2024-2025學年北京市通州區高三上學期第一次月考數學檢測試題

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

已知集合

1.4=—3x+2<0},3={x|x21}jj|[jNU8=

A.(一8,2]B.(l,+oo)C.(1,2)D.[l,+oo)

2.下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（)

1

A.y=x+lB.y=—Cy=xcosxD.y=x\x

X

已知復數Z二匕

3.則三的虛部是（）

1-Z

A.iB.-zC.-1D.1

111

4.己知b=10g2-,c=log]Q,則().

353

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

5.在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,M為BC的中點，則與7=（）

1—,1—、3—?1—?

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

2242

3—,1—?1—,3—?

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

4424

VZBC中，“乙4=工”是"$山/=變''的（

6.）條件

42

A.充分而不必要B,必要而不充分

C.充分且必要D.既不充分也不必要

7.函數/（X）=COS（0X+。）的部分圖像如圖所示,則/（X）的單調遞減區間為()

13

A.kit—,kitH—,keZB.2/CTI—,2AJIH—,keZ

4444

13,13

C.7k—,7k—,keZD.2k—,2k—,keZ

4444

8.已知函數/(x).甲同學將/(x)的圖象向上平移1個單位長度，得到圖象G；乙同學將

/(X)的圖象上所有點的橫坐標變為原來的g(縱坐標不變)，得到圖象c2.若C與G恰好

重合，則下列給出的/(X)中符合題意的是()

A./(x)=log；xB.f(x)=log2X

C/(x)=2'D./(x)=]￡|

“、x2—2mx+m+m2,x<2。、工,

9.已知函數/(x)=、.+]，當x=2時，/(X)取得最小值，則m的取

2,x>2

值范圍為()

A.[-1,4]B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

10.“開車不喝酒，喝酒不開車”.一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,

在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據

《道路交通安全法》規定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL,那么，一個喝了少

量酒后的駕駛員，至少經過()小時，才能開車？(精確到1小時)(參考數據：1g2Mo.3,

lg3?0.5)

A.5B.6C.7D.8

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分

11.函數f(X)=log2(1-X)+4x的定義域是.

12.記S"為等差數列｛時｝的前〃項和.已知$4=0,%=5，則an=____.

13.已知向量5=很=(x,/x+2).若存在實數x,使得了與B的方向相同，則/的一個

取值為

14.在平面直角坐標系xQy中，角&以Ox為始邊，終邊經過點P。,-2),cos2a=

tan2a=.

15.已知數列｛%｝滿足q=1,a2n=n+\,a2n+l=a2n+a2,1_1,〃eN*.則集合｛加<20｝

中元素的個數為.

三、解答題，本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟.

16.己知函數/(x)=2sinxcosx+2cos2x-l.

(1)求一的值；

(2)求/(x)的最小正周期；

(3)求“X)在區間上的最大值和最小值.

17.在V48c中，角48,C所對的邊分別為見仇c.己知a=4,6=5,c=際.

(1)求角。的大小；

(2)求sirU的值；

(3)求sin12/-的值.

18.設函數/(x)=x+Hn(l+x)(左工0),直線/是曲線y=/(x)在點⑺)("0)處的

切線.

(1)當左=—2時，求/(x)的單調區間.

(2)求證：/不經過點(0,0).

19.已知函數/(x)=Nsin(0c+〉0,。〉0,0<°<的最小正周期為兀.

(1)若/=1,/(0)=^,求。的值；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定/(x)的解析式，并

求函數/(x)的單調遞增區間.

條件①：的最大值為2；

條件②：/(x)的圖象關于點［石■,())中心對稱；

條件③：/(X)的圖象經過點注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

20.在A/BC中，2asinB=Ob.

(1)求A；

(2)若6=20，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得A/BC存在且唯一確定，

求三角形△ZBC的面積.

條件①：cosC=-由。；

10

條件②：a=2；

條件③：sinB--

5

21.已知函數/(x)=alnx+xeX—e,其中aeR.

(1)當a=0時,求曲線y=/(x)在點(1J(1))處的切線方程；

(2)當a>0時，判斷/(x)的零點個數,并加以證明;

(3)當"0時，證明:存在實數m,使>〃，恒成立.

