2024-2025學年安徽省蚌埠市高二上學期第二次聯考數學

檢測試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.在以。為原點，以g'"｝為單位正交基底的空間直角坐標系中，已知點

'（3,5,-7）"=（6,4,-5）,則點5的坐標為（）

A.（9,9，T2）B.（一3，1，一2）口。一口）D.0,5,-12）

2.將直線點無一了+1=°繞點（°」）逆時針旋轉90°得到直線￡則72的方程是（

）

Ax+y-2=0Bx+〉-l=0Q2x-y+2=0p2x-y+l=0

3.已知點“（2，°），N（6,4）,則以兒w為直徑的圓的方程為（）

A.（x+4）2+（1）2=16B.（x-4）2+（y+2）2=8

C.（Xi?+&_2）2=16D（X-4）2+（J-2）2=8

—*—*_■OAy=—OA

4.空間四邊形0/8C中，OA=￡OB=b,OC=E,點”在。/上，3，點N為

8c的中點，則=（）

-a--b+-c--a+-b+-c

A.232B.322

-a+-b--c-a+-b--c

C.222D.332

5.設直線/的方程為x-ysin0+2=0,則直線/的傾斜角。的范圍是（）

兀兀兀3兀兀兀兀3兀

A.[°，兀]4'T92*T

B.4'2C.D.42

\AB\

V2

在V/BC中,占5（-2,0）占C（2,0）點滿足，則面積的最大值

6.，、、、，八、、，AMOV/5C

為()

A.472B.8V2C4A/6D.8a

7.點片，片為橢圓C的兩個焦點，若橢圓C上存在點P,使得/片尸耳=90。，則橢圓

C方程可以是（）

%2）2X2y2

-----1-1-----1—1

A.259B,2516

》"-22

I土+匕=1

C.69D.169

/J/

8.已知用月分別為雙曲線/一瓦一從">°'>°）的左、右焦點，過點片的直線與雙曲線

的右支交于屈2兩點，記^的內切圓人的半徑為自AB%乙的內切圓A的半徑為2,

2

若桃2=",則雙曲線的離心率為（

35

A.2B.2C.2D.3

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說法正確的是（）

A.若直線/的方向向量為0=（1，-1，2）,直線加的方向向量為I2人貝心與

加垂直

B.已知點/（1，°，一°,8（0,1,0）,C（T，2,0）在平面a內，向量方=。，"，，）是平面a的法

向量，則〃+/=1

C.對空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,若加=2刀-2礪-成，則

P,A,B,C四點共面

D.若｛"區以為空間的一個基底，則田+石石+^+6構成空間的另一個基底

fx=3cos6>

10.在平面直角坐標系中，如果點P的坐標（XJ）滿足ly=l+3sin。，其中8為參

數.已知直線4：x+y-4=°與點p的軌跡交于A,B兩點，直線

4：2s+2"3加-5=0與點p的軌跡交于。D兩點，則四邊形/C8O的面積的值可以

是（）

A.9cB.9&C.6貶D,9（a+1）

22

C:三+4=1（。>6>0）口p

11.1.已知橢圓yb2的左，右兩焦點分別是片，%,其

中片凡=2c.直線八k片（》+。）（丘2與橢圓交于人，B兩點.則下列說法中正確的有

（）

A.△"8月的周長為4a

,,b2

k0M點=一1

B.若的中點為M,則/

V|j_

->T

C.若“k/居=3c1則橢圓的離心率的取值范圍是T'5

D.若N3的最小值為3c,則橢圓的離心率

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知空間向量瓦日忑兩兩夾角均為60。，其模均為1,則~2cr.

13.如圖，已知直線/：'+>一5=0與x軸和〉軸分別交于點A,B,從點尸（3，°）射出的

光線經直線/反射后再射到y軸上，最后經>軸反射后又回到點p,則光線所經過的路

程是.

卻與=l（a>6>0）e=V5-1

14.橢圓/b2的離心率e滿足2,則稱該橢圓為“黃金橢圓”

22

—+^-=l（10>m>0）

.若10根是“黃金橢圓”，則加=；“黃金橢圓”

fy2

C鏟一兩個焦點分別為耳（7）、尸2（c，0）（c>o）,P為橢圓C上的異

\PM\_

于頂點的任意一點，點M是"P與乙的內心，連接PM并延長交耳氏于N,則阿M_

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知V/BC的三個頂點分別為/（°，°>6（1,1）C（4,2）

（1）求邊所在直線的方程；

（2）若/C的中點為。，求邊ZC的垂直平分線/的方程；

（3）求V/8C的外接圓的方程.

