第十二節專題:導數的同構問題重點題型專練【1】1解析:∵x1<x由題意可得:lnx1?lnx∴fx=lnx?x在m,+∞上單調遞減,則f′x=1x?1≤0在m,+∞上恒成立,即故答案為:1.【2】[解析:令gx=fx?所以fx1?4x易得gx不是常數函數,所以gx在0故g′x=ax+1即a≥?1x2+4令?x=?1x2所以?xmax=?即a的取值范圍為[4,+∞).故答案為:【3】[e,+∞)解析:由題意m>令fx=lnxx所以當x∈0,e時,f′x所以fx在(0,e)上單調遞增,在e,+∞因為x1由題意當x1,x2∈m,+∞且x1<x所以fx在m,+∞上單調遞減,故所以實數m的取值范圍是[e,+∞).故答案為:[e,+∞).【4】C解析:依題意,x1令fx則對任意的x1,x2∈(1,3],當x1<x2因此,?x∈(1,3],f′x所以實數a的取值范圍是[9,+∞).【5】B解析:不妨設1≤由x1lnx2?即x1lnx2+a<x2lnx1+a,兩邊同時除以x1x2,得lnxf′x=1?ln所以a≥1?lnx,x∈1,e上恒成立,函數y=1?lnx在區間1【6】B解析:因為x1<x2,即lnx令fx=lnx+2x,則上式等價于根據題意,fx在m,+∞又f′x=?lnx?1x2,令f′1e,+∞,要滿足題意,只需m≥1e,即m的最小值為【7】A解析:由題意可知,不等式e2x1e2兩邊取對數得lne2x1x則2x設gx=2x?mlnx,由題意可知,函數g′x=2?mx≥0,在區間1所以m≤2.【8】(1)x解析:(1)由題意知f則曲線y=fx在x=(2)不妨設x1則f?則設gx=fx?mx2=2x則g′x則2mx設?則當x∈e2,+∞時,當x∈0,e2則?則實數m的取值范圍為?∞,?1【9】(1)[0,+∞)解析:(1)因為y=fx為故f′x=a+1所以2ax2+a+1所以a≥0a+1≥0等號不同時取到,故實數(2)不妨設x1<x2,由(1)可知函數y=fx此時,不等式fx1?fx令gx所以函數y=gx在故g′x≥0在0,+∞求導可得g因為a>所以g′當且僅當2ax=a+1x,即x【10】B解析:設ft當t>0時,f所以ft在0,+∞原不等式變形為e2x?sin2x>ey?siny,即【11】C解析:由lnx+lny=1構造函數fx=lnx+x可知fx=lnx+x結合lnx+x=ln1y+1由基本不等式可知:x+當且僅當x=y=1時等號成立,所以【12】D解析:由題意得a=設fx=lnxx當0<x<e時,f′x>0,所以fx單調遞增,當x>e又e<3<4<e2,所以所以a<b<【13】C解析:構造函數fx所以fm因為y=x,y=ex,y=函數fx,gx與函數由圖可知,0<又f1所以m<1,n<1.【14】C解析:構造函數fx當0<x<1時,當x>1時,fabc?因為5>4>3>1,所以而a,b,c【15】A解析:設fx=x?lnx由f′x>0?所以函數fx在(0,1)上遞減,在1,+∞所以fx又a=e0.99?0.99再設gx=x?x由g′x>0?所以函數gx在1,+∞所以gx又c=1.01?1.01ln故a>b>【16】1解析:由memx≥lnx?mxemx≥xlnx=e且fmx≥flnx,所以mx≥lnx,即令gx=lnxx,則g′x=1?lnxx2,所以當x故gx在[1,+∞)上的最大值是1e,所以m≥1e,即實數m的最小值是【17】B解析:因為ex+x?lny而y=x+lnx為0,+∞上的增函數,故ex=ey設sx=xex當x<?1時,s′x<0,故s當x>?1時,s′x>0,故s故sxmin=【18】0解析:令fx=ex+x,則fex+x=ax+lnax,即∵正實數x0是方程ex∴fx0=flnax0,則x故答案為:0【19】a解析:fx=xex?ax+lnx=ex+lnx?ax+lnx,令t=x+lnx,t∈R,顯然該函數單調遞增,即et【20】B解析:構造fx則fx在R由ex+e即ex∴x∴a令gx則g′由g′x>0得由g′x<0得∴g∴a≥?1【21】3解析:fx>x3?令gx=ex+x,則g所以e2ax+2ax>e所以2ax>3lnxx令?x=3lnx所以在(0,e)上,?′x在e,+∞上,?′x所以?xmax=?e所以實數a的取值范圍為32e,+∞.【22】e解析:ex因函數y=ex,y=x均在0,+∞上單調遞增,則又ex+x≥e構造函數fx=x?lnxf′x>0?x>1;f則x?lnxmin=f1=1【23】e解析:由于klnkx?ex≤則elnkxlnkx=kx令fx=xex所以fx在0,+∞當lnkx>0時,由elnkx當lnkx≤0時,由x>0綜上所述:lnkx≤x,可得kx≤e令gx=exx當0<x<1時,當x>1時,g所以gxmin=g1=e,所以0<k≤e,則k解析:由題意λ>0,不等式即2λe2λx≥lnx,進而轉化為2λxe2λx≥當x>0時,g′x>0,所以g則不等式等價于g2λx≥因為λ>0,x>所以2λx≥lnx對任意x>1恒成立,即設?t=lntt當1<t<e時,?