2024-2025學年北京市通州區高三上學期第一次月考數學檢測試題

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

1已知集合/={X|X2-3X+2<0},8={X|XN1}則ZU8=

A.(-oo,2]B,(l,+oo)C.(1,2)D,[l,+oo)

【正確答案】D

【分析】

先解不等式得集合A,再求并集的結果.

【詳解】因為/={小2-3x+2<。}=(1,2),所以[l,+oo),選D.

本題考查一元二次不等式解集以及并集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

2.下列函數中，既是奇函數又是增函數的為()

A.y=x+lB.y=-C.J=xcosxD.y=x\x

X

【正確答案】D

【分析】根據基本初等函數的單調性與奇偶性判斷即可.

【詳解】A選項，y=x+l,是R上的增函數，但不是奇函數，故A錯誤；

B選項，y=~,是奇函數，但不是增函數，故B錯誤；

X

C選項，y=/(x)=xcosx,XGR,

f(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-f(x),y=xcosx是奇函數，

又/(0)=。，/(兀)=7lCOS7l=—兀，/(0)>/(兀)，

所以V=xcosx不是增函數，故C錯誤；

X2X>0

D選項，y=；—，畫出其圖像，

可得y=x|x|既是奇函數又是增函數.

故選：D.

【正確答案】C

【分析】化簡復數，分子分母同時乘以1+i,進而求得復數Z,再求出三，由此得到虛部.

1+Z__

【詳解】2=——=i,z=-i，所以Z的虛部為—1.

1-Z

故選：C

本小題主要考查復數的乘法、除法運算，考查共甄復數的虛部，屬于基礎題.

!1.1

b

4.已知。=2與，=log2-,c=logA-,貝！］().

353

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.

c>b>a

【正確答案】C

【詳解】試題分析：因為a=27e(0,l)/=log2；jo,c=log］；：i,所以6<a<c.選C.

考點：比較大小

5.在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,M為BC的中點，則瘋=()

1—■1—■3—?1—-3—?1—-

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.

224244

1—.3—■

-AB+-AD

24

【正確答案】B

【分析】利用平面向量的線性運算求解.

因為在等腰梯形ABCD中，AB=2CD,所以4B//CD,4D=BC,

因為M為BC的中點，所以

=-AB+-AC=-AB+-（AD+DC）=-AB+-DC+-AD

-2222、'222

1—-1—■1—-3—?1—■

=-AB+-AB+-AD=-AB+-AD,

24242

故選:B.

6.V48C中，"/2=工”是"$皿/=五''的（）條件

42

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充分且必要D.既不充分也不必要

【正確答案】A

【分析】根據充分條件、必要條件及三角函數可得解.

【詳解】因為//=彳時，sinA=,而sin/=Y^時，44芋或空.

42244

所以“乙1=：，，是"sin/=受”的充分不必要條件，

42

故選：A

7.函數/(x)=cos(tox+e)的部分圖像如圖所示，則/(X)的單調遞減區間為(

13

A.kit—,kitH—,keZB.2/CTI—,2AJIH—,keZ

4444

13,13

C.7k—,7k—,keZD.2k—,2k—,keZ

4444

【正確答案】D

【分析】由圖得到周期與單調遞減區間即可.

「IT1T~\

【詳解】由圖可知，/(x)=COS(GX+°)在區間———+kT?—(左￡Z)上單調遞

減，

由圖可知/(X)=COS(69X+^)的周期T=2x[j-；]=2；

「13~

故/(x)=cos((yx+。)的單調遞減區間為2k——,2k+—,左eZ.

故選：D

8.己知函數/(x).甲同學將/(x)的圖象向上平移1個單位長度，得到圖象G；乙同學將

/(x)的圖象上所有點的橫坐標變為原來的g(縱坐標不變)，得到圖象c?.若G與g恰好

重合，則下列給出的/(X)中符合題意的是()

A./(x)=bgj_xB.f(x)=log2x

C./W=2XD./(x)=W

【正確答案】B

【分析】根據函數平移和伸縮變換原則，依次驗證選項中的函數變換后的解析式是否相同即

可.

