2023—2024學年第二學期高一年段期末六校聯考數學試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）命題學校：連江黃如論中學第一部分（選擇題共58分）一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.甲?乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則甲?乙兩人一起破譯這份密碼，密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.3.已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知三條不重合的直線和平面，下列命題中是真命題的為（）A.若直線和平面所成的角相等，則B.若，則C.若，則D若，則5.進入8月份后，我市持續高溫，氣象局一般會提前發布高溫橙色預警信號（高溫橙色預警標準為24小時內最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計算機生成了20組隨機數，結果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預警，則今后3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的概率估計是（）A. B. C. D.6.如圖所示，在中，為BC邊上的三等分點，若，，為AD中點，則（）A. B.C. D.7.在中，角的對邊分別為，則的面積為（）A. B. C. D.8.已知三棱錐的頂點都在球的球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的（）A.的值為0.005；B.估計成績低于60分的有25人C.估計這組數據的眾數為75D.估計這組數據的第85百分位數為8610.下列說法正確的是（）A.已知事件A，B，且，，如果，那么，B.對于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數大于中位數C.若A，B是兩個互斥事件，則D.若事件A，B，C兩兩獨立，則11.如圖，棱長為的正方體中中，下列結論正確的是（）A.異面直線與所成角為B.直線與平面所成的角為C.二面角平面角的正切值為D.點到平面的距離為第二部分（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正四棱錐中，，則該棱錐體積為____________．13.在對某中學高一年級學生身高（單位：）調查中，抽取了男生20人，其平均數和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數和方差分別為164和30，根據這些數據計算出總樣本的平均數為__________，方差為__________.14.設樣本空間含有等可能的樣本點，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨立，則______.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知復數是方程的一個虛根（是虛數單位，）．（1）求；（2）復數，若為純虛數，求實數的值．16.已知向量滿足，，．（1）求向量的夾角的大小；（2）設向量，若的夾角為銳角，求實數k的取值范圍．17.新課標設置后，特別強調了要增加對數學文化的考查，某市高二年級期末考試特命制了一套與數學文化有關的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對整個高二年級的學生進行了測試．現從這些學生中隨機抽取了100名學生的成績，按照成績為，，…，分成了6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于90分）．（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計所抽取的100名學生成績的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績位于的兩組學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加這次考試的考情分析會，試求這組中至少有1人被抽到的概率．18.已知平面，平面，為等邊三角形，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線和平面所成角的正弦值．19.如圖，設中角所對的邊分別為為邊上的中線，已知，且．（1）求的值；（2）求的面積；（3）設點分別為邊上的動點（含端點），線段交于，且的面積為面積的，求的取值范圍．2023—2024學年第二學期高一年段期末六校聯考數學試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）命題學校：連江黃如論中學第一部分（選擇題共58分）一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先利用復數乘法運算化簡復數，再根據復數的幾何意義確定對應點所在的象限.【詳解】因為，所以該復數在復平面內對應的點為，在第四象限.故選：D2.甲?乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則甲?乙兩人一起破譯這份密碼，密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質分析可得答案．【詳解】根據題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故選：C．3.已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，根據數量積的定義求出，最后根據投影向量的定義計算可得.【詳解】因為，所以，又向量，的夾角為，且，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：D4.已知三條不重合的直線和平面，下列命題中是真命題的為（）A.若直線和平面所成的角相等，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用線面角的定義可得A錯誤，由異面直線定義以及線線垂直的位置關系可判斷BC錯誤，由線面垂直性質可得D正確.【詳解】對于A，若直線和平面所成的角相等，則直線可以相交或異面或平行，即A錯誤；對于B，若，則直線可以相交或異面或平行，即B錯誤；對于C，若，則可能是，即C錯誤；對于D，若，由線面垂直性質可得，即D正確.故選：D5.進入8月份后，我市持續高溫，氣象局一般會提前發布高溫橙色預警信號（高溫橙色預警標準為24小時內最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計算機生成了20組隨機數，結果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預警，則今后的3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的概率估計是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】查出20個隨機數中表示今后3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的隨機數的個數，根據古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知表示今后的3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的隨機數有：116812730217109361284147318027共10個，故今后的3天中恰有2天發布高溫橙色預警信號的概率估計是，故選：B6.如圖所示，在中，為BC邊上的三等分點，若，，為AD中點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量的線性運算即可求解.【詳解】故選：A7.在中，角的對邊分別為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理，邊角互化建立a,b關系，再利用余弦定理求出a,b，代入面積公式求出面積即可.【詳解】在中，因，由正弦定理可得，由余弦定理得：，解得，所以的面積為．故選：A．8.已知三棱錐的頂點都在球的球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設球O的半徑為R，的外心為，由題意，可得外接圓的半徑及面積，即可得，代入體積公式，結合題意，可求得R值，代入球的表面積公式，即可得答案.【詳解】設球O半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.

