PAGEPAGE1§9.4直線與圓的位置關系考情考向分析考查直線與圓的位置關系的推斷，依據位置關系求參數的范圍、最值、幾何量的大小等．題型以填空題為主．推斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數法：eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0?相交；,＝0?相切；,<0?相離.))概念方法微思索1．過肯定點作圓的切線，切線條數可能有幾種狀況．提示三種狀況，若點在圓上則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應有兩條；若點在圓內，切線為零條．2．求圓的弦長有幾種常用方法．提示三種．(1)用代數法求出弦的端點坐標，然后利用兩點間的距離公式．(2)利用半徑、半弦和圓心到直線的垂線段構成的直角三角形．題組一思索辨析1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線與圓有公共點，則直線與圓相交．(×)(2)直線y＝kx＋1和圓x2＋y2＝4肯定相交．(√)(3)過圓O：x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)假如直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．(√)題組二教材改編2．[P115T1]圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關系是________．答案相交解析圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離為eq\f(|2－2－5|,\r(5))＝eq\r(5)<eq\r(6)，故直線與圓相交．3．[P117習題T2(3)]若過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為eq\r(2)，則直線l的斜率為________．答案1或eq\f(17,7)解析將圓的方程化為標準方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圓心坐標為(1,1)，半徑r＝1，又弦長為eq\r(2)，∴圓心到直線l的距離d＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，設直線l的斜率為k，又直線l過點(－1，－2)，∴直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴eq\f(|2k－3|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(2),2)，即(k－1)(7k－17)＝0，解得k＝1或k＝eq\f(17,7)，則直線l的斜率為1或eq\f(17,7).題組三易錯自糾4．若直線l：x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共點，則m的取值范圍是________________．答案[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1]解析圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2,1)，半徑為2，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2－1＋m|,\r(2))，若直線與圓恒有公共點，則eq\f(|2－1＋m|,\r(2))≤2，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1.5．過點A(3,5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為__________________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0為標準方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1,2)，∵OA＝eq\r(3－12＋5－22)＝eq\r(13)>2，∴點A(3,5)在圓外．明顯，當切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x－3＝0，當切線斜率存在時，可設所求切線方程為y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圓心為(1,2)，半徑r＝2，而圓心到切線的距離d＝eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，即|3－2k|＝2eq\r(k2＋1)，∴k＝eq\f(5,12)，故所求切線方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.6．(2024·蘇北四市摸底)若直線ax＋y＋1＝0被圓x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦長為2，則實數a的值是________．答案－2解析圓x2＋y2－2ax＋a＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2－a，∴圓心為(a,0)，半徑為eq\r(a2－a)，圓心到直線的距離為d＝eq\f(a2＋1,\r(a2＋1))＝eq\r(a2＋1).∵直線ax＋y＋1＝0被圓x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦長為2，∴a2＋1＋1＝a2－a，∴a＝－2.題型一直線與圓的位置關系的推斷1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是________．答案相交解析因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1.所以直線與圓相交．2．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關系為________．答案相交解析直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．3．在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，則圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0的位置關系是________．答案相切解析因為asinA＋bsinB－csinC＝0，所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.故圓心C(0,0)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1＝r，故圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0相切．