專(zhuān)題09.三角形中的重要模型-弦圖模型、勾股樹(shù)模型

趙爽弦圖分為內(nèi)弦圖與外弦圖，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽發(fā)現(xiàn)，既可以證明勾股定理，也可以以此命題，

相關(guān)的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖之美，美在簡(jiǎn)約，然不失深厚，經(jīng)典而久

遠(yuǎn)，被譽(yù)為“中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰”。弦圖蘊(yùn)含的割補(bǔ)思想，數(shù)形結(jié)合思想、圖形變換思想更是課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)

思想滲透的絕佳載體。一個(gè)弦圖集合了初中平面幾何線與形，位置與數(shù)量，方法與思想，小身板，大能量，

它就是數(shù)學(xué)教育里的不老神話(huà)。廣受數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)愛(ài)好者研究，近年來(lái)也成為了各地中考的熱點(diǎn)問(wèn)題。

模型1、弦圖模型

(1)內(nèi)弦圖模型：如圖1,在正方形A8CD中，于點(diǎn)E,8F_LCG于點(diǎn)F,CG_LOH于點(diǎn)G,DHLAE

于點(diǎn)”，則有結(jié)論：AABE咨ABCF咨ACDG咨ADAH；S正方形ABCD=4SAEW+S正方形EFGH。

G

C

(2)外弦圖模型：如圖2,在正方形ABC。中，E,F,G,”分別是正方形ABC。各邊上的點(diǎn)，且

四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHEQBEF出4CFG出△QG”；S正方形ABCD=4SAEAB+S正方形EFGH。

(3)內(nèi)外組合型弦圖模型：如圖3,2s正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.

例1.(2023秋?湖北?九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)如圖，2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)其原型

是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面積是

16,直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a,b,且/+b2=M+io,那么圖中小正方形的面積是()

【答案】C

【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得利用勾股定理可以得到4+62=02,然后根據(jù)

(a+6)2=cc+2ab+b2-c2+2"求得即可求得出?的值，結(jié)合(6-。)？=a2-2ab+b2-c2-2ab即可求解.

【詳解】解：回大正方形的面積是16,0C2=16,回/+62=°2=16,

^a2+b2=ab+10,0^=6,回小正方形的邊長(zhǎng)為：b-a,

團(tuán)（6-。）~=a2-2ab+b~=/-2.6=16-2x6=4.故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，勾股定理應(yīng)用，熟記完全平方公式的靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

例2.（2022?安徽安慶?八年級(jí)期末）漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副"弦圖"，后人稱(chēng)其為"趙

爽弦圖"，如圖，大正方形A3CD由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，若ZADE=ZAED,

AD=4y/5,貝！）AADE■的面積為（）

A.24B.6C.2石D.2710

【答案】A

【分析】由已知得出A￡）=AE=AB,進(jìn)而利用圖形面積的割補(bǔ)關(guān)系解得即可.

fflAOE=a4E。，^AD=AE=AB,

^AFSBE,gEF=BF=gBE,I3GE=AH,^EGEM^SHAM,^MGE^MHA,

00GEM00HW(ASA),SSAHAM=SAGEM,SSAADE=SAADH+SADGE,

0A￡>=4A/5,DH=2AH,AD2=DH2+AH2,EL4H=4,DH=8,0DG=GE=4,

SAADE=-x4x8+-x4x4=24.故選：A.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?山西八年級(jí)期末）如圖，圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角

三角形圍成的，若AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中的邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2

所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)"，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是（)

【答案】D

【分析】由題意回ACB為直角，AD=6,利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng).

【詳解】解：依題意E1ACB為直角，AD=6,0CD=6+6=12,

由勾股定理得，BD2=BC2+CD2,E1BD2=122+52=169,所以BD=13,

所以"數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”的周長(zhǎng)是：（13+6）x4=76.故選:D.

【點(diǎn)睛】本題是勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.在直角三角形中，如

果兩條直角邊分別為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.

