哈師大青岡實驗中學2024—2025學年度高二下學期開學初考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求。）1．已知經過點和點的直線的斜率為，則實數的值為（

）A． B． C． D．2．設等差數列的公差為，若，，則（

）A．4 B．3 C．2 D．13．已知函數，則（

）A． B． C． D．4．已知橢圓的一個焦點與拋物線（）的焦點重合，則等于（

）A． B． C． D．5．“”是“直線：與直線：平行”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設，為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（

）A． B． C． D．7．若直線被圓截得的弦長為2，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．48．如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）9．已知數列{an}的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A． B．數列{an}是遞減數列C．數列{S?}的最小項為S??和S?? D．滿足的最大正整數n=2210．已知圓和圓，則下列說法正確的是（

）A．兩圓相交，有兩個公共點B．兩圓的公共弦所在直線方程為C．兩圓公共弦長度為D．經過兩圓交點且圓心在直線上的圓的方程為11．如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，是棱上的動點（含端點），則下列說法中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若是棱的中點，則過的平面截正方體所得的截面圖形的周長為C．若與平面所成的角為，則D．若是棱的中點，則四面體的外接球的表面積為三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分。)12．已知正項等比數列的前n項和為，若，則．13．已知函數，則.14．在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點，圓，過圓的圓心的直線與拋物線交于點，與圓交于點，其中在第一象限，若，則直線的斜率為．四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)15．（本題滿分13分）已知函數的圖象過點，且．(1)求a，b的值；(2)求曲線在點處的切線方程．16．（本題滿分15分）在數列中，點在直線上；在等比數列中，，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.17．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面，底面矩形，，是PD的中點．(1)證明：平面．(2)求平面與平面夾角．18．（本題滿分17分）已知公差為2的等差數列滿足，數列滿足，．(1)求數列，的通項公式．(2)設，數列的前n項和為．（ⅰ）求；（ⅱ）若不等式對任意的恒成立，求λ的最大值．19．（本題滿分17分）已知橢圓的一個焦點坐標是，短軸長是長軸長的(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，與軸交于點，點關于軸的對稱點為，直線交軸于點，求證：為定值；(3)設橢圓的左、右頂點分別為，直線交橢圓于兩點（與均不重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，設，的面積分別為，求的最大值.高二學年數學試題參考答案一、選擇題1-5CDCCA6-8CCD9．AD10．ABD11．ACD二、填空題12．13．14．或三、解答題15．.【詳解】（1）因為函數的圖象過點，所以①．又，，所以②，由①②解得：，．……………….6分（2）由（1）知，又因為，，所以曲線在處的切線方程為，即．………………13分16．【詳解】（1）易知故求數列的通項公式分別為……………7分（2）由（1）知：設數列的前項和為，數列的前項和為，則則數列的前n項和………………15分17．【詳解】法一：（1）因為平面，所以．因為，平面，所以平面．因為平面，所以．因為，M是PD的中點，所以．因為平面，所以平面．（2）以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．由（2）知平面的一個法向量為．設平面的法向量為，因為，，所以令，得．設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角為．法二：（1）因為平面，且四邊形為矩形，所以兩兩垂直，故以為坐標原點，以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，又因為，，，所以，設平面的法向量為，且，則，故，取，則，因為，所以，所以，所以平面………………7分（2）設平面的法向量為，且，則，故，取，則，設平面與平面的夾角為，則，因此平面與平面的夾角為………….15分18．【詳解】（1）因為數列是公差為2的等差數列，且，所以，所以，解得，所以，因為，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數列，所以，所以；……………………5分（2）（ⅰ）因為，所以，所以，兩式相減得，所以；…………………..11分（ⅱ）由，可得，令，則，所認單調遞增，所以，所以λ的最大值為7．……17分19．【詳解】（1）由，，,得，，所以橢圓的方程為；……………….4分（2）

顯然直線的的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，，則點的坐標為，，聯立方程，消去整理，則，且，，又因為直線的方程為，令，得Q的橫坐標為代入，，得所以為定值……10分（3）

依題意，，，設，，直線斜率為，若直線的斜