高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第六章 6.2 6.2.2 向量的減法運算含答案_第1頁
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文檔簡介

高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊第六章6.26.2.2向量的減法運算含答案6.2.2向量的減法運算【學習目標】1.理解相反向量的概念,能用相反向量定義向量的減法.2.掌握向量減法的運算法則與幾何應用.3.能熟練運用向量的加、減運算進行化簡與求值.【素養達成】數學抽象直觀想象、邏輯推理數學運算一、相反向量1.定義:與向量a長度相等,方向相反的向量.零向量的相反向量仍是零向量.2.性質:(1)-(-a)=a;(2)對于相反向量有a+(-a)=0;(3)若a,b互為相反向量,則a=-b,a+b=0.二、向量的減法1.定義:a-b=a+(-b),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.2.作法:已知向量a,b,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a-b,如圖所示.3.幾何意義:a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.4.向量a,b的模與a-b的模之間滿足不等式:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.當且僅當a與b同向時左邊取等號,反向時右邊取等號.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)向量與是相反向量.(√)提示:與長度相等,方向相反,是相反向量.(2)兩個同向向量的差一定小于這兩個向量的和.(×)提示:兩個向量的差仍是向量,而向量不能比較大小,故錯誤.(3)在平行四邊形ABCD中,-等于.(√)提示:由平面向量減法的三角形法則,可得-=.(4)-+-+=0.(×)提示:-+-+=++++=≠0,故錯誤.類型一作差向量(直觀想象)【典例1】(教材提升·例3)如圖,已知向量a,b,求作a-b.【解析】(1)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.(2)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.(3)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.(4)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.【總結升華】作差向量的方法(1)利用向量減法的三角形法則:簡記為“共起點,連終點,指向被減”;(2)轉化為向量的加法:a-b=a+(-b).【即學即練】如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a-b-c.【解析】如圖,作=a,=b,則即為a-b,再作=c,則向量即為a-b-c.類型二向量的表示(直觀想象)【典例2】(教材改編·例4)如圖,已知=a,=b,=c,=d,試用a,b,c,d表示以下向量:(1);(2);(3).【解析】(1)=-=c-a;(2)=-=d-a;(3)=-=d-b.【總結升華】向量的表示(1)觀察圖形的幾何特征,確定已知向量與要表示的向量之間的關系;(2)共起點的向量,若能構成平行四邊形,可以利用向量的加法表示對角線所在的向量,若能構成三角形,可以利用向量的減法表示第三邊所在的向量;(3)首尾相連的向量,能構成三角形,可以利用向量的加法表示第三邊所在的向量.【即學即練】如圖所示,=a,=b,=c.(1)用a,b表示;(2)用b,c表示.【解析】(1)=-=--=-a-b;(2)=-=-(+)=-b-c.類型三向量減法的應用(邏輯推理、數學運算)角度1向量的化簡【典例3】(2024·烏魯木齊高一檢測)化簡:(1)-+;(2)(-)-(-);(3)(++)-(--).【解析】(1)-+=+-=-=.(2)(-)-(-)=-+-=++=+=-=0.(3)(++)-(--)=+-(-)=-=0.【總結升華】向量的化簡(1)首尾相連相加的向量,用向量加法的三角形法則化簡;(2)共起點相減的向量,用向量減法的三角形法則化簡;(3)必要時可以利用相等向量或相反向量等價轉化.角度2向量減法的幾何應用【典例4】(易錯·對對碰)(1)已知O是四邊形ABCD內的一點,若-=-,則四邊形ABCD的形狀是__________.

(2)在四邊形ABCD中,=,若|-|=|-|,則四邊形ABCD的形狀是______;

(3)在四邊形ABCD中,=,若|+|=|-|,則四邊形ABCD的形狀是________.

【解析】(1)因為-=-,即=,故四邊形ABCD一定為平行四邊形.答案:平行四邊形(2)因為=,所以四邊形ABCD為平行四邊形,又因為|-|=|-|,所以||=||,所以四邊形ABCD為菱形.答案:菱形(3)因為=,所以四邊形ABCD為平行四邊形.又因為|+|=|-|,所以||=||,所以四邊形ABCD為矩形.答案:矩形【總結升華】向量減法的幾何應用(1)利用相等向量證明線段平行且相等,從而證明四邊形為平行四邊形.(2)以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB,AD分別表示向量=a,=b,則兩條對角線表示的向量分別為=a+b,=b-a,則=a-b.(3)對于菱形、矩形、正方形可以根據平行四邊形的鄰邊相等或對角線相等來判斷.角度3差向量模的性質【典例5】若||=12,||=5,則||的取值范圍是()A.[7,17] B.(7,17) C.[7,12] D.(7,12)【解析】選A.由向量模長的三角不等式可得||≥|||-|||=7,當且僅當,的方向相同時,等號成立;||≤||+||=17,當且僅當,的方向相反時,等號成立,因此,||的取值范圍是[7,17].【補償訓練】已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,則|a-b|的值為__________.