例4.（2022?杭州九年級(jí)月考）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖"，后人稱(chēng)其為“趙

爽弦圖如圖是由弦圖變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD,正方形

EFGH,正方形/WNK7"的面積分別為5i,S2,S3.若SI+52+$3=12,則下列關(guān)于Si、S2、S3的說(shuō)法正確的是（）

A.S1=2B.$2=3C.53=6D.SI+S3=8

D

E

R

【答案】D

【分析】根據(jù)八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，得出CG=NG,CF=DG=NF,

再根據(jù)三個(gè)正方形面積公式列式相加：S]+$2+83=12,求出GR2的值，從而可以計(jì)算結(jié)論即可.

【解析】解：???八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABC。，EFGH,MNK7■是正方形,

：.CG=NG,CF=DG=NF,：.S[=（CG+DGf=CG2+DC+2CG-DG=GF?+2CG-DG，

S,=GF2,S3=（NG-NF）2=NG2+NF2-2NG-NF,

H+S2+S3=GF2+2CG-DG+GF2+NG2+NF2-2NG-NF=3GF2=12,

2

GF=4,AS2=4,Sj+S2+S3=12,Sj+S3=8,故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)

已知得出3G/2=12是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例5.（2023?廣東?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙

爽弦圖".將兩個(gè)"趙爽弦圖"（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNP0,

記空隙處正方形ABCD,正方形EFG”的面積分別為S，S?（H>S2）,則下列四個(gè)判斷：①

d+S?=；S四邊形②DG=2AF；③若Z.EMH=30°,則岳=3邑；④若點(diǎn)A是線段GF的中點(diǎn),則3H=4邑，

其中正確的序號(hào)是

【答案】①②③

【分析】設(shè)“趙爽弦圖"中，直角三角形的較短直角邊為。，較長(zhǎng)直角邊為6,斜邊為C,則小正方形的邊長(zhǎng)

為b-a,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為b,正方形EFG"的邊長(zhǎng)為"，正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2c,由正方形面積

公式，勾股定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】設(shè)“趙爽弦圖"中，直角三角形的較短直角邊為。，較長(zhǎng)直角邊為b,斜邊為。，則小正方形的邊長(zhǎng)

為b-a,正方形A3CD的邊長(zhǎng)為b,正方形EFG”的邊長(zhǎng)為。，正方形MNP。的邊長(zhǎng)為2c,

22

mSI=,S2=a,S四邊形MNP°=（2。）=4c~.H+S2=+b~=c.

0S|+S2=-S四邊形“NP0?故①正確；

0AF-b-a,^AG=FG-AF=a-（b-a）=2a-b.

132X7=AD-AG=6-（2a-》）=2（》-a）.SiDG-2AF.故②）正確；

0Z￡MH=3O°,/MHE=90。,0MH=^HE.即6=耳.回/=3（?.回￡=3邑.故③正確；

回點(diǎn)A是線段Gb的中點(diǎn)，BAG=AF.BP2a-b=b-a.S2b=3a.

04&2=9a2.團(tuán)4、=9邑.故④不正確；故答案是①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖"中，直角三角形的較短直角邊為。，

較長(zhǎng)直角邊為8,斜邊為心用。，瓦c表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而解決問(wèn)題.

模型2.勾股樹(shù)模型

▼作等腰直作正方形（畢達(dá)

作等邊三角形；作半圓角三角形哥拉斯樹(shù)的起

始圖形）

結(jié)論:S1+Sz=S'

例1.（2022?福建?八年級(jí)期末）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，如果正方形A、B、C、。的邊長(zhǎng)分別為3,4,1,2.則最大的正方形E的面積是.

B

【答案】30

【分析】根據(jù)勾股定理可得：正方形廠的面積=正方形A的面積+正方形8的面積，正方形G的面積=正方

形C的面積+正方形。的面積，從而得到正方形E的面積=正方形產(chǎn)的面積+正方形G的面積，即可求解.

【詳解】解：如圖，

由勾股定理得，正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=32+42=25,

同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+12=5,

:?正方形E的面積=正方形歹的面積+正方形G的面積=30.故答案為：30

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊

的平方是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022?浙江?樂(lè)清市八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZD=90°,分別以AB,BC,CD,

D4為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S尹，S乙,S丙,來(lái)表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確

的是（）

A.S甲=5丁B.S乙=S丙C.S甲-S乙=S丁-S丙D.S甲+S乙=5丙+5丁

【答案】D

【分析】連接AC,根據(jù)勾股定理可得甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，依此即可求解.

