專題二方程與不等式測試卷【注意事項】1、本試卷分為第Ι卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分120分，考試時間為120分鐘。考試結束后，將本題與答題卡一并交回。2、本次考試允許使用函數型計算機，凡使用計算器的題目，最后結果精確到0.01。第Ι卷（選擇題）一、單選題（本大題共15小題，每小題4分，共60分。在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將符合要求的選項字母代號選出，填涂在答題卡上。）1．若，則以下不等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質逐一判斷可得答案。【詳解】對于A，當，時，，故A錯誤；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，當，時，可得，故C錯誤；對于D，，，故D正確。2．下列結論正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據不等式的性質分別判斷即可。【詳解】對A，若，當時，則，故A錯誤；對B，若，，則，故B正確；對C，若，如，此時，故C錯誤；對D，若，則，故D錯誤。3．如果，那么下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取特殊值可判斷A,B選項，由函數在上為增函數可判斷選項C，由的符號不定，則的符號不定，可判斷D，從而得出答案.【詳解】選項A中，取，則，所以A不正確；選項B中，取，則，所以B不正確；選項C中，由函數在上為增函數，由，則有成立，所以C正確；選項D中，由，因為，，則；所以，即，所以D不正確.4．已知，，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用特殊值法可判斷A、B、D選項的正誤，利用不等式的基本性質可判斷C選項的正誤.【詳解】對于A選項，取，，，，則，A選項錯誤；對于B選項，取，，，，則，B選項錯誤；對于C選項，，，由不等式的基本性質可得，C選項正確；對于D選項，取，，，，則，D選項錯誤。故選：C。【點睛】本題考查利用不等式的基本性質判斷不等式的正誤，屬于基礎題。5．設a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，則（）A．a>b B．a<bC．a≥b D．a≤b【答案】C【分析】作差比較可得答案。【詳解】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b；故選：C。6．方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】方程的兩根都大于2，則其對應的函數與軸的兩個交點都在直線的右邊，由圖象的特征知，應有對稱軸大于2，且，解不等式組即可求出的取值范圍。【詳解】令，其對稱軸為由已知方程的兩根都大于2，所以，即解得：；故選A。【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的分布與系數的關系，考查了一元二次方程的特征，考查將其轉化為方程組解參數范圍的能力，屬于中等題。7．下面所給關于x的幾個不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定為一元二次不等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據一元二次不等式的結構為進行判斷。【詳解】為一元一次不等式，故①不符合；當時，ax2＋4x－7＞0為一元一次不等式，故③不符合題意；x2＋mx－1＞0和x2＜0均為一元二次不等式，故②④符合題意，即一定為一元二次不等式的有2個；故選：B。【點睛】本題考查對一元二次不等式的理解，屬于簡單題。8．若不等式的解集為，則，的值為（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據不等式的解集與對應方程的關系可求。【詳解】因為不等式的解集為，所以且均為方，則有且，解得；故選：B。【點睛】本題主要考查利用不等式的解集求解參數，明確不等式的解集和對應方程的關系是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養。9．若不等式的解集是空集，那么下列條件中正確的是（）。A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】問題等價于的解集為R，解得答案。【詳解】問題等價于的解集為R，則；故選：C。【點睛】本題考查了根據不等式的解求參數，意在考查學生的計算能力。10．不等式的解集為（）。A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：因為，即，利用數軸穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故選C。【點睛】分式不等式的解法。11、不等式的解集為（）。B.C.D.【答案】A【詳解】原不等式等價于，根據一元二次不等式小于等于零時，其解集區間為兩根之間區域，所以不等式解集為，故答案為A。【點睛】一元二次不等式小于等于零時，其解集區間為兩根之間區域；大于等于零時，其解集區間為兩根兩側區域。若關于x的不等式則實數m的值為（）。A．1 B．-2 C．-3 D．