試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學質量檢測數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若復數為純虛數，則a的值為（

）A． B．1 C． D．22．已知冪函數的圖象經過點，則的值為（

）A． B． C．3 D．93．已知等比數列中，，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．設A，B兩點的坐標分別為，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，則點M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．若銳角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知定義域為的函數為奇函數，對任意的,,，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知數列為等差數列，且公差，直線與圓交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．設是兩個非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．在方向上的投影向量的模為10．已知函數，其中，且．若函數在區間內無零點，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關于對稱B．在上單調遞增C．直線是的一條切線D．若在區間上的圖象與直線有且只有三個交點，則實數m的取值范圍為11．廣東汕頭海灣大橋被譽為“中國第一座大跨度現代懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，其方程為（為參數，）．當時，該方程是雙曲余弦函數，類似的函數還有雙曲正弦函數，則下列說法正確的是（

）A．，B．當時，函數有最小值C．，D．，三、填空題12．已知集合，則的所有元素之和為．13．設雙曲線的左、右焦點分別為，直線與C交于M，N兩點，且．若四邊形的周長為，則C的離心率為．14．在正四棱臺中，，則該正四棱臺的高為；若點P在四邊形ABCD內運動，且，則點P的軌跡長度為．四、解答題15．在中，．(1)求B；(2)求函數在上的最大值．16．已知函數在處取得極值．(1)求a的值；(2)若存在使得，求實數m的取值范圍．17．設為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．令，為數列的前n項和．(1)求數列的通項公式；(2)證明：當時，．18．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，O是AD的中點，平面ABCD，，平面平面．(1)求證：；(2)如圖，且，求點M到平面PBC的距離；(3)設四棱錐的外接球球心為Q，在線段PB上是否存在點E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為?若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．19．已知曲線，點在曲線W上．(1)求曲線W在點Q處的切線方程；(2)如圖1，過曲線W外一點A（不在y軸上）作W的兩條切線AB，AC，切點為B，C，過曲線W上一點M的切線交AB，AC于點，且，把這樣的叫做“外切三角形”．①連接AM交BC于點E，求證：A，M，E三點的縱坐標成等差數列；②如圖2，從點A出發做出的第一個外切三角形是再過點分別做出2個“外切三角形”，即和；繼續過點分別做出4個“外切三角形”以此類推，依次做出1，2，4，8，…，個外切三角形．設的面積為S，求這些“外切三角形”的面積之和T，并證明．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學質量檢測數學試題》參考答案題號12345678910答案ABDBCACBACDAC題號11答案BCD1．A【分析】由復數乘法及純虛數定義可判斷選項正誤.【詳解】由題，，又為純虛數，.故選：A．2．B【分析】根據給定條件，求出冪函數的解析式，進而求出函數值.【詳解】設，則即，故選：B．3．D【分析】根據給定條件，利用等比數列性質列式計算得解.【詳解】由等比數列性質，得，所以.故選：D4．B【分析】根據線線、線面、面面位置關系的有關知識對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，若，則m，n可能平行或異面，所以A錯誤；對于B選項，若，則m垂直于內的任意直線，，所以B正確；對于C選項，若，則m，n可能平行或相交或異面，所以C錯誤；對于D選項，若，則或，所以D錯誤.故選：B5．C【分析】設出交點的坐標，寫出兩直線的斜率，直接由斜率之積是列式化簡.【詳解】設，則由已知得化簡得，故選：C．6．A【分析】應用同角三角函數關系結合二倍角正弦得出，再應用二倍角余弦公式得出，最后得出正切即可.【詳解】且平方得，又，故選：A．7．C【分析】根據題意，把要求解不等式,化為,利用函數的單調性，即可解得不等式.【詳解】設,由為奇函數可知為偶函數因為任意的,,，都有所以時,單調遞減,由對稱性可知在上單調遞增．因為，所以若,則化為,即,由單調性可知．若，則化為，即，由單調性可得．綜上,．故選:C8．B【分析】設數列公差為d，結合等差數列通項公式分析可知直線過定點，再根據圓的性質可知當時，弦長最小，此時最小，進而運算求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設數列公差為d，則直線可化為，即．令，解得，可知直線過定點，當時，弦長最小，此時最小．又因為，則，可知，則．故選：B．【點睛】方法點睛：數形結合的重點是“以形助數”，在解題時要注意培養這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維．使用數形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．9．ACD【分析】對于A，根據條件，利用數量積的定義，即可判斷正誤；對于B，利用向量相等的條件，即可求解；對于C，根據條件，利用數量積的運算律，可得，即可求解；對于D，利用投向量及模長的定義，即可求解.【詳解】對于選項A，由可知，當時，，所以．所以選項A正確，對于選項B，由可知，與共線，不一定是．所以選項B錯誤，對于選項C，由，得，即，所以，所以選項C正確，對于選項D，由投影向量定義可知，在方向上的投影向量為，所以其模長為，故選項D正確．故選：ACD．10．AC【分析】根據已知條件求出，再根據對稱性，單調性，判定AB；結合導數判定C；結合零點知識判定D.【詳解】由且，都有同號可知，,又，由得，由知關于對稱，故A正確．當時，，此時先增后減，故B錯誤．．令得或，其中，時在處得切線為，故C正確．由得．由正弦函數圖象知道，得．故D錯誤．故選：AC．11．BCD【分析】利用指數運算可判斷A選項；利用不等式的基本性質可求得函數的最小值，可判斷B選項；利用導數分析函數在上的單調性，利用導數比較、的大小關系，結合函數的單調性可判斷C選項；令，分析函數在上的單調性，結合零點存在定理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，，A錯；對于B選項，，當時，，則，則，所以，，所以，當時，函數有最小值，B對；對于C選項．設，則，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，函數在上單調遞增，則，即，又，當時，，所以，在上單調遞增，所以，．故C正確；對于D選項．當時，則，則在上單調遞增．當時，，則函數在上單調遞減．設，可在上單調遞增，因為，，則，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正確故選：BCD.【點睛】方法點睛：函數單調性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設元作差變形判斷符號得出結論；（2）圖象法：如果函數是以圖象的形式給出或者函數的圖象易作出，結合圖象可得出函數的單調區間；（3）導數法：先求出函數的導數，利用導數值的正負確定函數的單調區間；（4）復合函數法：先將函數分解為內層函數和外層函數，再討論這兩個函數的單調性，然后根據復合函數法“同增異減”的規則進行判定.12．/2.5【分析】先利用指數冪的運算化簡集合B，再利用集合的并集運算求解即可.【詳解】,即,的所有元素之和為．故答案為：.13．【分析】由雙曲線對稱性結合題意可得四邊形為矩形，設，由雙曲線定義及題意可得，據此可得答案.【詳解】由雙曲線的對稱性，可知四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為矩形，設，則，兩個方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化簡得，由得．故答案為：14．【分析】根據正四棱臺的結構特征，結合已知條件計算出高，再判斷確定點的軌跡，再應用弧長公式求出軌跡長度.【詳解】

