單元質檢九解析幾何(時間:100分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.(2017浙江,2)橢圓=1的離心率是()A. B. C. D.2.到直線3x4y+1=0的距離為3,且與此直線平行的直線方程是()A.3x4y+4=0B.3x4y+4=0或3x4y2=0C.3x4y+16=0D.3x4y+16=0或3x4y14=03.與圓x2+(y2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有()A.2條 B.3條 C.4條 D.6條4.拋物線y2=8x的焦點到雙曲線=1的漸近線的距離為()A.1 B.C. D.5.已知橢圓=1(a>b>0)與雙曲線=1(m>0,n>0)有相同的焦點(c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率是(A.B.C.D.6.過點A(0,3),被圓(x1)2+y2=4截得的弦長為2的直線方程是()A.y=x+3 B.x=0或y=x+3C.x=0或y=x+3 D.x=07.若直線xy+2=0與圓C:(x3)2+(y3)2=4相交于A,B,則的值為()A.1 B.0 C.1 D.8.將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(a≠b)同時增加m(m>0)個單位長度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則()A.對任意的a,b,e1>e2B.當a>b時,e1>e2;當a<b時,e1<e2C.對任意的a,b,e1<e2D.當a>b時,e1<e2;當a<b時,e1>e29.設雙曲線=1的兩條漸近線與直線x=分別交于A,B兩點,F為該雙曲線的右焦點.若60°<∠AFB<90°,則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.(1,) B.(,2)C.(1,2) D.(,+∞)10.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M(1,m)(m>0)到其焦點的距離為5,雙曲線y2=1的左頂點為A,若雙曲線一條漸近線與直線AM平行,則實數a=()A. B. C.3 D.911.已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于兩點A,B(A,B異于原點),拋物線的焦點為F.若雙曲線的離心率為2,|AF|=7,則p=()A.3 B.6 C.12 D.12.已知橢圓E:=1(a>b>0)的右焦點為F,短軸的一個端點為M,直線l:3x4y=0交橢圓E于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4,點M到直線l的距離不小于,則橢圓E的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2017北京,文12)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(2,0),O為原點,則的最大值為.

14.(2017山東,文15)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.

15.(2017天津,文12)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A,若∠FAC=120°,則圓的方程為.

16.若關于x,y的方程=1所表示的曲線C,給出下列四個命題:①若C為橢圓,則1<t<4;②若C為雙曲線,則t>4或t<1;③曲線C不可能是圓;④若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則1<t<.其中正確的命題是.(把所有正確命題的序號都填在橫線上)

