2024-2025學(xué)年河南省固始縣高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.2023年9月第14屆中國(guó)國(guó)際園林博覽會(huì)在安徽合肥舉行.某媒體甲、乙、丙三名

記者去河南園、北京園、香港園進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，若每個(gè)地方恰有一名記者，則甲去河南

園的概率為（）

￡j_

1±

A.3B.2C.4D.6

2.如圖，在平行六面體/BCD-44G口中，M為/C和8。的交點(diǎn)，若刀

力=如四=己，則下列式子中與4M相等的是（）

--a+-b+c

A.22

-a+-b-c

B.22

1_1一一

——a+—b-c

C.22

--a--b+c

D.22

已知圓G：/+/=l與圓°2：。_。）一+&-1）-=16（4>0）有4條公切線，則實(shí)數(shù)a的

3.

取值范圍是（）

A.（。,2g）B.2。0）

C（。，2后）口（2跖+8）

4.橢圓/+中2=1的焦點(diǎn)在X軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則加的值為（）

11

A.4B.2C.2D.4

5.已知尸0（%，%）,定義%2=+（必一無(wú)2）為P,0兩點(diǎn)的“鏡像距離“

.若點(diǎn)尸（1，加）和點(diǎn)°（"，T）在圓一+，=4上，則尸，。兩點(diǎn)的“鏡像距離，，是（）

A.2后或1+6B.2或20C.2或4D.6或4

6.已知曲線歹=1+忘了與直線》=“（龍一1）+2有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)人的取值

范圍是（）

(-oo,0)U—,+co

A.C.D.L2

7.人教A版選擇性必修第一冊(cè)教材44頁(yè)“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間直角坐

標(biāo)系中，若平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（%/。/。），且以"=（。，4c）（"c*O）為法向量，設(shè)

PG/,Z）是平面，內(nèi)的任意一點(diǎn)，由心9=0,可得“xr°）+b&-%）+c（z_z°）=0,

此即平面的點(diǎn)法式方程.利用教材給出的材料，解決下面的問(wèn)題：已知平面。的方程

為2x+2y+z-7=0,直線/的方向向量為（1,2,-2）,則直線/與平面e所成角的正弦值

為（）

V654V|5

A.9B.9C.3D.9

22

xy

8.已知橢圓+的焦距為2。，若直線履-3y+0+8）c=O恒與橢圓「有

兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則橢圓「的離心率范圍為（）

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.若直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為?

B.不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線，其方程一定可以寫(xiě)成兩點(diǎn)式

C.。=1是直線辦+僅一1）了一2二°與直線（aT）x+@+2=°垂直的充要條件

D.。一萬(wàn)是直線ax+（a-l）y_2=0與直線+肛+2=0平行的充要條件

10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體"8co-4與。。1中，E,尸分別為'4,的中點(diǎn)，則

叵

A.OCLOFB.CE與。尸所成角的余弦值為飛一

C.A,E,G,尸四點(diǎn)共面D.△/￡尸的面積為指

11.已知曲線°：(*+/-2)2=4-如點(diǎn)尸(%,%)為曲線C上任意一點(diǎn)，則(

)

A.曲線C的圖象表示兩個(gè)圓B.x；+N：+l的最大值是9+4也

%+4

C.x「2的取值范圍是(-OO,T67,+OO)D.直線x+V+2=°與曲線C有且僅有2

個(gè)交點(diǎn)

三、填空題(本大題共3小題)

12.若直線x+3'-4=°與2x+啊一9=°相互平行，則它們之間的距離為.

13.點(diǎn)/是圓/+/=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8(0,4),當(dāng)點(diǎn)/在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段48的

中點(diǎn)尸的軌跡方程為.

14.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法

得到橢圓的面積除以圓周率兀等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓

fV2

C：/+*l(a>6>。)的左，右焦點(diǎn)分別是匕勺「是°上一點(diǎn)，附|=3附|,

71

ZF,PF,=—

3,C的面積為12兀，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

四、解答題(本大題共5小題)

]5己矢口圓C:x?+/-2加x+4y+2m2-4加-1=0,直線/:x+y-l=0

(1)求m的取值范圍；

(2)當(dāng)圓C的面積最大時(shí)，求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng).