【詳解】對于A,G:/(x)+l=logLx+l；

2

C2:/(2x)=logL2x=logLx+logL2=logLx-1,A錯誤；

2222

對于B,C]:/(x)+l=log2x+l,C2:f(2x)=log22x=log2x+log22=log2x+1,B

正確；

對于C,G：/(X)+1=2'+1，Q：/(2X)=22X=4"C錯誤；

對于D,C,:/(x)+l=^+1，G：/(2X)=(￡|=']，D錯誤.

故選：B.

9.已知函數/(x)=卜;2M個優+機'”42,當》=2時，/(x)取得最小值，則m的取

2>2

值范圍為()

A.[-1,4]B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

【正確答案】B

【分析】根據二次函數和指數函數的性質，及分段函數的最值即可得求解.

【詳解】當x>2時，〃x)=2'+i單調遞增，則〃x)>8；

當x<2時，-2機x+掰+〃/開口向上，且對稱軸為x=w,

又當x=2時，/(x)取得最小值/(2)=4-4m+m+/，

m>2

所以L42c，解得24加<4,

4一4加+加+加<8

所以m的取值范圍為[2,4].

故選：B.

10.“開車不喝酒,喝酒不開車，，.一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,

在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據

《道路交通安全法》規定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL,那么，一個喝了少

量酒后的駕駛員，至少經過（）小時，才能開車？（精確到1小時）（參考數據：lg2?0.3,

lg3?0.5）

A.5B.6C.7D,8

【正確答案】A

【分析】根據題意建立不等式求解即可.

【詳解】由題得，在喝酒后，血液中酒精含量〉與時間，的關系為y=0.3\-,

建立不等式<0.09，則<得，

所以后與=gT。°"1=5.

lg3Ig3-21g20.5-2x0.3

故選：A

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分

11.函數/（X）=log2（l-x）+Vx的定義域是

【正確答案】［0,1）

【分析】根據對數型函數的定義域，結合二次根式的性質進行求解即可.

1—x>0

【詳解】由題意可知：〈八nOWx<l,

x>0

所以該函數的定義域為［0,1）,

故［0,1）

12.記為等差數列｛冊｝的前〃項和.已知$4=0,%=5，則%=.

【正確答案】2〃—5

【分析】

S.=4。］H----d=0

首先根據題意得到彳2,再解方程組即可得到答案.

%=q+4d=5

5=4。］H----d=0=—3

【詳解】由題知：\412,解得《；..

,,d=2

%=q+44=5c【

所以%二2〃-5

故2〃-5

13.已知向量值=(1,1),b=(x,tx+2\若存在實數x,使得萬與彼的方向相同，貝心的一個

取值為.

【正確答案】0(答案不唯一，小于1的實數均可)

【分析】由兩向量同向可知很=22(2〉0),由此可構造方程組求得X=2=g,由2〉0可

求得滿足題意的/的范圍，進而得到結果.

【詳解】與b方向相同，..1=；l〃X〉0),-.x=X=——,

'7［tx+2=A1-t

由---〉0得：/<1,

1-t

.,.存在實數/=0,x=2,使得G與3方向相同.

故0(答案不唯一，小于1的實數均可).

14.在平面直角坐標系xQy中，角&以Ox為始邊，終邊經過點P。,-2),cos2a=

tan2a=.

34

【正確答案】①.一：②.§

【分析】由三角函數定義求出sina,cosa,利用正弦和余弦二倍角公式，同角三角函數關系

求出答案.

.—2

【詳解】由三角函數定義得sma

在+(-2)

143

則cos2a=cos*2*a-sin2a=------=——

555

又sin2。=2sin6/cosa=2x^-x[9、4

5CM5

ecsin2a4

則tan2a=------二—

cos2a3

34

故一丁3

15.已知數列｛4｝滿足q=1,a2n=n+\,a2n+x=a2n+a2n_x,〃eN*.則集合｛加鼠<20｝

中元素的個數為.

