浙江省浙南名校聯盟2023-2024學年高一下學期數學期中聯考試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數z滿足(3+4i)z=|4+3i|，則z的虛部為（）A．?4 B．?45 C．?4i 2．如圖，直角梯形O'A'B'C'A．7+5 B．5+23+17 C．3．已知函數f(x)=lnx,0<x≤1A．?9ln3 B．9ln3 C．?27ln3 D．27ln34．已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（）A．2π B．3π C．2π 5．在△ABC中，D是AB邊上的一點，且CD平分∠ACB，若CA=a，CB=b，|bA．?12aC．?13a6．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知A．(2,4) B．(1,3) C．7．已知四邊形ABCD內接于圓O，且滿足AB=1，AD=3，BC=CD=2，則圓O的半徑為（）A．213 B．2213 C．218．用一個內底面直徑為3，高為20的圓柱體塑料桶去裝直徑為2的小球，最多能裝下小球個數為（）A．10 B．11 C．12 D．13二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。9．已知a,b,A．a+c>b+c B．1b>1a>0 10．如圖，四棱錐P?ABCD的底面是平行四邊形，E,F分別是棱A．多面體ABF?DCE是三棱柱B．直線BF與PC互為異面直線C．平面ADP與平面BCP的交線平行于EFD．四棱錐P?ABCD和四棱錐P?BCEF的體積之比為811．定義一種向量運算“?”：a?b=|a||b|sinθ,θ∈(0,π),|a?bA．若a?bB．若λ∈R，則λ(C．(D．若|c|=2三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分。12．設a∈R,i為虛數單位，且i(a+i)213．已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，側棱AA1=414．已知函數f(x)=ex?e?xex+e四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知a=(1,m)，（1）求實數m的值；（2）設c⊥b，求c與16．設函數f(x)=cosx,（1）若角α滿足f(α+π4)=（2）求函數y=[f(α+17．如圖，正△ABC邊長為2,D、E分別是邊AB,AC的中點，現沿著DE將△ADE折起，得到四棱錐A'（1）求證：ME∥平面A（2）若A'B=2（3）過ME的平面分別與棱A'D,A'B相交于點S,T，記△A'ST18．已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為（1）求B；（2）若a=41313，求△ABC（3）求a+2c的最大值，并求其取得最大值時cosC的值．19．設集合A?N*．定義：和集合B={x+y|x,y∈A,x≠y}，積集合（1）若A={1,2,（2）若|A|=5，求|B|的所有可能的值組成的集合；（3）若|A|=4，求證：|C|≥9．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為(3+4i)z=|4+3i|=42+所以z的虛部為?4故答案為：B【分析】本題考查復數的模長公式和復數的除法運算.先根據復數的模長公式進行計算變形化簡可得：z=53+4i，再利用復數的除法運算分子和分母同時乘以3-4i進行化簡可求出復數2．【答案】C【解析】【解答】解：由題意O'C'=OC=3，A'由O'A'⊥O可得∠B'O而O'所以OB=2O結合斜二測畫法的規則，將直觀圖即直角梯形O'由勾股定理可得AO=(4所以滿足題意的平面圖形的周長是2+6+3+41故答案為：C.【分析】本題考查斜二測畫法的規則.先利用平行線的性質推出∠O'A'B'=93．【答案】C【解析】【解答】解：由題意f(10故答案為：C【分析】本題考查分段函數的解析式.先判斷自變量范圍，再根據分段函數解析式化簡可得：f(104．【答案】D【解析】【解答】解：由于圓錐的側面展開面為半圓，設圓錐的底面半徑為r，高為h，故2π=2πr，得r=1，則h=所以圓錐的體積為13故答案為：D.【分析】本題考查圓錐的側面積和體積.先利用圓錐的側面積公式求出圓錐的半徑，利用勾股定理求出高，代入圓錐的體積公式可求出體積.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵CD為角平分線，∴BD∵AB∴AD故答案為：C.【分析】本題考查平面向量基本定理.先利用三角形內角平分線定理可推出：BDAD=BC6．【答案】A【解析】【解答】解：由a=c?1,b=c+1，則所以c+c?1>c+1，故c>2，由△ABC為鈍角三角形，則cosB<0即c2+(c?1)2?故c的取值范圍為(2,故答案為：A【分析】本題考查利用余弦定理解三角形.先根據三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊可求出c>2，再根據鈍角三角形可得：cosB<0，利用余弦定理可求出c7．