【詳解】解：連接AC,

甲

由勾股定理得A32+8C2=AC2,AD2+CD2=AC2,回甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)，要求能夠運(yùn)用勾股定理證明4個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系.

例3.（2022?河南八年級(jí)期末）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,其面積標(biāo)記為5，以8為斜邊作等腰直

角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為邑，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，

則S9的值為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出星+5=工，寫(xiě)出部分S“的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律

"（命3）,依此規(guī)律即可得出結(jié)論.

【詳解】解：在圖中標(biāo)上字母E,如圖所示.

?..正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,宏為等腰直角三角形,

222

?，-DE+CE=CD，DE=CE,：.S2+S2=St.

:

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：=2=4,52=34=2,S3=S2=1,S4=^S3=^S,

當(dāng)“=9時(shí)，$9故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是找出規(guī)律

"s"=gj3”,解決該題目時(shí)，寫(xiě)出部分S“的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵.

例4.（2023春?山東苗澤?八年級(jí)校考階段練習(xí)）"勾股樹(shù)”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該

直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫(huà)出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一

棵樹(shù)而得名.假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，

如果第一個(gè)正方形面積為1,則第2023代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為.

第一代勾股樹(shù)第二代勾股樹(shù)第三代勾股樹(shù)

【答案】2024

【分析】根據(jù)勾股定理可得第一代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為2,再一次求出第二代、第三代勾股樹(shù)中所

有三角形的面積，總結(jié)出一般規(guī)律，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：設(shè)第一代勾股樹(shù)中間三角形的兩直角邊長(zhǎng)為。和6,斜邊長(zhǎng)為c,

根據(jù)勾股定理可得：/+"=02,

配2=1,回第一代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為="+62+°2=C2+C2=2；

同理可得：第二代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為=2/+2b2+C2=3C2=3;

第三代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為=44=4;

第九代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為=（〃+1）。2=〃+1；

團(tuán)第2023代勾股樹(shù)中所有正方形的面積為2024.故答案為：2024.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)勾股定理總結(jié)出變化的一般規(guī)律.

例5.（2023?浙江八年級(jí)期中）如圖，以Rt^ABC的三邊為直徑，分別向外作半圓，構(gòu)成的兩個(gè)月牙形面積

分別為與、邑，RtAMC的面積S3.若H=4,星=8,則S3的值為.

【答案】12

【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式即可求得邑的值.

【詳解】解：設(shè)RtAABC的三邊分別為a、b、c,則〃+^=°2,

11,11,1,1,1,

觀察圖形可得：；萬(wàn)?（；"）2+221

-7r-(-b)+S3=Sl+S2+-7i-(-c),^-7r-a^+-7i-b^+S3=S1+S2+-TT-C,

a2+b2—c2>—^?a1+—7r-b^=-7t-c",S=5,+S=4+8=12,故答案為：12.

88832

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓的面積，熟記圓的面積公式，利用等面積法得出等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

例6.（2022春?浙江溫州?九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖1,是數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫(huà)的“勾股樹(shù)”.如

圖2,在R/a48c中，ABAC=90°,以其三邊為邊分別向外作正方形，延長(zhǎng)EC,分別交GP,AH于點(diǎn)N,

S9

K,連接KN交AG于點(diǎn)M,若，=/,則tan/ACB為（）

321。

Si圖2

15

'?2cD.

-112

【答案】B

b

【分析】先證明設(shè)AC，a,AB=1b,則tan/AC3=—,根據(jù)△AO/s^GMW,面積比等于

a

.7Z?2

相似比的平方可得GN:AK=3:4,根據(jù)AB2=ACAK，表示出AK=—,又GN=7a-7b,根據(jù)

a

空=空"可得3⑶+4⑶-4=0,解一元二次方程即可求得，的值,即tan/ACB的值.