16.如圖，四棱錐PT"。中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD是正三

角形，側面尸面ABCD,M是PD的中點.

（1）求證：平面■平面PCD

（2）求BM與平面方8所成角的正弦值

17.已知斜率為1的直線交拋物線C：（。>0）于A,8兩點，且弦中點

的縱坐標為2.

（1）求拋物線0的標準方程；

（2）記點尸（1，2）,過點P作兩條直線「赫，肉分別交拋物線C于"，N（M,N不

同于點尸）兩點，且"MW的平分線與V軸垂直，求證：直線"N的斜率為定值.

18.如圖，四邊形N28是邊長為1的正方形，￡。1平面/8。,￡8,平面/38,且

ED=FB=\,

（1）求證：EC，平面NDk

（2）在線段EC上是否存在點G（不含端點），使得平面GM與平面/刀尸的夾角為45。，

若存在，指出G點的位置；若不存在，請說明理由.

I—1=2（2>0

19.已知點48是平面內不同的兩點，若點尸滿足I尸陰，且2"）,則點尸的

軌跡是以有序點對（4?）為“穩點”的加阿波羅尼斯圓.若點。滿足1%"°同=〃（〃>0）,

則點。的軌跡是以（48）為“穩點”的〃一卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標系中，

A（-2,0）,B（a,b）（a^-2）

⑴若以（42）為“穩點”的彳-阿波羅尼斯圓的方程為苫2+/-12》+4=0,求。,6"的值;

（2）在（1）的條件下，若點。在以（42）為“穩點”的5-卡西尼卵形線上，求（

。為原點）的取值范圍；

（3）卡西尼卵形線是中心對稱圖形，且只有1個對稱中心，若6=0，彳=收，求證：不存

在實數應〃，使得以（48）為“穩點”的近一阿波羅尼斯圓與〃一卡西尼卵形線都關

于同一個點對稱.

答案

1.【正確答案】A

［詳解］OB=0A+AB=3,+5/—7斤+6,+4/—5^=91+9J—\2k

所以點B的坐標為-12）.

故選：A.

2.【正確答案】B

【詳解】?.?直線4的方程為/—+1=°,其斜率為1,

設直線4的斜率為3**2,

由題意可知，（0,1）6,（0,1）%,

U的方程為：V-l=-（x-0）,即x+v-l=0.

故選：B

3.【正確答案】D

【詳解】因為四（2,0）,N（6,4）,

線段網的中點為（4,2）,|@=J（6一27+（4一0）2=4啦,

所以以線段"N為直徑的圓的圓心坐標為（4,2）,半徑廠=2四,

所以線段"N為直徑的圓的方程為（》-4）一+（尸2）2=8.

故選：D.

4.【正確答案】B

OTV=1(O5+OC)

【詳解】點N為8c的中點，則有

MN=ON-OM=-(OB+OC\--OA=--a+-b+-c

所以2、13322

5.【正確答案】C

【詳解】直線/的方程為x-》sine+2=0,設直線的傾斜角為a,

兀

a——

當sin9=0時，2,

71

.八八k=tanCL--------

②當sm"O時，直線的斜率sin。，

由于一l?sin夕<0或0<sin6?l,

所以tana￡（-8-1］U^+00）

所以4224.

M當

綜上所述：44.

故選：C.

6.【正確答案】B

［詳解］設/（X/）,則.修=J（x+2）+/,|/C|=J（x_2）+/,

由\AC\二拒得J（x+2y+V=E（x_2j+產,

化簡得（jy+r=32,

故點A的軌跡為以（6，°）為圓心，4式為半徑的圓（除去與無軸的兩個交點），

故點A到直線BC的距離最大值為472,

-|SC|-4V2=-x4x4V2=872

故V/3C面積的最大值為”12

故選：B

7.【正確答案】A

22

三+4=1（。>6>0）

【詳解】設橢圓方程為。b,

設橢圓上頂點為B,橢圓C上存在點尸，使得/耳隼=90；

由余厘—…叫加?