三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(10分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x4,設圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;(2)若圓C上存在點M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.18.(12分)已知圓心在x軸上的圓C過點(0,0)和(1,1),圓D的方程為(x4)2+y2=4.(1)求圓C的方程;(2)由圓D上的動點P向圓C作兩條切線分別交y軸于A,B兩點,求|AB|的取值范圍.19.(12分)已知A,B是拋物線W:y=x2上的兩個點,點A的坐標為(1,1),直線AB的斜率為k(k>0).設拋物線W的焦點在直線AB的下方.(1)求k的取值范圍;(2)設C為W上一點,且AB⊥AC,過B,C兩點分別作W的切線,記兩切線的交點為D,判斷四邊形ABDC是否為梯形,并說明理由.20.(12分)已知橢圓C1:=1(a>b>0)與橢圓C2:+y2=1有相同的離心率,經過橢圓C2的左頂點作直線l,與橢圓C2相交于P,Q兩點,與橢圓C1相交于A,B兩點.(1)若直線y=x經過線段PQ的中點M,求直線l的方程:(2)若存在直線l,使得,求b的取值范圍.21.(12分)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0).(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程;(2)以原點O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A作圓的切線,斜率為,求雙曲線的離心率.22.(12分)(2017天津,文20)已知橢圓=1(a>b>0)的左焦點為F(c,0),右頂點為A,點E的坐標為(0,c),△EFA的面積為.(1)求橢圓的離心率;(2)設點Q在線段AE上,|FQ|=c,延長線段FQ與橢圓交于點P,點M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c①求直線FP的斜率;②求橢圓的方程.答案：1.B解析:e=,故選B.2.D解析:設所求直線方程為3x4y+m=0,由=3,解得m=16或m=14.即所求直線方程為3x4y+16=0或3x4y14=0.3.C解析:過原點與圓x2+(y2)2=1相切的直線有2條;斜率為1且與圓x2+(y2)2=1相切的直線也有2條,且此兩條切線不過原點,由此可得與圓x2+(y2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有4條.4.A解析:拋物線y2=8x的焦點坐標為(2,0),其到雙曲線=1的漸近線x±y=0的距離d==1.5.D解析:由題意可知2n2=2m2+c又m2+n2=c2,所以m=.因為c是a,m的等比中項,所以c2=am,代入m=,解得e=.6.B解析:當弦所在的直線斜率不存在時,即弦所在直線方程為x=0;此時被圓(x1)2+y2=4截得的弦長為2.當弦所在的直線斜率存在時,設弦所在直線l的方程為y=kx+3,即kxy+3=0.因為弦長為2,圓的半徑為2,所以弦心距為=1.由點到直線距離公式得=1,解得k=.綜上所述,所求直線方程為x=0或y=x+3.7.B解析:依題意,圓心C(3,3)到直線xy+2=0的距離為,從而易得cos∠ACB=,即∠ACB=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故選B.8.D解析:由條件知=1+=1+,當a>b時,,則,所以e1<e2.當a<b時,,則,所以e1>e2.所以,當a>b時,e1<e2;當a<b時,e1>e2.9.B解析:雙曲線=1的兩條漸近線方程為y=±x,當x=時,y=±,所以不妨令A,B.因為60°<∠AFB<90°,所以<kFB<1,即<1,即<1.所以<1,即1<e21<3,故<e<2.10.A解析:由題意可知,拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為x=4,則p=8,所以點M(1,4).因為雙曲線y2=1的左頂點為A(,0),所以直線AM的斜率為.由題意得,解得a=.11.B解析:因為雙曲線的離心率為2,所以e2==4,即b2=3a2所以雙曲線=1(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故xA=xB=p.又因為|AF|=xA+p+=7,所以p=6.12.A解析:如圖,取橢圓的左焦點F1,連接AF1,BF1.由橢圓的對稱性知四邊形AF1BF是平行四邊形,則|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2不妨設M(0,b),則,即b≥1.所以e=.因為0<e<1,所以0<e≤.故選A.13.6解析:(方法一)設P(cosα,sinα),α∈R,則=(2,0),=(cosα+2,sinα),=2cosα+4.當α=2kπ,k∈Z時,2cosα+4取得最大值,最大值為6.故的最大值為6.(方法二)設P(x,y),x2+y2=1,1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),=2x+4,故的最大值為6.14.y=±x解析:拋物線x2=2py的焦點F,準線方程為y=.設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.聯立雙曲線與拋物線方程得消去x,得a2y22pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以.所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x.15.(x+1)2+(y)2=1解析:∵拋物線y2=4x的焦點F(1,0),準線l的方程為x=1,由題意可設圓C的方程為(x+1)2+(yb)2=1(b>0),則C(1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴kAF=tan120°=,直線AF的方程為y=x+.∵點A在直線AF上,∴b=.則圓的方程為(x+1)2+(y)2=1.16.②解析:若C為橢圓,則有4t>0,t1>0,且4t≠t1,解得1<t<4,且t≠,所以①不正確;若C為雙曲線,則有(4t)(t1)<0,解得t>4或t<1,所以②正確;若t=時,該曲線表示圓,所以③不正確;若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則4t>t1>0,解得1<t<,所以④錯誤.17.解:(1)由得圓心C(3,2).又因為圓C的半徑為1,所以圓C的方程為(x3)2+(y2)2=1.顯然切線的斜率一定存在,設所求圓C的切線方程為y=kx+3,即kxy+3=0,則=1,所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=.所以所求圓C的切線方程為y=3或y=x+3,即y=3或3x+4y12=0.(2)由圓C的圓心在直線l:y=2x4上,可設圓心C為(a,2a則圓C的方程為(xa)2+[y(2a4)]2=1又因為|MA|=2|MO|,所以設M(x,y),則=2,整理得x2+(y+1)2=4.設方程x2+(y+1)2=4表示的是圓D,所以點M既在圓C上又在圓D上,即圓C和圓D有交點,所以21≤≤2+1,解得a的取值范圍為.18.解:(1)過兩點(0,0)和(1,1)的直線的斜率為1,則線段AB的垂直平分線方程為y=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=1.所以圓C的圓心坐標為(1,0),半徑為1,所以圓C的方程為(x+1)2+y2=1.(2)設P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),則直線PA方程為,整理得(y0a)xx0y+ax0=0.因為直線PA與圓C相切,可得=1,化簡得(x0+2)a22y0ax0=0同理可得PB方程(x0+2)b22y0bx0=0,所以a,b為方程(x0+2)x22y0xx0=0的兩根,所以|AB|=|ab|===2,令t=x0+2∈[4,8],則|AB|=2,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范圍是.19.解:(1)拋物線y=x2的焦點為.由題意,得直線AB的方程為y1=k(x1),令x=0,得y=1k,即直線AB與y軸相交于點(0,1k).因為拋物線W的焦點在直線AB的下方,所以1k>,解得k<.因為k>0,所以0<k<.即k的取值范圍是.(2)結論:四邊形ABDC不可能為梯形.理由如下:假設四邊形ABDC為梯形.由題意,設B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),聯立方程消去y,得x2kx+k1=0,由根與系數的關系,得1+x1=k,所以x1=k1.同理,得x2=1.對函數y=x2求導,得y'=2x,所以拋物線y=x2在點B處的切線BD的斜率為2x1=2k2,拋物線y=x2在點C處的切線CD的斜率為2x2=2.由四邊形ABDC為梯形,得AB∥CD或AC∥BD.若AB∥CD,則k=2,即k2+2k+2=0,因為方程k2+2k+2=0無解,所以AB與CD不平行.若AC∥BD,則=2k2,即2k22k+1=0,因為方程2k22k+1=0無解,所以AC與BD不平行.所以四邊形ABDC不是梯形,與假設矛盾.因此四邊形ABDC不可能為梯形.20.解:(1)設P(2,0),Q(x,y),則線段PQ的中點M為,則=0,即x+y=2.聯立解得所以直線l的方程為y=0或y0=(x+2),化為x4y+2=0.(2)由題意,得橢圓C2:+y2=1的離心率e=.設2c是橢圓C1:=1(a>b>0)的焦距則.由a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,橢圓C1的方程可化為x2+4y2=4b2.設直線l的方程為y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).聯立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k24=0,所以x3+x4=,x3x4=,|PQ|=.聯立消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k24b2=0,所以x1+x2=,x1x2=,|AB|==.因為,所以||=3||,即3×.所以b2=1+∈(1,9],即b∈(1,3].所以b的取值范圍是(1,3].21.解:(1)雙曲線=1的漸近線方程為y=±x,由雙曲線的一條漸近線方程為y=x,可得=1,解得a=b.因為c==2,所以a=b=.由此可得雙曲線方程為=1.(2)設A的坐標為(m,n),可得直線AO的斜率滿足k=,即m=n.①因為以點O為圓心,c為半徑的圓的方程為x2+y2=c2,所以將①代入圓的方程,