GNGM3\a)\a)a

【詳解】解：團(tuán)四邊形ABC。，〃/是正方形

，/BCN=ZACF=9伊,ZBAC=ZNFC=9Q°,AC=CF

ZACB=ZFCNA△ABC^ATWC.\NF=AB

b

沒(méi)AC=7a,AB=7b,則tanZACB=—,:.GN=GF-NF=7a-lb

a

幺=2/GM］AKAM4

YAC//GFAAAKMSENM

s216~\^AM)~GN~~GM~3

?:/KBC=ZBAC=90。/.ZACB+ZABC=ZABC+ZABK

ARyAK

ZACB=ZABKtanZACB=——=tanZABK=——

ACAB

°/、2.GN_7a-7b

■,AK=^=^-=~"^K~yb2-4BP4/-4.5=3從

AClaa~

,ja*04—=3化［即3(攵［+4(。］—4=0解得一=彳或—=—2(舍)BPtanZACB=故選B

a\a)\a)\a)a3a3

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，正切，掌握相似三角形

的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

例7.（2023?貴州遵義,統(tǒng)考二模）如圖1,畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，也叫"勾股樹(shù)"，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所

畫(huà)出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)形圖形.在圖2中，Z4CB=90°,分別以RGABC的三條邊為邊向外作正

方形，連接BE,DG、BE,交AC于點(diǎn)。，若NB4C=30。，BC=2,則四邊形EQG。的面積是.

【答案】5百+3/3+5石

【分析】先利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AC,再證明ABCQSABDE求得c。，再利用梯形和三

角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：在HAACB中，SZACB=90°,ABAC=30°,BC=2,

0AB=2BC=4,則AC=J心叱=2百，

團(tuán)四邊形ACDE是正方形，回AC〃OE,CD=DE=AC=26,

團(tuán)四邊形EQGD的面積為S梯形c?E2+'AOCG=］（3—舊+2囪）x20+—x2也x2=5石+3.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

梯形和三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

例8.（2023秋?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【背景閱讀】勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家

稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家

趙爽為了驗(yàn)證勾股定理，創(chuàng)制了一幅"弦圖"（如圖1）,后人稱(chēng)之為"趙爽弦圖"，流傳至今.

【實(shí)踐操作】（1）請(qǐng)敘述勾股定理；（2）驗(yàn)證勾股定理，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常

見(jiàn)的驗(yàn)證方法中任選一種來(lái)驗(yàn)證該定理：（以下圖形均滿(mǎn)足驗(yàn)證勾股定理所需的條件）

【探索發(fā)現(xiàn)】（3）如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角

形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足耳+其=邑的有一個(gè)；

（4）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分

別為跖、S2,直角三角形面積為S3,請(qǐng)判斷耳、邑、S3的關(guān)系并說(shuō)明理由.

【答案】（1）在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方；（2）證明

見(jiàn)解析;（3）3；（4）S1+S2=S3

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的定義描述，即可得到答案；

（2）結(jié)合圖2,根據(jù)大正方形面積等于四個(gè)三角形面積和小正方形面積之和的關(guān)系計(jì)算，即可得到答案；

（3）設(shè)面積為凡的正方形邊長(zhǎng)為a,面積為邑的正方形邊長(zhǎng)為b,面積為工的正方形邊長(zhǎng)為c；根據(jù)題意

得：a2+b2=c2,再分別計(jì)算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；

（4）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、非陰影部分去除三角形后的面

積，再根據(jù)陰影部分面積（S+Sz）=以a為直徑的半圓面積+以b為直徑的半圓面積-非陰影部分去除三角

形后的面積，結(jié)合勾股定理，即可得到答案.

【詳解】（1）勾股定理：在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方;

（2）如圖2

圖2

大正方形面積為：（4+6）2小正方形面積為：，四個(gè)直角三角形面積之和為：

回大正方形面積=小正方形面積+四個(gè)直角三角形面積之和

1

團(tuán)（。+與一9=/回+〃=。2,滿(mǎn)足直角三角形勾股定理；

（3）設(shè)面積為H的正方形邊長(zhǎng)為a,面積為S2的正方形邊長(zhǎng)為b,面積為'的正方形邊長(zhǎng)為c；

根據(jù)題意得：a2+b2=c2

圖6

2

如圖5：S,==-7ra,兀b?,S=*亭/+、十（a。吁*形+S2=S3

12^2j883

如圖6**>4=*2*和…「啜'和邛（f2）邛,2-

團(tuán)三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足H+邑=S3的有3個(gè)故答案為：3；

（4）以a為直徑的半圓面積為：—x^-f—=-7ra2以b為直徑的半圓面積為：—x^-f—=-7rb2

282（2）8

2

非陰影部分去除三角形后的面積為：-S3=1^C-S3

團(tuán)陰影部分面積（S+Sz）=以a為直徑的半圓面積+以b為直徑的半圓面積-非陰影部分去除三角形后的面積

13S]+邑—S3=W%（礦+匕~—C?）結(jié)合（1）的結(jié)論：〃+匕2=/回g%+廳—C~）=0回S]+S?=邑.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定

理的性質(zhì)，從而完成求解.