取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過點作于點H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺的高為．

連接PH，在中，，點P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內的部分，即．過點H作于點E，過H作于點F，則．在中，．同理，，的長度為，故點P的軌跡長度為.故答案為：；.15．(1)(2)【分析】（1）運用正弦定理計算正弦值，進而得到角度；（2）將其轉化為正弦型函數，后求值域即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得或．又為鈍角.（2）由（1）可知．∴當，即時．16．(1)(2)【分析】（1）對函數求導，根據求得的值，驗證函數的單調性可知的值符合題意.（2）問題等價于存在使得，構造函數，對函數求導，利用導數研究函數的單調性以及最值即可求得的取值范圍.【詳解】（1），由已知，又當時，令得，且當時在區間上單調遞增，時，在區間上單調遞減．在處取得極大值.綜上，.（2）問題等價于存在使得．設，則當時，在上單調遞減，，故m的范圍是．17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據等差數列的通項公式得到，再根據得到，接著用“累乘法”可得數列的通項公式.（2）分為偶數與奇數兩種情況，表示出，結合作差法比較與的大小.【詳解】（1）由題意得，

①，當時，

②由①②得：，即．又時，滿足.（2）由得，.①當n為偶數時，此時，，故②當n為奇數時，綜上，當時，．18．(1)證明見解析(2)(3)存在點E為PB上靠近點P的三等分點【分析】（1）由題可證平面PCD，再由線面平行性質可完成證明；（2）以O為原點，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由題可得平面PBC的法向量，然后結合空間向量知識可得答案；（3）由球心定義可得點Q坐標，然后設，由空間向量知識可得平面AEC的一個法向量，及PQ與平面AEC所成的角的正弦值關于的表達式，據此可得答案.【詳解】（1）證明：四邊形ABCD為正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）取BC中點N，連接ON，則平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O為原點，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則．設平面PBC的一個法向量為則，得，取點M到平面PBC的距離為（3）存在點E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為，，且平面ABCD為正方形，點Q在平面上的射影是ABCD的中心，可設則，解得．即設，，設平面AEC的一個法向量為，則得，取設直線PQ與平面AEC所成的角為化簡得，即或（舍）．∴存在點E為PB上靠近點P的三等分點，使得直線PQ與平面AEC所成角的正弦值為．【點睛】關鍵點睛：對于外接球問題關鍵在于確定球心位置，可先找某一平面外接圓圓心，則球心在過圓心所在平面的垂線上；對于動點問題，常設邊長比例為參數，再用參數表示已知量，求解相關方程或不等式.19．(1)(2)①證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）由導數知識可得切線在點Q處切線斜率，即可得答案；（2）①由（1）結合A在AB上，同時A在AC上可得BC方程，再由，可得直線AM方程，據此可找到A，M，E三點的縱坐標的關系，可完成證明；②由（1）結合幾何知識可得每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的，然后可由等比數列求和公式完成證明.【詳解】（1）由題可得，則，，，故點Q處的切線方程為即．（2）①則由（1）可知直線AB為直線AC為，由A在AB上，同時A在AC，可知直線BC的方程為，即，，又由（1）可知直線的斜率為，又，