二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的（）A.的值為0.005；B.估計成績低于60分的有25人C.估計這組數據的眾數為75D.估計這組數據的第85百分位數為86【答案】ACD【解析】【分析】由所有組頻率之和為1求得a，再根據頻率直方圖中頻數、眾數及百分位數求法可得結果.【詳解】對于A，由，得.故A正確；對于B，估計成績低于60分的有人.故B錯誤；對于C，由眾數的定義知，估計這組數據的眾數為75.故C正確；對于D，設這組數據的第85百分位數為m，則，解得：，故D正確.故選：ACD10.下列說法正確的是（）A.已知事件A，B，且，，如果，那么，B.對于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數大于中位數C.若A，B是兩個互斥事件，則D.若事件A，B，C兩兩獨立，則【答案】BC【解析】【分析】根據事件的包含關系可判斷A；根據頻率分布直方圖中平均數和中位數的估計，可判斷B;利用可判斷C；舉反例判斷D.【詳解】對于A，如果，則，故，，故，故A錯誤；對于B，對于單峰的頻率分布直方圖而言，如果左右對稱，則中位數和平均數大致相等，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數將變大，更遠離峰值處，中位數位于單峰附近，故平均數大于中位數，B正確；對于C，因為是兩個互斥事件，故,所以,故C正確；對于D，舉例如從1、2、3、4四個數字中隨機取一個，即事件A=“取出的數字為1或2”，事件B=“取出的數字為1或3”，事件C=“取出的數字為1或4”，AB=BC=AC=ABC=“取出的數字為1”，則，，滿足，,,即事件兩兩獨立，但,故D錯誤，故選：BC11.如圖，棱長為的正方體中中，下列結論正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.直線與平面所成的角為C.二面角平面角的正切值為D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】由可知異面直線與所成角為（或其補角），由長度關系可知A正確；由線面角定義可知所求角為，由長度關系知B錯誤；由二面角平面角定義可知所求角為，通過可知C正確；利用割補法可求得，由棱錐體積公式可構造方程求得點面距離，知D正確.【詳解】對于A，連接，，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補角），，為等邊三角形，，即異面直線與所成角為，A正確；對于B，連接，平面，即為直線與平面所成角，，，，，，即直線與平面所成角不是，B錯誤；對于C，連接，交于點，連接，四邊形為正方形，，為中點，，，二面角的平面角為，平面，平面，，又，，，，即二面角的正切值為，C正確；對于D，連接，，，，又，，設點到平面的距離為，則，解得：，即點到平面的距離為，D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為____________．【答案】【解析】【分析】根據題意，利用勾股定理算出底面中心到頂點的距離為，再由錐體的體積公式加以計算，即可得到該棱錐的體積．【詳解】在平面上的投影是，因為是正四棱錐，所以是正方形對角線的交點，連結，，，所以，于是.故答案為：.13.在對某中學高一年級學生身高（單位：）調查中，抽取了男生20人，其平均數和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數和方差分別為164和30，根據這些數據計算出總樣本的平均數為__________，方差為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用分樣本平均數和方差與總樣本的平均數和方差的關系，代入計算即可得出結論.【詳解】易知總樣本的平均數為，代入公式可得總樣本的方差為；因此總樣本的平均數為，方差為；故答案為：；.14.設樣本空間含有等可能的樣本點，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨立，則______.【答案】【解析】【分析】根據古典概型概率計算及相互獨立性推測即可.【詳解】由題意，，所以，所以是共同的唯一的樣本點，又兩兩不獨立，即，，，可見不可以為或，所以為或，即.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知復數是方程的一個虛根（是虛數單位，）．（1）求；（2）復數，若為純虛數，求實數的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據復數代數形式乘法運算及復數相等的充要條件得到方程組，求出的值，即可得解；（2）首先根據復數代數形式的除法運算化簡，再根據復數的類型得到方程（不等式）組，解得即可.【小問1詳解】∵，∴，∴且，∴，∴，則.【小問2詳解】∵，又為純虛數，∴且，∴.16.已知向量滿足，，．（1）求向量的夾角的大小；（2）設向量，若的夾角為銳角，求實數k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的模公式及向量的夾角公式即可求解；（2）根據向量夾角與向量數量積的關系即可求解.【小問1詳解】由，兩邊平方得，∵，，，解得，,，.【小問2詳解】向量的夾角為銳角，等價于且方向不同．所以,解得，若方向相同，設，，∵不共線，，解得，綜上所述，的取值范圍是.17.新課標設置后，特別強調了要增加對數學文化的考查，某市高二年級期末考試特命制了一套與數學文化有關的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對整個高二年級的學生進行了測試．現從這些學生中隨機抽取了100名學生的成績，按照成績為，，…，分成了6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學生的成績均不低于90分）．（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計所抽取的100名學生成績的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績位于的兩組學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加這次考試的考情分析會，試求這組中至少有1人被抽到的概率．【答案】（1），平均分為；（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可計算出值，然后用每組區間的中點值乘以相應頻率再相加可得平均值；（2）由頻率分布直方圖得出成績位于和上的人數，并編號，用列舉法寫出隨機抽取的2人的所有基本事件，由概率公式計算概率．【小問1詳解】由頻率分布直方圖，，，平均分為；【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出成績位于和上的人數比為，抽取的6人中成績位于上的有4人，編號為1，2，3，4，位于上的有2人，編號為，從這6人中任取2人基本事件有：共15個，其中這組中至少有1人被抽到的基本事件有共9個，所以所求概率為．18.已知平面，平面，為等邊三角形，，，為的中