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?云南九年級(jí)一模）如圖是按照一定規(guī)律"生長(zhǎng)"的"勾股樹(shù)":

圖⑴圖（2）圖⑶圖⑷

經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個(gè)正方形，圖（2）在圖（1）的基礎(chǔ)上增加了4個(gè)正方形，圖（3）在

圖（2）的基礎(chǔ)上增加了8個(gè)正方形，......，照此規(guī)律"生長(zhǎng)"下去，圖（6）應(yīng)在圖（5）的基礎(chǔ)上增加的正方

形的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.32C.64D.128

【答案】C

【分析】通過(guò)觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出4個(gè)正方形，圖（3）比圖（2）多出8個(gè)正

方形，圖（4）比圖（3）多出16個(gè)正方形，……，以此類(lèi)推可得圖形的變換規(guī)律.

【詳解】解：由題可得，圖（2）比圖（1）多出4個(gè)正方形，2x2=22=4

圖（3）比圖（2）多出8個(gè)正方形，4x2=23=8；

圖（4）比圖（3）多出16個(gè)正方形，8x2=24=16;

圖（5）比圖（4）多出32個(gè)正方形，16x2=25=32;

照此規(guī)律，圖（n）比圖（巾1）多出正方形的個(gè)數(shù)為：2"

故圖（6）比圖（5）多出正方形的個(gè)數(shù)為：26=64;故答案為：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的變化類(lèi)問(wèn)題，主要考核學(xué)生的觀察能力和空間想象能力.首先應(yīng)找出圖形哪些

部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)

律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題.

2.（2022?浙江初三期中）勾股定理是人類(lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中早有記載.如

圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大

正方形內(nèi).若圖2中陰影部分的面積為2,且AB+AC=8,貝UBC的長(zhǎng)為（）

圖1圖2

,、2513

A.4A/2B.6c.—D.—

42

【答案】B

【分析】設(shè)AC=a,AB=b,BC=c根據(jù)勾股定理得到c2=a2+b2,根據(jù)正方形的面積公式、長(zhǎng)方形的面積公

式計(jì)算即可求解.

【解析】如圖2：

設(shè)AC=a,AB=b,BC=c,貝a+b=8,c2=a2+b2,HG=c-b,DG=c-a,

則陰影部分的面積S=HG?DG=(c-b)(c-a)=2,

22

*.*(a+b)2=a2+b2+2ab=64,/.ab=32-—，.*.S=c2-c(a+b)+ab=c2-8c+32--=2,

22

解得ci=6,C2=10（舍去）.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a?+b2=c2

3.（2023?浙江?杭州八年級(jí)階段練習(xí)）如圖,Rt^ABC中，回3AC=90。,分別以她3C的三邊為邊作正方形A8Z汨,

正方形5CTG,正方形AC"/,A/交B于點(diǎn)J.三個(gè)正方形沒(méi)有重疊的部分為陰影部分，設(shè)四邊形BGE/

的面積為％,四邊形CH〃的面積為S2,若SLS2=12,SAABC=4,則正方形5C/G的面積為（）

A.16B.18C.20D.22

【答案】C

【分析】設(shè)8C=a,AC=6,A8=c,由正方形面積和三角形面積得S/方/BCPG-S正加AC8/=16,即/

-b2=16,再由勾股定理得/-〃=U，則,2=16,求出c=4,求出6=2,則/=左+^二2。，即可求解.