16.在第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)上中國(guó)乒乓球隊(duì)勇奪6金.比賽采用“11分制”規(guī)則：11分

制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成io：io平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得

2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位亞運(yùn)選手進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲

得分的概率為0.7,乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為0.5,各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在某局雙方

10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

⑴求網(wǎng)入=2且甲獲勝).

⑵求尸(f.

17.如圖，已知。(一點(diǎn)P在圓一⑸+"=16上運(yùn)動(dòng)，線段尸。的垂直平

分線交線段于點(diǎn)N,設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C.

/X/!x

//次\

lpoAf\尸

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(。，4)且斜率為左的直線/與曲線。交于。，￡兩點(diǎn)，求面積的最大值

(。為原點(diǎn)).

18.如圖，在四棱錐中，底面/BCD為矩形，尸。,底面

ABCD,PD=DC=2AD=2,￡是PC的中點(diǎn).

(2)求平面與平面尸/。夾角的余弦值.

(3)在棱尸8上是否存在一點(diǎn)F,使直線環(huán)，平面EDB?若存在，求出線段8尸的長(zhǎng)；

若不存在，說(shuō)明理由.

19.法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日在研究橢圓時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在

一個(gè)與橢圓同心的圓上.這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A，此結(jié)論一般稱為蒙日?qǐng)A定理.

22

￡?上+匕=1

(1)求橢圓32的蒙日?qǐng)A方程；

。：三+J=1(Q>6>0)n/\

⑵對(duì)于橢圓a-b,0是橢圓°的中心，點(diǎn)尸(X。/。)是橢圓C的蒙日

圓上一點(diǎn)，PM,*分別切橢圓C于點(diǎn)”，N,且切點(diǎn)弦兒W所在的直線方程是

誓+岑=1

a2b2

(i)證明："平分切點(diǎn)弦"N；

(ii)若延長(zhǎng)尸M，PN，分別交橢圓C的蒙日?qǐng)A于點(diǎn)T,證明.肋V〃ST

答案

1.【正確答案】A

【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解

【詳解】記河南園、北京園、香港園分別為12,3,

則樣本空間n=｛（甲1,乙2,丙3）,（甲1,乙3,丙2）,（甲2,乙1,丙3）,

（甲2,乙3,丙1）,（甲3,乙2,丙1）,（甲3,乙1,丙2）｝,共6個(gè)基本事件,

則甲去河南園的基本事件有2件，

所以甲去河南園的概率為63.

故選：A.

2.【正確答案】C

【分析】

根據(jù)空間向量的線性表示與運(yùn)算法則，把4M用刀、而、/4表示即可.

【詳解】

麗=率+兩=府+;而

解：由題意知,

=-AA[+^(AD-AB)

1一1一一?

=——AB+-AD-AA.

221

1一1-

=——a+—b—c

22

故選：C.

3.【正確答案】D

【詳解】根據(jù)題意可知，圓GC外離，五21>1+4">24,又

,.ta>O,:.a>2\j6

故選：D

4.【正確答案】D

【分析】先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求出長(zhǎng)軸和短軸，再由已知列方程可求出〃，的

值

2

x+^=l

【詳解】由/+〃92=1,得~,

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,

a1=l,b2=-

所以m,

因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,

所以力=4^,即~m,得根=4,

故選：D

5.【正確答案】C

【詳解】由題意得機(jī)=±6,〃=±G，

有四種情形：

秋,右)0伊,-1),dp"(l+q+3一可=2.

坪,行)盤(pán)廠“1+1丫+即+⑸=4.

P《Y)2(V3,-1)dPQ="1+1)2一=4.

pg。)Q"，T)尢=J(i+iy+M+&j=2

故選：C.