4．(2024·蘇州、無錫、常州、鎮江三模)若直線3x＋4y－m＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始終有公共點，則實數m的取值范圍是________．答案[0,10]解析圓的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化為標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以圓心為(－1,2)，半徑r＝1，圓心到直線3x＋4y－m＝0的距離d＝eq\f(|－3＋8－m|,\r(9＋16))＝eq\f(|5－m|,5)，∵直線3x＋4y－m＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始終有公共點，∴0≤eq\f(|5－m|,5)≤1，解得0≤m≤10，∴實數m的取值范圍是[0,10]．思維升華推斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系．(2)代數法：聯立方程之后利用Δ推斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可推斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．題型二切線問題例1已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿意下列條件的圓的切線方程．(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過切點A(4，－1)．解(1)設切線方程為x＋y＋b＝0，則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設切線方程為2x＋y＋m＝0，則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.思維升華解決圓的切線問題的關鍵是抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關系求解．跟蹤訓練1已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是________．答案2eq\r(2)解析如圖，由題意知，圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圓心是C(1,1)，半徑為1，由PA＝PB易知，四邊形PACB的面積為eq\f(1,2)(PA＋PB)＝PA，故PA最小時，四邊形PACB的面積最小．由于PA＝eq\r(PC2－1)，故PC最小時PA最小，此時CP垂直于直線3x＋4y＋8＝0，P為垂足，PC＝eq\f(|3＋4＋8|,5)＝3，PA＝eq\r(PC2－1)＝2eq\r(2)，所以四邊形PACB面積的最小值是2eq\r(2).題型三直線與圓相交問題命題點1圓的弦長例2直線x＋eq\r(3)y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長為________．答案2eq\r(3)解析∵圓x2＋y2＝4的圓心為點(0,0)，半徑r＝2，∴圓心到直線x＋eq\r(3)y－2＝0的距離d＝eq\f(|－2|,2)＝1，∴弦長AB＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).命題點2直線與圓相交求參數范圍例3已知直線l：kx－y－2k＝0，圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0.(1)求證：無論k取何值，直線l與圓C都有兩個交點；(2)若k＝1，求直線l被圓C截得的弦長；(3)是否存在實數k，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出實數k的值；若不存在，請說明理由．(1)證明直線l的方程可化為k(x－2)－y＝0，所以直線l過定點(2,0)．由于22＋02－2×2－2×0－2<0，故點(2,0)在圓C內，所以直線l與圓C恒有兩個交點．(2)解當k＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心C(1,1)，半徑r＝2.圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以直線l被圓C截得的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).(3)解存在．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由kx－y－2k＝0與x2＋y2－2x－2y－2＝0消元得(k2＋1)x2－(4k2＋2k＋2)x＋4k2＋4k－2＝0，x1,2＝eq\f(4k2＋2k＋2±\r(4k2＋2k＋22－4k2＋14k2＋4k－2),2k2＋1)，所以x1＋x2＝eq\f(4k2＋2k＋2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(4k2＋4k－2,k2＋1).因為以線段AB為直徑的圓過原點，所以x1x2＋y1y2＝0，所以(k2＋1)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，所以(k2＋1)·eq\f(4k2＋4k－2,k2＋1)－2k2·eq\f(4k2＋2k＋2,k2＋1)＋4k2＝0，所以k＝－1±eq\r(2).思維升華(1)直線和圓問題的代數解法就是聯立直線方程和圓的方程，通過交點坐標滿意的關系式解題，往往“設而不求”．(2)弦長問題可采納幾何法，利用半弦、半徑和圓心到弦的垂線段構成的直角三角形．跟蹤訓練2(1)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則MN＝__________.答案4eq\r(6)解析由已知，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，－9)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AB⊥BC，故過三點A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r(6)，y2＝－2＋2eq\r(6)，所以MN＝|y1－y2|＝4eq\r(6).(2)(2024·江蘇省如東高級中學等四校聯考)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2＝2，直線x＋by－2＝0與圓C相交于A，B兩點，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\r(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，則b的取值范圍是________________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(15),3)))解析設AB中點為M，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\r(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，即2OM≥eq\r(3)×2AM，即OM≥eq\f(\r(3),2)OA＝eq\f(\r(6),2).