【詳解】解：設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,^Si=SJE^BCFG-SAABC-SAACJ,S2=S正方形ACHI-S&ACJ,

05;-S2=S正方形BCFG-SAABC-S^ACJ-S正方形ACHI+SAACJ=S正方形BCFG-4-S正方形ACHI=\2,

EIS正方形BCFG-S正方形ACHl=16,即/-爐=16,

團(tuán)及0ABe中，0BAC=90°,0a2-b^c2,Elc2=16,Elc=4（負(fù)值已舍去），

222

EISz1ABC=；bc=26=4,0/?=2,0t?=b-^+c=16+2=20,

回正方形BCFG的面積為20,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，設(shè)參數(shù)表示三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)已知條件求得4-62=16是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?湖北黃岡?八年級(jí)統(tǒng)考期中）"趙爽弦圖"巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)

的驕傲，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為。，較短直角邊長(zhǎng)為人若必=8,大正方形的面積為25,則跖的

C.3夜D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)三角形的面積即可解答.

【詳解】解：回三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為。，較短直角邊長(zhǎng)為8,回四個(gè)三角形的面積為2a6,

團(tuán)必=8,大正方形的面積為25,團(tuán)小正方形的面積為25-2必=25-16=9,

團(tuán)小正方形的邊長(zhǎng)為3,SEF=732+32=V18=3A/2＞故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積，直角三角形的面積，勾股定理，掌握小正方形的面積等于大正方形的

面積減去四個(gè)三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）勾股定理是人類(lèi)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中早有

記載.如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再將較小的兩個(gè)正方形分別繞直角三角形斜邊

上的兩頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到圖2.則圖2中陰影部分面積等于（）

圖1圖2

A.直角三角形的面積B.最大正方形的面積

C.最大正方形與直角三角形的面積和D.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理得到/=6+廿，再根據(jù)正方形的面積公式、矩形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)直角三角形的較短直角邊為較長(zhǎng)直角邊為6,斜邊為c,

由勾股定理可得，陰影部分面積=/——a（c—6）=〃—q（c—6）=。（。+6―。），

較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積=a（q+6-c）,

團(tuán)陰影部分面積=較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題.

6.（2023春?廣東潮州?九年級(jí)校考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用"弦圖"證明了勾股定理，標(biāo)志著中國(guó)

古代的數(shù)學(xué)成就.如圖所示的"弦圖"，是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形.直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13,一條直角邊長(zhǎng)為12,則小正方形A3CD的面積的大小為（）

A.144B.100C.49D.25

【答案】C

【分析】首先利用勾股定理求得另一直角邊的長(zhǎng)度，然后結(jié)合圖形求得小正方形的邊長(zhǎng)，易得小正方形的

面積.

根據(jù)勾股定理，#AF=yjEF2-AE2=>/132-122=5?所以AB=12-5=7.

所以正方形ABCD的面積為：7x7=49.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角邊的長(zhǎng)度.

7.（2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）大約公元222年我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)介

紹了“勾股圓方圖"，亦稱(chēng)"趙爽弦圖"，如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形A5CD,中空的部分是小

正方形EFG”，連接EG,相交于點(diǎn)。，BO與aC相交于點(diǎn)尸，若GO=GP,則直角三角形的邊CG與BG

之比是（）

A.gB.-C.5/2—1D.V3—5/2

【答案】C

【分析】先證明△EDO四△G3O,得出OE=OG,再根據(jù)已知條件GO=GP,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、正

方形的性質(zhì)求得NCBG=22.5。=NP3G,進(jìn)而證明A3PG絲ACPG,得出PG=CG=OG,設(shè)

PG=CG=OG=BF=1,得到BG=BF+FG=0+1，進(jìn)而求解.

【詳解】解：回四邊形EFGH、A3CD是正方形，

?EH=FG,EH〃FG,NEGP=45。，ZBGP=90。，/CBD=45°,

0ZDEO=NBGO,NEDO=ZGBO,

團(tuán)四個(gè)全等的直角三角形拼成大正方形ABCD,

田DE=BG,BF=CG,ElZkEDO咨△G3O,E1OE=OG,

BGO^GP,ZEGP=45。,0ZGOP=ZOPG=1(180°-45°)=67.5°,

0NPBG=90°—67.5°=22.5°,EZCBG=22.5°=/PBG,

0ZPGB-ZCGB=90°,BG=BG,S^BPG^^CPG,?PG=CG=OG,

設(shè)PG=CG=OG=BF=1,貝i」EG=2OG=2,中FG=立電=6,

2

lCG

SBG=BF+FG=V2+b=0+1=0T；故選:C.