′t>0,?t所以t=e時,?t有最大值?e=1e,于是故答案為:12【25】1解析:由fx≤0,即lnx?因為x≥1e,所以設gx=xlnx因為x≥1e,所以g′x≥0,所以因為xlnx≤eaxlneax,所以gx≤geax,所以x≤eax,所以lnx≤ax,所以a≥lnxx.設?x=lnxx,則?′x=1?lnxx2.由?′x<0,得x>e,則?x在e,+∞上單調遞減;由?′x<0,得0<x<e,則?x在(0,e)上單調遞增.故?即Fax≥Flnx,結合F整理得a≥lnxx在令gx=lnxx當x∈0,e時,當x∈e,+∞時,g所以gx的最大值為ge=1e所以a的取值范圍是1e,+∞.故答案為:【27】log解析:log?即log【28】1解析:a?構造函數gx=ex而g′x=ex+1>令y=lnx?x,則y′=1?x對于lna+ln【29】1解析:由a?又x>0,所以設fx=x?2所以fx在0,+∞所以xx>設gx=log2x由g′xg所以gx在(0,e)上單調遞增,在e,+∞所以gx因為存在正實數x,使得不等式a?2a≤1eln2.即a【30】B解析:由題意得,當x>0時,即ex令Fx=ex+e因為F′x=ex+e>0恒成立,故故x+lna≥lnx令?x則?′當x∈0,1時,當x∈1,+∞時,故?x=lnx?x在x故lna≥?1,解得【31】(1)答案見解析(2)1解析:(1)因為fx=aex?x,定義域為當a≤0時,由于ex>0,則ae所以fx在R當a>0時,令f′x=當x<?lna時,f′x<0,則f當x>?lna時,f′x>0,則f綜上:當a≤0時,fx在當a>0時,fx在?∞,?lna上單調遞減,在?lna,+∞所以fx+x+lna令gx=ex+x,上述不等式等價于g∴原不等式等價于lna+x≥lnx令?x=lnx?x在(0,1)上?′x>0,?x單調遞增;在∴?lna≥?1=ln1∴a的取值范圍是1【32】(1)f1.33>0.33,證明見詳解(2)?∞,?1e(3)證明見詳解解析:(1)設g令?x=fx??因為0<x<1時,lnx<x≥1時,lnx≥0所以?x在x=1處取最小值,所以?1.33=f1.33?即f1.33(2)因為fe所以f′當x<1時,f′e?x當x≥1時,f′e?x所以fe?x在x=1若fe?x≥a恒成立,即f所以實數a的取值范圍為?∞,?1(3)當x>1時,要證x?1ln即證明ex?1lne因為fx=x?lnx,當x所以fx在1,+∞設tx=ex?因為x>1,所以ex?1所以tx在1,+∞上單調遞增,則tx>t所以fex?1>【33】(1)fx的單調增區間(0,1),單調減區間1,+∞(2)(0,e]解析:(1)當a=1時,fx=2lnx?12x2?x,x>0所以f′x=2x?x?1=?x2?x+2x=?構造函數gt=所以由2lnxa+xa≤ex+當x=1時,此不等式為0當x>1時,可得a構造函數?x求導可得:?當x>e時,?′x>0,?x時,?′x<0所以?minx=?e=e,所以a≤【34】(1)(2e+1)x?y?e=0(2)fx在解析:(1)因為a=0,所以fx=x又f1故曲線y=fx在點1,f即2e+(2)當a=1時,所以fx=x令gx=ex?當x∈0,+∞時,g′x>e當x∈0,1時,x∈1,+∞時,故?x≤?1=從而f′x=x+1成立,則fx在0,+∞(3)fx≥alnxxex+1≥a若a≤0,則alnxea若a>0,則alnx>0在φ′t=t+1即φt=tet+1在0,+∞則x≥alnx令Hx=xlnx當x∈1,e時,H′時,H′x>0,Hx單調遞增,故綜上所述,a的取值范圍為(?∞,e].【35】(1)極小值為1,極大值為3ln2?1.(2)答案見解析(解析:(1)當a=2時,fx=3∴f當0<x<1或x>2時,f′x<∴fx在(0,1)上單調遞減,在(1,2)上單調遞增,在2∴fx的極小值為f1=1(2)由題意知fx的定義域為0f當a≤0時,若0<x<1,則f′x>∴fx在(0,1)上單調遞增,在1當0<a<1時,若0<x<a或x>1,則f′x<0,若a<x<1,則f′x>0,∴fx在(0,a)上單調遞減,在(a,1)上單調遞增,在1,+∞上單調遞減;當a=1時,f′x≤0,∴fx在0,+∞上單調遞減;當a>1時,若0<x<1或x>a,則f′x<0,若1<x<a,則f′x>0,∴fx在(0,1)上單調遞減,在(1,a)上單調遞增,在a,+∞上單調遞減;綜上所述,當a(3)由題知,gx∵gx恰有2個零點,∴方程1?a即方程xe?x?即e?x+ln