【正確答案】24

【分析】利用累加法得到出用=-I）+4（2"+1）+3,〃eN*，即可得到

8

2+1,（〃為偶數）

2,,然后對〃分奇數和偶數兩種情況討論.

an

〃+4〃+3,（〃為奇數）

8

【詳解】由題意得。2〃+1一。2〃-1=。2"=〃+1，〃WN*，

("+1+1)(〃+1)

a=

所以2n+l(%"+1—°2"-1)+(°2”-1—°2”-3)+卜Q-)+。1=

2

n2+3/7+2_(2〃+l)~+4(2〃+l)+3

28

p,2〃，

又a2H=n+l=—+l,

；+l,(〃為偶數)

所以％=<.c，〃￡N*，

n2+〃+3,(〃為奇數)

8

17

當〃為偶數時，令一+1420,解得〃<38,

2

當〃為奇數時，令獷+而+3-20,因為函數y=-+4"+3的對稱軸為〃=—2,

88

、1/crt-P"2+4〃+3，L_.、1/_L"2+4〃+3_.__mr、i

當九=9時，----------=15<20，當〃=l1l1時n，----------=21>20，所以〃49,

88

綜上可得集合｛加瓦<20｝中元素的個數為當+一=24.

故24

三、解答題，本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟.

16.已知函數/(x)=2sinxcosx+2cos2x-l.

(1)求/［一wj的值；

(2)求/(x)的最小正周期；

(3)求“X)在區間0,|上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)-1；(2)71.

(3)最大值為正，最小值為-1.

【分析】(1)自變量直接代入求值；

(2)應用倍角正余弦公式、輔助角公式化簡函數式，由正弦型函數性質求最小正周期;

(3)利用正弦型函數性質求區間最值即可.

【小問1詳解】

田后

二2-------F2--—1=?

272\27

【小問2詳解】

由題設f(x)=sin2x+cos2x=V2sin^2x+

27r

所以/(x)的最小正周期為T二萬二兀.

【小問3詳解】

因為0<x〈巴，所以巴<2x+巴<2,

2444

當2x+；=W，即x=0寸，/⑴取得最大值,

所以/(x)在區間0胃上的最大值為/V2；

當2%+：=?，即x=］時，/(x)取得最小值，

所以/(x)在區間0卷上的最小值為/

17.在V4BC中，角48,C所對的邊分別為a,仇c.已知a=4,6=5,c=0I.

(1)求角。的大??；

(2)求sirU的值；

(3)求sin［2/-孑］的值.

【正確答案】(1)-；(2)漢Z；(3)碗及.

3714

【分析】(1)由余弦定理求出cosC,即可得出角C的大?。?/p>

(2)由正弦定理即可求出答案；

(3)求出cos/,由二倍角公式求出sin24cos2Z,再由兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】(1)在V/8C中，由余弦定理及a=4,6=5,c=01,有

cosC=a+b~C~=-，又因為Ce(O,〃)，所以C=工.

2ab23

(2)在V45c中，由正弦定理及C=工,a=4;c=衣'.

3

可得sirL4=%￡

7

(3)由及sia4=2近，可得cos/=Jl-sin?/=41Z,

77

sin2Z=2sin^osZ=2x生,變=逑

777

c°s2Z=l-2siE/=l-2x至x空」

777

所以sin(2Z—工］=sin2ZcosX—cos2/sin?=-x--f-^x—=4痣+逝.

4472171214

【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應用，關

鍵點是熟練掌握有關公式的運用，考查學生的數學運算能力.

18.設函數/(x)=x+—n(l+x)(左/0),直線/是曲線y=/(x)在點(/J(7))G〉0)處的

切線.

(1)當左=—2時，求/(x)的單調區間.

(2)求證：/不經過點(0,0).

【正確答案】⑴/(x)單調遞增區間為(1,+8),/(x)單調遞減區間為(T1)

(2)證明見解析.

【分析】(1)先將參數代入函數方程，然后判斷函數定義域，求導計算單調區間即可；

(2)先求切線斜率，然后假設/經過原點，所以切線斜率等于切點與原點連線斜率，得到該

方程無解，故假設不成立，得到結論.

【小問1詳解】

當左=一2時，/(x)=x-21n(l+x),

顯然/(X)的定義域為(—1,+8),

小)=1_2=3,

Jl+X1+X

顯然，當時，/'(x)<0,此時/(X)單調遞減;

當xe(l,+oo)時，/'(x)>0,此時/(X)單調遞曾

所以，/(x)單調遞增區間為(1,+8),/(x)單調遞減區間為(-1,1).