3【答案】A【詳解】原式可等價為，即，所以原方程的兩個根為0,2，與其解集相一致，即4-2m=2，解得m=1。所以答案為A。【點睛】一元二次不等式的解集與其對應的一元二次方程的根相同，即應對應相等。13．若關于的不等式的解集是，那么的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意知方程的兩根為和，利用韋達定理即可求的值。【詳解】由題意知方程的兩根為和，由根與系數的關系可得，解得：，故選：C。14、已知不等式（）。 B． C． D．【答案】C【詳解】由題意并結合二次函數的圖像（如右圖），一元二次不等式小于0的解集為空集，即此一元二次不等式大于等于0的解集為R，所以其應該滿足的條件為（開口向上，根的判別式小于等于0）。已知關于x的方程有兩個相等的實數根，則實數m的值為（）。A．2 B．10 C．2或10 D．-2或-10【答案】C【詳解】由題意并結合二次函數的圖像（如14題圖），一元二次方程有兩個相等的實數根，所以其應該滿足的條件為根的判別式等于0，即，，解得方程的兩個實數根2,10；所以答案為C。第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題5小題，每小題4分，共20分）16、如果，那么________，（填入“>”或“<”）【答案】>【分析】由不等式的基本性質即可判斷大小。【詳解】解：因為，所以，又，所以；故答案為：。17、設，，給出下列四個結論：①；②；③；④．正確的結論有_________．（寫出所有正確的序號）【答案】①②④【分析】根據不等式的性質證明判斷。【詳解】，則，又，所以，①正確；，，則，②正確；由②，，即，③錯誤；，，又，所以，④正確。故答案為：①②④【點睛】本題考查不等式的基本性質，掌握不等式的性質是解題關鍵。18、若方程有兩個負根，則實數的取值范圍為______。【答案】【分析】設方程的兩個根分別為，，利用韋達定理計算得到答案。【詳解】設方程的兩個根分別為，，由題意及根與系數的關系，得解得或，因此實數的取值范圍為；故答案為：【點睛】本題考查了韋達定理，意在考查學生的計算能力。19、若集合,則實數的取值范圍是______。【答案】【分析】當時，可知解集為，滿足題意；當時，結合二次函數圖象可得，解不等式組求得結果。【詳解】①若，則不成立，此時不等式的解集為，滿足題意；②若，則，解得：；綜上所述：的取值范圍為；故答案為。【點睛】本題考查根據根據一元二次不等式的解集求解參數范圍問題，關鍵是能夠根據二次函數圖象得到關于開口方向和判別式的不等式組；易錯點是忽略二次項是否為零的討論。20、，則的元素個數為。【答案】0【分析】求出后可求．【詳解】由得，因為，所以，因此，元素的個數為0。故填：0。【點睛】本小題考查集合的運算和解一元二次不等式，屬于基礎題.三、解答題（本大題5小題，共40分）21、已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大小。【答案】答案見解析【分析】做差法比較兩個代數式的大小即可.【詳解】解：因為x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以當a>b時，x－y>0，所以x>y；當a＝b時，x－y＝0，所以x＝y；當a<b時，x－y<0，所以x<y。22、用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長.當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？【答案】當矩形菜園平行于墻的一邊的長為，與之相鄰的邊的長為時，菜園的面積最大，最大面積是。【分析】設矩形菜園平行于墻的一邊的長為，與之相鄰的邊的長為，由題意得出，利用基本不等式可求出菜園面積的最大值，利用等號成立的條件可求出矩形的邊長，進而可得出結論。【詳解】設矩形菜園平行于墻的一邊的長為，與之相鄰的邊的長為，菜園的面積為，則，。即，面積S的方程為關于x的一元二次方程，圖像為過原點開口向下的拋物線，（如右圖所示）當，即（定點處），時，菜園的面積最大，最大面積是。因此，當矩形菜園平行于墻的一邊的長為，與之相鄰的邊的長為時，菜園的面積最大，最大面積是。【點睛】本題考查基本不等式的應用，在利用基本不等式時，要結合定值條件對所求代數式進行合理配湊，同時也要注意等號成立的條件，考查計算能力，屬于基礎題。23、若不等式對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍。【答案】【分析】首先分和兩種情況討論，利用函數圖象的特征列出式子求得結果．【詳解】當時，恒成立，當時，利用二次函數圖象知，則解得，所以實數a的取值范圍是．【點晴】思路點睛：解題時一定注意對的分類討論，不能忘記的情況，同時，要結合二次函數圖象及方程根的情況，應該開口向下，判別式小于零，列出滿足的條件求解．24、解不等式：。【答案】。【分析】解兩個一元二次不等式和，然后求交集．【詳解】原不等式可化為如圖，結合數軸，可得原不等式的解集為。【點睛】本題考查解二次不等式組，可分別求出兩個不等式的解集，然后求交集。求交集時可以借助于數軸。25、已知函數。（1）當時，解關于的不等式；（2）若，解關于的不等式。【答案】（1）；（2）①當時：不等式的解集為；②當時：不等式的解集為；③當時：不等式的解集為.【詳解】分析：（1）時，將不等式因式分解，結合二次圖像得到解集；（2）可化為，.分三種情況：時：時：時，分別得到解集.詳解：（1）當時,可得,,的解集為.（2）不等式