nCr

A

B

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)

圖形的性質(zhì)定理、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了"勾

股圓方圖"，亦稱(chēng)"趙爽弦圖"（如圖1）.某數(shù)學(xué)興趣小組類(lèi)比“趙爽弦圖"構(gòu)造出圖2：AABC為等邊三角形，

AD.BE、CP圍成的ADEF也是等邊三角形.已知點(diǎn)。、E、尸分別是應(yīng)'、CF、AD的中點(diǎn)，若“1BC

的面積為14,則AD斯的面積是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】連接M,由題意知S"即=SA.C=SABEC，再由點(diǎn)。、E、尸分別是巫、CF、AO的中點(diǎn)，可得

S^BDF=SgEF，S△即f=,即可得出=75S昉即可求解.

【詳解】解：連接的，如圖所示：

???點(diǎn)。、E、尸分別是應(yīng)1、CF、AD的中點(diǎn)，..S&BDE=SaDEF，S&BDF=^ABF，

??,AASC為等邊三角形，ADEF也是等邊三角形，

AB=BC=AC,DE=EF=DF,ZABC=ZACB=ABAC=60°,ZFED=NFDE=ZEFD=60°,

:.ZABD+ZCBD^60°,是△AB。的一個(gè)外角，ZBAD+ZABD^6O0,

ZFED是△BCE的一個(gè)外角，.-.ZCBE+ZBCE=60°,,NBAD=ZCBE,ZABD=NBCE,

ABAD=ZCBE

在△AB。和/MCE中，<AB=BC,AABD^AACE(ASA),

ZABD=ZBCE

同理，可得△AB。/△C4F(ASA),.?.S"BD=S.C=S/EC，

?Q—Q—Q—7v?S—Vj-V-i-S-i-V—71V

…0hABD~°AAFC-Q4BEC~乙QQEF，.?0hABC-AABD丁0hBCE丁0AAFC丁°^EDF_0^DEF，

\ABC=>；-7S&DEF=“ABC=14,解得以謝=2,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形

外角性質(zhì)，正確作出輔助線，得出工M0=75,1^是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?河北石家莊?校考二模）如圖1,畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，也叫"勾股樹(shù)"，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所

畫(huà)出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)形圖形.在圖2中，NACB=90。，分別以RtaABC的三條邊為邊向外作正

方形，連接BE,DG,物交AC于點(diǎn)Q.若NA4c=30。,BC=g，則四邊形EQG。的面積是（)

C.5g+3D.73

【答案】A

【分析】先利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AC,再證明ABCQSABOE求得c。，再利用梯形和三

角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：在中，回NACB=90°,Z&4c=30°,BCg，

^AB=2BC=2>/2?則AC=dAB2—BC?=屈，

回四邊形ACDE是正方形，^\AC//DE,CD=DE=AC=46,

^BCQ^BDE,喘=令，啜

4i解得CQ=36-R

亞+#'2

回四邊形EQGO的面積為:S梯形CDEO+SDCG=甲――1+GxA+Lx&x桓=5布+3

悌形cotQADCG22v2YQ

NI)2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理、梯形和三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

10.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖"，后人稱(chēng)

之為"趙爽弦圖"，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成.如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為°、

b,斜邊長(zhǎng)為c,若b-a=4,c=20,則每個(gè)直角三角形的面積為.

【分析】由題意知，a2+b2=c2,由6-。=4,c=20,可得6+5+4）2=202,計(jì)算求出滿(mǎn)足要求的。，然

后求6,根據(jù)每個(gè)直角三角形的面積為工漏，計(jì)算求解即可.

2

【詳解】解：由題意知，a2+b2=c2,

回/?—a=4,c=20,回a?+（々+4）2=2（）2,解得。=12,a——16（舍去），回Z?=16,

團(tuán)每個(gè)直角三角形的面積為1必=96,故答案為：96.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理.解題的關(guān)鍵在于對(duì)勾股定理的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

11.（2022秋?四川成都?八年級(jí)校考期中）"勾股圖”有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘

發(fā)行了以“勾股圖"為背景的郵票（如圖1）,歐幾里得在《幾何原本》中曾對(duì)該圖做了深入研究.如圖2,在

△A5c中，ZACB=9Q°,分別以AABC的三條邊為邊向外作正方形，連接班,CM,DG,CM分別與AB,既相

DG

交于點(diǎn)P,。.若NABE=30。，則的值為.