又直線x＋by－2＝0與圓C相交于A，B兩點，所以eq\f(\r(6),2)≤OM<eq\r(2)，而OM＝eq\f(2,\r(1＋b2))，所以eq\f(\r(6),2)≤eq\f(2,\r(1＋b2))<eq\r(2)，解得1<b2≤eq\f(5,3)，即b的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(15),3))).1．(2024·如皋調研)已知圓x2＋y2＝9被直線mx＋y－2m－1＝0所截得弦長為3eq\r(2)，則實數m的值為________．答案1或7解析因為圓x2＋y2＝9的圓心是(0,0)，半徑為3，依據弦長為3eq\r(2)，所以圓心到直線的距離為d＝eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以d＝eq\f(|－2m－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(3\r(2),2)，解得m＝1或m＝7.2．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－8＝0的最大距離與最小距離的差是________．答案5eq\r(2)解析圓的方程可化為(x－2)2＋(y－2)2＝(3eq\r(2))2，圓心到直線的距離為eq\f(|2＋2－8|,\r(2))＝2eq\r(2)<3eq\r(2)，故直線與圓相交，最小距離為0，最大距離為3eq\r(2)＋2eq\r(2)＝5eq\r(2).綜上可得，圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－8＝0的最大距離與最小距離的差是5eq\r(2)－0＝5eq\r(2).3．過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為________．答案2y＋1＝0解析圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以PC＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0.4．在平面直角坐標系xOy中，若直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B兩點，且△ABC為直角三角形，則實數a的值為________．答案－1解析因為△ABC為直角三角形，所以BC＝AC＝r＝4，所以圓心C到直線AB的距離為2eq\r(2)，從而有eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝2eq\r(2)，解得a＝－1.5．(2024·徐州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝kx被圓x2＋y2－2mx－2eq\r(3)my＋3m2－1＝0截得的弦長是定值(與實數m無關)，則實數k的值為________．答案eq\f(\r(3),3)解析由圓的方程可得(x－m)2＋(y－eq\r(3)m)2＝m2＋1，所以圓心為(m，eq\r(3)m)，R＝eq\r(m2＋1)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|\r(3)m－km|,\r(1＋k2))，由題意R2－d2＝m2＋1－eq\f(\r(3)－k2m2,1＋k2)，不論m取何值時，此式為定值，所以當eq\f(\r(3)－k2,1＋k2)＝1時，R2－d2為定值1，即k＝eq\f(\r(3),3).6．(2024·蘇州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－2，0)，點B是圓C：(x－2)2＋y2＝4上的點，點M為AB的中點，若直線l：y＝kx－eq\r(5)k上存在點P，使得∠OPM＝30°，則實數k的取值范圍是________．答案[－2,2]解析因為點M為AB中點，所以OM＝eq\f(1,2)CB＝1，即點M的軌跡為以原點為圓心的單位圓，當PM為單位圓切線時，∠OPM取得最大值，所以∠OPM≥30°，從而OP＝eq\f(1,sin∠OPM)≤2，因此原點到直線l：y＝kx－eq\r(5)k的距離不大于2，即eq\f(|－\r(5)k|,\r(k2＋1))≤2，解得－2≤k≤2.7．已知圓O：x2＋y2＝1，若直線y＝eq\r(k)x＋2上總存在點P，使得過點P的圓O的兩條切線相互垂直，則實數k的最小值為________．答案1解析因為過點P的⊙O的兩條切線相互垂直，所以點P到圓心O的距離為eq\r(2)×1＝eq\r(2)，又因為直線y＝eq\r(k)x＋2上總存在這樣的點P，8．(2024·南通、揚州、淮安、宿遷、泰州調研)在平面直角坐標系xOy中，若過點P(－2,0)的直線與圓x2＋y2＝1相切于點T，與圓(x－a)2＋(y－eq\r(3))2＝3相交于點R，S，且PT＝RS，則正數a的值為________．答案4解析設過點P(－2,0)的直線方程為y＝k(x＋2)，∵過點P(－2,0)的直線與圓x2＋y2＝1相切于點T，∴eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，不妨取k＝eq\f(\r(3),3)，PT＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴PT＝RS＝eq\r(3)，∵直線y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)與圓(x－a)2＋(y－eq\r(3))2＝3相交于R，S，且PT＝RS，∴圓心(a，eq\r(3))到直線y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a－\r(3)＋\f(2\r(3),3))),\r(\f(1,3)＋1))＝eq\r(\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2).∵a>0，∴a＝4.9．已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過圓C上隨意一點P作與l夾角為45°的直線交l于點A，則PA的最小值為________．答案2－eq\r(2)設P(cosα，sinα)，則A(cosα，2－cosα)，∴PA＝|2－cosα－sinα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))，∴PA的最小值為2－eq\r(2).方法二由題意可知圓心(0,0)到直線x＋y＝2的距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴圓C上一點到直線x＋y＝2的距離的最小值為eq\r(2)－1.