則需4職290。

二.I明f+|%|M甲球,

222222222

gpa+a<4c,vc=a-b,2a<4a-4b1

貝lja2>2b',

同理可得橢圓焦點在V軸上時，也應有a2>2b2,

所以選項A滿足.

故選：A.

8.【正確答案】B

【詳解】

過《分別作“片幽&丹外的垂線，垂足分別為"阻尸，

則|皿=|回即卜麻內同=優尸

"\AF\-\AF^=2a則(")|+|期|)一(]41+|%|)=國尸|一內尸|=20

又耳閭=-+足力=2c,則忻用=|。用+|O尸卜a+c,

:-\OF\^a,即L在直線x=a上，

???ZIXF2A=ZIXF2FX,ZI2F2B=ZI2F2FX,

JI

則/g+/收=N7心E+jFE=N0=2,

ZI2F2IX,

..M=M

又」工刊M；則|/0心司=內殲，即牝=(-4=/,

，c=2。，故離心率為a

故選：B.

9.【正確答案】BD

5.^=(1,-1,2)-|2,1,-|=2-1+1=2^0

【詳解】對于A,I2)，故A錯誤；

對于B,"'=(T/，1),且向量萬=(l，wJ)是平面a的法向量，

所以布i=0,即-l+i/+/=0,即"+t=l,故B正確；

對于C,因為2-2-1工1,所以則p,A,B,C四點不共面，故C錯誤;

對于D,因為國區以為空間的一個基底，所以出瓦,不共面，

假設a+51+c,c+a共面，則存在唯一實數4〃，使

a+b=A(b+0^/j(c+0>)=Ab+(A++/Lia

2=1

<//=1

所以H+〃=0,無解，故a+g,g+c,c+a不共面，故D正確；

故選：BD.

10.【正確答案】BC

【詳解】

—=cos0

<3

——-=sin022

由題得［3,平方相加得點P的軌跡方程為'+3-1)=%

點P的軌跡是以點(°，1)為圓心半徑為3的圓.

2mx+2〉一3加一5=0,m(2x-3)+2y—5=0

所以直線4過定點

—I---4=0,j

由于22所以定點M在直線4上，

，八八八~^\AB\xh+~x\AB\xh=-\AB\(h.+h)

由題得四邊形4C8D的面積為2A22-22,

當%+%最大時，面積最大，此時4BLCD,

2m11

....—],^2=-]

所以2'一一，所以直線4的方程為x—+l=0,經過圓心(0,1),

所以此時31=2x3=6,

弁=沁|^|=2L(|V2)2=3V2

由題得圓心到直線的距離為.22V2.

-x6x372=972

所以面積的最大值為2

所以面積的取值范圍為(°，9亞].

故選：BC

11.【正確答案】AC

【詳解】對A,根據橢圓的定義△"瓦的周長為M41+18耳l+MgI+l瓦冒=4。，正確;

對……型…則川?巖〔所,2*

2

2+

M21/:+%+k-貨.b2

12

2

迤1

-...2-------2--—U--------------二--------

"%xxa

+Fab（玉+2）（玉~2）kOM-k=-^

由

即。，錯誤;

對c,??盟=a+G必）（匕-c，M）=x：+>一

Vsj_

=^x^+a2-2c2e[a-2c2,a-c2]"2c243c?ne=?e

52」，正確;

，貝I

2從

對D,容易知道，N8的最小值為通徑長度丁，由于直線斜率存在，所以不能取到最

小值，不正確.

故選：AC.

12.【正確答案】G

.、\a+b-2c\=J(a+b-2c)2=y/a2+b2+4c2+2a-b-4a-c-4b-c

【詳角星】11

=^|5|2+|6|2+4|c|2+2|a|-|6|cos600-4|5|-|c|cos600-4|^|-|c|cos600

=Jl+l+4+2xlxlx--4xlxlx--4xlxlx—=73

V222.

故再

13.【正確答案】2后

【詳解】如圖，

點尸關于直線,的對稱點為"（叫"）則3」I-I即加

Im=5

解得儲=2,即點尸關于直線/的對稱點為0（5,2）,又點尸關于y軸的對稱點為

C（-3,0）

,__

則光線所經過的路程為Qq=2jF.