6.【正確答案】B

［詳解］由＞=1+=7,可得/+(y_l)2=l(y21),

故曲線歹=1+右石軌跡為以C(O,1)為圓心，1為半徑的上半圓,

V=*(xT)+2恒過(guò)定點(diǎn)/(1,2),把半圓和直線畫(huà)出，如下：

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)2(T，D時(shí)，滿足兩個(gè)相異的交點(diǎn)，且此時(shí)上取得最大值，最大值為

2-11

T+T-2,

當(dāng)直線了=(-1)+2與g+G7相切時(shí)，

|0--+2|_］

由C(O,1)到直線V=*(xT)+2距離等于半徑可得，7F71,解得笈=0,

結(jié)合圖形可知要想曲線＞=1+=3與直線＞=%0-1)+2有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，

實(shí)數(shù)上的取值范圍是

故選：B.

7.【正確答案】B

【詳解】因?yàn)槠矫妗５姆匠虨?x+2y+z-7=0,

所以平面C的一個(gè)法向量為玩=(2,2」，

直線/的方向向量為方=02-2),

設(shè)直線/與平面。所成角為3,

為不—=工」

則sin8=|cos<比I而II五I3x39

故選：B.

8.【正確答案】A

［詳解］將直線辰一3y+/+8)c=0整理可得Mx+c)-3J+8C=0,

f_c包］

易知該直線恒過(guò)定點(diǎn)Ic'3cl

(_cJ

若直線丘-3y+(>+8)c=0恒與橢圓「有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可知點(diǎn)〔在橢圓內(nèi)

部；

b28b2

±——c<—

易知橢圓上的點(diǎn)當(dāng)其橫坐標(biāo)為一。時(shí)，縱坐標(biāo)為a,即可得3a,

整理可得3。2+84一3〃2<0,即3e2+8e-3<0,

0<e<-

解得3.

故選：A

9.【正確答案】ACD

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線的斜率為A=tana時(shí)，傾斜角8的范圍是8〈兀.

當(dāng)。不在［0,2這個(gè)區(qū)間時(shí)，不能直接說(shuō)直線的傾斜角為a.

_571it

cc——0——

例如4時(shí)，tana=l,但直線傾斜角4.所以A選項(xiàng)說(shuō)法不正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線，它有兩個(gè)不同的點(diǎn).

y一必二.一.

兩點(diǎn)式方程力-必一超-匕(X|*X2且%*%)適用于這種直線，

所以其方程一定可以寫(xiě)成兩點(diǎn)式，B選項(xiàng)說(shuō)法正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于直線4X+BJ+G=°和4x+32y+a=°,

若兩直線垂直，則44+4與=°

對(duì)于直線-2=0與直線("1)彳+◎+2=0,

由垂直條件可得“(a_1)+(“-1%=0,即2a(a-D=O,解得a=0或a=]

所以。=1是兩直線垂直的充分不必要條件，C選項(xiàng)說(shuō)法不正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若兩直線平行，則4與c2

對(duì)于直線+(tz-l)y-2=0與直線(。-1)%+@+2=0,

cia—1—2

------------w—

由平行條件可得。2.

a_a-\_1

由"1一a得々2=5-1)2,gpa2=a2-2a+l,解得"5

￡_￡

a.2_1

.————1-■——1_

Q=-1a-1--1a-1--2-=一]

當(dāng)2時(shí)，2,2,2,

不滿足4坊0?,所以兩直線不平行.

1

Q=——

所以2不是兩直線平行的充要條件，D選項(xiàng)說(shuō)法不正確.

故選：ACD.

10.【正確答案】ACD

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,。（0,2,2）,〃（0,0,2）,E（2,2,1）,F（0,0,1）,

對(duì)于A,0（1,1,0）,反=（-U,0）,麗

雙苕=_lx(-l)+lx(-1)=0,所以。口。尸，故A正確;

屈=（2,0,1）,礪

對(duì)于B,

CEOF-2+1_Vil

cosCEQF=

V5-V315

所以KM

而

所以CE與°尸所成角的余弦值為15,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,取4^的中點(diǎn)“，連接H%HE,

由正方體的性質(zhì)可知HEUC\D\,HE=C\D\,所以四邊形DJ出G是平行四邊形,

所以2〃=GE,D\HHC\E,同理可知：DlH=FD)D、HHFD,

所以GE=FD,GEHFD,四邊形AEC.F是平行四邊形，

則A,E,G,尸四點(diǎn)共面，故C正確；

對(duì)于口\AF\=，閔=^+1=若，忸尸卜A/22+22=2V2

取EF的中點(diǎn)為連接所以1皿='處AV)=G

-x2V2xV3=V6

故△/￡尸的面積為2，故D正確.