【小問2詳解】

由題可知，/(x)=l+上(左40),

1+X

所以直線/的斜率為/'(7)=1+占，

假設直線/過原點，則有‘+1hl(i+')=i+_L,

t1+，

因為左wO,所以有—~-=0,

令/z?)=ln(l+/)_!，得/?)=

(")2

因為,>0,所以〃'(7)=工一"可>0

(1+7)

所以7z(7)=ln(l+/)—-—在(0,+oo)單調遞增，

所以〃(7)〉人(0)=0,故ln(l+/)—￡=0無解,

故假設直線/過原點錯誤，所以直線/不過原點.

19.已知函數/(x)=Nsin(@x+°)11〉0,?！?,0<°<的最小正周期為兀.

(1)若2=1,/(0)=彳，求。的值；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定/(x)的解析式，并

求函數/(x)的單調遞增區間.

條件①：/(x)的最大值為2；

條件②：/(x)的圖象關于點正>0中心對稱;

條件③：/(x)的圖象經過點有，6?注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

IT

【正確答案】(1)(P=-

(2)/(x)=2sin[+e兀7兀77r7

------卜一■F左兀，左￡Z

36

【分析】(1)根據條件，代入/(0)=￥，即可求解;

（2）根據三角函數的性質，選擇條件，代入后，即可求解函數的解析式，然后代入函數單調

遞增區間，即可求解.

【小問1詳解】

因為4=1,f(0)=,則sin°=且則夕=:;

【小問2詳解】

2兀

因為函數的最小正周期為兀，則。=」=2,

71

5兀2sin|g+“=0,

若選①②，則/=2,且/

12

立八71.5715兀471571bt、i兀

又0＜夕＜7，貝n!］一＜一+0＜一,貝!］一+0=兀，所以0二一，

266366

所以/(x)=2sin12x+￡),

5八兀r[兀兀2兀_.7171-.71

又0<,<彳，則一<一+°<—,則一+0=一,則0=一,

2663636

所以/(x)=2sin[2x+gj

7T

若選擇②③，由②可知，0=—，

6

由③可知，=^sin^+=A-^-=V3,則2=2,

所以/(x)=2sin[2x+t]，

TTTTTTTTTT

令---F2左兀<2x+—<—+2左兀,左EZ,得-----FH<x<—+A;€Z,

26236

所以函數/(X)的單調遞增區間是-E常+E,keZ

20.在4/臺。中，2asinB=5.

(1)求A；

（2）若6=2血，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得A/BC存在且唯一確定,

求三角形A/BC的面積.

條件①:cosC=-Vio

~L0~

條件②：a=2；

石

條件③：sin5=—.

5

7T3兀

【正確答案】（1）2=—或/=一

44

（2）答案見解析

【分析】（1）運用正弦定理邊角互化可解；

（2）若選擇①：運用正弦定理，結合面積公式可解;

若選擇②：運用正弦定理，結合面積公式可解；

若選擇③：運用正弦余弦定理，結合面積公式可解.

【小問1詳解】

因為2asin5=yflb,

則由正弦定理可得，2sin4sin5=0sin5，

又因為sinBwO,所以sin/=----，

2

又因為A為V4BC的內角，

所以2=四或2=電；

44

【小問2詳解】

若選擇①：因為cosC=—?，且Ce[0,兀],

10

所以sinC=V1-cos2C=3''^,A=—

104

V2V23A/10V5

所以sin5二sin(4+C)=sinAcosC+cos4sinC=H------x---------=——,

2105

又因為b=202asmB=6b，

_42b_V2X2A/2/-

所以2sin3V5，

2x——

5

所以s=-aZ)sinC--x2V5x2V2x^^=6；

"2210

若選擇②：因為b=26,2asinB=6b,a=2，

所以sin8=近b=后>?也=1，則3=4，2sinZsin8=KsinB,則sin/=

2a2x222

JT

所以4二:，則V45。為等腰直角三角形，

4

所以S“BC='X2X2=2；

4cm。

若選擇③：因為6=2j5,2asin8=亞，

41bV2X2A/2C/-

所以2sm34s，