由題意可得PAmin＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)＝2－eq\r(2).10．在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為________．答案eq\f(4,5)π解析由題意得AB為直徑的圓C過原點O，圓心C為AB的中點，設D為切點，要使圓C的面積最小，只需圓的半徑最短，也只需OC＋CD最小，其最小值為OE(過原點O作直線2x＋y－4＝0的垂線，垂足為E)的長度．由點到直線的距離公式得OE＝eq\f(4,\r(5)).∴圓C面積的最小值為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2＝eq\f(4,5)π.11．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設切點為M.(1)若點P運動到(1,3)處，求此時切線l的方程；(2)求滿意條件PM＝PO的點P的軌跡方程．解把圓C的方程化為標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心為C(－1,2)，半徑r＝2.(1)當l的斜率不存在時，此時l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿意條件．當l的斜率存在時，設斜率為k，得l的方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，則eq\f(|－k－2＋3－k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4).∴l的方程為y－3＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y－15＝0.綜上，滿意條件的切線l的方程為x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)設P(x，y)，則PM2＝PC2－MC2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，PO2＝x2＋y2，∵PM＝PO，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴點P的軌跡方程為2x－4y＋1＝0.12．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程；(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．解(1)設圓心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，則eq\f(|4a＋10|,5)＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．所以圓C的方程為x2＋y2＝4.(2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝kx－1，))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，x1,2＝eq\f(2k2±\r(4k2－4k2＋1k2－4),2k2＋1)，所以x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq\f(k2－4,k2＋1).若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN，即eq\f(y1,x1－t)＋eq\f(y2,x2－t)＝0，則eq\f(kx1－1,x1－t)＋eq\f(kx2－1,x2－t)＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，亦即eq\f(2k2－4,k2＋1)－eq\f(2k2t＋1,k2＋1)＋2t＝0，解得t＝4，所以當點N坐標為(4,0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．13．若a，b是正數，直線2ax＋by－2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，則t＝aeq\r(1＋2b2)取得最大值時a的值為________．答案eq\f(3,4)解析由已知可得圓心(0,0)到直線2ax＋by－2＝0的距離d＝eq\f(2,\r(4a2＋b2))，則直線被圓截得的弦長為2eq\r(4－\f(4,4a2＋b2))＝2eq\r(3)，化簡得4a2＋b2＝4.∴t＝aeq\r(1＋2b2)＝eq\f(1,2\r(2))·(2eq\r(2)a)·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1,4\r(2))[(2eq\r(2)a)2＋(eq\r(1＋2b2))2]＝eq\f(1,4\r(2))(8a2＋2b2＋1)＝eq\f(9,4\r(2))，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8a2＝1＋2b2，,4a2＋b2＝4))時等號成立，即t取最大值，此時a＝eq\f(3,4)(舍負值)．14．(2024·江蘇鹽城東臺中學監測)在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－4)2＋y2＝4，動點P在直線x＋eq\r(3)y－2＝0上的兩點E，F之間，過點P分別作圓O，C的切線，切點為A，B，若滿意PB≥2PA，則線段EF的長度為________．答案eq\f(2\r(39),3)解析由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，所以PC2－4≥4(PO2－1)，所以PC2≥4PO2，設P(x，y)，所以x2＋y2＋eq\f(8,3)x－eq\f(16,3)≤0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))2＋y2≤eq\f(64,9)，點P在圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,3)))2＋y2＝eq\f(64,9)上及圓內，圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，0))到直線x＋eq\r(3)y－2＝0的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)－2)),\r(1＋3))＝eq\f(\f(10,3),2)＝eq\f(5,3)，因為EF為直線截圓所得的弦，所以EF＝2eq\r(\f(64,9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2)＝2eq\r(\f(39,9))＝eq\f(2\r(39),3).15．已知圓O：x2＋y2＝9，點P為直線x＋2y－9＝