【答案】G-1/-1+石

【分析】先用已知條件利用SAS的三角形全等的判定定理證出絲AC4",之后利用全等三角形的性質(zhì)

定理分別可得NEA4=NCM4=30。，ZBPQ=ZAPM=,PQ=/B,然后設(shè)AP=1,繼而可分別求出

PM=2,PQ=，所以QM=QP+PM=拒;3；證明RtAACB=RtAOCG（HL）,從而得DG=AB=6,

DG

然后代入所求數(shù)據(jù)即可得礪的值.

AE=AC

【詳解】解：,在和ACLM中，〈/EAB=NCAM,

AB=AM

:.AEAB^ACAM(SAS),ZEBA=ZCMA=30°,

:.NBPQ=NAPM=60。,^BQP=90°,:.PQ=gpB,

設(shè)AP=1>則AM=A/3,PM=2,PB=\/3—1,PQ=--—,

QM=QP+PM=^^-+2=^^-；

CG=BC

在Rt^ACB和RbDCG中,,RtAACB^RtA￡>CG(HL),

AC=CD

DGy/3r-

DG=AB=^>,GM百+3.故答案為：A/3-I.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

12.(2022春?安徽合肥?八年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)校考期中)如圖①，在放反4。2中fflACB=90。，分別以

AC、BC、AB為邊,向形外作等邊三角形，所得的等邊三角形的面積分別為S/、S2、S3,請(qǐng)解答以下問(wèn)題:

圖①圖②

(1)Si、S2、S3滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是.

(2)現(xiàn)將△A8F向上翻折，如圖②，若陰影部分的S用=6、Sz=5、S桁4,貝I)SMCB=

【答案】S1+S2=S37

【分析】(1)利用等邊三角形的面積公式以及勾股定理即可證明.

（2）設(shè)AACB面積為S,圖②中兩個(gè)白色圖形的面積分別為a,b,根據(jù)（1）得到S刷?a+Sz+b=S批a+b+S,

整理之后即可代值求解.

【詳解】解：（1）在RMACB中，0ACB=9O°,則AB2^AC2+BC2,

如圖，在等邊叢山中，AC邊上的高EH=3AC

2

S.=-AC.EH=-AC.—AC=—AC2

12224

E

同理：S=—BC2,S3=—AB2,咐+S2=S3；

244

（2）設(shè)AICB面積為S,圖②中兩個(gè)白色圖形的面積分別為a,b；

=

^\SI+S2=SSJ團(tuán)S就a+S乙+b=S/a+b+S,0S討'S乙=S水S,SS6+5-4=7.

故答案為：（1）S+S2=S3；（2）7.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形面積計(jì)算.熟練應(yīng)用勾股定理、正確計(jì)算

等邊三角形面積以及會(huì)用割補(bǔ)法求三角形面積是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?湖北孝感?統(tǒng)考三模）"勾股樹(shù)”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直

角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程所畫(huà)出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹(shù)而得名.假設(shè)

如圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第五代勾股樹(shù)

中正方形的個(gè)數(shù)為

第一代勾股樹(shù)第二代勾股樹(shù)

【答案】63

【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第五代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù).

【詳解】解：由題意可知第一代勾股樹(shù)中正方形有1+2=3（個(gè)），

第二代勾股樹(shù)中正方形有1+2+2?=7（個(gè)），第三代勾股樹(shù)中正方形有1+2+2?+23=15（個(gè)），

由此推出第五代勾股樹(shù)中正方形有1+2+2?+23+2,+25=63（個(gè)）故答案為：63.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類(lèi)規(guī)律探索的相關(guān)問(wèn)題，仔細(xì)觀察從圖中找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

14.（2022?山東臨沂?統(tǒng)考二模）中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)

特的貢獻(xiàn)和地位尤其是三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽，不僅最早對(duì)勾股定理進(jìn)行了證明，而且