EMF

故選：ACD.

11.【正確答案】ACD

【詳解】對(duì)于A,由(？+/-2)2=4-8初得(？+力2_4(>“=0

即("+『+2x—2>X%2+y2—2x+2y)=0

所以x2+y2+2x-2y=0-^x2+y2-2x+2y=0

所以曲線c表示以M(T，1)，N(1,T)為圓心，血為半徑的兩個(gè)圓.故A正確.

對(duì)于B，xJ+y：+l表示到原點(diǎn)距離的平方再加1,如圖，根據(jù)兩圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故最

大值考慮一種情況即可，即為(川°+夜)2+1=9.故8錯(cuò)誤.

C,A±1

對(duì)于Xo-2表示點(diǎn)P與點(diǎn)°(2,-4)連線的斜率如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)0且與圓N相切的直線為

k=l.：.e(-oo,-l]U[7,+00)；

y+4=/x-2),由直線與圓相切得太=一1或x0-2故C正確.

對(duì)于D,由C知，左=T時(shí)，則直線為x+P+2=0,與圓M相切.

a|1+(-1)+2|r-v

圓心N到直線距離V2，故直線為x+V+2=0,與圓N相切.

直線與曲線C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).故D正確.

故選：ACD.

V10

12.【正確答案】20

[詳解]因?yàn)橹本€x+3y_4=0與2x+切-9=0相互平行,

2m-9

一=—w—

所以13-4,解得加=6,

貝!1直線21+加7—9=0即為2x+6y-9=0

直線x+3y-4=0化為2x+6y-8=°,

|-8-(-9)|_1_V10

則它們之間的距離為也+622520.

Vw

故答案為：工廠.

13.【正確答案】*+。-2)=1

【詳解】設(shè)尸(X/),又點(diǎn)見(jiàn)0,4),

則w

所以x°=2x,%=2”4,

又點(diǎn)/在圓》2+/=4上，

則（2寸+（2了-4）=4,即x?+（尸2）:1,

所以線段AB的中點(diǎn)尸的軌跡方程為X2+O-2）-=1.

故一+（"2）2=1.

22

工+匕=1

14.【正確答案】169

【詳解】由橢圓的定義可知\PF\\+\PFi\=2a,又的|=3|尸工

31TT

\PF\=-a\PF\=-a^FPF=-

所以t2,?22,又X23,

.2Q21232

所以|甲寸=|期『+|尸月|2_2|尸用.|9|cosN用譙,所以4c=4a+4a一邛

a=-y=cb=y/a2—c2=~^=c

所以s,s

431c

---cCT[j=127r

又橢圓的面積為12兀，所以不行，解得。2=7,?2=16,/=9,

-1

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為169

-

故169

15.【正確答案】（1）（T，5）；

（2）回

【分析】（1）將圓C的一般方程進(jìn)行配方，從而由半徑大于0得到關(guān)于用的不等式,

解之即可得解；

（2）利用配方法求得圓C的面積取得最大值時(shí)用的值，從而利用弦長(zhǎng)公式即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)閳AC：x2+/-2加x+4y+2〃'-4優(yōu)一1=°,

可化為（x-機(jī)產(chǎn)+（了+2）2=-m2+4m+5,

由一加2+4m+5＞0,得一1＜加＜5,

故加的取值范圍為（T5）；

（2）因?yàn)閞=一加？+4加+5=一（加―2）2+9

故當(dāng)加=2時(shí)，半徑尸取得最大值，則圓C的面積最大,

22

此時(shí)圓C的方程為（x-2）+（y+2）=9；

圓心（2,-2）到直線/:x+y-l=O的距離收枝,

2而_/=2=扃

則所求弦長(zhǎng)為N,

故當(dāng)圓c的面積最大時(shí)，直線/被圓c截得的弦長(zhǎng)為

16.【正確答案】（1）035；

⑵0.25.