【解析】當a與b方向相同時,|a-b|=||a|-|b||=7-2=5;當a與b方向相反時,|a-b|=|a|+|b|=7+2=9.答案:5或9【總結升華】差向量模的性質(1)當非零向量a,b不共線時,a-b的方向與向量a,b的方向都不相同,模的關系是||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|,其幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(2)當向量a,b同向或至少一個是零向量時,a+b的方向與向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的關系是|a+b|=|a|+|b|.(3)當向量a,b反向或至少一個是零向量時,a+b的方向與向量a,b中模較大的方向相同,模的關系是|a+b|=||a|-|b||.【即學即練】已知||=6,||=3,則||的取值范圍是()A.[3,6] B.(3,6) C.[3,9] D.(3,9)【解析】選C.由題意得=-,所以||=|-|,所以|||-|||≤|-|≤|||+|||,則3≤||≤9,故C正確.6.2.3向量的數乘運算【學習目標】1.理解向量數乘運算的概念與幾何意義.2.掌握向量數乘運算的運算律,會進行向量的數乘運算.3.理解向量共線定理的含義,能解決相關的證明與計算問題.【素養達成】數學抽象、直觀想象數學運算邏輯推理、數學運算一、向量的數乘運算1.定義:規定實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作λa,它的長度與方向規定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向相同;當λ<0時,λa的方向與a的方向相反.2.運算律:設λ,μ為實數,則有:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;

(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.【教材挖掘】(P15)引入向量數乘運算后,你能發現實數與向量的積與原向量之間的位置關系嗎?提示:實數與原向量的積與原向量共線.【版本交融】(人BP150)數乘向量的幾何意義是什么?提示:把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.二、線性運算1.定義:向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算,向量線性運算的結果仍是向量.2.運算律:對于任意向量a,b,以及任意實數λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.三、向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數λ,使b=λa.【版本交融】(北師P92)在非零向量a方向上的單位向量如何表示?提示:a|【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)實數λ與向量a的乘積還是向量.(√)提示:由向量的數乘的定義知,實數λ與向量a的乘積還是向量.(2)對于任意實數m和向量a,b,若ma=mb,則a=b.(×)提示:當m=0時,ma=mb成立,a,b不一定相等.(3)對于非零向量a,-8a的模是4a的模的2倍.(√)提示:一個數m乘一個向量a,結果是一個向量ma,其模是|m||a|,所以對于非零向量a,-8a的模是4a的模的2倍.(4)若a∥b,則一定存在λ∈R,使得b=λa.(×)提示:當a=0,b≠0時,λa=0,此時不存在λ∈R,使得b=λa.類型一向量的線性運算(數學運算)【典例1】(教材提升·例5)計算:(1)5(3a-2b)+4(2b-3a);(2)13(a-2b)-14(3a-2b)-12(a(3)(x+y)a-(x-y)a.【解析】(1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=(15a-12a)+(-10b+8b)=3a-2b.(2)13(a-2b)-14(3a-2b)-12(a=(13a-34a-12a)+(-23b+12=-1112a+13(3)(x+y)a-(x-y)a=(xa-xa)+(ya+ya)=2ya.【總結升華】向量的線性運算(1)向量的線性運算類似于實數運算,遵循括號內的運算優先的原則,將共線的向量看作“同類項”進行合并;(2)要注意向量數乘的結果仍是向量,同時要在理解幾何意義的基礎上,熟練運用運算律.【即學即練】計算:(1)2(a-b)+3(a+b);(2)12(a+b)+12(a-(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b).【解析】(1)2(a-b)+3(a+b)=2a-2b+3a+3b=5a+b;(2)12(a+b)+12(a-=12a+12b+12a=a;(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b)=3a+6b-2a-6b-2a-2b=-a-2b.類型二向量的線性表示(直觀想象)【典例2】(教材提升·例6)如圖,四邊形ABCD中,已知=2.(1)用,表示;(2)若=2,=34,用,表示.【解析】(1)因為=++,所以=++12=-12;(2)因為=+=-14=-14(-),所以=34+14=34·23+14=12+14.【總結升華】向量的線性表示(1)觀察幾何圖形的特征,確定已知向量與要表示向量之間的關系;(2)結合向量運算的三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理,用已知向量表示所求向量.【即學即練】如圖所示,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,=23,=a,=b.用a,b表示,,,,.【解析】在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,則=+=+12=+12(-)=12+12=12a+12b,故=23=13a+13b=12=12b,=-=13a+13b-a=13b-23a=-=12b-a.類型三向量共線定理的應用(邏輯推理、數學運算)角度1證明三點共線【典例3】設a,b是兩個不共線的非零向量,已知=3a-2b,=-2a+4b,=-2a-4b,試判斷A,C,D三點是否共線.【解析】共線.理由如下:因為=-2a-4b,且=+=(3a-2b)+(-2a+4b)=a+2b,故=-2,所以與共線,因為與有公共點C,所以A,C,D三點共線.【總結升華】證明三點共線(1)利用向量共線定理證明三點構成的兩個向量共線;(2)說明兩個向量有公共點.【即學即練】已知e1,e2是兩個不共線的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求證:A,B,D三點共線.【證明】因為=e1+3e2,=2e1-e2,所以=-=e1-4e2,又=2e1-8e2=2(e1-4e2),所以=2,因為與有公共點B,所以A,B,D三點共線.角度2求參數的值【典例4】(2024·朔州高一檢測)已知兩個非零向量a,b不共線,且ka+3b與2a+kb共線,求實數k的值.【解析】因為ka+3b與2a+kb共線,所以存在實數λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即(k-2λ)a=(λk-3)b.由于a,b不共線,所以k-2λ=0λk即實數k的值為6或-6.【總結升華】求參數的值(1)利用向量共線定理引入參數,得到兩個向量的關系式;(2)根據已知向量不共線得到對應系數相等,解方程組求出參數的值.【即學即練】設兩個不共線的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實數λ,μ,使向量d=λa+ub與向量c共線?【解析】存在,λ=-2μ.理由如下:因為d=λ(2e1-3e2)+u(2e1+3e2)=(2λ+2u)e1+(3u-3λ)e2,要使d與c共線,則存在實

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