故2歷

V5+1

14.【正確答案】545-52

22

Xyz、V5-l_A/10-m

----H-=l(10>m>0)---=—/=—__

［詳解］因為10m是'‘黃金橢圓”，故2V10，故加=5.5—5,

連接與",片"，因為“為內心，故與",片"為角平分線,

\PF2\_\PM\_PF,PF2+_\PM\_2a_a_2_75+1

由角平分線性質，有所二啊"函，故+g廣函=五=>=7^1=!

丁+1

故5石-5,

15.【正確答案】(尸一3/+2=°

(2)2x+y-5=0

⑶―+y2—8%+6y=0

y-1_x—1

【詳解】(1)由8(1,1),C(4,2),由兩點式可得BC邊所在直線的方程為二一寸,

即8c邊所在直線的方程x-3y+2=0；

(2)由/(0,0)，C(4,2),可得4C的中點為0(2,1),

2-01

又女一啟-5,所以NC邊的垂直平分線/的斜率為一2,

所以由點斜式可得NC邊的垂直平分線/的方程為、T=-2(X-2),即2x+y-5=0.

(3)設VN8C的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=Q

02+02+0+0+F=0(F=O

<仔+］2+￡)+￡+尸=0<D——8

則k+22+32E+…，解得b=6,

所以V/2C的外接圓的方程為x2+y2-Sx+6y=0^

16.【正確答案】(1)證明見解析

⑵14

【詳解】（1）由平面P4D，平面NBC。，平面尸40c平面/BCD=/D,

底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD'/D,COu平面/BCD,

可知CD_L面尸AD,/Mu平面PAD,z.CDVAM,

QVP/O為正三角形，”為中點，

可得4W_LPZ）,尸。門。。=。,尸。,。￡^平面尸8,;.團1/_1平面尸8,

?.?Wu平面/平面平面尸9

（2）取AD的中點為0,連接P。,側面PAD是正三角形，

則尸。_1_40,平面PADJL平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,

POu平面P4D,可知P。，面4BC。，

設BC中點為N,連接ON,

以0為坐標原點，以04°N,°尸所在直線為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系：

M10V3

則4（1,0Q）,尸（0,0,電5（1,2,0）,小丁，丁

—?3V3

益=（0,2,0）,④=（一1,0,后，BM=（一3,-y

n-AB=2y=0

+<

設平面尸N8的法向量為"二（XJ,Z）,則［n-AP=-x+432=0

取z=l,貝1］"=（6，。/），

設BM與平面以8所成角為。，則

1—I\n-BM73_V21

sin。=cos<?,BM）\=?7

17.【正確答案】（1）「二4,（2）見解析.

［詳解］（］）設“（貓//18（X8,%），則歹［=2Px，y：=2px

A九兩式相減，得：

2p_

Vz+VB=■；-=2P

釀由弦中點的縱坐標為2,得=匕故P=2,所以拋物線C的標準

方程/=4x.

(2)由/MW的平分線與V軸垂直，可知直線PM,PN的斜率存在，且斜率互為相反數，

[y-k(x-l)+2

且不等于零，設〃(%1，%)，"(%2，%)直線PM:y=k(x-V)+2,k0由〔產=4x得

日一0公一"+4〉+("2)2=0由點玖1,2)在拋物線C上，可知上述方程的一個根為

,,(k-2)2k2-4k+4k2-4k+4

1,Xxl=------=-----7----X=-----5----

kk.即k，同理

k2+4k+4.2r+8-8k-8「)「r

-p~1'-七+/=.2，%_X?=-p-=彳，；.％一.%=[后(再-1)+2]一[一女(％-1)+2]

7/、c772k2+8.j8

=k.(X]+x?j-2k=K'——---------2k=~

8

.k_必-._4.i

玉一々,2

k

:?直線"N的斜率為定值T.

18.【正確答案】(1)證明見解析

(2)存在，G為線段EC上靠近￡的三等分點

【詳解】(1)以點。為原點，以D4DGDE所在的直線為x軸，.”軸，z軸建立空間直

角坐標系，

則D(0,0,0),A(1,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0,l),F(1,1,1)

反=(0,1,-1)衣=(1,0,0),=(1,1,1)

ECDA=0

<____

EC-DF=1-1=0故EC_LDF,EC±D