甲同學(xué)的結(jié)論正確.如圖1,作GM⊥AF于點(diǎn)M,∵四邊形AEFD為正方形,∴∠FAE=45°.設(shè)AG=a,由第二步操作根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:GE=AG=12∴EF=AE=2a.在Rt△AMG中,∵∠MAG=45°,∴AM=MG=22在Rt△AEF中,AF=2AE=22a,∴MF=AF-AM=22a-22a=3∴tan∠AFG=MGMF=22a故乙同學(xué)的結(jié)論正確.(2)如圖2,作GR∥QS交SM于點(diǎn)R.∵GP為折痕,∴AG=QG,AD=QS,DF=SM,DP=SP,FP=MP,∠ADF=∠DAE=∠Q=∠S=90°.∵GR∥QS,∴∠SRG=∠QGR=∠Q=∠S=90°,∴四邊形QSRG為矩形,∴SR=QG=AG=DH,GR=QS=AD=HG.在Rt△GHP和Rt△GRP中,GP=GP∴Rt△GHP≌Rt△GRP(HL),∴∠FPG=∠MPG.又∵FP=MP,∴PG⊥FM,FN=MN.由折疊的性質(zhì)可知:GF=GM.∵PG⊥FM,FN=MN,∴∠FGP=∠MGP.∵FP∥GM,∴∠FPG=∠MGP,∴∠FPG=∠MPG=∠FGP=∠MGP,∴FG=FP=PM=GM,∴四邊形GMPF為菱形,∵RM=SM-SR=DF-DH=HF=AG,∴AG+GM=RM+MP,即AM=RP.在△DAM和△GRP中,A