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可得∠BAD=π?∠BCD，在△BAD中，由余弦定理得BD在△BCD中，由余弦定理得BD兩式相減得cos∠BAD=因為∠BAD∈(0,π)，所以所以BD=8+在△BCD中，由正弦定理得圓O的半徑為BD2故答案為：A【分析】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.根據題意可得：∠BAD=π?∠BCD，在△BAD中和在△BCD中分別利用余弦定理可求出cos∠BAD和BD，利用同角三角函數的基本關系可求出sin∠BAD，最后在8．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，將第一個球O1靠近該圓柱右側放置，球O1上的點到該圓柱底面的最大距離為2，將第二個球過點O1作O1A垂直于該圓柱的母線，垂足為A，過點O垂足為B，設O1則球O2上的點到該圓柱底面的最大距離為2+同理可得球O3上的點到該圓柱底面的最大距離為2+2由此規律可得，每多放一個球，最上面的球上的點到該圓柱底面的最大距離加3，因為103故答案為：B【分析】本題考查球的切接問題.畫出平面圖，過點O1作O1A垂直于該圓柱的母線，垂足為A，過點O2作O2B垂直于圓柱底面，先利用勾股定理求出9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A，因為a+c>b+c，所以a>b，A符合題意，A正確；B，因為1b>1a>0，所以1C，因為ac2>bc2，所以ac2?故答案為：ABC.【分析】本題考查不等式的性質，充分條件和必要條件的判斷.根據不等式兩邊同時加減一個數，不等式的方向不改變，據此可判斷A選項；先進行作差，根據符號法則進行判斷，可判斷C選項；根據不等式兩邊同時乘以一個正數，不等式的方向不改變，據此可判斷C選項；舉出反例取a=?1<b=0，進行計算可判斷D選項.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A，多面體ABF?DCE中，由直線AF∩DE=P，得平面ABF與平面DCE不平行，顯然多面體ABF?DCE中不存在平行的兩個面，則該多面體不是三棱柱，A錯誤；B，由E,F分別是棱PD,PA的中點，得EF//C∈平面BCEF，P?平面BCEF，C?BF，因此直線BF與PC互為異面直線，B正確；C，由AD//BC,BC?平面PBC，AD?平面PBC，則令平面PBC∩平面PAD=l，而AD?平面PAD，則l//D，連接AC,CF，令四棱錐P?ABCD的體積為V，由E,得VP?BCF=V因此四棱錐P?BCEF的體積VP?BCEF故答案為：BCD【分析】本題考查棱柱的幾何特征，異面直線的定義，直線與平面平行的性質，四棱錐的體積公式.利用棱柱的幾何特征進行分析可判斷A選項；先根據三角形中位線定理可推出EF//AD//BC，再利用異面直線的定義進行分析可判斷B選項；根句題意利用直線與平面平行的判定定理可證明AD//平面PBC，再利用直線與平面平行的性質可判斷C選項；連接AC,CF，令四棱錐P?ABCD的體積為V11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A，若a?b=0，由a?b由于a,b是非零向量，故前者不可能成立，從而|a?b所以a=b，故B，設有非零向量a，則a?a=0，(2C，由于(2a)?aD，若a⊥c，|c|=2，故答案為：BCD.【分析】本題考查平面向量的數量積，平面向量的模長.根據a?b的定義分兩種情況進行討論，據此可推出|a?b|=0，即a?b=0，進而判斷A選項；舉出反例：12．【答案】-1【解析】【解答】解：由i(a+i)所以滿足條件a2故答案為：?1【分析】本題考查復數的概念.先利用完全平方公式化簡式子，根據復數的概念可列出方程組a213．【答案】161【解析】【解答】解：設底面ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，三棱柱ABC?A1B1取AC的中點D，可知O1∈BD，OO1=則BD=AB2可得r=BC2sin∠BAC=所以三棱柱ABC?A1B故答案為：1615【分析】本題考查球內接幾何體問題.根據題意畫出圖形，先找出小圓圓心和球心，利用勾股定理求出BD，利用正弦的定義求出sin∠BAC，利用正弦定理可求出求底面外接圓半徑r，利用勾股定理列出式子可求出外接球的半徑R，代入球的表面積公式可求出答案.14．【答案】2【解析】【解答】解：由f(x)=ex?又函數定義域為R，所以函數是奇函數，f(x)=e因為y=e2x單調遞增，y=1x單調遞減，所以由f(2m所以2m2=?n2令t=|m?n|+|m+n|，則t2當3m2?2≥0時，即2當3m2?2<0t2所以83<t2≤8，故故答案為：22【分析】本題考查恒成立問題.首先判斷函數f(x)的奇偶性，化簡解析式可得：f(x)=1?2e2x+1，根據指數函數的單調性可推出f(x)在R上單調遞增；利用奇偶性化簡等式可推出n2=2?2m2，再代入|m?n|+|m+n|轉化為關于m215．【答案】（1）方法一：∵|2a+b|=|b|方法二：∵|2a+∴a2+a（2）設c=(x,y)，∴cosθ=∴c與a+另解：由題意可不妨令c又∵∴cosθ=∴c與a+【解析】【分析】本題考查平面向量數量積的坐標運算，平面向量的夾角計算公式.

