6.1數列的概念及表示【考點梳理】1．數列的概念(1)定義：按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項)，排在第n位的數稱為這個數列的第n項．所以，數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是數列的第n項，叫做數列的通項．常把一般形式的數列簡記作{an}．(2)通項公式：如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．(3)數列的遞推公式：如果已知數列的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．(4)數列的表示方法有通項公式法(解析式法)、列表法、圖象法、遞推公式法.2．數列的分類(1)數列按項數是有限還是無限來分，分為有窮數列、無窮數列.(2)按項的增減規律分為遞增數列、遞減數列、擺動數列和常數列．遞增數列?an＋1＞an；遞減數列?an＋1＜an；常數列?an＋1＝an.遞增數列與遞減數列統稱為單調數列．3．數列前n項和Sn與an的關系已知Sn，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＝1），,（n≥2）.))(S1Sn－Sn－1)4．常見數列的通項(1)1，2，3，4，…的一個通項公式為an＝n；(2)2，4，6，8，…的一個通項公式為an＝2n；(3)3，5，7，9，…的一個通項公式為an＝2n＋1；(4)2，4，8，16，…的一個通項公式為an＝2n；(5)－1，1，－1，1，…的一個通項公式為an＝(－1)n；(6)1，0，1，0，…的一個通項公式為an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2)；(7)9，99，999，…的一個通項公式為an＝10n－1.注：由上很易獲得數列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通項公式分別為eq\f(1,9)(10n－1)，eq\f(2,9)(10n－1)，…，eq\f(8,9)(10n－1)．考點一數列的概念【例題】（1）下列說法中正確的是（

）A．數列，，，可以表示為B．數列，，，與，，，是相同的數列C．數列的第項為D．數列與是相同的【答案】C【解析】對于A，是一個集合，故A錯誤；對于B，兩個數列中的數雖然相同，但順序不同，不是相同的數列，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，數列與是不同的，表示數列，，，…，，…，而表示數列中的第n項，故D錯誤，故選：C.（2）若數列滿足，則數列是（

）A．遞增數列B．遞減數列C．常數列 D．擺動數列【答案】A【解析】，∴，即是遞增數列，故選:A.（3）以下說法正確的是（

）A．同一數列的任意兩項均不可能相同B．數列中的項與順序無關C．數列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八項為7D．數列0，2，4，6，……可記為{2n}【答案】C【解析】數列是按一定順序排成一列的數，和項相同與否沒有關系，故AB均錯誤；數列0，1，2，3，4，5，6，7，……的第八項為7，故C正確；數列0，2，4，6，……可記為{2n－2}，n∈，故D錯誤，故選：C.（4）若函數f(x)滿足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，則f(n)是()A．遞增數列B．遞減數列C．常數列 D．不能確定【答案】A【解析】∵f(n＋1)＝f(n)＋3，∴f(n＋1)-f(n)=3，∴數列{f(n)}是遞增的等差數列，故選A．（5）若數列中的項按一定規律變化，則實數最有可能的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據數列可知,從第二項起,每一項與前一項的差等于，∴，故選:C.（6）已知數列的通項公式為，則這個數列第5項是.A．9 B．17 C．33 D．65【答案】33【解析】，故答案為：33.【變式】（1）下列有關數列的說法正確的是（

）A．同一數列的任意兩項均不可能相同 B．數列，0，1與數列1，0，是同一個數列C．數列1，3，5，7可表示為 D．數列中的每一項都與它的序號有關【答案】D【解析】A是錯誤的，例如無窮個3構成的常數列3，3，3，…的各項都是3；B是錯誤的，數列，0，1與數列0，1，中項的順序不同，即表示不同的數列；C是錯誤的，是一個集合；根據數列的概念，D是正確的，故選：D.（2）下列數列中是遞增數列的是（

）A．1，3，5，2，4，6 B．C． D．【答案】B【解析】對于A：屬于擺動數列；對于B：由可知公差，因此是單調遞增數列；對于C：屬于單調遞減數列；對于D：屬于單調遞減數列，故選：B．（3）下列敘述正確的是（

）A．數列與是相同的數列B．數列可以表示為C．數列是常數列D．數列是遞增數列【答案】D【解析】對于A，數列與不是相同的數列，故A錯誤；對于B，數列可以表示為，故B錯誤；對于C，數列是擺動數列，故C錯誤；對于D，數列是遞增數列，故D正確.故選：D.（4）下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是（

）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意，故選：C．（5）已知一列數1，－5，9，－13，17，……，根據其規律，下一個數應為．【答案】【解析】由已知條件得數列的每一項的絕對值成首項為，公差為的等差數列，且奇數項為正，偶數項為負，進而可推斷出通項公式為，則；故答案為：.（6）已知數列－1，，－，…，(－1)n.，…，則它的第5項的值為（

）A． B．－ C． D．－【答案】D【解析】由題設，數列的通項公式為，∴當n＝5時，該項為，故選：D.考點二數列的通項公式及性質【例題】（1）已知數列，則是這個數列的（

）A．第12項 B．第13項 C．第24項 D．第25項【答案】D【解析】根據題意，由，得，故是這個數列的第25項，故選：D.（2）數列3，5，9，17，33，…的通項公式（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由數列3，5，9，17，33，…的前5項可知，每一項都滿足，故選：B.（3）設數列，則數列的最小項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】B【解析】根據題意，，又由，則時，取得最小值，故選：．（4）現有組數對依次排列為，，，則（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】B【解析】由這組數對依次排列為，，，根據給出的前4組數的規律:為第一個數的通項公式，第二個數的通項公式，所以可得第5組為，，故選：B.（5）設數列滿足，則（

）A．0 B．4 C．5 D．8【答案】B【解析】由題意得：，故選：B.【變式】（1）在數列1，，，，…，，…中，是它的（

）A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項【答案】C【解析】由，解得，故選：C．（2）數列的前4項為：，則它的一個通項公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將可以寫成，所以的通項公式為，故選:C.（3）已知數列中，，，則等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】∵，，∴，，，則數列是周期為2的周期數列，∴，故選：A．（4）已知數列滿足，，則.【答案】【解析】根據題意，，，，故答案為：．（5）設是數列的前n項和，若，則（

）A．-21 B．11 C．27 D．35【答案】B【解析】由得，，所以，故選：B.【方法總結】1．已知數列的前幾項，求數列的通項公式，應從以下幾方面考慮：(1)來調節．(2)分式形式的數列，分子和分母分別找通項，并充分借助分子和分母的關系來解決．(3)對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數列、等比數列和其他方法來解決．此類問題雖無固定模式，但也有規律可循，主要靠觀察(觀察規律)、比較(比較已知的數列)、歸納、轉化(轉化為等差、等比或其他特殊數列)等方法來解決．2．an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2），))注意an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，還須驗證a1是否符合an(n≥2)，是則合并，否則寫成分段形式．3．數列的簡單性質(1)單調性：若an＋1＞an，則{an