【分析】（1）（2）分析所求概率對(duì)應(yīng)的情況，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率

公式即可得解.

【詳解】（1）“X=2且甲獲勝，，就是10:10平后，兩人又打了2個(gè)球比賽結(jié)束，

則這兩個(gè)球均是甲得分，因此P&=2且甲獲勝）=0.7x（l-0.5）=0.35；

（2）X=4就是10:10平后，兩人又打了4個(gè)球比賽結(jié)束，

4個(gè)球的得分情況是：前2個(gè)球甲、乙各得1分，后2個(gè)球均是甲得分或均是乙得分,

設(shè)事件N="X=4且甲獲勝“，事件8="X=4且乙獲勝”,

貝°P(A)=[0,7x0.5+(1-0.7)x(l-0.5)]x0.7x(l-0,5)=0.175；

,

Z(5)=[0.7x0.5+(l-0.7)x(l-0.5)]x(l-0.7)x0.5=0.075)

P(X=4)=尸(/+3)=尸(/)+尸(3)=0.175+0.075=0.25'

17.【正確答案】（1）42

⑵力

【詳解】（1）

如圖，易知圓州：。-0）2+/=16的圓心為“3，°）半徑為4,

由題得1杵目投。|,：.\NM\+\NQ\=\MP\=4>242=\MQ\

所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以M、。為焦點(diǎn)的橢圓，

不妨設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距為2a，助2c,其中a=2,c=^-。2=2,

22

-%------J1---------11

所以C的方程為42

yAx+4

*2*22

（2）由題意得直線/：>=丘+4,由%+2/=4(1+2k)x+16kx+28=0

令A(yù)=16?后2—4x28x(1+2后2)=16(2左？一7)〉0,

7

k2>—k一叵八叵

所以2,即2或2

—16左28

設(shè)D（x”必）,E（X2，%）,則為+X2=T^F'

d=4S

點(diǎn)。至|J直線/：y=h+4的距離,1+二

X/X+

S^ODE=彳\XY-X2\=2\X{-X2|=21(4+%)2-4石々

所以2也+匕

(-16/y,28?J2/-7

=2-------------4x----------=o?------------

(1+2左2)21+2左21+2左2

令t=42>2-7>0,則2k2=r+7,

S=旦8<8

28

t+8tH—2八&

則

8/T-.A/30

t=—,t=2A/2>k=±------

當(dāng)且僅當(dāng)t即2時(shí)，等號(hào)成立,

所以AODE面積的最大值為V2.

18.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；

V6

⑵6；

9

（3）存在,5.

【詳解】（1）證明：連接4C,交BD于點(diǎn)O,連接OE.

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，。是NC的中點(diǎn)，

所以尸/〃又OEu平面反夫/《平面￡7”,

所以我//平面成)8.

(2)如圖，以而、反麗的方向分別為x,了，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

即。(0,0,0),8(1,2,0),￡(0,1,1),則麗=(1,2,0),DE=(0,1,1)

DB?玩=x+2＞=0,

設(shè)平面瓦”的法向量為m=(x,y,z\則［￡)￡加=了+2=0,

令廣！得x=2,z=l,所以可取入=(2,-1,1).

易知平面尸4D的一個(gè)法向量為1(0,1,0).

設(shè)平面成＞8和平面力。的夾角為0,

所以平面瓦52和平面力。夾角的余弦值為6.

(3)由(2)知。(0,0,0),8(1,2,0),E(0,1,1),尸(0,0,2),

則麗=(1,麗=(-1,-2,2),旃=疝？=(-2,-22,2A)(O<2<1)；

而=麗+麗=(1,1,-1)+(-4-2424)=(1-2,1-24,-1+22).

由(2)知平面瓦”的一個(gè)法向量可為加=(2，T,D,

1—A23

—?—?-------------—―/I——

根據(jù)題意可得：EFUm,即-1+241,解得5,

.3際I+史+史=2

又當(dāng)3時(shí)，礪=(-4-2力,2㈤(555j；?72525255,則g尸的長(zhǎng)為

9

5.