（1）方法一：根據平面向量的坐標運算先求出2a→+（2）設出非零向量c的坐標，利用平面向量垂直的坐標表示可推出3x+4y=0，求出a+16．【答案】（1）已知cos(α+π4)=則cosα=cos(α+π所以當sin(α+π4)=當sin(α+π4)=?（2）y=[cos(α+所以y=1+cos(2α+所以y=1?3所以y=f(x)的值域為[1?【解析】【分析】本題考查同角三角函數的基本關系，兩角差的余弦公式，降冪升角公式，兩角和與差的余弦公式，正弦函數的圖象和性質.

（1）先利用同角三角函數的基本關系求出sin(α+π4)（2）先利用降冪升角公式和兩角和與差的正弦公式進行化簡解析式可得：y=1?317．【答案】（1）取A'B中點N，連DN∵MN∥BC，且MN=12BC，同時∴MN∥__DE又ND?平面A'BD∴ME∥平面A'（2）∵A∴∠A∴S根據對稱性有A'C=A所以A'所以∴∠CA所以S△而S△四棱錐A'?BCDE的面積??????（3）由（1）知ME∥平面A'ST=平面A'BD∩∴ME∥ST，S又∵ST∥DN，∴S△【解析】【分析】本題考查直線與平面平行的判定，棱錐的表面積.

（1）取A'B中點N，連DN,MN，利用三角形的中位線定理可證明四邊形（2）通過勾股定理逆定理可推出∠A'DB=90°（3）由題意得ME∥ST，ST∥DN，利用相似三角形的性質可將面積比轉化為線段比的平方，即A'18．【答案】（1）方法一：∵b=1，2acosB=cosC+ccosB，∴2acosB=bcosC+ccosB又∵asinA=∴2sinAcosB=sin(B+C)又∵在△ABC中，B+C=π?A，A∈(0,∴2sinAcosB=sinA，∴cosB=1又∵在△ABC中，B∈(0,π)方法二：∵b=1，2acosB=cosC+ccosB，∴2a×a∴a2+∵cosB=a又∵在△ABC中，B∈(0,π)，（2）∵b2=即c2?41313當c=1313當c=313（3）∵asinA=bsinB∴a+2c===其中，sinφ=2114，cosφ=∵在△ABC中，B=π3∴當C+φ=π2時，a+2c取到最大值此時，cosC=cos(π【解析】【分析】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，余弦函數的圖象和性質.

（1）方法一：利用正弦定理邊化角，再結合兩角和的正弦公式進行化簡可求出cosB=12，據此可反推出角B的值；方法二：利用余弦定理角化邊可得a2（2）先利用余弦定理求出c，再分兩種情況：c=1313或（3）利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式進行展開，利用輔助角公式化簡可得：a+2c=2213sin(C+φ)，利用余弦函數的圖象和性質可求出19．【答案】（1）由A={1,2,C={12（2）當|A|=5，不妨記A集合為{a1,則必有a1和中剩下的a1+a并且a1一是a1+a二是a1+a4與a2+a三是a1+a4與a2+a四是a1+a4與a2+a綜上述，|B|的所有可能的值組成的集合為{7（3）當|A|=4，不妨記A集合為{a1,則必有a1和中剩下的元素為a1+a所以|B|有兩種可能，當a1+a4≠a2ⅰ）當|B|=6，不妨記這6個元素為b1,b2,b3ⅱ）當|B|=5，a1不妨記b1=a1+a2，b則b1<b2<b3<b下面先證明|C|≠7．假設|C|=7，由b1